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P U C R S
PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
FACULDADE DE ENGENHARIA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
(MECÂNICA DOS SÓLIDOS)
EXERCÍCIOS
Prof. Almir Schäffer
PORTO ALEGRE
JULHO DE 2007
1
PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 1 – Mar/2006 1) Calcular as reações vinculares da viga bi-apoiada da figura seguinte.
5,0 m
P1=4 kN
A C
2,0
BD
3,0
P2=6
P3=8
2) Calcular as reações vinculares da viga engastada da figura seguinte.
3,0 m
CA
2,0
P1=10 kN
60
P2=5
B
2
3) Calcular as reações vinculares do pórtico da figura seguinte.
A
3
2
1
C3 m 3
B
P1=10 kN
P3=8
P2=8
4) Calcular as reações vinculares da viga bi-apoiada da figura seguinte.
Aa
Cb
P
B
5) Calcular as reações vinculares da viga do exercício 1, usando o PSE (Princípio da Superposição dos Efeitos) e os resultados do exercício 4.
3
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Aula 2 – Mai/2006 1) Calcular as coordenadas dos centros de gravidade das áreas das figuras seguintes e localizar os mesmos nas figuras. Cotas em cm.
4 2 4
10
2
8
2
2 2 2
2
2 2
Y Y
X X
a) b)
5
1
1 3
3
3
3
Y Y
X X
c) d)
4
3 1
4
2
1,5 3
4
2
1,5
2
Y Y
X X
e) f)
1) Calcular as coordenadas dos centros de gravidade das linhas das figuras seguintes e localizar os mesmos nas figuras. Cotas em cm.
5 5
1110
2332XX
Y Ya) b)
60
40
60
40
Y Y
X X
c) d)
5
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Aula 3 – Mar/2006 1) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 da viga bi-apoiada da figura seguinte.
A
P1=4 kN
B
P2=6
P3=8
C D
S1 S2 S3
1 1 1 4 1 2
2 5 m 3
2) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 da viga engastada da figura seguinte.
A BC
P1=10 kN P2=5
60 S1 S2 S3
1 1 1 1 1
2 3
6
3) Calcular os esforços solicitantes nas seções S1, S2 e S3 do pórtico da figura seguinte.
P1=10 kN
P2=8
P3=8
A B
C
2
1
3
3 m 3
S1 S2
S3
1 1
0,50,5
7
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Aula 4 – Mar/2006 1) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga engastada da figura seguinte.
A
P
B
2) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga bi-apoiada da figura seguinte.
A
P
BC
a b
3) Traçar o diagrama de forças normais para a barra da figura seguinte
A C
4 m 4 m
B
8 m
P1=5 kN P2=10 kN
8
4) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga bi-apoiada da figura seguinte.
A B
q = 2 kN/m
12 m
5) Traçar os diagramas de forças cortantes e momentos fletores para a viga bi-apoiada da figura seguinte.
A
3
C B
P=8 kN
D
P=8 kN
4 3
10 m
6) Traçar o diagrama de forças normais para o cabo de guerra da figura sabendo que o mesmo encontra-se em equilíbrio.
A
0,3 kN 0,6 0,4 X 0,2
B C D E
9
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Aula 5 – Mar/2006
1) Uma barra prismática de 50 m de comprimento tem seção transversal retangular
de 3 cm por 1 cm e está submetida a um esforço de tração de 4 000 kgf. A barra é
de aço com tensão máxima admissível de 1 400 kgf/cm2 e módulo de elasticidade
longitudinal de 2 100 000 kgf/cm2.
P P
50 m 31 cm
Quesitos.
a) Verificar se a barra se encontra (ou não) em boas condições de segurança.
b) Calcular o alongamento da barra.
c) Calcular o alongamento específico da barra.
d) Se a barra apresentar uma certa reserva de segurança, calcular o valor máximo
admissível de P para a mesma.
2) Calcular o esforço de tração
máximo admissível num cabo de aço
de 12 mm de diâmetro, formado por
sete fios de 4 mm de diâmetro cada
um e o alongamento do cabo para
este esforço. A tensão de segurança
do aço do cabo é de 5 000 kgf/cm2 e
o módulo de elasticidade é de
2 000 000 kgf/cm2. O comprimento
do cabo é de 100 m.
12 mm
4 mm
10
3) Calcular o diâmetro dos montantes
de uma prensa (de aço) para um
esforço máximo de 200 tf e o
alongamento por eles sofrido com
este esforço.
A tensão de segurança do aço da
prensa é de 1 000 kgf/cm2 e o
módulo de elasticidade do aço é de
2 100 000 kgf/cm2.
4) Uma viga AB é suspensa, por suas
extremidades, por tirantes de aço.
A viga, cujo peso G é de 2 000 kgf,
deve suportar uma carga P de 10 000
kgf, como se mostra na figura.
Calcular a área mínima necessária a
seção do tirante mais solicitado sendo
a tensão de segurança do aço dos
tirantes de 1 400 kgf/cm2.
Montante
C. Prova
Êmbolo
Macaco
100cm
Tirante Tirante
A B
A' B'
C D
G P
2,50 2,50
3,50 1,50
5,00 m
11
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Aula 6 – Mar/2006
1) Uma barra, formada por três trechos prismáticos de seção retangular, está
submetida a um esforço de tração de 10 000 kgf.
A barra é de alumínio com tensão máxima admissível de 750 kgf/cm2 e módulo de
elasticidade longitudinal de 800 000 kgf/cm2.
Verificar se a barra se encontra em boas condições de segurança e, em caso
afirmativo, calcular o alongamento da mesma.
Cotas em cm.
P P
2,5300 400 300
A B C D262
m
n
Corte m-n
2) Uma barra prismática tem seção transversal quadrada de 8 cm de lado e é
carregada com cargas P como se mostra na figura.
A barra é de pinho com tensão de ruptura (à tração) de 240 kgf/cm2 e módulo de
elasticidade longitudinal de 100 000 kgf/cm2.
Calcular o valor máximo admissível de P para a barra, usando um coeficiente de
segurança 4, e o alongamento da mesma para este valor de P.
Cotas em cm.
P P
8250 500 250
A B C D
8
Seção
P P
12
3) Duas barras de aço (AC e BC),
articuladas nas extremidades,
suportam uma carga de 45 tf
conforme a figura. Calcular a área
mínima necessária para a seção da
barra mais solicitada, sendo a tensão
de escoamento do aço igual a 2 400
kgf/cm2 e devendo-se usar um
coeficiente de segurança 2.
4) A comporta AB da figura, que pode
se considerada articulada em A, tem
largura de 3 m e está submetida à
pressão hidrostática. Em C ela é
presa por um tirante de aço, fixado
numa parede, em D.
Calcular a área mínima necessária
para a seção do tirante, com um
coeficiente de segurança 2, sendo a
tensão de escoamento do aço igual a
5 000 kgf/cm2.
5) Um elevador, de 1 000 kgf de peso
e 500 kgf de capacidade de carga, é
suspenso por 4 cabos de aço de 0,6
cm2 de área útil cada um. Qual o
coeficiente de segurança dos cabos
se a tensão de escoamento do aço
dos cabos é de 18 000 kgf/cm2 e a
aceleração máxima do elevador de 2
m/s2.
P
A B
C
3 434
α β
A
C
B
D1,50
3,00
NA máx.
Tirante
P
Polia
Cabos
Elevador
13
PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 7 – Abr/2006
1) Um tubo de ferro fundido, para água, de 20 cm de diâmetro interno, deve ser
submetido à uma pressão interna de 14 kgf/cm2. Qual deve ser a espessura mínima
da parede do tubo, para que não seja ultrapassada a tensão admissível à tração, do
ferro fundido, de 245 kgf/cm2?
t di t
de
p
2) Qual a máxima pressão com a qual se pode armazenar um gás num reservatório
esférico de aço de 20 m de diâmetro interno e 1 cm de espessura de parede? A
tensão de segurança do aço é de 800 kgf/cm2.
p
14
3) O tanque de um compressor de ar é formado por um cilindro fechado nas
extremidades por calotas semi esféricas. O diâmetro interno do cilindro é de 60 cm e
a pressão interna, do ar, é de 35 kgf/cm2. O material, de que é feito o cilindro, é aço
com limite de escoamento de 2 400 kgf/cm2 e o coeficiente de segurança à utilizar é
4. Pede-se determinar a espessura da parede do cilindro.
p
4) Um cilindro de ar comprimido, para laboratório, está, normalmente, com a pressão
de 160 kgf/cm2 por ocasião da entrega. A espessura da parede do cilindro deve ser
de 16 mm. O aço de que é feito o cilindro tem limite de escoamento de 2 500
kgf/cm2. Adotando um coeficiente de segurança 2,5, qual o máximo diâmetro
externo para o cilindro?
5) Calcular o diâmetro mínimo necessário para o êmbolo de um macaco hidráulico
para uma força P de 5 000 kgf. O macaco é alimentado por um tubo de cobre de 9,5
mm de diâmetro externo e de 1,5 mm de espessura de parede. A tensão de
segurança do cobre é de 600 kgf/cm2.
p
P
Êmbolo
Macaco
ÓleoTubo
D
15
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Aula 8 – Abr/2006
1) Um fio é suspenso de dois pontos num mesmo nível, afastados de 100 m, com
uma flecha de 5 m. O fio pesa 0,613 kgf/m. Calcular a força de tração (H) no fio.
l/2 /2l
f
C
A B
gV
H
V
H
2) Qual a mínima flecha com a qual se pode lançar um cabo pesando 4 kgf/m, entre
dois apoios em nível, afastados de 200 m, se a força horizontal nos apoios não deve
ultrapassar 2 000 kgf.
3) Um fio deve ser estendido entre dois pontos com uma flecha de 8% do
afastamento entre os mesmos. O fio pesa 0,900 kgf/m e a força de tração no fio não
deve ultrapassar 395 kgf. Estando os dois pontos num mesmo nível, qual o máximo
afastamento que pode ser usado entre os mesmos.
16
4) Um fio de cobre, de 5 mm de diâmetro, pesando 0,167 kgf/m, é suspenso de dois
pontos num mesmo nível, afastados de 400 m, com uma flecha de 25 m.
Quesitos:
a) calcular as forças, vertical e horizontal, exercidas pelo fio sobre os apoios;
b) calcular os valores, exato e aproximado, da força de tração máxima no fio; e
c) verificar se o fio se encontra (ou não) em boas condições de segurança,
considerando uma tensão máxima admissível para o cobre de 600 kgf/cm2.
5) Um cabo de uma rede de transmissão de energia elétrica é lançado entre duas
torres, A e B, afastadas de 400 m, com uma flecha de 40 m.
Qual deve ser a flecha do cabo entre as torres B e C, afastadas de 300 m, se for
desejado que não surja nenhuma força horizontal produzida pelo peso próprio do
cabo no topo da torre B?
ll
A
g
f
B
f '
'
C
6) Com uma flecha de 100 cm e uma tensão de segurança de 600 kgf/cm2, qual o
maior vão que se pode admitir entre dois postes de uma linha de transmissão de
cobre. O peso específico do cobre é de 8 500 kgf/m3.
17
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Aula 9 – Abr/2006
1) Emprega-se um rebite para ligar duas barras de aço como se indica na figura. Se
o rebite tem diâmetro de 3/4" e a carga P é de 3 tf, qual a tensão de cisalhamento no
rebite?
PP
A
B
rebite
2) O dispositivo da figura é empregado para determinar a resistência ao
cisalhamento de uma junta colada. Se a carga P, no instante da ruptura é de 1 100
kgf, qual a tensão de ruptura, por cisalhamento, da junta?
P
1,5
4,0 cm
A
B C
18
3) Considere-se o pino de 1,27 cm de diâmetro da junta da figura. A força P é de
3 400 kgf. Calcular a tensão de cisalhamento nas seções do pino.
P P
pino
A B
4) Em estruturas de aço é comum
empregar o dispositivo da figura com a
finalidade de transmitir as cargas das
vigas para os pilares. Se a reação da
viga é de 10 000 kgf, se são usados
quatro rebites na ligação e se a tensão
de segurança do aço dos rebites ao
cisalhamento é de 1 100 kgf/cm2, qual o
diâmetro mínimo necessário para a
seção dos rebites.
5) O aço de baixo teor de carbono
usado em estruturas tem um limite de
resistência ao cisalhamento da ordem
de 3 160 kgf/cm2. Calcular a força P
necessária para fazer um furo circular
de 2,5 cm de diâmetro numa chapa
desse aço de 1 cm de espessura.
Calcular também a tensão de
compressão no punção.
Ppilar
canto-neira
rebite
d=2,5
t=1 cm
P
punção
chapa
19
6) As polias são, em geral, ligadas aos
eixos através de chavetas como se
mostra na figura. Seja M = 11 500
kgf.cm o momento de torção aplicado à
polia, sejam 1 x 1 x 8 cm as dimensões
da chaveta que liga a polia ao eixo e
seja 5 cm o diâmetro do eixo. Calcular a
tensão de cisalhamento na chaveta.
7) Calcular o número de rebites necessários para fixar a viga nos pilares. A força P
aplicada na viga é de 11,5 tf e o peso próprio da viga, neste caso, pode ser
desprezado. Os rebites devem ter 1,27 cm de diâmetro e a tensão de segurança ao
cisalhamento do aço dos rebites é de 800 kgf/cm2.
P
A B3 2
5 m
pilarviga
cant.reb. C C
Corte C-C
reb.cant.
1
1
chaveta
polia
eixo
O
M
M
B
A
20
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Aula 10 – Mai/2006
1) Calcular a máxima tensão de flexão no poste da figura e verificar se o mesmo se
encontra (ou não) em boas condições de segurança. A tensão máxima admissível no
aço do poste é de 1 400 kgf/cm2, tanto na tração como na compressão.
H1 = 300 kgfH2 = 200 kgf
Fio
8,00 m
C
B
A
C
Corte CC
de = 20 cm
di = 18 cm
2) Calcular o lado “a” mínimo necessário para a prancha de madeira de pinho da
figura. A tensão de segurança do pinho, na flexão, é de 80 kgf/cm2.
P = 160 kgf
P
A C B
2,50 2,50
5,00 m
C
C
Corte CC
30 cma
21
3) Calcular o valor máximo admissível de P para o feixe de molas da figura. As
lâminas do feixe, num total de 5, têm seção retangular de 10 cm x 1 cm. A tensão de
escoamento do aço é de 6 000 kgf/cm2 e o coeficiente de segurança a utilizar é 3.
Cotas em cm.
A
B
A'
rodaeixo
Seção dofeixe em B
P P
2.P20 20 20 20 20
200
100
10
5
4) Calcular o diâmetro mínimo necessário para o eixo do vagão de trem da figura. A
tensão de segurança do aço é de 800 kgf/cm2.
P = 10 000 kgf.
Cotas em cm.
P P
R R20 80 20
Seçãodo eixo
Eixo
Mancal
Roda
Trilho
d
22
PUCRS - FENG Resistência dos Materiais – Prof. Almir Schäffer
Aula 11 – Mai/2006
1) Um eixo de aço, de 5 cm de diâmetro, está submetido à um momento de torção
de 19 000 kgf.cm. A tensão de segurança do aço do eixo, ao cisalhamento, é de 800
kgf/cm2. Calcular a tensão de cisalhamento máxima no eixo e verificar se o mesmo
se encontra (ou não) em boas condições de segurança.
Mt
d
2) Um eixo de aço, de seção circular oca de 8 cm de diâmetro externo e 6 cm de
diâmetro interno, está submetido a um momento de torção de 54 000 kgf.cm. O aço
do eixo tem tensão de segurança ao cisalhamento de 800 kgf/cm2 e módulo de
elasticidade transversal de 800 000 kgf/cm2. Verificar se o eixo se encontra em boas
condições de segurança e calcular o ângulo de torção unitário do mesmo.
di de
23
3) Num eixo de aço, de seção circular cheia, atua um momento torsor de 250 m.kgf.
A tensão limite de proporcionalidade ao cisalhamento do aço do eixo é de 1 600
kgf/cm2, em relação à qual deve-se usar um coeficiente de segurança 2. Calcular o
diâmetro mínimo necessário para a seção do eixo.
d
4) Um eixo de aço, com 2 m de comprimento e 4,5 cm de diâmetro, está submetido à
um momento de torção de 10 000 kgf.cm. O aço do eixo tem tensão de segurança
ao cisalhamento de 800 kgf/cm2 e módulo de elasticidade transversal de 800 000
kgf/cm2. Calcular a tensão de cisalhamento máxima no eixo e o ângulo de torção do
mesmo. Verificar se o eixo se encontra (ou não) em boas condições de segurança.
(Nash, p. 86, ex. 5).
d
24
5) Um eixo de aço tem 3 m de comprimento e transmite um momento de torção de
250 tf.cm. O módulo de elasticidade transversal do aço é de 840 000 kgf/cm2 e a
tensão máxima admissível ao cisalhamento é de 840 kgf/cm2. Qual o diâmetro
mínimo que se pode dar ao eixo se o ângulo de torção unitário do mesmo deve ser
limitado a 0,5o/m. (Nash, p. 88, ex. 8).
d
6) Dois eixos, A e B, de mesmo comprimento, são feitos com um mesmo aço
(mesmo G e mesmo τ ). O eixo A tem seção circular cheia com diâmetro de 6 cm e o
eixo B tem seção circular oca com diâmetros externo e interno de 10 e 8 cm,
respectivamente.
Comparar:
a) os volumes de aço gastos na fabricação dos dois eixos;
b) as resistências dos dois eixos; e
c) os ângulos de torção unitários para um mesmo Mt.
d di de
A B
25
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Aula 12 – Jun/2007
1) Um veículo, com potência de 60 HP, alcança, no plano, uma velocidade máxima
de 120 km/h. Calcular a resistência oferecida pelo ar ao deslocamento do veículo
nessa velocidade.
v R = a.v + b.v 2
F
F'
2) Qual a potência máxima, em HP, que um eixo de aço de 6 cm de diâmetro, pode
transmitir com a velocidade angular de 250 rpm. A tensão de segurança do aço, ao
cisalhamento, é de 800 kgf/cm2. (Nash, p. 98, ex. 22).
d
26
3) Um eixo de seção variável, como se indica na figura, é de aço com G = 0,84E06
kgf/cm2. Determinar a tensão máxima de cisalhamento em cada um dos trechos de
seção constante e os giros das seções B e A. (~ Nash, p. 93, ex. 13).
A B C0,6 tf 0,9 tf
80 120 cm
100 cm
d = 7,5 d = 10
0,6 tf 0,9 tf
4) O eixo da figura compõem-se de um trecho de latão e outro de alumínio, com 60
cm de comprimento cada. O diâmetro do eixo é constante e igual à 6 cm. O limite de
proporcionalidade ao cisalhamento do latão é de 1 000 kgf/cm2 e o do alumínio
1 550 kgf/cm2. Adota-se um coeficiente de segurança 2 em relação à essas tensões.
Se o deslocamento angular (giro) da extremidade direita do eixo è limitado à 1o, qual
o máximo momento que pode ser aplicado ao eixo? Os valores de G, para o latão e
para o alumínio, são 350 000 e 280 000 kgf/cm2, respectivamente. (~ Nash, p. 94,
ex. 14).
Latão Alumínio
F
F
b
CBA
6060 cm
d = 6 cm