Professor: Dr. Wilfredo Falcón Urquiaga

Professor Titular

Engenheiro em Telecomunicações e Eletrônica

Doutor em Ciências Técnicas

Email: falconcuba2007@gmail.com

Aula # 10

Medidas de Tendência Central e Medidas de

Dispersão

ESTATÍSTICA

DESCRITIVA INFERENCIAL

É o ramo da estatística que em

base ao estudo de uma mostra

representativa de uma

população, faz afirmações de

todo o universo da população.

É o ramo da estatística que

descreve e sumariza um conjunto

de dados de uma população, sim

fazer conclusões ou inferências da

população completa.

Objetivo: organizar, sumarizar

dados ao invés de usar os dados

em aprendizado sobre a população.

MEDIDAS USADAS PARA DESCREVER UM

CONJUNTO DE DADOS

MEDIDAS DE

TENDÊNCIA CENTRAL

MEDIDAS DE

DISPERSÃO

Dispersão é sinônimo de

variação ou variabilidade.

Valor que representa a

tendência dos dados.

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

Medida de tendência central é um valor

único que tenta descrever as

características de um conjunto de dados,

identificando uma posição central

(tendência) dentro do conjunto de dados.

TIPOS DE MEDIDAS DE TENDÊNCIA

CENTRAL

MÉDIA

MEDIANA

MODA

MÉDIA

A média, conhecida como média aritmética, é a medida de

tendência central mais utilizada.

Calcula-se como a soma de todos os valores de um grupo

de dados não agrupados, dividida pelo número de dados. Ou

seja, a media aritmética de uma amostra é um número que,

levando em conta o total de elementos da amostra, pode

representar a todos.

EXEMPLO DE CÁLCULO DA MÉDIA

Calcular a média dos lançamentos convertidos.

MÉDIA PARA DADOS AGRUPADOS OU EM CLASSES

Numa distribuição de frequências em que os dados se

encontram distribuídos por classes, é necessário determinar o

ponto médio de cada classe, também designado por marca,

habitualmente assinalado como a variável xi. Posteriormente

as marcas multiplicam-se pelas respectivas frequências

absolutas, resultando a média, da soma destes valores

divididos entre o total de indivíduos.

Idade xi ni Ni

[0-10) 10/2=5 3 3

[10-20) 30/2=15 6 9

[20-30) 50/2=25 7 16

[30-40) 70/2=35 12 28

[40-50] 90/2=45 3 31

EXEMPLO:

MEDIANA

A mediana tem a característica de dividir um conjunto

ao meio. Isto é, a mediana de um conjunto o separa em duas

partes de modo que 50 % dos valores sejam menores que ela

e 50 % dos valores sejam maiores que ela, ou seja, em um

conjunto onde seus elementos estão dispostos em ordem

crescente ou decrescente a mediana é o termo central desse

conjunto ou o elemento que está bem no meio.

Quando os dados estão ordenados, e o número de dados

(n) é um número ímpar, a mediana é o valor central das

observações. Quando o número de dados é par, a mediana é

a media aritmética dos dois valores do meio.

EXEMPLOS DE CÁLCULO DA MEDIANA

Para se calcular a mediana de um conjunto de dados deve-se fazer:

1. Ordenar os dados de maior ao menor ou crescentemente.

2. Verificar se há um número par ou ímpar de valores no conjunto.

3. Se for ímpar a mediana será o valor que ocupa a posição central, e se

fora par será a media aritmética dos dois valores centrais.

EXEMPLOS

MEDIDAS DE CENTRALIDADE

Há uma série de medidas de posição semelhantes na sua

concepção à mediana, embora não sejam medidas de

tendência central.

A mediana divide a distribuição em duas partes iguais

quanto ao número de elementos de cada parte.

Os quartis permitem dividir a distribuição em quatro

partes iguais quanto ao número de elementos de cada uma.

Os decis em dez partes.

Os centis em cem partes iguais.

Quartis

Decis

Percentis

QUARTIS

Dado um conjunto ordenado (ordem crescente) de valores,

o primeiro quartil, Q1, é o valor que divide o conjunto em

duas partes tais que um quarto ou 25 % dos valores sejam

menores do que ele e três quartos ou 75 % dos restantes

sejam maiores.

O segundo quartil Q2, é o valor que divide ao meio ao

conjunto, ficando um 50 % dos valores menores a ele e um

50 % maior que ele. Q2 é igual à MEDIANA.

O terceiro quartil, Q3, é o valor que divide o conjunto em

duas partes tais que um quarto ou 25 % dos valores sejam

maiores do que ele e três quartos ou 75 % dos restantes

sejam menores.

QUARTIS

Os quartis calculam-se pela fórmula .

Onde n é o número de elementos do conjunto e i é o quartil

que vou a calcular (1, 2 ou 3).

Se o valor obtido Qi é um número inteiro então o valor do

quartil procurado é a Media Aritmética do valor Qi do

conjunto e do valor Qi+1.

Se o valor obtido Qi é um número rial então o valor do

quartil procurado é o valor do conjunto correspondente à

posição “parte inteira de Qi somando 1”.

EXEMPLO QUARTIS

Calcular os três quartis do conjunto: 9, 11, 7, 12, 11, 14, 3, 16.

1. Organizar o conjunto: 3, 7, 9, 11, 11, 12, 14, 16 (n = 8)

EXEMPLO QUARTIS

Calcular os três quartis do conjunto: 9, 11, 7, 12, 11, 14, 3.

1. Organizar o conjunto: 3, 7, 9, 11, 11, 12, 14 (n=7)

EXEMPLO QUARTIS

Conjunto: 3, 7, 9, 11, 11, 12, 14 (n=7)

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Decis e Centis

Para o cálculo dos decis (9 valores) e dos centis (99

valores) utiliza-se a mesma fórmula, só que no

denominador para o cálculo dos decis coloca-se 10 e para

o cálculo dos centis coloca-se 100.

MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS OU EM CLASSES

Para calcular a mediana (Me) o primeiro que devemos

fazer é identificar a classe mediana. Para elo procuramos

o intervalo no que se encontra N / 2.

Me – Mediana

L(inferior) – Limite Inferior da classe mediana (20)

N(cme-1) – Frequência Absoluta Acumulada da classe anterior à classe mediana (9)

n(cme) - Frequência Absoluta da classe mediana (7)

MODA

Embora a palavra “moda” possa estar

relacionada a desfiles e roupas em geral, em um

sentido mais amplo, significa uma acção, uma

atitude ou um pensamento que é mais praticado

ou frequente.

A moda é o valor que ocorre com mais

frequência em determinada amostra.

EXEMPLOS DE CÁLCULO DA MODA

Moda: Engenharia

MODA PARA DADOS AGRUPADOS OU EM CLASSES

A Moda (Mo) numa tabela de frequência em classes está

na classe modal (classe com maior valor de frequência

absoluta). Se tenho duas classes modais, tenho duas

modas e a distribuição de frequência é bimodal.

Mo – Moda

L(inferior) – Limite Inferior da classe modal (30)

n(cmo) - Frequência Absoluta da classe modal (12)

n(cmo-1) – Frequência Absoluta da classe anterior à classe modal (7)

n(cmo-1) – Frequência Absoluta da classe posterior à classe modal (3)

MEDIDAS DE DISPERSÃO

MEDIDAS DE DISPERSÃO

Medida de dispersão é um conceito que

visa determinar a variabilidade (ou

dispersão) dos dados em relação à

medida de localização do centro da

amostra em análise.

TIPOS DE MEDIDAS DE DISPERSÃO

Amplitude

Variância

Desvio Padrão

AMPLITUDE

A amplitude é definida como sendo a diferença entre o

maior e o menor valor do conjunto de dados.

EXEMPLOS

AMPLITUDE

No entanto, na prática a amplitude não é uma

medida muito boa. Ela tem a vantagem de ser

simples e rápida de calcular. Porém tem a

desvantagem de depender apenas de dois valores

de toda a distribuição (o menor valor e o maior

valor). Com isso, ela pode ser claramente

influenciada por um único valor. Precisamos então

de medidas que levem em conta todos os valores

da distribuição. Essas medidas são a Variância e o

Desvio Padrão.

CONCEITO DE DESVIO

Desvio é a distância de um valor arbitrário ao valor

médio da variável. Pode-se disser também como a

diferença entre cada valor e a media.

EXEMPLO

NOTA: A soma dos desvios é sempre igual a zero.

VARIÂNCIA

É uma medida para verificar se os valores

apresentados em um conjunto de dados estão

dispersos ou não.

Dado um conjunto de dados, a variância (S2) é uma

medida de dispersão que mostra o quão distante cada

valor desse conjunto está do valor central (médio).

A variância de uma amostra de N elementos é

definida como: a soma ao quadrado dos desvios de

cada elemento em relação a sua média, dividido por

(N-1).

EXEMPLO DE CALCULO DE VARIÂNCIA

A variância considera todos os valores da

distribuição, oferecendo uma vantagem sobre

amplitude que considera somente dois valores. Por

isso ela é mais sensível ao grau de desvio da

distribuição.

Um problema da variância é a sua interpretação

difícil. Como no numerador da fórmula, os valores

dos desvios são elevados ao quadrado, a unidade

original de medida acaba sendo alterada. Por

exemplo: de idade, para idade ao quadrado.

Para corrigir esse problema, podemos utilizar a

medida de desvio padrão.

CONCLUSÕES

É uma medida também para verificar se os valores

apresentados em um conjunto de dados estão

dispersos ou não.

Consiste na raiz quadrada da variância e é usada

simplesmente para colocar o valor da variabilidade na

unidade original.

DESVIO PADRÃO

EXEMPLO DE CALCULO DE DESVIO PADRÃO

EXERCICIO

A seguinte tabela presenta a informação da nota de

Matemática de uma mostra de 6 alunos. Calcule:

média, mediana, moda, amplitude, variância e

desvio padrão.

Aluno Nota Exame

Matemática

João 7

Manuel 12

Edith 16

Clarissa 8

Alberto 3

Mauro 11

BIBLIOGRAFÍA Cramer, H.; “MATHEMATICAL METHODS OF STATISTICS”, Vol. I e II, McGraw-

Hill,1946.

Murteira, B. et all;”INTRODUÇÃO A ESTATÍSTICA”, 2da Edição, McGraw-Hill,

2007.

https://falconugs.wordpress.com/ Blog. Wilfredo Falcón Urquiaga (pass:enginf).

Reis, E.; ESTATÍSTICA DESCRITIVA; Sílabo, 2000, 5ª ed..

Reis, Elizabeth, P. Melo, R. Andrade & T. Calapez, ESTATÍSTICA APLICADA (Vols. 1

e 2), 2003, 5ª edição, Ed. Sílabo.

Reis, E.; Melo, P.; Andrade, R.; Calapez, T, EXERCÍCIOS - ESTATÍSTICA

APLICADA (Vols. 1 e 2), 2003, Ed. Sílabo.

Feller, W.; “AN INTRODUTION TO PROBABILITY THEORY AND ITS

APPLICATION”, Vol. I, J. Willey & Son.

Murteira, B.,; “DECISÃO ESTATÍSTICA PARA GESTORES”, Edição UAL.

Murteira, B.,;”PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA”, Vol. I e II, McGraw-Hill,1990.