Post on 13-Apr-2022
Séries numéricascritérios de convergência
Prof.a Priscila Savulski FerreiraUniversidade Tecnológica Federal do Paraná
Cálculo Integral
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 1 / 17
Critérios de convergência e divergência
Nem sempre é possível encontrar o valor da soma da série s;
Exemplo: assim como ocorre na série geométrica;
Nestes casos, buscamos apenas descobrir se a série é convergente oudivergente.
Veremos alguns critérios para determinar a covergência ou divergênciade séries.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 2 / 17
Critérios de convergência e divergência
Nem sempre é possível encontrar o valor da soma da série s;
Exemplo: assim como ocorre na série geométrica;
Nestes casos, buscamos apenas descobrir se a série é convergente oudivergente.
Veremos alguns critérios para determinar a covergência ou divergênciade séries.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 2 / 17
Critérios de convergência e divergência
Nem sempre é possível encontrar o valor da soma da série s;
Exemplo: assim como ocorre na série geométrica;
Nestes casos, buscamos apenas descobrir se a série é convergente oudivergente.
Veremos alguns critérios para determinar a covergência ou divergênciade séries.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 2 / 17
Critérios de convergência e divergência
Nem sempre é possível encontrar o valor da soma da série s;
Exemplo: assim como ocorre na série geométrica;
Nestes casos, buscamos apenas descobrir se a série é convergente oudivergente.
Veremos alguns critérios para determinar a covergência ou divergênciade séries.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 2 / 17
Teste de divergência
TeoremaSe∑
an é convergente, então limn→∞
an = 0
Dem.: Note que dado sn =
n∑i=1
ai temos que an = sn − sn−1.
Além disso, como∑
an é convergente para um valor, por exemplo s, temosque sn → s e sn−1 → s.
Assim,lim
n→∞an = lim
n→∞sn − sn−1 = s− s = 0,
concluindo a demonstração.
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Teste de divergência
TeoremaSe∑
an é convergente, então limn→∞
an = 0
Dem.: Note que dado sn =
n∑i=1
ai temos que an = sn − sn−1.
Além disso, como∑
an é convergente para um valor, por exemplo s, temosque sn → s e sn−1 → s.
Assim,lim
n→∞an = lim
n→∞sn − sn−1 = s− s = 0,
concluindo a demonstração.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 3 / 17
Teste de divergência
TeoremaSe∑
an é convergente, então limn→∞
an = 0
Dem.: Note que dado sn =
n∑i=1
ai temos que an = sn − sn−1.
Além disso, como∑
an é convergente para um valor, por exemplo s, temosque sn → s e sn−1 → s.
Assim,lim
n→∞an = lim
n→∞sn − sn−1 = s− s = 0,
concluindo a demonstração.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 3 / 17
Teste de divergência
TeoremaSe∑
an é convergente, então limn→∞
an = 0
Dem.: Note que dado sn =
n∑i=1
ai temos que an = sn − sn−1.
Além disso, como∑
an é convergente para um valor, por exemplo s, temosque sn → s e sn−1 → s.
Assim,lim
n→∞an = lim
n→∞sn − sn−1 = s− s = 0,
concluindo a demonstração.
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Volta do Teorema
Note que a volta do teorema é falsa, pois por exemplo1n→ 0, mas a série harmônica
∑ 1n
diverge. Logo
an → 0 ;∑
an converge.
Além disso, a contrapositiva nos remete a o primeiro critério:
Critério de divergênciaSe an 9 0, então
∑an diverge.
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Volta do Teorema
Note que a volta do teorema é falsa, pois por exemplo1n→ 0, mas a série harmônica
∑ 1n
diverge. Logo
an → 0 ;∑
an converge.
Além disso, a contrapositiva nos remete a o primeiro critério:
Critério de divergênciaSe an 9 0, então
∑an diverge.
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Exemplo
Verifique se a série converge ou diverge∑π
7n + 1n
.
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Exemplo
Verifique se a série converge ou diverge∑π
7n + 1n
.
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Exercício
Verifique se a série converge ou diverge∑ n2 − 1
4n2 + 7.
Momento de tentar! Pause o vídeo!
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Exercício – resposta
Verifique se a série converge ou diverge∑ n2 − 1
4n2 + 7.
limn→∞
an = limn→∞
n2 − 14n2 + 7
= limn→∞
1− 1/n2
4 + 7/n2 =146= 0, logo, pelo critério de
divergência,∑
an é divergente.
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Exercício
Verifique se a série converge ou diverge∑ en
n2 .
Momento de tentar! Pause o vídeo!
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Exercício – resposta
Verifique se a série converge ou diverge∑ en
n2 .
Considere f (x) =ex
x2 . Assim,
limx→∞
ex
x2
L′H︷︸︸︷= lim
x→∞
ex
2x
L′H︷︸︸︷= lim
x→∞
ex
2=∞ 6= 0.
Logo an →∞ 6= 0 e, pelo critério de divergência,∑
an é divergente.
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Propriedades
PropriedadesConsidere
∑an e
∑bn convergentes e r ∈ IR. Então
a)∑
(an + bn) converge e∑
(an + bn) =∑
an +∑
bn.
b)∑
ran converge e∑
ran = r∑
an.
Dem.: a) Sejam∑
an → sa e∑
bn → sb.
Considere sn =n∑
i=1
(ai + bi) assim,
sn =n∑
i=1
(ai + bi) = (a1 + b1) + (a2 + b2) + . . .+ (an + bn) =
n∑i=1
ai +
n∑i=1
bi → sa + sb =∑
an +∑
bn.
b) Exercício.
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Propriedades
PropriedadesConsidere
∑an e
∑bn convergentes e r ∈ IR. Então
a)∑
(an + bn) converge e∑
(an + bn) =∑
an +∑
bn.
b)∑
ran converge e∑
ran = r∑
an.
Dem.: a) Sejam∑
an → sa e∑
bn → sb.
Considere sn =n∑
i=1
(ai + bi) assim,
sn =n∑
i=1
(ai + bi) = (a1 + b1) + (a2 + b2) + . . .+ (an + bn) =
n∑i=1
ai +
n∑i=1
bi → sa + sb =∑
an +∑
bn.
b) Exercício.
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Propriedades
PropriedadesConsidere
∑an e
∑bn convergentes e r ∈ IR. Então
a)∑
(an + bn) converge e∑
(an + bn) =∑
an +∑
bn.
b)∑
ran converge e∑
ran = r∑
an.
Dem.: a) Sejam∑
an → sa e∑
bn → sb.
Considere sn =
n∑i=1
(ai + bi) assim,
sn =n∑
i=1
(ai + bi) = (a1 + b1) + (a2 + b2) + . . .+ (an + bn) =
n∑i=1
ai +
n∑i=1
bi → sa + sb =∑
an +∑
bn.
b) Exercício.
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Propriedades
PropriedadesConsidere
∑an e
∑bn convergentes e r ∈ IR. Então
a)∑
(an + bn) converge e∑
(an + bn) =∑
an +∑
bn.
b)∑
ran converge e∑
ran = r∑
an.
Dem.: a) Sejam∑
an → sa e∑
bn → sb.
Considere sn =
n∑i=1
(ai + bi) assim,
sn =
n∑i=1
(ai + bi) = (a1 + b1) + (a2 + b2) + . . .+ (an + bn) =
n∑i=1
ai +
n∑i=1
bi → sa + sb =∑
an +∑
bn.
b) Exercício.
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Exemplo
Verifique se a série∑(
π
n(n + 1)+
13n
)converge ou diverge.
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Testes de convergência – Séries alternadas
TeoremaSe (an) é monótona não-crescente e an → 0 com an > 0, então∑
(−1)nan é convergente.
Podemos reescrever o enunciado do teorema e obter outro teste deconvergência.
Teste da série alternada ou de LeibnizSe an > 0, an+1 ≤ an e lim an = 0, então
a série alternada∑
(−1)nan converge.
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Séries padrões – série harmônica alternada
∑(−1)n+1 1
n
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Séries padrões – série harmônica alternada
Série harmônica alternada∞∑
n=1
(−1)n+1 1n
converge
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Exemplo
Verifique se a sequência∑
(−1)n+1 n2
n3 + 1converge ou diverge.
Considere f (x) =x2
x3 + 1, temos que f ′(x) =
x(2− x3)
(x3 + 1)2 .
Logo, para x > 0, temos que f ′(x) < 0 quando x > 3√
2 e, consequentemente,f é decrescente em ( 3
√2,+∞).
Assim, an é decrescente.
Além disso, an → 0, logoPelo Teste da série alternada ou de Leibniz,
∑(−1)n+1an converge.
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Exemplo
Verifique se a sequência∑
(−1)n+1 n2
n3 + 1converge ou diverge.
Considere f (x) =x2
x3 + 1, temos que f ′(x) =
x(2− x3)
(x3 + 1)2 .
Logo, para x > 0, temos que f ′(x) < 0 quando x > 3√
2 e, consequentemente,f é decrescente em ( 3
√2,+∞).
Assim, an é decrescente.
Além disso, an → 0, logoPelo Teste da série alternada ou de Leibniz,
∑(−1)n+1an converge.
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Exemplo
Verifique se a sequência∑
(−1)n+1 n2
n3 + 1converge ou diverge.
Considere f (x) =x2
x3 + 1, temos que f ′(x) =
x(2− x3)
(x3 + 1)2 .
Logo, para x > 0, temos que f ′(x) < 0 quando x > 3√
2 e, consequentemente,f é decrescente em ( 3
√2,+∞).
Assim, an é decrescente.
Além disso, an → 0, logoPelo Teste da série alternada ou de Leibniz,
∑(−1)n+1an converge.
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Exemplo
Verifique se a sequência∑
(−1)n+1 n2
n3 + 1converge ou diverge.
Considere f (x) =x2
x3 + 1, temos que f ′(x) =
x(2− x3)
(x3 + 1)2 .
Logo, para x > 0, temos que f ′(x) < 0 quando x > 3√
2 e, consequentemente,f é decrescente em ( 3
√2,+∞).
Assim, an é decrescente.
Além disso, an → 0, logoPelo Teste da série alternada ou de Leibniz,
∑(−1)n+1an converge.
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Exemplo
Verifique se a sequência∑
(−1)n+1 n2
n3 + 1converge ou diverge.
Considere f (x) =x2
x3 + 1, temos que f ′(x) =
x(2− x3)
(x3 + 1)2 .
Logo, para x > 0, temos que f ′(x) < 0 quando x > 3√
2 e, consequentemente,f é decrescente em ( 3
√2,+∞).
Assim, an é decrescente.
Além disso, an → 0, logoPelo Teste da série alternada ou de Leibniz,
∑(−1)n+1an converge.
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Testes de convergência – Critério da comparação
Critério de comparaçãoSejam
∑an e
∑bn séries de termos não-negativos. Se existe
c > 0 e n0 ∈ IN tais que an ≤ cbn, para todo n > n0, então
a) a convergência de∑
bn implica na convergência de∑
an;
b) a divergência de∑
an implica na divergência de∑
bn.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 16 / 17
Exemplo
Verifique se a sequência∑ ln n
nconverge ou diverge.
Note queln nn
>1n> 0,
como∑ 1
né a série harmônica divergente,
temos pelo critério de comparação que a série∑ ln n
ntambém diverge.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 17 / 17
Exemplo
Verifique se a sequência∑ ln n
nconverge ou diverge.
Note queln nn
>1n> 0,
como∑ 1
né a série harmônica divergente,
temos pelo critério de comparação que a série∑ ln n
ntambém diverge.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 17 / 17
Exemplo
Verifique se a sequência∑ ln n
nconverge ou diverge.
Note queln nn
>1n> 0,
como∑ 1
né a série harmônica divergente,
temos pelo critério de comparação que a série∑ ln n
ntambém diverge.
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 17 / 17
Exemplo
Verifique se a sequência∑ ln n
nconverge ou diverge.
Note queln nn
>1n> 0,
como∑ 1
né a série harmônica divergente,
temos pelo critério de comparação que a série∑ ln n
ntambém diverge.
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Referências
Guidorizzi, H. L., Um curso de Cálculo, V. 4,Livros Técnicos e Científicos Ed. Ltda, 5a edição (2002).
Stewart, J., Cálculo, V. 2,São Paulo: Cengage Learning, 7a edição (2013).
Lima, Elon L., , Análise Real, V. 1,IMPA: RJ, 12a edição (2017).
Lima, Elon L., , Curso de Análise, V. 1,IMPA: RJ, 14a edição (2017).
Prof.a Dr.a Priscila S. Ferreira Séries numéricas 18 / 17