Ç DQR Volume 2 - conquistaguia.com.br · 5 Na figura, o triângulo ABC é equilátero e os pontos...
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Capítulo 4 Triângulos e quadriláteros 2 Capítulo 5 Estatística 42 Capítulo 6 Expressões algébricas e sequências 70 Volume 2
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Capítulo 4Triângulos e quadriláteros 2
Capítulo 5 Estatística 42
Capítulo 6 Expressões algébricas e sequências 70
Volume 2
capí
tulo
A Torre Eiffel, localiza-
da em Paris, na França, é um
dos monumentos mais fa-
mosos do mundo. [...]
A construção de 7 300
toneladas apresenta uma
estrutura feita de treliças
de ferro, cuja montagem se
baseia no triângulo, a forma
geométrica que é rígida e
indeformável.
FIEDERER, Luke. Clássicos da arquitetura: Torre Eiffel/Gustave Eiffel. Tradução de Eduardo Souza. Disponível em: <https://www.archdaily.com.br/br/802180/classicos-da-arquitetura-torre-eiffel-gustave-eiffel>. Acesso em: 14 mar. 2019.
Observe a imagem que
ilustra este capítulo e res-
ponda: Por que as estrutu-
ras metálicas presentes na
Torre Eiffel se embasam
em triângulos, e não em
quadriláteros?
Triângulos
Quadriláteros
o que vocêvai conhecer
Triângulos e quadriláteros4
©Shutterstock/Pat_Me
2
Matemática
Triângulos
Os triângulos são importantes figuras geométricas e o estudo de suas propriedades e aplicações tem encantado, durante séculos, matemáticos e leigos, o que se justifica pelo fato de que qualquer polígono pode ser decomposto em triângulos.
Várias estruturas metálicas são constituídas de triângulos. Devido à sua rigidez, essas estruturas são capazes de suportar forças e transmiti-las para pontos de apoio, oferecendo resistência e estabilidade.
Quando dizemos que o triângulo é um polígono rígido, queremos dizer que, uma vez fixadas as medidas de seus lados, os seus ângulos não se alteram, quaisquer que sejam as transformações aplicadas. Nos exemplos ilustrados ao lado, o losan-go, que apresenta todos os lados de mes-ma medida, pode ser “deformado” se apli-carmos uma força em um dos vértices, o que não ocorre com o triângulo.
Dessa forma, nunca conseguiremos formar dois triângulos que tenham lados correspon-dentes iguais, porém ângulos diferentes. Isso é conhecido como o critério de congruência lado, lado, lado (LLL), que veremos posteriormente neste capítulo.
Para aquecer, vamos recordar quais são os elementos de um triângulo.
Elementos de um triângulo
Observe o triângulo ABC da figura, que represen-tamos por ABC, e alguns de seus elementos.
Vértices: A, B e C
Lados: AB, BC e CA
Ângulos internos: �A, B� e C�
Ângulos externos: a� , b� e c�
Identificar e classificar os diferentes tipos de triângulos e quadriláteros.
Identificar e aplicar os casos de congruência de triângulos.
Identificar e traçar as medianas, as bissetrizes e as alturas de um triângulo, bem como as mediatrizes de seus lados.
Conhecer os pontos notáveis de um triângulo.
Conhecer e aplicar as propriedades existentes nos triângulos e quadriláteros para resolu-ção de problemas.
objetivos do capítulo
O losango tem seus
ângulos internos
alterados após uma
força ser aplicada em
um dos vértices.
O triângulo, ao
contrário, não se
deforma, qualquer
que seja a força
aplicada.
^
b
C
C
A
B
^
^
B^
A^
c
â
3
Cada ângulo interno é formado por dois dos lados do triângulo:
ângulo �A – formado pelos lados AB e AC ;
ângulo B� – formado pelos lados AB e BC ;
ângulo C� – formado pelos lados AC e BC .
O lado que não forma um ângulo interno é chamado de lado oposto a esse ângulo.
Assim, com relação a cada ângulo interno da figura, temos as seguintes definições:
BC é o lado oposto ao ângulo interno �A;
AC é o lado oposto ao ângulo interno B� ;
AB é o lado oposto ao ângulo interno C� .
Uma importante propriedade dos triângulos, já estudada anteriormente, indica a condi-
ção de existência de um triângulo e pode ser descrita assim:
Em um triângulo, a medida de qualquer lado é menor que a soma das medidas dos outros
dois lados. Sendo a, b e c as medidas dos lados de um triângulo, temos:
a < b + c
b < a + c
c < a + b
Exemplo:
10 cm < 8 cm + 6 cm
8 cm < 10 cm + 6 cm
6 cm < 10 cm + 8 cm
Classificação de triângulos
As estruturas metálicas trian-
gulares, mencionadas no início des-
te capítulo, quando nos referimos à
Torre Eiffel, têm a função de refor-
çar as estruturas de sustentação de
pontes, guindastes, postes de alta
tensão, entre outras.
A foto ao lado apresenta uma
estrutura metálica com várias for-
mas triangulares.
bc
a
6 cm8 cm
10 cm
©S
hu
tte
rsto
ck/l
asc
hi
4
Matemática
Em razão das diferentes formas que os triângulos podem assumir, é necessário classifi-cá-los de acordo com as medidas de seus lados e de seus ângulos.
De acordo com as medidas de seus lados, os triângulos podem ser classificados como equiláteros, isósceles ou escalenos.
Triângulo equilátero Triângulo isósceles Triângulo escaleno
BA
C
60o
60o 60o
BA
C
BA
C
AB BC AC AC BC
Os três lados têm a mesma medida.
Dois lados têm a mesma medida.Os três lados têm medidas
diferentes.
De acordo com as medidas de seus ângulos, os triângulos podem ser classificados como acutângulos, retângulos ou obtusângulos.
Triângulo acutângulo Triângulo retângulo Triângulo obtusângulo
A
Os três ângulos são agudos. Apresenta um ângulo reto. Apresenta um ângulo obtuso.
���
� �� �� �
90
90
90
A� � �90 � � �90
Vamos agora estabelecer uma relação entre as medidas dos lados e as medidas dos ân-gulos internos de um triângulo.
Construindo um triângulo com régua e compassoSeguindo os procedimentos a seguir, construa o triângulo ABC, cujos lados medem 3 cm,
4 cm e 5 cm. Em seguida, responda às questões propostas.
Procedimentos
Utilizando uma régua graduada, trace em uma folha de papel um segmento de 5 cm de comprimento. Chame esse segmento de AB.
Deixe o compasso com abertura igual a 4 cm. Com sua ponta-seca no ponto A, trace o arco AC. Em seguida, deixe o compasso com abertura igual a 3 cm. Com sua ponta-seca no ponto B, trace o arco BC.
5
a) Com o transferidor, meça cada ângulo e represente-os na figura com a medida inteira
aproximada. Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo?
b) Complete a tabela a seguir.
Medida do lado Medida aproximada do ângulo oposto
5 cm
4 cm
3 cm
O ponto de intersecção dos dois arcos será o vértice C do triângulo. Ao unir por meio de
um segmento os pontos A e C e os pontos B e C, obtemos o triângulo ABC.
4 cm
5 cm
3 cm
C
BA
Arco BC
Ponta-seca
Grafite Compasso
Arco AC
Você pode construir outros triângulos com outras medidas desde que os valores escolhi-
dos atendam à condição de existência de triângulos.
Em um triângulo, o maior ângulo se opõe ao maior lado e o menor ângulo se opõe ao me-
nor lado.
1 Analise as afirmações a seguir. Marque as verdadeiras com V e as falsas com F.
a) ( ) Todo triângulo equilátero é acutângulo.
b) ( ) Triângulos escalenos podem ser acutângulos.
c) ( ) Um triângulo retângulo pode ser isósceles.
d) ( ) Um triângulo obtusângulo pode ser isósceles.
e) ( ) Um triângulo retângulo pode ser equilátero.
f) ( ) Todo triângulo equilátero é isósceles.
atividades
6
Matemática
a) 60°, 30° e α
b) 30°, x e 120°
c) a, 60° e 60°
d) 45°, b e 90°
e) y, 75° e 45°
f) 15°, 15° e z
3 A praça representada na imagem a seguir é semelhante a um triângulo equilátero cujo perímetro mede 39 m. Calcule a medida de cada lado dessa praça.
Praça
A B
C
2x x + 20o
2 Em cada triângulo, determine a medida do ângulo que falta. Em seguida, classifique-os de acordo com as medidas de seus ângulos.
4 Determine a medida dos ângulos internos do triângulo isósceles ABC, considerando que os lados AC e BC são congruentes.
7
5 Na figura, o triângulo ABC é equilátero e os pontos B, C e D estão alinhados. Calcule a medida x do segmento AC e as medidas dos ângulos α e β.
6 Classifique, de acordo com os lados, o triângulo que tem seus ângulos internos expressos por
7 Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Sabendo-se que o ângulo
BAC� mede 40°, qual é a medida do ângulo XYZ?
a) 40°
b) 60°
c) 90°
d) 50°
e) 70°
8 (OBMEP) O triângulo ABC é isósceles de base BC e o ângulo BAC� mede 30°. O
triângulo BCD é isósceles de base BD. Determine a medida do ângulo DCA� .
a) 45°
b) 50°
c) 60°
d) 75°
e) 90°
A
B C5 cm
D
x
30o
XB
Y
A
Z
C
Y
B
A
D
C
8
Matemática
9 (OBMEP) No triângulo ABC temos AB = AC e os cinco segmentos marcados têm todos a mesma
medida. Qual é a medida do ângulo BAC?
a) 10°
b) 15°
c) 20°
d) 25°
e) 30°
B A
C
Congruência de triângulos
Já vimos o conceito de congruência ao tratarmos da relação entre as medidas de seg-mentos e as medidas de ângulos. Relembre:
Dois ângulos são ditos congruentes quando suas medidas são iguais.
Dois segmentos são ditos congruentes quando suas medidas são iguais.
No caso de duas figuras planas, dizemos que elas são congruentes quando, ao serem sobrepostas, coincidem.
As figuras planas 1 e 2 são congruentes. Note que a sobreposição delas possibilita cons-tatar que seus ângulos são respectivamente congruentes e que seus lados têm a mesma medida.
Figura 1 Figura 2
Coincidentes
Dois triângulos serão congruentes quando for possível estabelecer correspondência entre seus vértices, de modo que seus lados e seus ângulos sejam congruentes.
Exemplo:
BA
C
E F
D
AB DE A D
BC EF e B E
AC DF C F
� �
� �
� �
Portanto, ABC DEF (lemos: “o triângulo ABC é congruente ao triângulo DEF”).
9
Observe o exemplo.
Para saber se dois triângulos são congruentes, não é necessário verificar a congruência entre as medidas dos três lados e as medidas dos três ângulos. Basta considerar os casos descritos a seguir, que são conhecidos como casos de congruência de triângulos.
1°. caso: lado, lado, lado (LLL)
Dois triângulos são congruentes quando têm os três lados correspondentes congruentes.
B
A
C
E
F
D
AB DE
AC DF
BC EF
ABC DEF
���
��
� �2°. caso: lado, ângulo, lado (LAL)
Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados e o ângulo compreendido entre esses lados respectivamente congruentes.
B
AC
E
F
D
AB DE
BC EF
B E
���
��
� �
� �ABC DEF
3°. caso: ângulo, lado, ângulo (ALA)
Dois triângulos são congruentes quando têm dois ângulos e o lado compreendido entre esses ângulos respectivamente congruentes.
B
A
CE
F
D
BC EF
B E
C F
ABC DEF
���
��
� �
� �
� �4°. caso: lado, ângulo, ângulo oposto (LAA
o)
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
B
A
C
E
F
D
AC DF
B E
C F
ABC DEF
���
��
� �
� �
� �
10
Matemática
Exemplo 1
No quadrilátero ABCD, ABD DCB e ADB CDB.
Com base nas informações dadas e nas medidas representadas na figura, veja como podemos determinar o perímetro do quadrilátero ABCD.
Note que DB é o lado comum aos triângulos ABD e CBD. Como ABD DCB e ADB CDB, temos que ABD ≡ CBD pelo caso ALA de congruência de triângulos.
Assim, AD CD e AB BC e o perímetro do quadrilátero é dado por: 7 cm + 7 cm + 4 cm + 4 cm = 22 cm.
Exemplo 2
Observando os triângulos ABC e DEF, podemos perceber que eles são congruentes. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 e BAC � �90 , temos que ABC � �� �� � � �180 90 59 31 . Com isso, podemos afirmar que ABC DEF pelo caso LAA
O de congruência de
triângulos, pois AC DF, BAC EDF e ABC DEF� � .
Exemplo 3
Sabendo que E é o ponto médio de AC e AB//DC, determine o valor de a.
Com base nos dados apresentados e nas propriedades estudadas anteriormente, con-cluímos que:
se E é o ponto médio de AC , então E divide AC em dois segmentos congruentes, isto é, AE CE;
AEB DEC� � , pois são ângulos opostos pelo vértice;
sendo AB//DC, então EAB ECD� � , pois são ângulos alternos internos.
Portanto, ABE CDE pelo caso ALA de congruência de triângulos. Assim, BE DE.
Representando essas informações na figura, temos:
a + 5 = 2a – 5
a – 2a = –5 – 5
–a = –10
a = 10
BA
C
a + 5
2a – 5
D
E
B
A C
4 cm
7 cm
D
BA
C
a + 5
2a – 5
D
E
C
A
� = 59º
� = 31º
B
E6 C
� = 59º
� = 31º
E
D F
6
6
11
atividades
1 Os pares de triângulos a seguir são congruentes. Escreva o caso que justifica a congruência em cada item.
a)
Caso:
b)
Caso:
c)
Caso:
d)
Caso:
2 Na figura, D é o ponto médio do segmento AB. Calcule os valores de x e y.
3 No triângulo AED, os pontos B e C, que pertencem ao lado ED, são vértices do triângulo isósceles ABC. Sendo BC o menor lado do triângulo ABC, calcule os valores de x e z.
A
D
CB
x – 7y
2y – 7x + 32
E
A
DCB
3z – 2z + 10
18x + 8E
12
Matemática
4 Na figura abaixo, ABC é um triângulo equilátero e D, E e F são, respectivamente, os pontos médios dos lados AC, AB e BC. Determine o valor de x e o perímetro do triângulo ABC.
5 No paralelogramo a seguir, sabe-se que α β e θ δde congruência.
A
D C
B
A
D
3x – 2
1
CFB
E
– 5x2
23
A
D CB
6 Na figura a seguir, D é o ponto médio do lado BC. Justifique a congruência dos triângulos ABD e ACD.
13
Pontos notáveis de um triângulo
Considere que um designer de interiores fez o
projeto de um lustre em forma de triângulo. Em
cada vértice, ele colocou uma luminária. De de-
terminado ponto P, no interior do triângulo, parte
um cabo que fixa o lustre no teto. O designer precisa
descobrir a localização do ponto P de modo que o triângulo
do lustre fique em equilíbrio. Para isso, é necessário co-
nhecer alguns elementos que caracterizam um triângu-
lo, os quais têm características próprias. É o que estuda-
remos a partir de agora.
O segmento de reta que tem como extremidades um vértice e o ponto médio do lado
oposto a esse vértice é chamado de mediana.
A
D CB
Na figura,
D: ponto médio do lado BC (BD DC).
AD: mediana relativa ao lado BC, ou mediana relativa ao vértice A.
Cada triângulo apresenta três medianas que se intersectam em um mesmo ponto.
Para localizarmos o ponto médio de um segmento, podemos utilizar régua e compasso.
Observe como devemos proceder.
Primeiro, traçamos o segmento AB, com determinada medida.
A B
Fixando a ponta-seca do compasso no ponto A, com abertura
maior que a metade da medida do segmento, traçamos um arco
de circunferência. Com a mesma abertura, fixamos a ponta-seca
no ponto B e traçamos outro arco. Os pontos C e D são determi-
nados pela intersecção dos dois arcos.
Traçamos a reta que passa pelos pontos C e D. Essa reta é per-
pendicular ao segmento AB e o intersecta no ponto M, que é o
ponto médio de AB.
A B
C
D
A B
C
D
M
Ja
ck A
rt. 2
00
9. D
igit
al.
14
Matemática
Sabendo agora como determinamos o ponto médio de cada lado de um triângulo, pode-mos traçar suas medianas.
O ponto de intersecção das três medianas, mencionado ante-riormente, é denominado baricentro do triângulo, que é o cen-tro de gravidade (ou centro de massa) desse triângulo.
No exemplo descrito anteriormente, o ponto de fixação do lustre deve coincidir com o baricentro do triângulo que forma a base para que se mantenha em equilíbrio.
©P.
Imag
ens/
Pit
h
A bissetriz é toda semirreta com origem no vértice de um ângulo que o divide em dois ângulos congruentes. Observe:
BB A
ACC
OO
Em um triângulo, a bissetriz interna é representada por um segmento de reta que tem uma extremidade em um vértice e a outra no lado oposto a esse vértice, dividindo o ângulo interno em dois ângulos congruentes.
A
B CD
Na figura, AD é a bissetriz relativa ao lado BC, ou a bissetriz relativa ao vértice A.
A
B C
G
M
NP
15
Um triângulo apresenta três bissetrizes internas, cada uma relativa a um lado. Observe
como podemos traçar a bissetriz de um ângulo.
Fixamos a ponta-seca do compasso no vértice O e, com uma abertura qualquer, traçamos
um arco que intersecte os lados OA� ���
e OB� ���
, determinando os pontos P e Q.
A
B
P
OO
Q
B
A
P
A
B
O
Em seguida, fixamos a ponta-seca no ponto P e, utilizando uma abertura qualquer, traçamos
um arco na parte interna do ângulo AOB� . Com a mesma abertura, fazemos outro arco colo-
cando a ponta-seca em Q. Marcamos o ponto R, que é a intersecção dos arcos.
O
Q
B
R
A
P
O
Q
B
R
A
P
O
Q
B
A
P
Traçamos a semirreta OR� ���
, que é a bissetriz do ângulo
AOB� .
As três bissetrizes internas de um triângulo se interceptam no ponto I, denominado incen-tro do triângulo. Esse ponto é o centro da circunferência inscrita nesse triângulo, ou seja, a
circunferência que tangencia internamente seus lados.
A
I
B C
A seguir, veja a circunferência inscrita no triângulo ABC.
A
I
B C
O
P
Q
A
B
R
16
Matemática
A altura de um triângulo é um segmento de reta com uma extremidade em um vértice e a outra no lado oposto a esse vértice ou em seu prolongamento, formando um ângulo de 90° (ângulo reto).
A
D CB
A
DCB
As alturas do triângulo se intersectam no ponto O, denominado ortocentro do triângulo ABC.
A
DB C
E
O
F
Agora, acompanhe o procedimento usado para traçar as alturas de um triângulo.
Primeiro, colocamos uma régua alinhada com um lado do triângulo.
Depois, posicionamos o esquadro perpendicularmente à régua, conforme mostra a segunda figura, e o “deslizamos” até o vér-tice oposto ao lado alinhado com a régua.
Então, traçamos a altura.
Repetimos o mesmo procedimento para os demais lados. Um triângulo tem três alturas, cada uma relativa a um lado.
A
Ilustrações: Jack Art. 2009. Digital.
Na figura,
D: “pé” da altura AD.
AD: altura relativa ao lado BC ou altura relativa ao vér-tice A.
Na figura,
AD: altura relativa ao lado BC.
BE: altura relativa ao lado AC.
CF: altura relativa ao lado AB.
17
O ortocentro de um triângulo nem sempre é interno a ele. Observe a próxima figura.
Prolongamento
do lado CA
Prolongamento
do lado BA
A
O
F
B
D
CE
Nesse caso, o ortocentro é um ponto externo ao triângulo. Note que as alturas BE e CFsão externas ao triângulo.
A mediatriz de um segmento é uma reta que intersecta per-pendicularmente esse segmento em seu ponto médio.
Na figura,
M: ponto médio do segmento AB.
m: mediatriz do segmento AB.
No triângulo ABC da figura ao lado, estão represen-tadas as mediatrizes de cada um de seus lados, que se in-tersectam no ponto C. Note que elas são perpendiculares aos lados do triângulo e não passam, necessariamente, pelos vértices.
O ponto C, denominado circuncentro do triângulo, é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, ou seja, a circunferência que passa por seus vértices.
-cia do circuncentro a qualquer vértice do triângulo. B C
C
A
m3
m2
m1
B C
C
A
m3
m2
m1
BA
m
M
18
Matemática
atividades
1 Analise as afirmações a seguir. Marque as verdadeiras com V e as falsas com F.
a) ( ) O ponto de intersecção das mediatrizes de um triângulo é denominado baricentro.
b) ( ) O incentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
c) ( ) O ponto de intersecção das alturas de um triângulo é denominado ortocentro.
d) ( ) O baricentro de um triângulo é o ponto de intersecção de suas medianas.
e) ( ) O circuncentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
f) ( ) O circuncentro de um triângulo é o ponto de intersecção de suas mediatrizes.
2 Na figura a seguir, AD é uma das medianas do triângulo ABC. Qual é a medida do segmento BD, sabendo-se que o perímetro do triângulo é igual a 22 cm?
3 Um empresário deverá fornecer computadores e acessórios para três cidades do estado de São Paulo: São Carlos, Botucatu e São José dos Campos. Por uma questão de economia de transporte, ele pretende construir um depósito que se situe em algum lugar do estado cuja distância em rela-ção a essas três cidades seja a mesma. Considerando-se que as três cidades representam os vértices de um triângulo, qual é o local mais indicado para ele construir esse depósito?
B
7 cm5 cm
C D
A
Fonte: IBGE. Atlas geográfico escolar. 7. ed. Rio de Janeiro, 2016. Adaptação.
São Paulo
Ta
lita
Ka
thy
Bo
ra
19
4 No triângulo ABC ao lado, o ângulo BAC� mede 80°. Sabendo
que o segmento AD está contido na bissetriz de BAC� e que o
segmento ED está contido na mediatriz do lado AC, determine
a medida do ângulo EDA� .
5 O triângulo da figura é equilátero. Sendo DE e DF segmentos das mediatrizes dos lados AC e BC, calcule a medida do ângulo α.
6 No triângulo ABC, a altura AD, relativa ao lado BC, é a bissetriz do ângulo BÂC. Classifique o triângulo ABC de acordo com as medidas de seus lados.
7 O ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos B� e C� do triângulo ABC da figura a seguir é 140°. Qual é a medida
do ângulo interno A�?
B
C
E
A
D
B C
D
F
A
E
B CD
A
30o
B C
A
I
140o
20
Matemática
Quadriláteros
Elementos dos quadriláteros
A figura ao lado mostra um lotea-mento em determinada região. Você sabe o que é um loteamento?
Loteamento é a divisão planejada de grandes terrenos em lotes menores, que podem assumir as mais variadas formas, de modo que obtenha melhor aprovei-tamento da área. Na figura, há vários lo-teamentos que estão divididos em lotes menores que, em sua maioria, têm o for-mato de quadriláteros.
Os elementos dos quadriláteros podem ser observados na figura a seguir.
Vértices: A, B, C e D.
Ângulos internos: a, b, c e d.� � � �
Lados: AB, BC, CD e AD.
Diagonais: AC e BD.
Os lados que têm um vértice em comum são chamados de lados consecutivos.
O quadrilátero acima apresenta os seguintes pares de lados consecutivos:
AB e AD AB e BC BC e CD CD e AD
Em um quadrilátero, os lados que não têm um vértice em comum são chamados de lados opostos. Nessa figura, AB é oposto a CD e BC é oposto a AD.
Os quadriláteros podem ser classificados como convexos ou não convexos.
O quadrilátero em que o prolongamento de qualquer um de seus lados não passa pelo interior do polígono é denominado de convexo.
O quadrilátero em que o prolongamento de algum de seus lados passa total ou parcial-mente pelo interior do polígono é denominado de não convexo.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Observe que o quadrilátero da figura 3 é o único que não é convexo.
D
C
Ba
b
c
d
A
Div
o P
adilh
a. 2
009.
Dig
ital
.
21
Nomenclatura dos quadriláteros
No quadro a seguir, estão identificados alguns quadriláteros e suas características.
QuadriláteroLados
opostos paralelos
Todos os lados congruentes
Todos os ângulos congruentes
Ângulos opostos
congruentes
Diagonais congruentes
Paralelogramo
X X
Losango
X X X
Trapézio
Retângulo
X X X X
Quadrado
X X X X X
A seguir, estudaremos como se definem e se caracterizam esses quadriláteros.
ParalelogramoO paralelogramo é o quadrilátero convexo em que os lados opostos são paralelos dois
a dois.
D C
A B
AB // DC
AD // BC
O retângulo, o losango e o quadrado são paralelogramos que recebem nomes especiais
de acordo com as características que apresentam.
22
Matemática
Retângulo
O retângulo é um paralelogramo que tem todos os ângulos internos congruentes.
D C
A B
AB DC
AD BC
//
//
A B C D� � � �
Losango
O losango é um paralelogramo que tem todos os lados congruentes.
D C
A B
AB // DC
AD // BC
AB BC CD DA
Quadrado
O quadrado é um paralelogramo que apresenta as características do retângulo e do lo-sango. Portanto, tem todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.
D C
A B
AB // DC
AD // BC
A B C D
AB BC CD DA
� � � �
Trapézio
O trapézio é um quadrilátero convexo que tem apenas dois lados paralelos.
DC
A B
AB // CD
AB
CD
base maior
base menor
O trapézio não é um paralelogramo, pois apresenta dois lados opostos que não são paralelos.
23
Propriedades dos paralelogramos
Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.
D C
A B
A C
B D
� �
� �
Aplicando as propriedades dos ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por
uma reta transversal, fica fácil fazer essa demonstração. Acompanhe.
a // b � � � �m A m D( ) ( )� �
180
(pois são ângulos colaterais internos).
Da mesma forma, temos:
r // s � �m C m D 180°( )� �
( )
Também podemos mostrar que, em um paralelogramo, as diagonais intersectam-se nos
pontos médios.
Para provarmos essa afirmação, consideramos a congruência de triângulos. Observe o
paralelogramo ABCD e os triângulos determinados por suas diagonais.
Como ABCD é um paralelogramo, temos que:
AB // DC e AD // BC
m AB m DC e m AD m BC( ) ( ) ( ) ( )
Com base na igualdade de ângulos alternos internos (os lados AD e BC são paralelos, in-
tersectados pela diagonal AC), podemos afirmar que os ângulos BCM e DAM� � são iguais.
m A + m D = m D +m C( ) ( ) ( ) ( )� � � �
Os ângulos opostos A e C� � são congruentes.
De modo análogo, podemos provar que B e D� � são
ângulos opostos congruentes.
m A = m C( ) ( )� �
24
Matemática
No encontro das diagonais, observamos dois pares de ângulos opostos pelo vértice. Logo,
podemos afirmar que os ângulos AMD e CMB� � são iguais. O mesmo pode ser dito dos outros
dois ângulos.
Desse modo, os triângulos AMD e CMB têm dois ângulos iguais e os lados opostos aos
ângulos AMD e CMB� � são iguais. Pelo caso ALA de congruência de triângulos, podemos dizer
que os triângulos são congruentes e AM MC e BM MD. Portanto, as diagonais intersec-
tam-se no ponto médio.
Todo paralelogramo apresenta as seguintes características:
lados opostos paralelos e congruentes;
ângulos opostos congruentes;
ângulos consecutivos suplementares;
diagonais que se intersectam nos pontos médios.
D
2x
x + 30o
C
A B
x x
14 cm
14 cm
Veja, a seguir, alguns exemplos de aplicação das propriedades do paralelogramo.
Exemplo 1
Determine as medidas dos ângulos do paralelogramo ABCD.
Os ângulos opostos de qualquer paralelogramo são congruentes, então:
2 30 2 30 30x x x x x� � �� � � �� � �
Logo:
m D m B x( ) ( )� �� � � � � � �2 2 30 60
Os ângulos consecutivos de um paralelogramo são suplementares, portanto:
m x m( ) ( )A A� �� � �� � � � ��2 180 60 180 m( )A
� � �� � � �180 60 120 m m C( ) (A � )) � �120
Exemplo 2
O perímetro de um paralelogramo é igual a 42 cm. Sabendo-se que o maior lado mede
14 cm, quanto mede cada um de seus lados?
Chamando de x as medidas desconhecidas e consi-
derando que os lados opostos de um paralelogramo são
congruentes, temos:
x x
x
x
x
� � � �� ���
14 14 42
2 42 28
2 14
7
Logo, as medidas dos quatro lados do paralelogramo são 7 cm, 7 cm, 14 cm e 14 cm.
e
25
Exemplo 3
Calcule a medida dos ângulos internos de um paralelogramo, sabendo que a diferença entre dois de seus ângulos consecutivos é igual a 68°.
Ângulo menor → x
Ângulo maior → x + 68°
Os ângulos consecutivos são suplementares, portanto:
x x x� � � � �� � �� �68 180 2 180 68
2 112
112
256
x
x
� �
��� �
Portanto, x � � � �� � �68 56 68 124º .
Os ângulos agudos do paralelogramo medem 56°; e os obtusos, 124°.
D C
A
x + 68o
x
B
atividades
1 O quadrilátero a seguir é um paralelogramo. Determine os valores de x e de y e as medidas dos ângulos assinalados.
2 No paralelogramo ABCD, as medidas são dadas em centímetros, e os ângulos, em graus. Determine as medidas de seus lados e as medidas de seus ângulos internos.
� �3x
422
� �5x
1003
A
D C
y
B
2� – 5°2� + 95°
7� + 20°� + 25°
3a + 1
5a – 3
2b b + 2
BA
CD
26
Matemática
3 A diferença entre as medidas de dois ângulos consecutivos de um paralelogramo é 40°. Calcule as medidas dos ângulos internos desse paralelogramo.
4 Em um paralelogramo ABCD, a diagonal BD forma com o lado BC um ângulo de 28° e com o lado DC um ângulo de 67°. Calcule as medidas dos ângulos desse paralelogramo.
5 Determine a medida dos lados de um paralelogramo, sabendo que seu perímetro é igual a 84 cm e
que o lado menor representa 2
5 do lado maior.
Propriedades dos retângulos
Definimos retângulo como um paralelogramo que tem os
ângulos internos congruentes.
Traçando as diagonais do retângulo ABCD,
podemos destacar os triângulos ABD e BAC.
27
Podemos provar que os triângulos ABD e BAC são congruentes. Acompanhe.
AB BA (lado comum).
A� �
B (ângulo reto).
Sendo AB //DC e os ângulos todos retos, é correto afirmar que AD BC.
Assim, pelo caso LAL de congruência de triângulos, podemos dizer que � �ABD BAC.
Concluímos, então, que as diagonais BD e AC são congruentes.
Em um retângulo:
os lados opostos são paralelos e congruentes;
os ângulos internos são congruentes e iguais a 90°;
as diagonais são congruentes e intersectam-se no ponto médio.
P
D C
A B
AD BC e AB DC
A C B D ângulos retos
DP PB e AP PC
// //
� � � �( )
Propriedades dos losangos
O losango é um paralelogramo. Logo, suas diagonais intersectam-se no ponto médio. Vamos provar que, além disso, as diagonais de um losango são perpendiculares.
A respeito de um losango, podemos afirmar:
AD //BC e AB //DC
AB BC CD DA
A C e B D
As diagonais intersecta
� � � �
mm-se no ponto m dioé .
Assim, temos:
D
C
A
NB
N → ponto médio de AC e de BD
Os triângulos AND, ANB, CNB e CND são congruentes pelo caso LLL de congruência de triângulos.
Portanto, os ângulos formados em torno do ponto N são congruen-tes. Assim, 2 180 90� �� �� � �
Então, AC DB � (� �� símbolo de perpendicularismo).
28
Matemática
Considerando-se a congruência dos triângulos, é possível afirmar que as diagonais de um losango são as bissetrizes de seus ângulos internos.
Em um losango:
todos os lados são congruentes;
os ângulos opostos são congruentes;
as diagonais estão contidas nas respectivas bissetrizes dos ângulos internos, intersectam--se no ponto médio e são perpendiculares entre si.
AD //BC e AB //DC
DP PB e AP
�
PC
AC DB
Considere um losango de diagonal menor d e diagonal maior D e um retângulo de largu-ra d e comprimento D. A área desse retângulo é A
r = D . d.
Sobrepondo o losango ao retângulo, obtemos oito triângulos, todos de área A =
D
2
d
2
2.
Observe:
Como a superfície do losango equivale a quatro dos oito triângulos, ela corresponde à meta-de da superfície do retângulo. Portanto, a área do losango é metade da área do retângulo.
Área de um losango
D
NM
OP d
A área da região determinada por um losango é dada por:
AL
D d�
�2
Em que:
D: medida da diagonal maior.
d: medida da diagonal menor.
29
Propriedades dos quadrados Todo quadrado é um paralelogramo, pois:
tem os lados paralelos dois a dois; os ângulos consecutivos são suplementares; os ângulos opostos são congruentes.
Todo quadrado é um retângulo, pois: tem ângulos de 90°; tem diagonais de mesma medida.
Todo quadrado é um losango, pois: tem quatro lados congruentes; as diagonais são perpendiculares.
Assim, podemos concluir que o quadrado apresenta propriedades dos paralelogramos, dos retângulos e dos losangos.
Em um quadrado:
os lados são congruentes, e os lados opostos, paralelos;
os ângulos são congruentes (ângu-los retos);
as diagonais são congruentes, estão contidas nas respectivas bissetrizes dos ângulos internos, intersectam--se no ponto médio e são perpendi-culares entre si.
atividades
1 Somando-se os ângulos agudos de um paralelogramo, obtém-se a medida de 76°. Quanto mede cada ângulo interno desse paralelogramo?
2 Na figura, ABCD é um losango. Determine a medida do ângulo â.
D C
A
140o
a
B
D C
N
A B
m m m m( ) ( ) ( ) ( )A B C D
AB BC DC AD
DN NB AN NC
DB AC e DB
� � � �� � � � �
�
90
AAC
30
Matemática
3 Sendo ABCD um retângulo, determine x + y.
x
A
D
C
B
y
130o
D
x + 35o 3x + 105o
C
A B
4 Sendo ABCD um losango, calcule a medida de seus ângulos.
5 Na figura ao lado, ABCD é um paralelogramo. Comprove, por meio de cálculos, que esse paralelogramo é um retângulo.
6 (UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais, então todos os seus ângulos internos são iguais. Para mostrar que essa proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:
a) losango b) trapézio c) retângulo d) quadrado
7 Na figura a seguir, ABCD corresponde a um quadrado, e ABE, a um triângulo equilátero. Determine o valor de α.
D
65o
50o
C
A B
D
E
C
A B31
Propriedades dos trapézios
Agora, vamos estudar as propriedades dos trapézios, que são quadriláteros convexos com apenas dois lados paralelos (base menor e base maior).
Em um trapézio:
há apenas um par de lados paralelos, denominados bases;
AB é
é
a base maior
CD a base menor
os ângulos consecutivos dos lados não paralelos são suplementares, pois  e D são ângu-los colaterais internos. O mesmo vale para B
ˆˆ
Os trapézios podem ser classificados como escalenos, isósceles ou retângulos.
Trapézio escaleno Trapézio isósceles
AB // CD
Os lados não paralelos não são congruentes.
AB // CD
AD BC
Os lados não paralelos são congruentes.
Trapézio retângulo
AB // CD
AD AB
AD DC
Apresenta dois ângulos retos.
Outros elementos do trapézio
AE altura
BC e AD diagonais
A altura de um trapézio é a distância entre as bases.
A
DEC
B
32
Matemática
I. Trapézio isósceles
Os ângulos de uma mesma base são congruentes: A B� � e D C
� � . As diagonais são congruentes: AC DB.
II. Trapézio retângulo
A medida do lado AD, perpendicular às bases, é a altura do trapézio retângulo.
análise da solução
1 Recorte dois trapézios iguais aos da figura 1. Eles devem ser exatamente iguais, ou seja, as medidas dos lados correspondentes devem ser congruentes.
Figura 1
2 Identifique em cada um a base maior e a base menor e, com o auxílio de uma régua, marque a altura relativa às bases.
3 Junte os dois trapézios, justapondo-os por um dos lados não paralelos, como na figura 2.Figura 2
B
B
b
b
h
Há mais algumas considerações importantes sobre os trapézios.
33
4 Qual figura você obteve depois de juntar os dois trapézios da maneira indicada?
5 Com base nas medidas que você marcou na figura, calcule a área desse paralelogramo.
6 Como cada trapézio equivale à metade da área do paralelogramo, escreva uma expressão que re-presente a área de um trapézio.
Denomina-se base média de um trapézio o segmento cujos extremos são os pontos médios dos lados não paralelos desse quadrilátero.
A medida da base média de um trapézio é determinada utilizando a média aritmética entre as me-didas das bases do trapézio.
MNAB CD
��2
A
D
M N
C
B
MN base m dia
MN// AB //DC
M e N s o respectivamente pontos
é
ã , , mm dios de AD BCé e .
Área de um trapézio
A área de um trapézio é dada pela seguinte expressão:
AB b
hT�
��
( )
2
Note que a expressão da base média está presente na fórmula da área do trapézio.
34
Matemática
atividades
1 Determine a área dos polígonos regulares a seguir.
2 A base maior do trapézio isósceles ao lado mede 24 cm, e a base menor, 8 cm.
Considerando essas informações, faça o que se pede.
a) Sabendo que o perímetro é 52 cm, calcule a medida de x.
3 As medidas das bases de um trapézio ABCD são AB = 80 cm e CD = 60 cm, e sua altura mede 40 cm. Determine a área desse trapézio.
b) Sabendo que a altura mede 6 cm, calcule a área do trapézio.
a)
F E
DA
B C
5,2 cm
6 cm
12 cm
14,4 cm
5 cm
DA
H E
FG
B Cb)
xx
35
5 No desenho a seguir, determine as áreas do triângulo AED, do losango ABCD e do trapézio ABCE.
6 Determine as medidas dos ângulos desconhecidos do trapézio a seguir.
5 cmA B
4,8 cm
4 cm
3 c
m
1,4 cm
E D C
4 cm
3 c
m
60O 40O
2x + 80O x + z
7 (ENEM) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras res-pectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura.
Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser:
a) 144.
b) 180.
c) 210.
d) 225.
e) 240.
b) Calcule o ângulo formado pelo encontro das bissetrizes dos ângulos α e β.
4 Um trapézio retângulo é um quadrilátero convexo plano que tem dois ângulos retos, um ângulo agudo β e um ângulo obtuso α. Considere que a medida de α é igual a cinco vezes a medida de β.
a) Calcule a medida de α em graus.
36
Matemática
1 (UEL – PR) Sabe-se que dois lados de um triângulo medem 5 cm e 8 cm, e o comprimento do terceiro lado é um número inteiro. Satisfazendo essas condições, o maior número de triângulos que podem ser construídos é:
a) 5
b) 6
c) 8
d) 9
e) 12
2 Relacione as imagens aos casos de congruência dos triângulos.
( a ) ALA ( b ) LAAO
( c ) LLL ( d ) LAL
o que já conquistei
( ) ( ) ( ) ( )
3 Com base nos conceitos relativos aos pontos notáveis de um triângulo, responda às perguntas a seguir.
a) Como se denomina a reta que passa pelo ponto médio de um segmento e é perpendicular a ele?
b) Qual é o nome dado ao segmento de reta que tem uma extremidade em um vértice de um triângulo e a outra extremidade no ponto médio do lado oposto?
c) Como se denomina o segmento de reta que tem uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto e que divide um ângulo interno em dois ângulos congruentes?
d) Qual é o nome dado ao segmento de reta que tem uma extremidade em um dos vértices e a outra extremidade no lado oposto a esse vértice ou em seu prolongamento, formando um ângulo de 90°?
4 Relacione a primeira coluna com a segunda.
a) Ponto de intersecção das medianas.
b) Ponto de intersecção das mediatrizes.
c) Ponto de intersecção das alturas.
d) Ponto de intersecção das bissetrizes.
( ) ortocentro
( ) baricentro
( ) incentro
( ) circuncentro
37
5 No triângulo MNP da figura, sabe-se que MN MP PR RS SN, . Assinale com V as afirmações verdadeiras e com F as falsas. Justifique sua resposta.
a) ( ) Os triângulos MNS e MPR são congruentes.
b) ( ) Os triângulos MNS e MSR são congruentes.
c) ( ) Os triângulos MPR e MSR são congruentes.
d) ( ) Os triângulos MNR e MPS são congruentes.
e) ( ) O triângulo MNP pode ser equilátero.
6 No triângulo ABC, o segmento AM é a mediana relativa ao lado BC. Sabendo que o perímetro desse triângulo é igual a 19, calcule o valor de x.
7 (UFMT) Deseja-se instalar uma fábrica num lugar que seja equidistante dos municípios A, B e C. Admita que A, B e C são pontos não colineares de uma região plana e que o triângulo ABC é escaleno.
Nessas condições, o ponto onde a fábrica deverá ser instalada é o:
a) centro da circunferência que passa por A, B e C.
b) baricentro do triângulo ABC.
c) ponto médio do segmento BC.
d) ponto médio do segmento AB.
e) ponto médio do segmento AC.
8 Um triângulo qualquer está desenhado em uma folha de papel. Se um ponto dessa folha é equidis-
tante dos três lados do triângulo, ele é a intersecção de suas
a) medianas.
b) alturas.
c) bissetrizes.
d) mediatrizes.
A
C
M
3
B
5
x
M
P
R
S
N
38
Matemática
9 Complete o quadro com sim ou não, de acordo com a informação dada.
AD
BC
G H
F E J I
K L
O
M
NP
U
R S
T
Todos os lados
congruentes e
lados opostos
paralelos
Diagonais
congruentes
Diagonais
perpendiculares
Ângulos internos congruentes
Ângulos opostos congruentes
Diagonais que se intersectam no ponto médio
10 A medida de cada ângulo obtuso de um losango é expressa por 2x + 5°, e a medida de cada ângulo agudo, por x + 40°. Determine as medidas dos quatro ângulos internos desse losango.
11 Em um losango, a medida do ângulo obtuso é igual ao triplo da medida do ângulo agudo. Calcule as medidas dos ângulos desse losango.
12 Sabendo que os ângulos obtusos de um losango são expressos por x + 80° e 2x + 20°, calcule as me-
didas dos quatro ângulos desse losango.
39
13 Um terreno, correspondente à figura ABCDE a seguir, foi vendido ao preço de R$ 2.000,00 o metro quadrado. Qual é o valor do terreno?
14 A bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo obtuso de um trapézio retângulo um ângulo de 85°. Determine a medida de cada ângulo desse trapézio.
40 m
30 m50 m
35 m
30 m
40 m
E D
C
B
A
A B
45°
85°
D C
15 Calcule a área limitada pela figura plana.
6 cm 2 cm
4 cm 2 cm
2,5 cm
16 Considere uma bandeira do Brasil formada por um retângulo de lados 7,5 cm e 5 cm, que tem, no seu interior, um losango cujas diagonais medem 6,5 cm e 4 cm. Calcule a área da região verde da bandeira.
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ars-
Des
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40
Matemática
17 Observe, na imagem a seguir, um retângulo, um losango cujos vértices são os pontos médios dos lados do retângulo e um triângulo.
a) Determine a razão entre a área do losango MNPQ e a área do triângulo CDE. O que é possível concluir?
b) Qual é a razão entre a área do retângulo ABCD e a área do losango MNPQ? O que é possível concluir?
18 As diagonais de um retângulo formam um ângulo de 140° entre si. Calcule a medida de cada ângulo determinado pelas diagonais e pelos lados do retângulo.
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capí
tulo
©Shutterstock/Phonlamai Photo
Estatística5
Data mining é uma expressão inglesa ligada à informática cuja tradução é mineração de dados. Consiste em uma fun-cionalidade que agrega e organiza dados, encontrando neles padrões, associações, mudanças e anomalias relevantes.
O QUE É DATA mining. Disponível em: <https://www.significados.com.br/data-mining/>. Acesso em: 23 jan. 2019.
Em quais lugares ou situações são possíveis de se ver a aplicação de dados estatísticos?
Medidas de tendência central
Planejamento e registro de uma pesquisa, leitura e interpretação de gráficos
o que vocêvai conhecer
42
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rsto
ck/A
lpha
spir
it©
Shut
ters
tock
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ica
Stud
io
Medidas de tendência central
Você já ouviu a expressão “pegada digital”? Ela se refere aos ras-tros de informação que os usuários deixam ao navegar na internet: da-dos pessoais, fotografias, pesquisas realizadas e até mesmo as “curti-das” e os comentários registrados nas publicações de outras pessoas.
É muito difícil evitar deixar esses rastros e é importante ter cons-ciência do que eles revelam sobre cada pessoa. Existem leis que prote-gem esses dados até certo ponto, mas algumas empresas os utilizam para identificar, por exemplo, gostos e preferências pessoais. Dispon-do dessas informações, podem sugerir aos usuários produtos para comprar ou fornecedores na região onde moram.
É possível também utilizar esse grande volume de dados com ou-tras finalidades. Os governos podem, por exemplo, identificar onde há mais crianças ou idosos, se o desemprego atinge mais os homens ou as mulheres e até qual é o consumo de água em determinada região. A mineração dos dados disponíveis na internet pode ajudar os governos em seu planejamento para que atendam melhor à população.
Agora, vamos analisar como é possível organizar dados para ex-trair deles informações relevantes.
A palavra “tendência” é muito utilizada em nosso cotidiano em diversos contextos. Segundo o dicionário Aurélio, o termo significa “inclinação”, “propensão”, “intenção”, “disposição”. Na aná-lise e na projeção de dados estatísticos, muitas vezes é necessário utilizar medidas de tendência central.
Algumas delas você já conhece e serão relembradas neste capítulo: as médias aritméticas simples e ponderada. Em seguida, estudaremos também a moda e a mediana.
Compreender e diferenciar as medidas de tendência central (média aritmética simples, média aritmética ponderada, moda e mediana) e compreender e utilizar o conceito de amplitude em um conjunto de dados.
Resolver problemas que envolvam leitura e interpretação de gráficos e tabelas com apli-cação de conceitos de medidas de tendência central.
Determinar a frequência absoluta e a frequência relativa de dados coletados de uma pes-quisa estatística.
Identificar o tipo de gráfico e o tipo de amostra adequados para o planejamento e regis-tro de uma pesquisa.
Interpretar informações e dados expressos em quadros, tabelas e gráficos (colunas sim-ples ou duplas, barras, linhas, setores, pictogramas) para solucionar situações-problema.
43
Média aritmética simples
A média aritmética consiste em uma representação, com um único número, das parti-cularidades de um conjunto de números. Acompanhe o exemplo a seguir.
Mariana lançou um blog no qual dá dicas de viagens para jovens. Ela quer analisar o nú-mero de leitores do blog que acessaram os três primeiros textos que postou.
1.º texto 2.º texto 3.º texto
Semana 1 55 12 2
Semana 2 85 48 25
Semana 3 100 112 80
Qual foi a média semanal de leitores de cada texto postado por Mariana?
A média aritmética é obtida somando-se o total de leitores em cada semana e dividin-do-se o resultado pelo número de semanas. Observe:
A média semanal de leitores do primeiro texto foi 80 pessoas; do segundo texto, pouco mais de 57 leitores; e do terceiro texto, quase 36 leitores.
Quantos leitores, no mínimo, Mariana precisaria ter para que a média semanal de lei-tores do primeiro texto fosse 100?
Seria necessário que a soma do número de leitores fosse igual a 300.
Mariana descobriu que um mesmo visitante entrou 15 vezes na página do segundo tex-to, na terceira semana. Ela vai considerá-lo como uma única visita. Então, para corrigir suas estatísticas, precisa subtrair 14 visitas do total de leitores do segundo texto. Qual é a nova média semanal de leitores desse texto?
Calculando a média aritmética após a alteração nos dados, temos:
2.º texto �� �
�12 48 98
3
158
352 7� ,
A média anterior era 57,3 e a nova média é 52,7.
155 85 100
3
240
380.º texto �
� �� � 2
12 48 112
3
172
357 3.º ,texto �
� �� �
32 25 80
3
107
335 7.º ,texto �
� �� �
Dados n números x1, x
2, x
3, ..., x
n, determinar a média aritmética simples entre esses
valores consiste em somá-los e dividir o resultado por n.
Média aritmética = x x x x
n
1 2 3 n…
44
Matemática
atividades
1 Determine a média aritmética dos números a seguir.
a) 2; 7; 6; 5,5; 12 b) 1
2
3
2
5
23 5; ; ; , c) 0,333 e 0,111
2 Na tabela abaixo, estão registrados os valores gastos por seis clientes em um site de vendas pela internet.
Mário Poliana Ian Jaime Paula André
Valor gasto
R$ 55,00 R$ 98,00 R$ 45,00 R$ 115,00 R$ 18,00 R$ 740,00
a) Qual é a média aritmética dos valores indicados na tabela?
b) O valor obtido no item anterior pode servir de referência para prever o gasto de um cliente nesse site?
c) Consulte seu professor e escreva como são denominados os valores extremos que influenciam nos resultados da média obtida na pesquisa.
3 O professor de Matemática de uma escola, ao digitar as notas de seus 20 alunos, cometeu um erro ao atribuir 6,5 para um dos alunos quando a nota real era 5,6. Em decorrência desse erro, a média da turma ficou igual a 8,0. Qual é a média real dessa turma?
45
Média aritmética ponderada
Uma empresa está investigando o salário médio que se paga no mercado para determina-da função, a fim de definir o valor do salário a ser pago para um novo funcionário. Foram ob-tidos os dados de 34 pessoas que realizam a mesma função, cujos salários estão registrados na tabela a seguir. Observe-a atentamente e, em seguida, acompanhe a análise apresentada.
Salário (R$) Número de pessoas
1.750,00 20
2.020,00 10
3.000,00 2
4.500,00 2
Qual é o salário médio no grupo pesquisado?
Você deve ter observado que o salário de R$ 1.750,00 é o mais frequente; ele ocorre 20 vezes. O salário de R$ 2.020,00 ocorre 10 vezes; e os outros dois, 2 vezes cada um. Perce-ba também que a quantidade de funcionários é 34.
Nesse caso, a média pode ser obtida levando-se em conta a quantidade de vezes que cada salário aparece. Veja:
M �� � � � � � �20 1750 2020 3000 4500
2064 7110 2 2
34� ,
A média dos salários no grupo é aproximadamente R$ 2.064,71.
O número de vezes que determinado salário aparece representa o peso atribuído a esse salário. No exemplo dado, o peso referente ao salário de R$ 1.750,00 é 20, enquanto o peso do salário de R$ 4.500,00 é 2.
Nesse caso, usamos a média aritmética ponderada para encontrar o valor médio dos salários do grupo pesquisado.
Agora, vamos analisar outras situações em que usamos a média aritmética ponderada.
Situação 1
Um colégio adota o regime de notas trimestrais, sendo 6,0 a média para aprovação. As médias trimestrais assumem pesos diferentes, conforme indicado na tabela.
Trimestre Peso
1º. 1
2º. 1
3º. 2
Pedro, aluno do 8º. ano do Ensino Fundamental desse colégio, registrou suas médias nos dois primeiros trimestres em uma tabela. Calcule as médias mínimas que Pedro precisará obter no 3º. trimestre para ser aprovado.
46
Matemática
Disciplina 1º. trimestre 2º. trimestre 3º. trimestre
Matemática 5,0 7,0 x
Língua Portuguesa 8,0 7,0 y
História 4,5 6,0 z
Médias:
Matemática:
1 5 7
46
5 7 2 24
2 24 12
2 12
6 0
1 2� � � � ��
� � �� ���
x
x
x
x
x ,
Língua Portuguesa:
1 8 7
46
8 7 2 24
2 24 15
2 9
4 5
1 2� � � � ��
� � �� ���
y
y
y
y
y ,
História:
1 4 5 6
46
4 5 6 2 24
2 24 10 5
2 13 5
6 75
1 2� � � � ��
� � �� ���
,
,
,
,
,
z
z
z
z
z
Pedro precisará obter, pelo menos, média igual a 6,0 em Matemática, 4,5 em Língua Por-tuguesa e 6,75 em História no 3º. trimestre.
Quando os dados de uma pesquisa são apresentados em uma tabela de frequências, fica mais fácil fazer os cálculos para a determinação da média, visto que os valores estão agrupa-dos por classe.
Acompanhe a resolução da situação a seguir.
Situação 2
A distribuição de frequência dos salários de um grupo de empregados de uma fábrica em certo mês foi organizada em uma tabela.
Salário do mês (R$) Número de empregados (frequência)
1.000,00 2.000,00 35
2.000,00 3.000,00 20
3.000,00 4.000,00 7
4.000,00 5.000,00 4
Qual foi o salário médio dos funcionários no mês em análise?
As faixas salariais estão distribuídas em 4 classes. Determinamos, inicialmente, a média aritmética simples entre os extremos de cada classe:
1ª. classe: 1000 2 0001000 2000
2
3000
21500a M
1� �
�� �
2ª. classe: 2000 30002000 3000
2
5000
22500a M
2� �
�� �
3ª. classe: 3000 40003000 4000
2
7000
23500a M
3� �
�� �
4ª. classe: 4000 50004000 5000
2
9000
24500
4a M� �
�� �
47
atividades
1 Qual é a média aritmética ponderada dos números 9, 12, 16 e 25, sabendo que seus pesos são res-pectivamente 2, 4, 3 e 6?
2 Visando à melhoria de seus serviços de entrega, uma empresa realizou uma pesquisa em seu site para avaliar o nível de satisfação de alguns clientes. As notas variaram de 1 a 5, conforme a tabela a seguir.
Nota Número de clientes
1 20
2 32
3 100
4 250
5 200
3 Em uma pesquisa sobre o número de crianças por família, feita com algumas famílias de um municí-pio, foram obtidos os resultados registrados na tabela abaixo.
Número de crianças Número de
0 3
1 16
2 8
3 10
Qual é o nível médio de satisfação aproxi-mado dos clientes entrevistados?
Em seguida, determinamos a média ponderada considerando a frequência e os valores médios obtidos para cada classe:
M
M
salários
salários
�� � � � � � �
� � �
�
35
35
1500 2500 3500 450020
20
7
7
4
4
552500 50000 24500 18000
66
145 000
662 196 97
� � �� ,
Assim, a média salarial no mês de análise foi de R$ 2.196,97.
Média aritmética simples: todos os valores têm o mesmo peso.
Média aritmética ponderada: os valores apresentam pesos diferentes.
A média aritmética é uma medida de tendência central muito influenciada por valores extremos.
Qual é o número médio de crianças por família nessa cidade?
48
Matemática
4 A média necessária para aprovação dos alunos de determinada escola é 6,0. Um dos alunos, nos três primeiros bimestres, obteve as seguintes notas em Geografia: 5,2; 7,5; e 6,4. Qual deverá ser a nota mínima desse aluno no 4º. bimestre em Geografia para que seja aprovado sem realizar a prova de recuperação anual?
5 Se considerarmos que, na mesma escola mencionada na questão anterior, os três primeiros bimes-tres têm peso 1 e que o último bimestre tem peso 2, qual deverá ser a nota mínima desse aluno no 4º. bimestre em Geografia para que seja aprovado sem realizar a prova de recuperação anual?
Moda e mediana
Muitas vezes, a média aritmética não é uma medida suficiente e/ou adequada para esboçar a descrição de uma distribuição de dados. Nesses casos, é importante consi-derar também outras medidas de tendência central, como a moda e a mediana. Acompanhe as situações a seguir.
Situação 1
Ao longo dos anos, a média das alturas dos jogadores da liga de basquete da América do
altos da NBA em todos os tempos.
JogadorAltura
(metros)
Manute Bol 2,31
Gheorghe Muresan 2,31
Yao Ming 2,29
Shawn Bradley 2,29
Chuck Nevitt 2,26
Slavko Vranes 2,26
Mark Eaton 2,24
Rik Smits 2,24
Ralph Sampson 2,24
Priest Lauderdale 2,24
©Sh
utte
rsto
ck/C
hen
Ws
Com base nos dados da tabela, vamos responder a algumas perguntas.
Qual é a média das alturas dos 10 jogadores mais al-tos da NBA?
M m�� � � � � � �
� �2 2 31 2 2 29 2 2 26 4 2 24
10
22 68
102 268
, , , , ,,
Qual é a altura que aparece com maior frequência?
A altura de maior frequência é a que aparece o maior número de vezes, ou seja, 2,24 m.
Fonte: OS GIGANTES da NBA. Disponível em: <http://curiosidadesnba.blogspot.com/2009/12/ os-gigantes-da-nba.html>. Acesso em: 26 mar. 2019.
49
Moda
Em um conjunto de dados, o valor que ocorre com maior frequência, isto é, o valor que mais se repete, denomina-se moda.
Caso haja dois (ou mais) valores que tenham a maior frequência e essas frequências sejam iguais, a distribuição terá dois (ou mais) valores de moda. Quando há dois valores, a distri-buição denomina-se bimodal; quando há mais de dois valores, multimodal. Quando não há valores que se repetem, a distribuição não apresenta moda e é chamada de amodal.
Exemplos:
A série 2, 3, 5, 5, 7, 11, 13, 27, 27 é uma distribuição bimodal, com modas 5 e 27.
A série 101, 104, 108, 115, 122, 129 é uma distribuição amodal.
A moda é utilizada quando se deseja obter uma medida de posição em um conjunto de dados de forma rápida e aproximada ou quando se quer obter o valor mais típico de uma distribuição.
No caso das alturas dos jogadores da NBA, a moda é 2,24 m.
Emil Rached (1943-2009), com 2,20 m de altura, ficou conhecido como o mais alto joga-dor de basquete brasileiro. Veja a seguir a sequência das alturas dos 10 jogadores mais altos da NBA na ordem crescente com a inclusão da altura do brasileiro.
2,20; 2,24; 2,24; 2,24; 2,24; 2,26; 2,26; 2,29; 2,29; 2,31; 2,31
Mediana
Em uma série ordenada de dados coletados, denomina-se mediana o valor central dessa série quando disposta em ordem crescente ou decrescente. A mediana é determinada con-forme as circunstâncias descritas a seguir.
No caso de uma série com um número ímpar de valores, a mediana será o termo central.
No caso de uma série com um número par de valores, a mediana será dada pela média aritmética entre os dois valores centrais.
O cálculo da mediana não leva em conta todos os valores, e seu valor não é influenciado por valores extremos, como acontece com os cálculos das médias.
Na sequência apresentada em ordem crescente das 11 alturas dos jogadores de basque-te, 2,26 m é a que ocupa a posição central. Isso quer dizer que à sua direita e à sua esquerda há um mesmo número de elementos. Portanto, 2,26 m é a mediana das alturas relacionadas.
2,20; 2,24; 2,24; 2,24; 2,24; 2,26; 2,26; 2,29; 2,29; 2,31; 2,31
Agora, vamos determinar a mediana da sequência das alturas dos 10 jogadores mais al-tos da NBA. Para isso, escrevemos a sequência das alturas em ordem crescente e localizamos o elemento central.
2,24; 2,24; 2,24; 2,24; 2,26; 2,26; 2,29; 2,29; 2,31; 2,31 4 elementos 4 elementos
50
Matemática
Sempre que a quantidade de elementos da sequência for par, não há um único elemento central. Nesse caso, consideramos como centrais os dois números que estiverem no centro. Para encontrarmos a mediana, calculamos a média aritmética entre eles. No exemplo dos 10 jogadores, os dois elementos centrais são iguais e a mediana é:
M, ,
e� �
�2 26 2 26
22 26,
Existem, ainda, outras medidas que podem representar o grau de variação entre as in-formações contidas em um conjunto de dados. Vamos agora estudar uma delas, conhecida como amplitude.
amplitudeconjunto. Para encontrar a amplitude de um conjunto, basta subtrair o valor do menor ele-mento do valor maior.
Observe a situação a seguir.
Situação 2
Juliana, técnica de um time de futebol feminino, está em dúvida em escalar Ana ou Bár-bara para a posição de atacante do time. Inicialmente, Juliana observa o número de gols marcados pelas jogadoras nas 6 primeiras partidas do campeonato.
Jogadora Número de gols por partida
Ana 2 1 4 0 5 0
Bárbara 2 2 3 1 1 3
Depois, calcula a média de gols de cada uma das jogadoras:
Ana: 2 1 4 0 5 0
6
12
62
� � � � �� �
Bárbara: 2 2 3 1 1 3
6
12
62
� � � � �� �
Perceba que ambas as jogadoras têm a mesma quanti-dade média de gols feitos. Como Juliana fará sua escolha?
Juliana calcula a diferença entre o maior e o menor nú-mero de gols por partida de cada uma das jogadoras, ou seja, encontra a amplitude do número de gols de cada uma:
Ana: 5 – 0 = 5
Bárbara: 3 – 1 = 2
A amplitude dá a ela uma ideia de como os valores estão distribuídos em torno da mé-dia. Nessa situação, a amplitude sugere que Bárbara foi mais regular do que Ana, porque as quantidades de gols marcados por Bárbara estão mais próximas da média. Portanto, Juliana escolhe Bárbara para fazer parte do time.
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ck/S
tep
hani
e Sw
artz
51
Para complementar a situação dada, podemos encontrar a mediana e a moda entre os números de gols de cada uma das jogadoras. Para isso, vamos colocar a quantidade de gols feitos pelas jogadoras em ordem crescente.
Ana: 0, 0, 1, 2, 4, 5 Mediana: 1 2
21 5
�� , e Moda: 0.
Bárbara: 1, 1, 2, 2, 3, 3 Mediana: 2 2
22
�� e Moda: 1, 2 e 3 (o conjunto apre-
senta três modas e, por isso, podemos dizer que ele é multimodal).
atividades
1 ímpar de valores, em um trabalho estatístico, é correto afirmar:
a) Mediana é o valor que ocupa a posição central do conjunto com os valores colocados em ordem crescente ou decrescente.
b) Média aritmética é a razão entre o produto dos valores do conjunto considerado e o somatório da quantidade de valores.
c) Moda é sempre o único valor que aparece o maior número de vezes no conjunto de valores considerados.
d) Média aritmética ponderada é o produto entre o somatório das razões entre os valores com seus respectivos pesos e a quantidade de valores.
e) Se a distribuição tiver número par de valores, a mediana será a média geométrica dos dois valo-res centrais.
2 A tabela apresenta as notas recebidas por um motorista de aplicativo nas 12 viagens realizadas em um dia.
Avaliações de hoje
5 4 5 4 5 4 4 4 5 3 5 3
a) Qual foi a nota média obtida pelo motorista nesse dia?
b) Qual(is) foi(foram) a(s) moda(s) das notas recebidas?
c) Qual é a mediana dos valores apresentados?
d) Qual a amplitude dos valores apresentados?
52
Matemática
Planejamento e registro de uma pesquisa, leitura e interpretação de gráficos
Renato adora jogos de tabuleiro e conhece muito sobre o assunto. Ele tem até um canal em uma plataforma de comparti-lhamento de vídeos na qual apresenta dicas e informações so-bre o assunto aos seus seguidores.
Depois de dois meses publicando vídeos semanais em seu ca-nal, Renato considerou que deveria analisar algumas questões:
Quais vídeos fizeram maior sucesso?
Como os visitantes encontram meu canal?
Renato precisa dessas informações para saber quais vídeos deve produzir para atender ao gosto dos usuários e como pode divulgar melhor seu trabalho, a fim de aumentar o núme-ro de visitantes em seu canal.
A plataforma de compartilhamento de vídeos disponibiliza os dados sobre as visitas ao canal, na forma de gráficos de diferentes tipos. Renato espera que a análise dos dados possa ajudá-lo a responder às suas dúvidas.
Para que Renato possa realizar uma pesquisa, precisa entender os conceitos de popula-ção e de amostra.
©Sh
utte
rsto
ck/D
anie
l M E
rnst
População: conjunto formado por todos os elementos com os quais se deseja fazer uma pes-quisa. É o público-alvo da pesquisa.
Amostra: conjunto formado por elementos da população.
Para que uma amostra disponha de resultados confiáveis, ela deve ser representativa. Isso significa que ela deve preservar as mesmas características da população. Uma amostra desse tipo é como se fosse uma “fotocópia reduzida” da população total. Quando uma amos-tra não é representativa, podemos ter resultados não confiáveis.
Renato também percebeu que precisa estudar os diferentes tipos de gráficos.
Diariamente, os jornais, as revistas, a televisão, as páginas da internet e outros meios de comunicação divulgam dados e informações de natureza variada. Muitas vezes, para isso, uti-lizam-se tabelas ou gráficos. Esses recursos se destinam à apresentação de um resumo de da-dos estatísticos, em geral resultantes de pesquisas em diversas áreas, como saúde, economia e esportes. O objetivo é facilitar a visualização e a comparação de informações.
Os tipos de gráficos mais utilizados na apresentação de dados estatísticos são os diagra-mas e os pictogramas. Atualmente, existem softwares que constroem esses gráficos com base em planilhas que informam os dados a serem representados.
Diagramas
Diagramas são gráficos que apresentam geralmente duas dimensões, sendo construídos em um plano de coordenadas cartesianas para a apresentação dos dados analisados.
53
Entre os principais tipos de diagramas estão os gráficos de linhas, de barras, de colunas e de setores.
Gráficos de linhasOs gráficos de linhas mostram ten-
dências ou alterações ao longo do tempo. Usamos esses gráficos para acompanhar mudanças ao longo de períodos curtos ou longos para ajudar na análise de determi-nado conjunto de dados.
Observe a situação ao lado, que repre-senta as vendas de determinado produto de duas empresas concorrentes. Foram disponibilizadas em um gráfico de linhas as quantidades vendidas em uma semana.
Podemos extrair várias informações desse gráfico. Veja algumas delas. Na segunda-feira, as duas empresas venderam a mesma quantidade de produto. De terça-feira a quinta-feira, a empresa Platinum vendeu mais do que a empresa Alpha. De sexta-feira a domingo, a empresa Platinum vendeu menos do que a empresa Alpha. O maior número de vendas no período aconteceu na quarta-feira, com produtos da em-
presa Platinum. O menor número de vendas no período aconteceu na terça-feira, com produtos da em-
presa Alpha.
Gráficos de barras horizontaisGráficos de barras horizontais possibilitam comparar dados estatísticos entre itens re-
presentados individualmente. Os dados de cada classe dos elementos são distribuídos no eixo vertical, enquanto os valores correspondentes são indicados no eixo horizontal.
Veja a seguir um exemplo desse tipo de gráfico, que indica expectativa de vida em cada uma das unidades da federação do Brasil, no ano de 2015.
Fonte: EXPECTATIVA de vida é de mais de 73 anos no Acre, afirma IBGE. Disponível em: <http://g1.globo.com/ac/acre/noticia/2016/12/expectativa-de-vida-e-de-mais-de-73-anos-no-acre-afirma-ibge.htmls>. Acesso em: 22 abr. 2019.
Maranhão
Piauí
Rondônia
Roraima
Alagoas
Amazonas
Pará
Sergipe
Paraíba
Tocantins 73,1
Bahia
Pernambuco
Acre
Ceará
Amapá
Mato Grosso
Goiás
Mato Grosso do Sul
Rio Grande do Norte
Brasil
Rio de Janeiro
Paraná
Minas Gerais
Rio Grande do Sul
São Paulo
D. Federal
Espírito Santo
Santa Catarina
66 68 70 72 74 76 78 80
70,9
70,3
71,1
71,2
71,2
71,7
71,9
72,4
72,9
73,2
73,5
73,6
73,6
73,7
74,0
74,0
75,3
75,5
75,5
75,9
76,8
77,0
77,5
77,8
77,8
77,9
78,7
Unidades da federação – Esperança de vida ao nascer – Brasil – Total – 2015
Análise de vendas
10
0
Segunda-
-feira
Terça-
-feira
Quarta-
-feira
Quinta-
-feira
Sexta-
-feira
Dia da semana
Qu
an
tid
ad
e d
e p
ro
du
to
s v
en
did
os
DomingoSábado
Empresa Alpha
Empresa Platinum
20
30
54
Matemática
Podemos extrair várias informações desse gráfico. Veja algumas delas.
Santa Catarina, em 2015, era a unidade federativa com maior expectativa de vida, com 78,7 anos. Isso significa que a expectativa média de vida de uma pessoa nesse estado era de 78,7 anos.
Alagoas e Roraima apresentaram, nesse ano, a mesma esperança de vida ao nascer.
A expectativa de vida média no Brasil é de 75,5 anos.
Gráficos de colunas ou de barras verticaisGráficos de colunas ou de barras verticais apresentam retângulos dispostos verticalmen-
te. A posição dos retângulos é a diferença entre esse tipo de gráfico e o de barras horizon-tais. Os dados de cada classe dos elementos são distribuídos no eixo horizontal, enquanto os valores correspondentes são indicados no eixo vertical. A altura da coluna é proporcional ao valor representado. A seguir, observe um exemplo desse tipo de gráfico.
Brasília, Fortaleza, Rio de Janeiro, Salvador e São Paulo são as cinco cida-des mais populosas do Brasil. A tabela ao lado indica a população estimada, em milhões de habitantes, de cada uma dessas cidades no ano de 2018.
Podemos disponibilizar as informa-ções contidas na tabela em um gráfico de colunas. Observe.
É possível extrair várias informações desse gráfico. Veja algumas delas.
Entre as cidades apresentadas no gráfico, há apenas duas que têm mais de 6 milhões de habitantes: Rio de Janeiro e São Paulo.
Há apenas uma cidade cujo número de habitantes ultrapassa os 12 milhões consideran-do-se as cinco cidades apresentadas. Essa cidade é São Paulo.
Entre as cinco cidades, Brasília e Salvador são as que apresentam o número mais próxi-mo de habitantes.
CidadePopulação
(em milhões de habitantes)
Brasília 2,974
Fortaleza 2,643
Rio de Janeiro 6,689
Salvador 2,857
São Paulo 12,177
Cidades mais populosas do Brasil
Po
pu
laç
ão
(em
mil
hõ
es d
e h
ab
ita
nte
s)
14
12
10
8
6
4
2
0
Brasília Fortaleza Rio de Janeiro Salvador São Paulo
Cidade
Fonte: IBGE. Disponível em: <cidades.ibge.gov.br/brasil/panorama>. Acesso em: 15 ago. 2019.
55
Gráfico de setoresNesse tipo de gráfico, os valores são facilmente
comparáveis, proporcionando uma melhor visualização das relações entre as partes e o todo. No exemplo ao lado, temos a porcentagem aproximada da população em cada uma das cinco regiões do Brasil no ano de 2017.
Observe algumas das informações que podemos retirar desse gráfico.
A soma de todas as partes deve ser 100%. Observe que isso acontece no exemplo, uma vez que 9% + 27% + 42% + 14% + 8% = 100%.
A população da Região Sudeste é maior do que a população da Região Nordeste somada à população da Região Sul, uma vez que 42% > 27% + 14% = 41%.
Pictogramas
Pictogramas são gráficos em que os dados são representados por meio de figuras com aspecto ilustrativo. Por exemplo, o número de bolos vendidos por uma confeitaria pode ser representado em um pictograma pelo desenho de docinhos.
A representação de dados estatísticos por meio desse tipo de gráfico torna a leitura e a interpretação mais simples. Os pictogramas não são utilizados para o registro de informa-ções que precisem ser detalhadas, mas para a comparação de resultados.
Veja a seguir um exemplo de pictograma.
Centro-Oeste
Sul
Sudeste
Nordeste
Norte
14%
8% 9%
27%
42%
Fonte: IBGE. Disponível em: <ftp://ftp.ibge.gov.br/Estimativas_de_Populacao/Estimativas_2017/estimativa_TCU_2017_20180618.pdf>. Acesso em: 22 abr. 2019.
População no Brasil por região
CORES MAIS POPULARES DE CARROS NO BRASIL
Prata 33,0% Preto 25,0% Cinza 14,0% Branco 10,0% Vermelho 9,0% Azul 3,0% Verde 2,0% Outros 1,0%Prata 33,0% Preto 25,0% Cinza 14,0% Branco 10,0% Vermelho 9,0% Azul 3,0% Verde 2,0% Outros 1,0%Bege 3,0%
Fonte: CORES mais populares de carros no mundo. Disponível em: <http://especiais.ig.com.br/infograficos/files/2010/06/cores-dos-carros-g.jpg>. Acesso em: 26 mar. 2019.
Ces
ar S
tati
. 201
4. D
igit
al.
56
Matemática
Observe que esse gráfico indica porcentagens. Ele mostra 100 carros agrupados em co-res diferentes – 1 rosa (indica outras cores), 2 verdes, 3 beges, 3 azuis, 9 vermelhos, 10 bran-cos, 14 cinza, 25 pretos e 33 prata. Cada um desses números corresponde à porcentagem de carros em uma das cores citadas. Por exemplo:
2 carros verdes em 100 2
100 equivalem a 2% do total de carros.
Análise e construção de gráficos
As tabelas geralmente atendem bem ao propósito de representar de modo resumido os dados de uma pesquisa. Entretanto, a representação gráfica, quando bem elaborada, facilita a visualização e a comparação das informações.
Você se lembra do Renato, o garoto que tem um canal na internet sobre jogos de tabu-leiro? A tabela a seguir mostra de que maneira os usuários tomaram conhecimento do canal dele no último mês.
Conheceram o canal de Renato por meio de Visualizações
Sites de pesquisas da internet 26
Indicação de amigos e conhecidos 10
Aplicativos de celular 2
Redes sociais 1
Propagandas em sites 1
Outras maneiras 12
Veja a seguir como a tabela fica após o cálculo do total de visualizações e das porcenta-gens que cada item representa em relação ao todo.
Conheceram o canal de Renato por meio de Visualizações
Sites de pesquisas da internet 2626
52
1
250%
Indicação de amigos e conhecidos 1010
52
5
2619 23� , %
Aplicativos de celular 22
52
1
263 85� , %
Redes sociais 11
521 92� , %
Propagandas em sites 11
521 92� , %
Outras maneiras 1212
52
3
1323 08� , %
Total 52 100%
Na primeira coluna, foi inserida a variável, ou seja, a forma pela qual os usuários tomaram conhecimento do canal de Renato. Na segunda, o número de acessos referentes a cada uma das formas; na terceira, a porcentagem correspondente ao total de acessos. Observe que esse total é igual a 52, que é a soma do número de acessos para cada uma das formas citadas.
57
Os dados do primeiro gráfico representam a frequência absoluta, enquanto os dados do segundo representam a frequência relativa.
Gráfico de colunas (barras verticais)
Conheceram o canal de Renato por meio de
30
25
20
15
10
5
0
Sites de
pesquisas
na internet
Indicação
de amigos
e conhecidos
Aplicativos
de celular
Redes
sociais
Propagandas
em sites
Outras
maneiras
Gráfico de setores
Outras maneiras
Indicação de amigos e conhecidos
Redes sociais
Propagandas em sites
Aplicativos de celular
Sites de pesquisas na internet
23,08%
19,23%
50%
3,85%1,92%
1,92%
Conheceram o canal de Renato por meio de
Para fazer o gráfico de setores, foi necessário relacionar cada porcentagem ao ângulo correspondente na figura. Uma volta completa, que equivale ao ângulo de 360º, correspon-de a 100%.
Assim:
O ângulo correspondente a cada porcentagem pode ser determina-do aplicando-se uma regra de três. Observe os exemplos.
A frequência absoluta, ou somente frequência, é o valor correspondente ao número de vezes que determinada variável ocorreu.
A frequência relativa é a porcentagem de cada variável em relação ao total e correspon-de à razão entre a frequência absoluta e o total.
frequência absoluta
totalfrequência relativa
360º corresponde a 100%
180º corresponde a 50%
90º corresponde a 25%
58
Matemática
Exemplo 1
Qual é a medida de ângulo associada a 12% do círculo?
Aplicando a regra de três, temos:
100 360
12
100
12
360
100 12 360
100 4 320
4 320
10043 2
% º
%
,
��
�
� ��
� �
x
x
x
x
x
x 43,2º
Para uma representação aproximada, podemos considerar 43º e representar essa medi-da com o auxílio do transferidor, como na figura acima.
Exemplo 2
Em uma pesquisa realizada com os alunos do 8º. ano de uma escola so-bre o esporte preferido, obteve-se o seguinte resultado:
90 100 110 120130
140150
160170
0
8070
6050
4030
2010
0
1020
3040
5060
7080100110120
130
140
150
160
170
180 180
0123456 1 2 3 4 5 6
Raio43°
Vôlei
30%
Natação
10%
Futebol
40%
Basquete
15%
Outros
5%
Preferências por modalidades esportivas
Podemos representar essa situação em um gráfico de setores:
0%Vôlei Natação Futebol Basquete Outros
50%
40%
45%
35%
25%
15%
5%
30%
20%
10%
Preferências por modalidades específicas
59
Escolha da amostra
Em uma pesquisa, geralmente não utilizamos toda a população, e sim uma parte dela, de-nominada amostra. É importante que a amostra selecionada seja representativa, isto é, apre-sente as mesmas características da população. Para isso, existem alguns tipos de amostras:
amostra casual simples;
amostra sistemática;
amostra estratificada.
atividades
1 O gráfico de colunas a seguir mostra a distribuição dos alunos de um curso de robótica de acordo com a idade e o sexo.
a) Qual é o número total de alunos?
b) Qual é o número de meninas?
Idade dos alunos em anos
Nú
me
ro
de
alu
no
s
14
1
2
3
4
15 16 17 18
Meninos
Meninas
c) Qual é o número de meninas e de meninos com idade:
igual a 17 anos?
maior que 16 anos?
menor ou igual a 15 anos?
2 Com base nos dados do gráfico do exercício anterior, construa uma tabela de frequências cuja variá-vel seja a idade.
Idade Número de alunos Porcentagem
Alunos do curso de robótica
60
Matemática
Amostra casual simplesTodos os elementos ou pessoas da população têm igual chance ou probabilidade de per-
tencerem à amostra.
Exemplo
No fim do ano, o diretor de uma empresa com 200 funcionários vai sortear 10 viagens
para seus funcionários. Cada um dos empregados será identificado com um único número de
1 a 200 de tal forma que os números não se repetirão. Em seguida, o diretor colocará em uma
urna 200 papeizinhos, cada um com um número de 1 a 200, misturá-los bem e sortear sucessi-
vamente 10 papéis. Todos os funcionários terão a mesma probabilidade de serem sorteados e
o conjunto de funcionários selecionados forma uma amostra casual simples.
Amostra sistemáticaNesse tipo de amostra, sua escolha é casual, mas definida por um critério conhecido.
Vamos tomar como base os dados do exemplo anterior.
Dividindo o número de funcionários da empresa do exemplo anterior pelo número de
viagens que serão sorteadas, temos: 200
1020 .
Esse resultado indica que os funcionários serão divididos em 10 grupos com 20 integran-
tes cada. Por exemplo, o primeiro grupo é formado pelos funcionários de 1 a 20; o segundo,
pelos funcionários de 21 a 40; e assim por diante, até o vigésimo grupo, formado pelos funcio-
nários de 181 a 200. Agora, sorteamos um funcionário do primeiro grupo usando exatamente
o procedimento da amostra casual simples. Suponha que o número sorteado tenha sido o nú-
mero 7. Depois, basta somar 20 para obter o próximo, depois somar 20 para obter o terceiro
e assim por diante, ou seja, selecionar os funcionários de 20 em 20. A amostra seria formada
pelos seguintes funcionários: 7, 27, 47, 67, 87,107, 127, 147, 167 e 187.
Amostra estratificadaHá situações em que, ao utilizar uma amostra casual simples ou uma amostra sistemá-
tica, podemos obter resultados que não refletem a realidade. Isso pode acontecer, pois a
população pode diferir muito em relação a aquilo que está sendo pesquisado.
Exemplo
Em uma escola serão oferecidas aos 880 alunos do 6.º ao 9.º ano aulas de dança e de xa-
drez no contraturno. A diretoria da escola selecionará uma amostra de 88 alunos para saber
qual das atividades eles preferem. Não podemos simplesmente sortear 88 alunos para for-
mar a amostra, pois pode acontecer de todos serem do mesmo ano, o que comprometeria o
resultado da pesquisa, já que as preferências podem mudar de um ano para o outro. O ideal,
nessa situação, é organizar os alunos em 4 grupos, um para cada ano. Cada um desses grupos
é chamado de estrato. Aqui consideramos o estrato como sendo um grupo da população
com alguma característica comum, por isso a amostra é dita estratificada.
Para selecionar a amostra de 88 alunos, podemos optar por escolher 22 alunos de cada gru-
po ou então selecionar quantidades proporcionais aos tamanhos dos grupos. Depois que souber-
mos quantos alunos de cada grupo serão selecionados, fazemos um sorteio em cada um deles.
61
A professora de Matemática de uma turma de 8.º ano
solicitou aos alunos que elaborassem um trabalho em
dupla cujo tema era “Planejar e executar uma pesquisa
amostral”. Dois amigos, Daniel e Flávio, resolveram for-
mar uma dupla. Veja, a seguir, como foi o processo de
elaboração do trabalho dos dois.
Flávio: Daniel, o que você acha de fazermos uma
pesquisa sobre alguma preferência de deter-
minado grupo de pessoas?
Daniel: Acho que é uma ótima ideia. Mas você tem
alguma sugestão?
Flávio: Seria interessante, primeiro, decidirmos quem será nosso público-alvo. Isso vai
ajudar a definir o tema da nossa pesquisa. Podemos também pensar na elabora-
ção de um formulário eletrônico e disponibilizá-lo na internet. O que você acha?
Daniel: Acho uma boa ideia. Agora falta a gente decidir qual será o público-alvo e a per-
gunta da nossa pesquisa. Ou seja, falta praticamente tudo! Flávio, vamos inserir
vários gráficos no nosso trabalho. Ficará incrível.
Flávio: Claro! Eles são importantíssimos para ajudar na visualização dos resultados ob-
tidos na pesquisa. Quando fazemos uma pesquisa, é fundamental descrever os
resultados, apresentando os gráficos apropriados. Também é importante des-
tacar alguns aspectos, como as medidas de tendência central, e exibir algumas
conclusões que podem ser obtidas da pesquisa!
Daniel: O que você acha de perguntarmos aos alunos dos Anos Finais do Ensino Funda-
mental qual é a disciplina preferida de cada um?
Flávio: Ótima ideia! Vamos, então, elaborar esse formulário.
Observe as perguntas contidas no formulário feito por Daniel e Flávio:
Os dois enviaram o formulário para as turmas do 6º., 7º., 8º. e 9º. anos da escola. Após
alguns dias, eles fizeram o levantamento dos dados obtidos. Observe os gráficos que eles
construíram para compor o trabalho.
Em que ano você está?
6º. ano
7º. ano
8º. ano
9º. ano
Entre as opções, qual é sua disciplina favorita?
Língua Portuguesa
Matemática
História
Geografia
Ciências
Língua Inglesa
Outras
©S
hu
tte
rsto
ck/m
ich
ae
lju
ng
62
Matemática
O gráfico a seguir representa as respostas dos alunos do 6.º ano. Podemos ver que 14 alu-nos preferem Língua Portuguesa, 10 preferem Matemática, 9 têm como matéria favorita His-tória, 9 Geografia, 22 Ciências, 4 Língua Inglesa e 12 outras disciplinas. O gráfico usado nesse caso foi o de colunas ou barras verticais.
Língua
Portuguesa
0123456789
101112131415161718192021222324
Matemática História Geografia
Disciplina
Qu
an
tid
ad
e d
e a
lun
os
Ciências Língua
Inglesa
Outras
Gráfico do 6º. ano
Gráfico do 7º. ano
Outras
Língua Inglesa
Ciências
Geografia
História
Matemática
Língua Portuguesa
21
5
6
10
11
9
8
Língua Portuguesa
Matemática
História
Geografia
Ciências
Língua Inglesa
Outras
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Quantidade de alunos
Dis
cip
lin
a
Gráfico do 8º. ano
Os gráficos abaixo correspondem aos resultados das turmas do 7º. e 8º. anos.
No 7º. ano, o gráfico usado foi o de setores.
Na turma do 8º. ano, o gráfico usado foi o de barras horizontais.
63
1 A média aritmética entre 6 números inteiros positivos distintos é igual a 12. Qual é o maior valor que um desses números pode assumir?
2 (UERJ) O gráfico abaixo representa o número de pacientes atendidos mês a mês, em um ambulató-rio, durante o período de 6 meses de determinado ano:
jan. fev. mar. abr. maio jun. x (meses)
y (nº. de pacientes)
20
40
60
80
nesse caso foi, novamente, o de colunas ou barras verticais.
Perceba que em nenhum dos casos poderíamos utilizar o gráfico de linhas para represen-tar as respostas obtidas. Isso acontece, pois os gráficos de linhas mostram tendências ou alte-rações ao longo do tempo, o que não é o caso aqui.
Agora que você já sabe como planejar e executar uma pesquisa amostral, junte-se a ou-tros dois ou três colegas para fazer o planejamento e a execução de uma pesquisa amostral. Com o professor, cada equipe deverá escolher um público-alvo, uma pergunta e uma forma de realizar a pesquisa. Não se esqueça de apresentar os gráficos apropriados para represen-tar os dados obtidos. Para complementar sua pesquisa, destaque aspectos como as medidas de tendência central e a amplitude.
Língua
Portuguesa
0123456789
101112131415161718192021
Matemática História Geografia Ciências Língua
Inglesa
Outras
Disciplina
Qu
an
tid
ad
e d
e a
lun
os
Gráfico do 9º. ano
64
Matemática
Calcule a média mensal de pacientes atendidos no período considerado.
3 Analise a sequência 1, 3, 7, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 1, 3 e, depois, denominando de M a moda, de MA
a média aritmética e de M
E a mediana, assinale a alternativa correta.
a) MA
= M b) ME = M
Ac) M
E Ad) M = M
E
4 Em uma turma do 8º. ano do Ensino Fundamental, constatou-se que, na primeira prova do 1º. bimes-tre, na disciplina de Matemática, 4 alunos obtiveram nota 5,0; 12 alunos, nota 6,0; 9 alunos, nota 7,0; 10 alunos, nota 8,0; e 3 alunos, a nota máxima, 10,0.
a) Qual foi a média das notas da turma na primeira prova de Matemática do 1º. bimestre?
b) Determine a nota mediana.
c) Identifique a nota modal.
65
5 (UFU – MG) Uma empresa seleciona 16 funcionários fumantes e promove um ciclo de palestras, com os mesmos, para esclarecimentos sobre os efeitos prejudiciais do cigarro à saúde. Após essas palestras, são coletados dados sobre a quantidade de cigarros que cada um desses fumantes está consumindo diariamente. Tais dados são expressos da seguinte maneira:
10, 1, 10, 11, 13, 10, 34, 13, 13, 12, 12, 11, 13, 11, 12, 12
Os dados 1 e 34 são chamados discrepantes, pois são dados muito menores ou muito maiores que a maioria dos dados obtidos. Segundo essa coleta de dados, pode-se afirmar que:
a) os cálculos da média, da mediana e da moda não sofrem influência dos dados discrepantes.
b) o cálculo da mediana sofre influência dos dados discrepantes que surgiram.
c) o cálculo da moda sofre influência dos dados discrepantes que surgiram.
d) o cálculo da média sofre influência dos dados discrepantes que surgiram.
6 (ENEM) Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de refe-rência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos.
As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:
Dia do mês Temperatura (em ºC)
1 15,5
3 14
5 13,5
7 18
9 19,5
11 20
13 13,5
Dia do mês Temperatura (em ºC)
15 13,5
17 18
19 20
21 18,5
23 13,5
25 21,5
27 20
29 16
Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a
a) 17 °C, 17 °C e 13,5 °C.
b) 17 °C, 18 °C e 13,5 °C.
c) 17 °C, 13,5 °C e 18 °C.
d) 17 °C, 18 °C e 21,5 °C.
e) 17 °C, 13,5 °C e 21,5 °C.
7 (ENEM) Um posto de saúde registrou a quantidade de vacinas aplicadas contra febre amarela nos últimos cinco meses:
1º. mês: 21;
2º. mês: 22;
3º. mês: 25;
4º. mês: 31;
5º. mês: 21.
No início do primeiro mês, esse posto de saúde tinha 228 vacinas contra febre amarela em estoque.
A política de reposição do estoque prevê a aquisição de novas vacinas, no início do sexto mês, de tal forma que a quantidade inicial em estoque para os próximos meses seja igual a 12 vezes a média das quantidades mensais dessas vacinas aplicadas nos últimos cinco meses.
Para atender essas condições, a quantidade de vacinas contra febre amarela que o posto de saúde deve adquirir no início do sexto mês é
a) 156.
b) 180.
c) 192.
d) 264.
e) 288.
66
Matemática
8 empregados de uma empresa, em certo mês. O salário médio desses empregados, nesse mês, foi de:
Número de classe Salário do mês – R$ Número de empregados
1 1 000 2 000 20
2 2 000 3 000 18
3 3 000 4 000 9
4 4 000 5 000 3
a) R$ 2.637,00. b) R$ 2.520,00. c) R$ 2.500,00. d) R$ 2.420,00. e) R$ 2.400,00.
9 Em um colégio com 500 alunos, são praticadas três modalidades de esporte: vôlei, futebol e bas-quete. Cada aluno optou por apenas uma delas, e 200 alunos escolheram futebol. O número de alunos que optaram por vôlei é o dobro do número de alunos que optaram por basquete.
a) Quantos alunos optaram por vôlei e por basquete?
b) Complete a tabela a seguir com o número de alunos e as porcentagens.
Modalidade Número de alunos Porcentagem
Vôlei
Futebol
Basquete
c) Em seu caderno, construa um gráfico de setores, indicando o ângulo de cada setor.
10 Uma concessionária de automóveis registrou, em uma tabela, a quantidade de carros vendidos no 1. º quadrimestre de um ano. Observe:
Mês Unidades vendidas
Janeiro 20
Fevereiro 24
Março 40
Abril 36
a) Qual foi a porcentagem de vendas no mês de fevereiro? E no mês de março?
b) Construa um gráfico de colunas em que se relacione a quantidade vendida com cada mês.
67
Represente os resultados desse gráfico na tabela abaixo.
Transporte Frequência absoluta Frequência relativa
Moto
Metrô
Ônibus
Automóvel
12 O banco de sangue de um laboratório registrou, em uma tabela, os tipos de sangue coletados na semana. Usando um compasso, represente os dados dessa tabela em um gráfico de setores.
Grupo sanguíneo Frequência relativa
A 30%
B 20%
AB 10%
O 40%
13 Qual é a porcentagem do círculo representado abaixo que corresponde ao ângulo central de 72º?
72°
11 Entre os habitantes de uma cidade foi realizada uma pesquisa sobre o meio de transporte mais utilizado diariamente para ir ao trabalho. Foram entrevistadas 3 000 pessoas. Os resultados estão registrados no gráfico a seguir.
Automóvel
Ônibus
Metrô
Moto
850
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 000 1 100 1 200 1 300 1 400 1 500
800
1 100
250
Preferência por meio de transporte
68
Matemática
14 O pictograma abaixo mostra o número de celulares vendidos por uma loja na primeira semana de dezembro.
a) Quantos celulares foram vendidos na primeira semana de dezembro?
b) A maior venda diária corresponde a, aproximadamente, que porcentagem das vendas da semana?
c) Se os dados do pictograma fossem representados em um gráfico de setores, de quantos graus seria o ângulo correspondente ao setor das vendas realizadas na sexta-feira?
Segunda-feira
= 20 celulares
Venda de celulares
Sábado
Sexta-feira
Quinta-feira
Quarta-feira
Terça-feira
69
capí
tulo Expressões
algébricas e sequências
6©Shutterstock/Markus Gann
O que é a sequência
de Fibonacci?
É uma sucessão de números que, misteriosamente, aparece em muitos fenômenos da natu-reza. Descrita no final do sécu-lo 12 pelo italiano Leonardo Fi-bonacci, ela é infinita e começa com 0 e 1. Os números seguin-tes são sempre a soma dos dois números anteriores. Portanto, depois de 0 e 1, vêm 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…
SAHD, Luiza. O que é a sequência de Fibonacci? Disponível em: <https://super.abril.com.br/mundo-estranho/o-que-e-a-sequencia-de-fibonacci/>. Acesso em: 24 jan. 2019.
Você alguma vez já rela-cionou algum fenômeno da natureza com as ideias da Matemática?
Expressões algébricas
Sequências
o que vocêvai conhecer
70
Matemática
Expressões algébricas
Na Álgebra, utiliza-se uma linguagem simbólica na qual letras representam valores des-conhecidos. Quando se faz essa representação, são aplicados modelos matemáticos a situa-ções provenientes de diferentes campos de conhecimento.
Assim, obtêm-se expressões algébricas, fórmulas e equações. Utilizando-se a linguagem da Álgebra, é possível analisar fenômenos e solucionar os problemas inerentes a cada um. Observe, na imagem, a representação da sequência de Fibonacci por meio de números, letras e desenhos. Os números indicados em cada um dos quadrados indicam a medida do seu res-pectivo lado.
objetivos do capítulo Reconhecer monômios semelhantes.
Calcular o valor numérico de uma expressão algébrica.
Identificar monômios e polinômios, bem como seu grau.
Resolver adições, subtrações, multiplicações e divisões com monômios e polinômios.
Identificar sequências numéricas recursivas e não recursivas.
Representar uma sequência numérica por meio de seu termo geral.
Entretanto, ao estabelecer um modelo algébrico, é preciso verificar se ele é ou não ade-quado à situação investigada, o que é feito mediante a análise da resposta que ele oferece quando aplicado à situação que o originou. Muitas vezes, obtêm-se resultados que são váli-dos matematicamente, mas que não têm significado no mundo real. Então, após a obtenção de um resultado, é necessário substituir as variáveis (letras) pelos valores numéricos e efe-tuar os cálculos.
Veja a seguir alguns exemplos de representações algébricas e sua aplicação.
a b a1,618
a b
��
13
8
5
21
a b
a
32
1 1
©Sh
utte
rsto
ck/M
icro
One
71
Área do triângulo
Expressões algébricas que, em sua forma reduzida, não apresentam as operações de adi-ção e subtração entre os números e as letras (variáveis) são chamadas de monômios. Em ou-tras palavras, podemos afirmar que monômios são expressões formadas por um único termo.
b
h
6 cm
2 cm
Representação algébrica:
A b · h (modelo válido para qualquer retângulo)
Área 6 . 2 = 12
Área 12 cm2
Aplicação:
Área do retângulo
Representação algébrica:
Ab h
��2
Ab h
���
��
2
2 5 3 5
24 375
, ,,
Área = 6 cm2
Aplicação:
b
h
2,5 cm
3,5 cm
Área de uma figura formada por 4 quadrados
Representação algébrica:
A = 4a2 A = 4a2 = 4 12 = 4
Área = 4 cm2
Aplicação:
a
a a a
a
1 cm
1 cm 1 cm 1 cm
1 cm
Denomina-se valor numérico de uma expressão algébrica o resultado encontrado ao substituirmos a(s) variável(is) de uma sentença matemática por números e efetuarmos as operações indicadas.
72
Matemática
São exemplos de monômios:
x y aab
25
3
Os monômios são constituídos por uma parte numérica, denominada coeficiente, e uma parte formada por letras, denominada parte literal. Um número também representa um monômio.
Na tabela a seguir, estão identificados o coeficiente numérico e a parte literal de algu-mas expressões algébricas.
Monômio Coeficiente Parte literal
–xy xy
ab
2
1
2ab
4z2 4 z2
5 5 Não tem
Monômios semelhantes
Monômios que têm a mesma parte literal são chamados de monômios semelhantes.
Observe os seguintes monômios:
Entre os monômios apresentados no quadro, são semelhantes:
3x2 2 8p e 2
5
p
Observe que os monômios 1
2
3ab e
3
4
ab não são semelhantes, pois o expoente de b é
diferente.
3x2 1
2
3ab 12xy 3
4
ab 8p –x2 2
5
p
atividades
1 Um encanador cobra R$ 40,00 por visita, mais R$ 20,00 por hora de trabalho. Escreva uma expressão algébrica que represente o ganho do encanador para um número qualquer (x) de horas trabalhadas.
73
2 Em um dia movimentado, um hotel recebe, a cada hora, o dobro de turistas que chegaram na hora anterior. Preocupado com a capacidade máxima do lugar, o gerente observou a ocupação desse hotel durante determinado período.
a) Sendo x a quantidade de hóspedes que entraram na primeira hora, encontre a quantidade de turistas que entraram em cada uma das seis primeiras horas.
b) Escreva o monômio que representa o total de turistas nesse período.
c) Se o número inicial de turistas for 3, qual será o número total de turistas ao final do período observado?
3 Associe os monômios da 1ª. coluna aos monômios semelhantes da 2ª. coluna.
a) x2
b) 3ax
c) ab2
d) ax
2
2
e) 7
2xby
f) 6a2b
(
( ) 3byx
( ) a b2
2
( 2
( ) 12x2
( ) 11x2a
4 Complete a tabela a seguir indicando o coeficiente e a parte literal de cada monômio.
Monômio Coeficiente Parte literal
– 3y
3
2
2ab
12m
p q2
3
5 O comprimento de uma quadra de vôlei mede o dobro de sua largura.
Comprimento = c
Largura = l
a) Determine o monômio que representa o perímetro da quadra.
b) Determine as dimensões da quadra, saben-do que seu perímetro é igual a 54 m.
74
Matemática
Redução de termos semelhantes
Os termos de uma expressão algébrica são determinados pelas somas e pelas subtra-
ções que essa expressão estabelece.
Expressão algébrica: 2 5 5x x x x
Termo Termo Termo Termo
² ²� � � � � � �
Note que a expressão pode ser apresentada de uma forma mais simplificada, bastando,
para isso, efetuar as operações que envolvem termos semelhantes.
Expressão algébrica não reduzida: 2x2 + 5x + x – 5x2
Expressão algébrica reduzida: –3x2 + 6x
Os termos que apresentam a mesma parte literal (inclusive com os mesmos expoentes)
são denominados termos semelhantes e podem ser somados ou subtraídos. A redução de termos semelhantes consiste na resolução das operações (adição e subtração) efetuadas
com esses termos. Nesse caso, somam-se algebricamente os coeficientes e mantém-se a
parte literal.
Atenção! Somente os termos semelhantes (termos com a mesma parte literal) podem ser
reduzidos em uma expressão algébrica.
Exemplos
Expressão reduzida –8ax + a
b) 3
25
25 3 7
2 22
2x y xy
yxxy� � � � �
Agrupando os termos semelhantes:
3
2
1
25 5 3 7
2 2��
��
�
�� � � � � � � � �x y xy( ) ( )
4
20 4
2 0 4
2 2
2
x y xy
x y
Expressão reduzida 2x2y + 4
As expressões algébricas recebem nomes especiais de acordo com o número de
termos não semelhantes que elas têm.
Um termo: monômio 2y
Dois termos: binômio
Três termos: trinômio
Um número qualquer de termos: polinômio 2
75
Grau de monômios
O grau de um monômio, com coeficiente não nulo, é obtido somando-se todos os ex-poentes de sua parte literal, como nos exemplos a seguir.
–3x4yz2
xyz3
2 como podemos escrever 2 = 2x0 (monômio de grau nulo)
Grau de polinômios
O grau de um polinômio é dado pelo seu termo de maior grau. O polinômio deve estar escrito na forma reduzida.
Quando o polinômio apresenta apenas uma variável, ele é determinado pelo termo de maior grau.
Exemplo: 3b4 + 2b2 – b + 3
O termo de maior grau é 3b4
Quando o polinômio apresenta mais de uma variável, é preciso analisar o grau de cada termo.
Exemplo: 5a3 6ab4 3ab2c3
5a3
6a1b4
–3a1b2c3
O termo de maior grau é 3a1b2c3
grau 6.
atividades
1 Apresente cada expressão algébrica em sua forma reduzida e, em seguida, determine o número de termos de cada uma.
a) 6ay 35ay + 12ay
b) 2cxy + 20xcy
c) 2ab + 12 6ab 5 + 9ab
d) –21xy + 3xy2 2
e) f) 2x2 – 3y2 2 – 2y2 + 3
g) � � � � � �xa
ax a a2
2 3 5 15 6
h) ab
a b a bab
22 2
2
23 5
7
3� � �
76
Matemática
2 Na tabela a seguir, classifique as expressões algébricas como monômio, binômio, trinômio ou poli-nômio e escreva o grau de cada uma delas.
Expressão algébrica Classificação Grau
x2 + 3x +2
ax + ax2
bc – b2c + b2c3 + c4
4xyab3
abx
z2 + 3z – z2
Adição e subtração de polinômios
Para efetuar as operações de adição e subtração de polinômios, é preciso observar as propriedades consideradas na redução de termos semelhantes. Vamos retomá-las por meio de exemplos numéricos e algébricos.
Exemplo
A figura representa a planta baixa de um escritório.
2 m
7 m
3 m
a
a
x
b
y
0,8 m
0,8 m
Banheiro Banheiro
Escritório Escritório
Ja
ne
la
Ja
ne
la
Com base nessa figura, veja como determinar o que se pede em cada item para a situação real e a representação algébrica.
a) Determine as medidas do comprimento e da largura a serem consideradas para a colocação de rodapé nesse escritório.
Situação real Modelo algébrico
Comprimento: x – a
Largura: y – b
Div
o P
adilh
a. 2
008.
Dig
ital
.
77
b) Determine quantos metros lineares de rodapé são necessários no escritório e o polinômio reduzido que expressa essa situação.
Situação real
2,2 + 2,2 + 5 + 5 = 14,4 m
Modelo algébrico
Eliminando os parênteses:
Reduzindo os termos semelhantes:
c) Comprove que o polinômio encontrado é um modelo para a situação substituindo os valores das variáveis x, y, a e b.
Para somar ou subtrair dois ou mais polinômios, basta reduzir os termos semelhantes.
Exemplo:
= 3ax 2b – 4ax + 4a
Reduzindo os termos semelhantes 6ax
atividades
1 Na figura ao lado, o quadrado ABCD foi dividido em dois quadrados menores, representados nas cores amare-la e lilás, e em dois retângulos idênticos, na cor cinza. Sabendo que a área do quadrado amarelo é igual a 64 m², determine:
a) a medida do lado do quadrado amarelo.
b) as dimensões, em metros, do retângulo cinza.
c) o monômio que expressa o perímetro de cada retângulo.
d) o binômio que expressa o perímetro do quadrado lilás.
A B
Dx
C
78
Matemática
2 Efetue as operações com polinômios e apresente a resposta na forma reduzida.
a) ( ) ( )s s s s3 2 2 3
3 5 7 11 2� � � � � �
b) ( ) ( )� � � � �3 11 12 21 52 2
tu t t ut
c) x a
a a ax
33
26 5�
�
���
�
��� � �( )
d) ( ) ( ) ( )y y y y y4 2 2 4
3 2 5 7 3� � � � � � �
e)
f) ( ) ( ) ( )27 12 5 13 15 7 63 3
p p p p p� � � � � � �
g) 11
525
3
217
2 2rr
rr��
��
�
�� � ��
��
�
��
3 Um prêmio foi dividido proporcionalmente entre Paulo, Ricardo e Sílvio, de modo que Paulo ficou com R$ 1.000,00 a menos que o valor total do prêmio, Ricardo ficou com a metade do valor recebido por Paulo, e Sílvio, com o restante da quantia.
a) Determine a expressão algébrica, na forma reduzida, que representa a parte do prêmio que coube a Sílvio.
b) Qual é o valor do prêmio, sabendo que Sílvio recebeu R$ 600,00?
79
Multiplicação de polinômios
Considere a situação a seguir.
Um recipiente tem a forma de um prisma de base quadrangular e há líquido preenchen-do parte de sua capacidade total, conforme a figura. Observe como o polinômio reduzido é utilizado nos casos a seguir.
Para indicar a quantidade de líquido que há nesse recipiente:
V x3
Para definir a capacidade total desse recipiente:
V x . x . (x + b)
V x2 . (x + b)
V x3 + x2 . b
Para calcular a quantidade de líquido que falta para que o recipiente fique completa-mente cheio:
V x x b x� � � �( )3 2 3
V x2b
O produto de dois ou mais polinômios é o resultado da multiplicação entre monômios, entre um monômio e um polinômio ou entre polinômios.
Monômio × monômio -ficientes numéricos e pela multiplicação entre as variáveis da parte literal.
Exemplo: � � �� �5 22
bc b c = b b2 c c = 10b3c2
Monômio × polinômiotermos do polinômio, aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicação e redu-zindo-se os termos semelhantes, quando possível.
� �14 72 2
a b ab
Polinômio × polinômiodos polinômios por todos os termos do outro, aplicando-se a propriedade distributiva da multiplicação e reduzindo-se os termos semelhantes, quando possível.
2x + 5y
= � � � �6 9 10 152 2
x xy xy y =
= � � �6 19 152 2
x xy y
b
x
x
x
80
Matemática
atividades
1 Uma caixa sem tampa, na forma de paralelepípedo, será confeccionada por uma empresa de emba-lagens. Ela será feita a partir de um papelão retangular, com um recorte quadrado em cada um dos quatro cantos. A medida do lado desses recortes está expressa, na figura 1, pela variável a. A figura 2 representa a caixa montada. Com base nas figuras, apresente o polinômio reduzido que expressa:
a
b
20
Figura 1 Figura 2
a) a área total da caixa. b) o volume interno da caixa.
2 Na figura ao lado, está representada uma superfície formada por qua-drados de mesma área e outra superfície pintada em verde. Com base nas informações contidas na figura, efetue os cálculos necessários e res-ponda às questões propostas.
a) Qual é o monômio que expressa a área de cada quadradinho?
b) Qual é o monômio que representa a área da região não pintada?
c) Qual é o polinômio reduzido que representa a área da superfície pintada?
d) Considerando a = 0,5 cm, calcule a área da superfície pintada.
20
2a
81
3 Dados os polinômios A = 3a2 + 2a, B = 2a2 – a e C = –2a4, calcule:
a) A . B
b) A2 + C
c) (A + B) . C
4 .
5 Resolva as potências e escreva os polinômios na forma reduzida.
a) (4b – 2)3
b) (3xy + 4z)2
6 Escreva, na forma reduzida, a expressão que indica o volume de cada paralelepípedo representado a seguir.
a)
3a
a + 4
a2
b)
2a
2a
a + 4
82
Matemática
Divisão de polinômios
As figuras ao lado representam regiões quadrangulares. Vamos calcular quantos quadrados da figura 2 são necessários para cobrir totalmente a superfície do quadrado da figura 1.
Dividimos os coeficientes e aplicamos a propriedade da di-visão de potências de mesma base para a parte literal:
32 : 2 = 16
x2 : x2 = x2–2 = x0 = 1
Dessa forma,
32 232
216 1 16
2 22
2x x
x
x: � � � �
Para cobrir totalmente a figura 1, são necessários 16 quadrados iguais ao da figura 2.
Para dividir um polinômio por um monômio não nulo, basta fazer a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio. Exemplo:
33 11 22
11
2 2 3x b xb xb
xb
� ��
333
11 11 11
111
222
2 2 32x b
xbxb xb xb
xb xbb
( ) ( ) ( )���
��
� � � �
atividades
1 Calcule as operações com polinômios e apresente a resposta na forma reduzida.
a) 144x y2 : (–12x3y)
b) (–54b3cx6) : (–9b2cx5)
c) 34c3b11d2 : (–cb d2)
d) 51
17
15 4
12
d a
d
e) 84
21
3 2 5
3 5
x y c
x c
f) (6c4 – 3c2 – 3c) : (3c)
g) 125 15 25
5
3 2 2v z vz v z
vz
� �
h) (48rs2 2s – 4rs) : (–4rs)
i) (3ax – 33ax3 – 24a2x) : (3ax)
j) (–24b2 – 12b5 + 36b3) : (–12b2)
k) 3m – 81y2m2 – 36y2m) : (–9y2m)
l) 1
24 2
2x y xy xy��
��
��� : ( )
Área = 32x2
Área = 2x2
Figura 2Figura 1
83
2 Uma fábrica paga a cada funcionário de um dos setores de produção um salário mensal de R$ 1.050,00 mais uma comissão de R$ 20,00 por peça produzida. Com base nesses dados, determine:
a) a expressão algébrica que representa o ganho mensal desses funcionários.
b) o ganho de um funcionário que tenha produzido 150 peças em um mês.
3 (UTFPR) Assinale a alternativa que representa a forma reduzida da expressão (x – 2) . (x + 2) – (x + 3)2 + + 6(x + 2).
a) b) c) 16x + 1 d) x – 1 e) 25
4 Com base na figura ao lado, determine a expressão algébrica, na forma simplificada, que representa a área de cada polígono indicado a seguir.
a) Área do quadrilátero CDEI:
b) Área do polígono CDEFGH:
c) Área do polígono ABCIFG:
d) Área do polígono ABDEFG:
5 Duas embalagens, na forma de paralelepípedo retângulo, foram produzidas com as medidas indica-das nas figuras a seguir, em centímetros.
x + 1 x + 2
x – 1 x – 2
xx
Paralelepípedo 1 Paralelepípedo 2
a) Escreva o polinômio que representa o volume de cada paralelepípedo.
b) Calcule o volume de cada paralelepípedo para x = 5 cm.
84
Matemática
Sequências numéricas
Os associados de um clube de leitura vinculado a determinada livraria ganham descon-tos nessa loja ao comprarem os livros indicados pelo clube. A tabela a seguir mostra os pre-ços dos pacotes de livros oferecidos pela empresa a esses clientes.
Pacote Livros Preço
A 1 R$ 54,00
B 2
C 3 R$ 102,00
D 4 R$ 126,00
E 5 R$ 150,00
Os preços dos pacotes formam uma sequência, e os valores aumentam conforme aumenta a quantidade de livros:
Observe a diferença entre os preços dos pacotes:
Como a diferença entre os preços é sempre a mesma, podemos calcular os preços dos
duas opções:
Agora, observe a sequência a seguir.
1 2 3 4
Na primeira posição, a figura apresenta 1 bolinha. Na segunda posição, são 3 bolinhas. Já
Poderíamos continuar essa contagem, construindo a seguinte tabela:
Posição (n) 1 2 3 4 5 6 8 9 10
Quantidade de bolinhas (a
n)
1 3 5 9 11 13 15 19
©Sh
utte
rsto
ck/G
eorg
e R
udy
85
bolinhas (an) para determinada posição n. Dizemos que essa sequência é infinita, indicada por reticências no final, pois sem pre será possível obter o termo seguinte. Uma sequência é considerada finita quando apresenta um último termo, como a sequência das idades, em
29, 30, 32, 33, 35).
Utilizando a letra n para indicar a posição da figura, vamos escrever uma fórmula que determine o número de bolinhas an que há em cada figura da sequência.
n = 1
O número de bolinhas da posição 1 (n = 1) é 1 (a1
= 1), ou seja, o número de bolinhas é duas vezes 1 menos 1.
n
a
�����
��� � � �
11
11 2 1
1
n = 2
O número de bolinhas da posição 2 (n = 2) é 3 (a2 = 3), ou seja, o número
de bolinhas é duas vezes 2 menos 1.
n
a
��
���
��� � � �
22
33 2 1
2
n = 3
O número de bolinhas da posição 3 (n = 3) é 5 (a3 = 5), ou seja, o número
de bolinhas é duas vezes 3 menos 1.
n
a
��
���
��� � � �
33
55 2 1
3
n = 4
O número de bolinhas da posição 4 (n = 4) (a4
, ou seja, o número de bolinhas é duas vezes 4 menos 1.
n
a
��
���
��� � � �
44
77 2 1
4
Note que, para n = 1, o número de bolinhas é a1
é a2 3
específica para obter cada termo dessa sequência.
Perceba que o número de bolinhas an para a posição n é o dobro do número dessa posi-ção menos 1, ou seja,
an = 2 . n – 1
Com essa fórmula, é possível determinar o número de bolinhas para uma figura que es-teja em qualquer posição da sequência ou vice-versa.
Podemos escrever uma outra fórmula para essa sequência. Acompanhe:
a1 = 1, a
2 = a
1 + 2, a
3 = a
2 + 2, a
4 = a
3 + 2, ...
Você pode observar que é possível obter qualquer termo da sequência a partir do segundo termo. Para isso, basta adicionar 2 ao anterior. Então, para uma posição n qualquer, temos:
an = an – 1 + 2
86
Matemática
Esse tipo de representação, que expressa determinado termo em relação ao seu ante-rior, é conhecido como fórmula recursiva de uma sequência.
Se uma sequência não é definida recursivamente, ou seja, um de seus termos não depen-de do seu termo anterior, dizemos que a sequência é não recursiva.
Exemplo
Seja a sequência dada por (0, 4, 8, 12, 16, 20, ...). Essa é a sequência dos números não ne-gativos múltiplos de 4. Essa sequência começa no zero e pode ser pensada da seguinte forma:
0 4 8 12 16 20
0 1 2 3 4 54 4 4 4 4 4
� � � � � �, , , , , ,...
Elaboramos essa sequência fazendo 0 · 4, 1 · 4, 2 · 4, 3 · 4, 4 · 4, 5 · 4, e assim por diante. Ou seja, foi possível definir a sequência sem saber qual é seu termo anterior.
atividades
1 Analise o padrão das sequências e complete-as com os três próximos termos em cada caso.
a) 3, 6, 9, 12,
b) c) 100, 120, 140, 160,
d) e) 64, 32, 16, 8,
f) –1, +1, –2, +2, –3,
g) 1
2
2
3
3
4
4
5
5
6; ; ; ; ;
h) –5, –4, –3, –2,
2 Em uma vidraçaria, o preço do metro quadrado do vidro varia de acordo com a espessura da placa. Complete a tabela conforme a sequência numérica.
Espessura da placa Preço por m2
2 mm R$ 60,00
4 mm R$ 90,00
6 mm R$ 120,00
8 mm R$ 150,00
10 mm
12 mm
87
3 Observe o fluxograma a seguir.
O termo geral é uma expressão algébrica que representa o padrão de uma sequência. Ela define cada um de seus termos.
Termo geral de uma sequência
Observe novamente esta sequência: 1, 4, 9, 16, 25, 36
Podemos representá-la assim: 12, 22, 32, 42, 52, 62
Note que o expoente 2 aparece em todos os termos da sequência. Ele não muda; o que muda a cada termo é a base. Se representarmos a base pela letra n, teremos uma expressão algébrica que indica o padrão dessa sequência: n2.
Para encontrar qualquer termo da sequência, basta substituir a variável n pelo número do termo. Veja:
2.º termo: n2 = 22 = 4
4.º termo: n2 = 42 = 16
6.º termo: n2 = 62 = 36
10.º termo: n2 = 102 = 100
Sim
Sim
Observe a sequência a seguir:
(0, 3, 6, 9, 12, ...)
Você consegue encontrar um padrão?
Você consegue encontrar o próximo termo dessa
sequência? Qual é ele?
Perceba que todos os termos da sequência são múltiplos de 3. Isso pode ajudá-lo. Volte ao passo
anterior.
Pense bem! Converse com seu professor e
com seus colegas. Volte ao passo anterior.
Não
Não
Encontrou 15 como resposta, certo? Como você encontrou esse
número? De forma recursiva ou não recursiva?
Percebeu que os termos da sequência aumentam de 3 em 3, ou seja, percebeu
que, para encontrar determinado termo da sequência, é necessário saber seu anterior.
Percebeu que o primeiro termo é igual a 3 · 0, que o segundo termo é igual a 3 · 1 e assim por diante, até chegar ao termo
encontrado, que é dado por 3 · 5 = 15. Nessa forma de se pensar, o termo encontrado não é dependente do termo anterior.
Forma recursiva
Forma não recursiva
Encontre a fórmula recursiva dessa sequência.
88
Matemática
atividades
1 Relacione cada sequência com a expressão de seu termo geral, em que n( ) 2
( ) 2n
(
(
(
2 Escreva o termo geral da sequência numérica associada ao padrão geométrico abaixo, consideran-do que n
5 10 15 20
Termo geral:
1
4a
2a + 1
2a + 3
a + 4
2a +2
1
o que já conquistei
a) Escreva o polinômio que representa o perímetro
b)
2 Obtenha o polinômio que resulta da divisão de ( )12 6 285 2 3
a a a� � por ( )22
a
89
3 (SARESP) A expressão algébrica que representa a situação: “O quadrado da soma de dois números mais 5 unidades” é:
a) x + y + 52 b) (x + y + 5)2 c) (x + y)2 + 5 d) x2 + y + 52
4 Qual é o monômio que, multiplicado por 15b3c5, resulta em 45b4c11?
5 A figura abaixo é formada por um quadrado, em lilás, e por regiões retangulares. Determine:
a) o monômio que representa a área do retângulo verde.
b) o binômio que representa o perímetro do retângulo cinza.
c) o polinômio que representa a área do retângulo que limita as regiões coloridas da figura.
6 2b + 20ab2 + 30a2b2 por 5ab.
7 Para a obtenção de uma mesa octogonal, os quatro cantos de uma mesa quadrangular foram serrados, retirando-se superfícies com a mesma área e na forma de triângulos retângulos. Com base na figura, determine o polinômio que expressa a área da mesa octogonal.
8 2 – x + 1) é igual a:
a) x3 – 1
b) x3 + 1
c) x2 + 2
d) x3 + 3x2 – 3x + 1
e) x3 – 3x2 + 3x – 1
9 2 + (x – 1)2 + 2x –1, para x = 10 é igual a:
a) 0 b) c) 150 d) e) 200
90
