1 Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 1 Pedro Cosme Costa Vieira Faculdade de Economia da...

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Calculo e Instrumentos Financeiros

Parte 1

Pedro Cosme Costa Vieira

Faculdade de Economia da Universidade do Porto

2014/2015

Actualizado no dia 15 de Setembro de 2014

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Apresentação

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Docentes

João Sousa Couto ([email protected])

José Manuel Peres Jorge ([email protected])

Pedro Cosme Costa Vieira ([email protected])

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Conteúdo programático

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Objectivos da Disciplina

• 1ª Parte (12 aulas)– Taxa de juro, capitalização e desconto– Instrumentos financeiros sem risco: depósitos

e créditos bancários; obrigações – Transformação de stocks financeiros em

fluxos financeiros (rendas / amortizações)– os preços correntes e preços constantes

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• 2ª Parte (10 aulas)– Risco do negócio. Modelos estatísticos.– Instrumentos financeiros com risco: seguros,

acções e obrigações com risco de falha– Carteiras de activos: diversificação e

alavancagem

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• 3ª Parte (2 aulas)• Aplicação dos conceitos

Medidas de desempenho de um investimento• VAL + TIR + Q de tobin

Instrumentos financeiros • Aluguer (leasing +renting)• Factoring• Opções• Obrigações Contingentes• Swaps

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Avaliação

9

Avaliação• Avaliação por Exame (2 épocas)• Avaliação Distribuída

– Primeiro teste (1/3) – 24 Outubro, 15h– Segundo teste (1/3) – 28 Novembro, 15h– Terceiro teste (1/3) – 12 de Janeiro, 14h– Para fazer avaliação contínua têm que frequentar

pelo menos 75% das aulas (18).– O terceiro teste é parte do exame– No dia do exame, os alunos de avaliação contínua

podem repescar um dos dois primeiros testes. Contará a melhor nota.

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Avaliação

• Cálculo da Nota da Avaliação Distribuída:– Média dos 3 testes com a condição de, no

caso do teste repescado, contar a melhor nota

– Recorda-se que, na avaliação contínua, é necessário a frequência de 75% das aulas.

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Material de apoio

12

Material de estudo

• Existem disponíveis em formato digital– Uma página

www.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101_2014

– um texto que segue as aulas– Um texto sobre o sistema monetário– Um ficheiro Excel com os exercícios do texto– As apresentações das aulas em Power Point– Cadernos de exercícios resolvidos

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Material de estudo

• Página do ano passadowww.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101_2013

– Testes– Exemplos de trabalhos (este ano não há)– Notas

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Primeira Aula23 Set.

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Os contratos de débito/crédito=

contratos de mútuo

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O contrato de débito/crédito

• Existem três razões principais para transaccionar créditos/débitos.– O ciclo de vida das pessoas– Poder ocorrer um período de “desemprego”

ou de despesas acrescidas (e.g., doença)– O capital ser produtivo e as pessoas estarem

especializadas em aforradores e investidores

17

O Ciclo de Vida

18

O ciclo de vida

• Uma das mais obvias razões para a existência de empréstimos é o ciclo de vida das pessoas.

– As pessoas precisam de consumir sempre– Existem longos períodos em que não têm

rendimento (quando crianças e “velhos”)

19

O ciclo de vida

20

O ciclo de vida

• As pessoas, quando crianças, não têm rendimento suficiente para sobreviver, pedindo recursos emprestados– Em média, é-se “criança” durante 20 anos

• Quando trabalham, pagam as dívidas (de criança) e poupam alguns recursos (para a velhice)– Em média, é-se activo durante 45 anos

21

O ciclo de vida

• Quando reformados, não geram rendimento suficiente para sobreviver, mas têm os recursos que pouparam– Em média, a reforma dura 20 anos

• Esses recursos vão-se esgotando

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Risco

deRedução do rendimento e

Aumento da despesa

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O desemprego

• O trabalho é a fonte mais importante de rendimento das famílias.– 55% do PIB são salários– São 67% do produto interno liquido

• Existe o risco da pessoa poder ficar desempregada.– A probabilidade será de 10%/ano

24

O desemprego

• E, depois, demora alguns meses a encontrar novo emprego– Em média, 12 meses

• E o salário é menor que o anterior – Inicialmente ganha-se menos 15%

• Será necessário poupar recursos para essa eventualidade. – Deverá haver uma poupança 12 salários.

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Cataclismos• Podem ocorrer imponderáveis

– O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder trabalhar (menos rendimento) e necessitando de tratamento médico (mais despesa).

– Pode ter um acidente de automóvel, necessitando de pagar a reparação.

– Pode ter um incêndio em casa.• É necessário ter uns activos de lado (ou

pedir emprestado na adversidade)

26

O capital é produtivo

27


• O trabalho torna-se mais produtivo se for auxiliado por capital– máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc.

• Se um indivíduo poupar (aumentando a quantidade de capital), aumenta o seu rendimento– A produtiva por pessoa aumenta

28


• Também existem bens que custam “muito dinheiro” e duram muito tempo– Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc.

• Estes bens “produzem” utilidade– As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis

para pedir empréstimos e pagar um pouco todos os meses.

29

Os stocks degradam-se

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• Não é possível guardar coisas para quando formos velhos, – A comida apodrece– A roupa passa de moda– Os automóveis ganham ferrugem

• Não é possível ter stock negativo.– As crianças não podem antecipar o

rendimento futuro com um stock negativo

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• Poupar é principalmente emprestar, – Os adultos activos emprestam às crianças e

as criança pagam as dividas quando se tornarem activas

– Os adultos activos fazem uma poupança de segurança emprestando a outras pessoas

– Os aforradores emprestam aos empreendedores

• Comprar um frigorífico também é poupar

32

A moeda

33

O empréstimo em dinheiro

• Numa sociedade “atrasada”, – Armazenam-se bens– Emprestam-se bens e serviços

• Numa sociedade com moeda, emprestam-se somas denominadas em moeda– A moeda é a unidade de valor mas não é o

recurso poupado.

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• Poupar dinheiro não é o mesmo que poupar recursos escassos– A moeda não é um recurso escasso

• Para pouparmos dinheiro, primeiro temos que deixar de consumir recursos (B & S)

• A pessoa a quem emprestamos vai consumir esses recursos escassos.

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• Poupar em termos agregados reduz-se a– Aumentar os stocks– Aumentar o capital

• Máquinas, Ferramentas, imóveis, estradas, portos, electrodomésticos, carros (todo o bem que dura mais do que um ano).

– Aumentar a escolaridade• É o capital humano

– Inovação e desenvolvimento tecnológico

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• Como as relações entre moeda e crédito fazem confusão nas pessoas

• Os alunos têm o texto:

• Vieira, PCC (2013), Fundamentos de um sistema monetário, pp. 1-25, FEP:Porto

37

A taxa de juro

38

A taxa de juro

• Como as pessoas são heterogéneas, haverá sempre algumas que precisam de pedir dinheiro emprestado– As crianças, os desempregados e as vítimas

de acidentes– Os empreendedores

• Outras que precisam de guardar dinheiro– Os indivíduos activos e empregados.

39

A taxa de juro

• O mercado de financiamento tem a taxa de juro como preço e a quantidade de poupança/crédito como quantidade.

• É a taxa de juro que equilibra o mercado– Se houver menos pessoas a querer poupar

ou mais pessoas a quererem-se endividar, a taxa de juro sob para equilibrar as vontades dos agentes económicos

– A desenvolver na Microeconomia

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A taxa de juro

0%

2%

4%

6%

8%

10%

0 20 40 60 80 100

Procura de crédito (investimento)

Oferta de crédito (poupança)

41

A taxa de juro

0%

2%

4%

6%

8%

10%

0 20 40 60 80 100

Enfraquecimento da poupança

42

A taxa de juro

• Quando o BCE aumenta a quantidade de moeda em circulação

• A taxa de juro não diminui porque a moeda não é um recurso escasso– não existe mais poupança de recursos

escassos nem menos pedidos de crédito• A moeda tem efeito no Nível Geral de

Preços (inflação) e não na taxa de juro

43

A taxa de juro

• Quando eu empresto uma quantidade de dinheiro, não vou receber a mesma quantidade– A diferença denomina-se por JURO

• O Juro é a remuneração de o aforrador adiar o consumo, é o custo do devedor antecipar o consumo.

44

A taxa de juro

• Por exemplo, eu empresto 5000€ a um familiar– O que eu poupo são os recursos que deixei

de consumir para ter esta soma de dinheiro– O que empresto são esses recursos

• Daqui a 10 anos recebo 7500€. • É o capital, 5000€, mais 2500€ de juros

(50%).

45

A taxa de juro

• O juro, em tese, tanto poderá ser positivo como negativo.

• Há razões para justificar ser positivos e razões para justificar ser negativo

• Historicamente é positivo

46

A taxa de juro

• Hoje faço anos e deram-me 1000€– Hipótese 1: entregam-mos agora.– Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos.

• Qual das hipóteses será preferível?

47

A taxa de juro

• Quem preferir a hipótese 1 então, exige uma taxa de juro positiva

– Podia depositá-lo, recebendo juros– O dinheiro vai desvalorizar– O doador pode morrer (e a oferta falhar)

48

A taxa de juro

• É historicamente positiva por três razões– Existe uma remuneração real

• As pessoas preferem o presente ao futuro• O capital é produtivo: existem empreendedores• Há concorrência pelo capital escasso

– Há inflação• Se o capital é denominado em euros, como os

preços aumentam, há necessidade de corrigir a perda de poder de compra dos euros.

– Há risco de incumprimento• É uma lotaria

49

A taxa de juro real

50

Juro real

– Quantifica o aumento do poder de compra

– Quando emprestei os 5000€, esse dinheiro dava para viver durante 200 dias. Quando receber os 7500€, penso conseguir viver 250 dias.

– Então, o juro real durante os 10 anos é de “viver 50 dias”, 25%

51

Juro real

– A taxa de juro real tende a ser positiva porque

– o capital é produtivo. • e.g., um agricultor se cavar com uma enxada

consegue produzir mais do que se o fizer com apenas um pau.

– O capital é escasso• Como o crédito são recursos escassos poupados,

existe concorrência por esses recursos.

52

Juro real

– É preferível consumir hoje. – As pessoas preferem o Presente ao Futuro

• No Futuro estamos mortos• No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos

tanta utilidade do consumo– Quem faz o sacrifício de não consumir no

presente precisa ser “remunerado”.– Quem tem o benefício de consumir o que não

tem (ainda) tem que “pagar”.

53

Juro real

• Inicialmente tenho V0 euros– Supondo que os preços se mantêm e que

não existe risco, para uma taxa de juro r%– Terei no fim do período

V1 = V0(1+ r)

Ex., para V0 = 10000€ e r = 10%, terei

V1 = 10000(1+ 10%) = 11000€

54

A Inflação

55

Inflação

• O crédito é denominado em euros• O valor do dinheiro resulta de podermos

comprar bens e serviços.– Como existe inflação, a quantidade de bens

que posso comprar com um Euro diminui com o tempo.

• Para comprar o mesmo, preciso receber mais dinheiro

• A taxa de juro tem que incluir a inflação

56

Inflação

• Inicialmente tenho V0 euros• Os preços, em média, aumentam %.• Para no fim do período poder comprar os

mesmos bens temos esta igualdade:• V0 / P = V1 / [P x (1+ )] Então:

V1 = V0(1+ )

57

Inflação

• A taxa de juro, R, tem que incluir a parte real e a parte nominal (a inflação):

V1 = [V0(1+ r)](1+ )

V1 = V0(1+ r)(1+ )

V1 = V0(1+ R)

com R = (1+ r) (1+ ) - 1

58

Inflação

• Por exemplo, quero uma remuneração real de 7.5% e uma correcção da inflação que é de 5%. Emprestando 5000€ quero receber

V1 = [5000(1+ 7.5%)](1+ 5.0%)

=5643.75€

R = (1+ 7.5%)(1+ 5.0%) – 1 = 12.875%

59

Segunda Aula

60

Risco de incumprimento

61


– O Futuro é incerto. – Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar

receber o dinheiro mais os juros– Mas posso não receber nenhum deles

• Ou receber apenas parte

– A obrigação pode não ser cumprida

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– Vamos supor que eu emprestei V0 euros e vou receber (penso eu) V1 euros.

– Existindo a probabilidade p de eu não receber nada, para, em média, ficar equivalente, terei que contratar uma taxa que corrija este riscoV0 = 0 x p + V1 x (1 - p)

V1 = V0 / (1 - p)

p >= 0 V1 >= V0

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• O risco acresce à taxa de juro real e à correcção da taxa de inflação

V1 = {[V0(1+ r)](1+ )}/(1- p)

• Então, a taxa de juro contratada será V1 = V0(1+ i)

i = (1+ r)(1+ ) / (1- p) - 1

64


• Para taxas de juro pequena podemos aproximar

• (1+ r) (1+ ) / (1- p) – 1 r + + p

• Mas é uma aproximação.

65

Exercício

66


• 1) Eu empresto 1000€– pretendo uma taxa de juro real de 6%– a inflação prevista é de 8% – o risco de incumprimento é de 10%.

• Qual deverá que ser a taxa de juro exigida neste contracto?

• Qual o capital final?

67


i = (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%) – 1 = 27.2%

V1 = 1000 (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%)

= 1000 (1+ 27.2%) = 1272€A taxa de juro é 27.2%6% + 8% + 10% = 24% é bastante < 27.2%

68


• O Credit Scoring é uma técnica de estimação da probabilidade de incumprimento de cada cliente.

• O Score é um índice que resulta de somar os efeitos de várias variáveis

• Este tema será desenvolvido em Gestão da Informação

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Evolução histórica

70

A taxa de juro

• Poderá a taxa de juro ser negativa?– Haver deflação– Haver poucas criancinhas e poucos

empresários, não há a quem emprestar dinheiro

• i.e., se não houver crescimento económico– Haver muito risco de os bens e dinheiro que

guardo em casa poderem ser roubado

71

A taxa de juro

• Se eu puder guardar notas sem custo (não haver risco de roubo),

• a taxa de juro de somas denominadas na moeda nunca poderá ser negativa

72

A taxa de juro

• Historicamente, os efeitos “negativos” são menores que os efeitos “positivos”– Há uma tendência secular de crescimento

económico

• Historicamente, a taxa de juro é positiva

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A taxa de juro

• Evolução da taxa de crescimento do PIB português 1910/2010 (fonte: Freitas, Miguel Lebre, 2004, “Acumulação de capital e crescimento económico em

Portugal: 1910-2000”, UA-WP, 20, Quadro 1)

0%1%2%3%4%5%6%7%

11/20 21/30 31/40 41/50 51/60 61/70 71/80 81/90 91/00 00/10

Tx.Cresc.PIB

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A taxa de juro

• Evolução da taxa de juro da divida pública portuguesa, espanhola e alemã a 10 anos Jan1993/Jul2014 (dados: Banco Central Europeu, “Long-term interest rate for convergence purposes...”, percentagem por ano)

0

2

4

6

8

10

12

14

1993 1998 2003 2008 2013

Alemanha

Espanha

Portugal

75

A taxa de juro

• Evolução da taxa de juro da divida pública do Reino Unido e alemã a 10 anos Jan1993/Jul2014 (dados: Banco Central Europeu, “Long-term interest rate for convergence purposes...”, percentagem por ano)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1993 1998 2003 2008 2013

Alemanha

UK

76

A taxa de juro

• Spead da taxa de juro da divida pública portuguesa e espanhola face à alemã a 10 anos Jan1993/Jul2014 (dados: Banco Central Europeu, “Long-term interest rate for convergence purposes...”, pontos percentuais)

0

2

4

6

8

10

12

1993 1998 2003 2008 2013

Espanha

Portugal

77

Unidades do juro

78

A taxa de juro

• Os preços das coisas são €/kg

• O preço do crédito (o juro) é uma percentagem por unidade de tempo.

• e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano– É uma taxa de juro de 10% por ano

79

A taxa de juro

• Como o juro incorpora 3 elementos– A remuneração do capital (o juro real)– A inflação– O risco de não cobrança

• Em termos de taxas temos, num anoVfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)

80

Exercício

• 2) Eu empresto 1000€, durante 1 ano.– A inflação (prevista) é de 2% por ano– O juro real (acordado) é de 1.5% por ano– O risco de não cobrança é de 3% por ano

• Qual deverá ser a taxa de juro?• Quanto dinheiro devo acordar receber?

81

ExercícioA taxa de juro deve ser de 6.687%:1+i = (1+ 0.02) x (1 + 0.015) / (1 – 0.03)i = 6.687% por anoDevo exigir receber (daqui a um ano)V1 = 1000 x (1+ 0.02) x (1 + 0.015) / (1 – 0.03)

V1 = 1000 x (1+ 6.687% )

= 1066.87€Os juros serão 66.87€.

82

Exercício

A soma das parcelas daria 6,500%2%+1.5%+3% = 6.5%

A taxa calculada é 6.687%

Quanto mais pequenas forem as parcelas, menor será a diferença

83

Ajustamentos da taxa de juro

84

A taxa de juro

• Assumir um juro proporcional à duração do tempo e à quantidade emprestada tem problemas– O risco de grandes somas é mais que

proporcional ao risco das pequenas somas• Por causa da diversificação do risco

– O risco de longos prazos é mais que proporcional ao risco dos curtos prazos

• O futuro distante é menos previsível

85

A taxa de juro

• Mesmo assim, usa-se como referência para o juro uma taxa por unidade de tempo, normalmente o ano.– e.g. 4.47%/ano

• Podendo haver ajustamentos ao prazo e ao valor

86

Taxas de referência

87

EURIBOR

– É a taxa de juro por ano que os bancos sem risco (first class credit standing) emprestam euros entre si

• De todos os contractos retiram-se os melhores e os piores 15%

• Reuters calcula a média dos restantes 70%– É uma referência nos contratos com taxa de

juro variável (e.g., crédito à habitação).– É calculados para : 1 sem., 2 sem., 1 m.,

2 m., 3 m., 6 m., 9 m. e 12 m.

88

EURIBOREURIBOR a 3 meses entre Jan1994 e Ag2013

0%

1%

2%

3%

4%

5%

6%

7%

8%

1994 1999 2004 2009 2014

89

EURIBOREURIBOR dependendo do prazo do contrato(Escalas: 30-06-2008 esquerda; 30-04-2010 direita)

90

EURIBOR

• Taxa EURIBOR

– Como é uma taxa sem risco, os particulares acrescem um Spread à sua taxa que é a previsão que o credor tem do risco de não cobrança de cada cliente.

– Os depositantes recebem menos que a EURIBOR – “pagam” os serviços bancários

91

A taxa de juro do BC

• Taxa de desconto do Banco Central– O BC controla a quantidade de moeda em

circulação,– i.e., controla a inflação, o nível geral de preços– Não tem qualquer efeito real

– Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a 4.5%/ano – denomina-se janela de desconto

92


• Taxa de desconto do Banco Central não é uma boa medida da taxa de mercado sem risco– A cedência de liquidez é de “último recurso”.– Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1

ponto percentual (está suspenso)– Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 pp..(actualmente este aumento está suspenso)

93


94

Terceira Aula 30 Set

95

Capitalização

96

Situação dita normal

• A taxa de juro é referida a uma unidade de tempo, normalmente um ano. – Se a duração do contrato for de vários anos

mas os juros forem pagos no final de cada ano

– Estamos sempre a voltar à situação inicial.

• Esta é a situação dita normal.

97

Situação dita normal

• Emprestei 1000€ em 1/1/2013 à taxa de juro de 3.500%/ano pelo prazo de 5 anos. Data Recebo Capital

• 31/12/2013 -> 35.00€ 1000€• 31/12/2014 -> 35.00€ 1000€• 31/12/2015 -> 35.00€ 1000€• 31/12/2016 -> 35.00€ 1000€• 31/12/2017 ->1035.00€ 0€

98

Capitalização

• Se os juros forem pagos apenas no fim do prazo contratado (de vários anos)

• Cada ano, o capital em divida vai aumentando

• Esta é a situação capitalizada.

99

Capitalização simples

100


• Neste caso, desprezamos os juros dos juros.

• É como se cada ano recebêssemos os juros.

101


• No final de n anos, receberemos

Jtotal = Vinicial n i Vfinal= Vinicial +Jtotal = Vinicial (1+ ni)

itotal = n i

102

Exercício

• Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do período, capitalização simples. – Spread de 2 pontos percentuais

• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano e 4.765%/ano, respectivamente.

• Qual a quantia a pagar?

103

Exercício

• R. Os juros serão J = 10M€(5.754% + 6.217% + 6.765%)

= 1873.60€

O capital final seráV = 10000€ + 1873.60€ =11873.60€.

104

Exercício

C3: =B3*B$1C6: =SUM(C3:C5)C7: =C6 + B1

105

Período de tempo fraccionário

Se a duração do empréstimo for menor que a unidade de tempo (normalmente, o ano), com capitalizaçã0 simples, divide-se o juro proporcionalmente ao tempo.

Ex. Emprestei 1000€ durante 25 dias à taxa de juro de 2%/ano. Com capitalização simples, quanto vou receber no fim do prazo?

1000 x (1 + 0.02 x 25/365) = 1001.37€

106

Conta Corrente

Numa CC vamos lançando os movimentos ao longo do tempo capitalizando os valores.

Uma conta é remunerado à taxa de 2%/ano, capitalização simples, a creditar em 1Jan do ano seguinte.

107

Exercício

108

Exercício

E5: =A6-A5 F5:=D5*E5/B$2*B$1D6:=C6+D5C15: =SOMA(F5:F14)

109

Capitalização Composta

110

Capitalização Composta• Neste caso, são contabilizados os juros

dos juros.

111

Capitalização

• Emprestei 1000€ em 1/1/2013 à taxa de juro de 3.500%/ano pelo prazo de 5 anos.

Ano Capital Juros Capital Final31-12-2013 1000,00 35,00 1035,0031-12-2014 1035,00 36,23 1071,2331-12-2015 1071,23 37,49 1108,7231-12-2016 1108,72 38,81 1147,5231-12-2017 1147,52 40,16 1187,69

112

Capitalização

• C2: =B2*3,5%• D2: =B2+C2• B3: =D2• Depois, copio estas formulas ao longo das

colunas e elas vão-se adaptando

113

Capitalização Composta• Cada ano, os juros acrescem ao capital

Jt+1 = Vt i

Vt+1 = Vt + Vt i = Vt (1+ i)

• No ano seguinte, vencem juros. Vt+2 = Vt+1 (1+ i)

= Vt (1+ i) (1+ i)

= Vt (1+ i)2

114

Capitalização Composta• A capitalização simples despreza uma

parcela ( i2 = os juros dos juros).

Vt+2 = Vt (1+ i)2

Vt+2 = Vt (1+2 i + i2)

Se i for pequeno, i2 é insignificante

115

Capitalização Composta• Cada ano, os juros acrescem ao capital,

no final de n anos, receberemos Vfinal = Vinicial (1 + i)n,

A taxa de juro total a receber no final dos n anos vem dada por:

Vinicial (1 + itotal) = Vinicial (1 + i)n,

itotal = (1 + i)n - 1

116

Exercício

• Ex.1.6. Emprestando 25M€, a 5 anos à taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim dos 5 anos com capitalização composta.

i) Qual o capital final a receberii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e compare com a capitalização simples.

117

Exercício

• i) O capital final a receber será de 25000 (1 + 5%)5 = 31907.04€

• ii) A taxa de juro do contrato será (1+5%)5 –1 = 27.628% com capitalização simples seria menor

= 5x5% = 25%

118

• Ex.1.7. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos em que os juros são pagos no fim do prazo, capitalização composta.

• A taxa de juro foi 5.754%/ano; 6.217%/ano e 6.765%/ano, respectivamente.

• Qual a quantia a pagar?

119

• O valor a receber seráV(1+ 0.05754)(1+ 0.06217)(1+0.06765)=11992.78€

D2: =B2*C2E2: = B2+D2B3: = E2

120

Quarta Aula

121

Tempo fraccionado

122


• Na expressão da taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1

• O número de anos é inteiro.• No entanto, podemos extrapolar o conceito

de capitalização a fracções do ano.

123

Exercício• A taxa anual é a capitalização 12 meses

da taxa mensal• (1+ i.anual) = (1 + i.mensal)^12

• Ex. Uma taxa de juro mensal de 1%/mês corresponde a:

• (1+1%)^12 – 1 = 12.683%/ano

124


• Posso passar de uma unidade de tempo qualquer para outra, por exemplo, ano para trimestre.

• Ex. Emprestei 1000€ durante 3 meses a uma taxa anual de 5%/ ano, quanto vou receber de juros (c. composta):

125


i = (1 + 5%)0.25 – 1 = 1,227% – 3 meses correspondem a 0.25 anos.

• Vou receber 12,27€ de juros

• Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha os 5%

(1 + 1.227%)4 – 1 = 5%

126


• Ex.1.11. Num empréstimo de 100M€ foi acordado o pagamento mensal de juros à taxa média do último mês da EURIBOR a 3 meses e o capital no fim do prazo acordado.

• Supondo um mês em que a taxa de juro foi de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?

O uso da EURIBOR

• A EURIBOR é calculada em todo o dias úteis.

• O seu uso como indexante tem que estar explicitado no contrato.“O valor do indexante a aplicar aos contratos de

crédito, aquando da respetiva fixação ou revisão, deve resultar da média aritmética simples das cotações diárias do mês anterior ao período de contagem de juros.”

http://clientebancario.bportugal.pt/pt-PT/TaxasdeJuro/Paginas/IndexanteEuribor.aspx

127

128


• R. A taxa mensal será (1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796%

– Um mês corresponde a 1/12 anos

465.80€ de juros referentes ao mês

129


• Ex.1.12. Num empréstimo a 5 anos, foi acordada uma taxa de juro total de 25%. Supondo que os juros são pagos trimestralmente, qual será a taxa de juro trimestral?

– Vou passar de 5anos para trimestral

130


• R. Um trimestre será 1/20 do período total do contrato pelo que a taxa de juro trimestral será dada por

(1 + 25%)^(1/20) – 1 = 1.122%/trimestre.

131

Valor Futuro

132

Valor Futuro = Valor capitalizado

• Muitas vezes eu tenho que comparar recursos escassos disponíveis em períodos de tempo diferentes.

• O mais simples é comparar uma soma disponível no presente com outra soma disponível daqui a n anos.

133

Valor Futuro

• Ex.1.13. Umas tias propõem-se a dar-vos agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a licenciatura.

• É preciso comparar estas duas somas que estão disponíveis em instantes diferentes?

• O que será melhor?

134

Valor Futuro = Valor capitalizado

• Para comparar vou usar a taxa de juro como “taxa de câmbio” entre o presente e o futuro.

• O valor futuro é o valor capitalizado do valor presente

135

Valor Futuro

• Ex.1.13. Umas tias propõem-se a dar-vos agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a licenciatura.

• Supondo que conseguem financiamento / depositar a uma taxa de juro de 10%/ano, qual a soma de dinheiro mais apetecível?

136

Valor Futuro

• R. O valor futuro dos actuais 1000€ daqui a 3 anos será 1000(1+10%)^3 = 1331€ que é maior que os 1200€

Os 1000€ agora valem mais que os 1200€ daqui a 3 anos

• Então, será melhor receber os 1000€ já.

137

Obrigação

• Uma “obrigação” é o título pelo qual o devedor se obriga a pagar um valor periodicamente (o cupão) e uma soma final (o valor de resgate).

• A obrigação tem um valor nominal (o Par)• Vamos ver um exemplo de obrigação com

cupão zero

138

Obrigação

• Ex.1.14. Foram colocadas à venda obrigação do SCP de valor nominal de 5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP resgata a obrigação ao par (i.e., paga os 5€) daqui a 3 anos com cupão zero, qual a taxa de juro desta aplicação?

139

Obrigação

• R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão 5.00€ pelo que a taxa de juro resolve:

• será 7.277%/ano:

1)05.4/5(5)1(05.4 3/13 ii

140

Fazer em casa

141

Exercício

• Ex.1.8. Durante o ano, um indivíduo no início de cada mês fez os seguintes movimento bancário: +250; +100; –50; +125;– 150; +250; –350; –25; –10; +50; 0; 200. Para uma taxa de juro constante de 0.165%/mês, determine o saldo da conta no fim do ano com capitalização mensal composta.

142

Exercício

143

Exercício

• B1: =(1+B2)^12-1• C4: =B4; D4: =C4*B$2; E4: =C4+D4 e copiava• C5: = B5+E4 e copiava• F4: = =B4*(1+B$2)^(13-A4) e copiava• F16: =sum(F4:F15).

144

Quinta Aula7 Out

145

Valor Futuro

Ex.1.15. Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses.– As prestações são antecipadas

Antecipada -> paga no principio do períodoPostecipada -> paga no fim do período

146

Valor Futuro

Ex.1.15. Um indivíduo deposita no início de cada mês 1000€ durante 60 meses.– As prestações são antecipadas

Para uma taxa de juro de 4%/ano, determine o valor futuro total das parcelas poupadas (i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60 meses).

147

Valor Futuro

Vou calcular o valor futuro de cada prestação:

O valor futuro de 1000€ depositados no início do mês m é

O +1 é por o deposito ser “antecipado”

12/)160(%)41.(1000 mmVF

148

Valor Futuro

Tenho que somar as 60 parcelasO valor futuro total valerá

Resolvo no Excel.

60

1

12/)160(%)41(1000i

iVF

149

Valor FuturoC2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copio em coluna

C62: =Sum(B2:B61)]

150

Valor FuturoUsar em casa com uma conta corrente

G3=(1+G2)^(1/12)-1C2: =B2*$G$3 D2: =B2+C2 B2: =D2+$G$1

Copiar em coluna

151

Valor ActualDesconto

152

Desconto

• Sendo que capitalizar é andar para a frente no tempo

• Descontar é andar para trás no tempo

• É, na taxa de juro capitalizada de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir um número negativo de anos

153

Desconto = Valor passado

• Em termos económicos, pode traduzir o valor passado de uma quantidade de dinheiro presente

– Eu recebi hoje 1000€ de um valor que emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o capital que eu emprestei?

154

Desconto = Valor actual

• Também pode traduzir o valor actual (no presente) de uma quantidade de dinheiro que vou ter disponível no futuro

€56.675%)41.(1000

%)41.(100010

10

VV

V

155


• No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€, pagos daqui a 10 anos.

• Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses 100€ de daqui a 10 anos valem no presente

100€ x 1.06–10 = 55.84€.

156


• Ex.1.16. Um estudante, quando terminar o curso, vai receber de umas tias um prémio de 10000€. Supondo que pensa terminar o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa de desconto é de 5% ao ano, qual será o seu valor actual?

157


• Posso “vender” este activo e receber no presente 2313.77€ (a outra pessoa que tenha uma taxa de desconto <=5%).

€77.2313%)51.(10000 30

VV

158


• Ex.1.19. Um indivíduo depositou num banco em 1940 uma soma. Sendo que esse banco devolveu 1milhão€ em 2008, qual terá sido a soma depositada?– Taxa de desconto de 3.5%/ano

159

Desconto – Valor actual

• R. Descontando 1milhão€ para 1940, temos = 96395.38€.

€38.96395%)5.31.(1000000 68

VV

160


• Ex.1.18. Um sortudo ganhou numa lotaria um prémio e deram-lhe a escolher receber 350k€ agora ou 1000€ no fim de cada mês dos próximos 50 anos.

• Determine a taxa de juro implícita nesta opção

161


R. Vou descontar cada um dos 1000€ ao presente, somá-las todas e aplicar a ferramenta atingir objectivo.

162


B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3;C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)

163


Goal Seek = Atingir ObjectivoMenu Data+ Data Tools + what if analysis

164

Sexta Aula

165

Pagamento da dívida Rendas / amortizações

166

Rendas

• Já consideramos duas possibilidades para o pagamento da dívida.

• 1) Os juros são pagos periodicamente e o capital é pago no fim do prazo contrato.

• 2) O capital mais os juros são pagos no fim do prazo contrato.

167

Rendas

• Vamos explorar uma outra possibilidade• É paga uma prestação em cada período• No final do prazo não há mais nada a

pagar– Cada prestação contêm juros e amortização do

capital

• Denominamos este plano como uma Renda

168

Rendas

• Uma renda transforma uma determinada soma de dinheiro num rendimento.

• Um stock num fluxo

169

Rendas

• As prestações podem ser– regulares ou irregulares no tempo – constantes ou variáveis no valor– haver ou não diferimento de alguns

períodos– terem duração limitada ou serem

perpétua

170

Rendas• Emprestamos um capital que

recuperamos na forma de uma renda – e.g., saiu-nos a lotaria e queremos um

rendimento mensal

• Pedimos um capital que pagamos na forma de uma renda – e.g., um crédito à habitação que amortizamos

mensalmente

171

Rendas• Pagamos uma renda que recebemos no

final na forma de um capital – e.g., depositamos uma quantia mensal para

comprar um barco a pronto no futuro• Recebemos uma renda que pagamos no

fim na forma de um capital – e.g., termos um rendimento mensal à custa

de uma herança que vamos receber no futuro

172

Rendas

• Receber uma renda que pagamos na forma de renda – e.g., pagamos os estudos com um

financiamento mensal que amortizamos no futuro com uma prestação mensal.

173

Rendas

• Obtemos o valor actual da renda descontando todos os recebimentos ao instante de tempo presente.

• Para efeito de comparação, podemos usar outro instante de tempo qualquer mas tem que ser o mesmo para todas as prestações

174

Rendas

• Temos que clarificar o que é – um instante de tempo e – um período de tempo

• O tempo é uma linha contínua

175

Rendas

• Cada ponto é um instante de tempo– e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010.

• Um intervalo de tempo é o segmento que medeia dois instantes de tempo, – e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia

15 de Janeiro de 2010 e as 12h00 do dia 15 de Julho de 2010.

• O instante final de um período é sempre o instante inicial do período seguinte. – e.g. o fim de 2010 é igual ao início de 2011.

176

Rendas• Ex.1.21. No sentido de se licenciar, um

estudante necessita uma renda antecipada cuja prestação mensal é de 300€/mês e a duração de 36 meses. Supondo uma taxa de juro de 5%/ano, utilize o Excel para calcular o valor actual dessa renda

177

Rendas

B4: =B$2 C4: =B4*(1+B$1)^-((A4-1)/12) e copiava

C40: =SUM(C2:C37). Em vez de calcular a taxa de juro mensal, utilizei partes

fraccionadas nos anos, (A4-1)/12.

178

Rendas

• Ex.1.22. O Jardel, aos 26 anos de idade, ganhava 300mil€ por mês.

• Poderia ter constituído um depósito de 1.5 milhões de euros e

• Receber, a partir dos 35 anos, 600 prestações mensais postecipadas de 5000€ cada.

• Determine a taxa de juro implícita.

179

Rendas

• F2: =(1+F1)^(1/12)-1• C2: =B2*(1+$F$2)^-(A2-A$2) e copiava até C602; • F3: =Sum(C2:C602). • Definir F3 para atingir o valor 0 por alteração da

célula F1.

180

Rendas

• Ex.1.23. Uma família adquiriu uma habitação mediante um empréstimo bancário de 150mil€ à taxa de juro de 5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação mensal a pagar?

720.29€ / mês

181

Rendas

182

Rendas

• Na coluna A estão os meses, na B as quantias recebidas, na C as quantias descontadas ao presente

• B3: =E$3; C3: =B3/(1+$E$1)^A3 e depois copiamos ambas em coluna.

• C603: =Sum(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.• Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo

C603 para 0 por alteração de E3.

183

Rendas

• Fazer em casa os dois exercícios anteriores com uma conta corrente

184

Conta corrente• Ex.1.25. Uns comerciantes de frutas e legumes numas

alturas podem poupar e noutras não. Como, em média, conseguem poupar 325€/mês, quando o filho fez 15 anos, pensando que precisará de 750€/mês quando for para a universidade, decidiram constituir uma conta poupança.

• Numa folha de Excel lancei a data e os movimentos (colunas A e B).

• A taxa de juro quando o saldo é negativo (taxa de juro activa) é de 5%/ano e quando os saldo é positivo (taxa de juro passiva) é de 2%/ano.

185

Conta corrente

C2: =B2 D2: =(A3-A2)/365 E2: =C2*((1+SE(C2>0;J$3;J$2))^D2-1)F2: =C2+E2 C3: =B3+F2 e copiava em coluna B84=-F83

186

Sétima Aula14 Out

187

Expressão analítica de uma renda

188

Renda perpétua

• Numa renda perpétua, recebe-se uma prestação para sempre.

• Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim de cada período (i.e., postecipada), é uma situação idêntica a um depósito em que no fim de cada período, são pagos apenas os juros

189

Renda perpétua postecipada...)1()1()1( 321 iPiPiPV

121

1

)1(...)1()1(

)1(

iiPiP

iPV

11 )1()1( iViPV

VPiVVVPiV )1(

iPV

190

Renda perpétua

• Como os juros de cada período valeriamJ = Vi

Com P e i podemos determinar o valor da renda (ou da taxa de juro implícita com P e V)

P = prestação, i = tx.juro, V = valor actual da renda

VPi

iPViVP

191

Renda perpétua

• Ex.1.26. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês para sempre. Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano, qual será o valor presente do terreno?

192

Renda perpétua

• Primeiro, calculo a taxa de juro mensal• i.mensal = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%

• Depois, aplico a expressão• V = 50 / 0.407% = 12278.58€

193

Renda perpétua

• Ex.1.27. Um eucaliptal produz, a cada 10 anos, 12kg/m2 de madeira. Supondo um preço de 0.03€/kg de madeira e uma taxa de juro de 3%/ano, qual será o valor actual do eucaliptal?

194

Renda perpétua

• R. Calculo a taxa de juro por 10 anos, (1+3%)^10–1= 34.392%, e aplico essa taxa na expressão da renda perpétua postecipada:

• V = (120.03)/34.392% = 1.05€/m2.

195

Renda perpétua

• Se a renda for antecipada (a prestação é paga no princípio do período), teremos que somar uma prestação inicial

)1( iiPV

iPPV

196

Renda perpétua

• Se houver deferimento de, e.g., 2 períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada ao presente:

197

Renda perpétua

• Se houver diferimento de n períodos (tempo em que não é paga prestação), a renda terá que ser descontada n períodos ao presente:

• Só se começa a receber daqui a n+1 períodos (a expressão p/i é a renda postecipada)

niiPV )1(

198

Renda perpétua

• Se a renda for antecipada, aplica-se a correcção:

• Começa-se a receber daqui a n períodos– A renda antecipada diferida 5 anos é uma

renda postecipada diferida 6 anos

niiiPV )1()1(

199

Renda de duração limitada

200


• Com o conhecimento da expressão da renda perpétua– Também se chama perpetuidade

• Podemos calcular o valor de uma renda de duração limitada

• Compondo duas rendas perpétuas: uma a somar e outra a subtrair

201


• Recebemos a prestação R entre o presente e o período N (postecipada).

• É equivalente a receber uma renda perpétua a começar agora e

• pagar uma renda perpétua a começar no período N,

• Descontado tudo ao presente.

202


])1(1[)1( NN iiPi

iP

iPV

Se a renda for paga no princípio do período (i.e., antecipada)?

Teremos que somar uma parcela.

Descontar menos um período

203


)1()1(1

)1()1(

)1(1

)1(

)1(

iiiP

iiiP

iiPPV

N

N

N

204


• Ex.1.30. Um agricultor arrendou um terreno por 50€/mês, pago no fim do mês, até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e., daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de juro anual de 5%, qual será o valor presente do terreno?

205


• Já não preciso do Excel

r = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300) = 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€

• Mas podemos usá-lo para verificar


• Verificar em casa o resultado com o uso do Excel

206

207


C2: =B2*(1+$D$2)^-A2 C302=sum(C2:C301)

208


• Ex.1.29. Uma obrigação com o valor nominal de 100€ paga trimestralmente 1€ de cupão e o par (i.e., os 100€) mais o cupão do trimestre final ao fim de 10 anos. Sabendo que foi emitida ao par, determine a taxa de juro implícita desta obrigação.

209


R. No trimestre final recebemos não só o cupão mas também o par, logo

Simplificando a expressão

4040 )1(100])1(1[1100 iii

])1(1[1)1(1100 4040 ii

i

210


R. Resulta

i.t = 1%/trim i.a = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano

211

Oitava Aula16 Out

212


• Ex.1.31. o Figo, entre os 25 e os 35 anos, depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações postecipadas).

• Com essa poupança vai receber uma renda de valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600 prestações postecipadas).

• Para uma taxa de juro anual de 3%, quanto vai receber por mês?

213


• Vamos usar como instante de referência os 25 anos (acabados de fazer)

• Vamos somar – Duas rendas de duração limitada– Ou quadro rendas perpétuas

214


mês

milx

x

mil

/€93,44554600%)^247.01(1

120%)^247.01(120%)^247.01(1100

600%)^247.01(1%247.0

120%)^247.01(120%)^247.01(1%247.0

100

44603€/mês com o arredondamento da taxa de juro

Obrigações de taxa fixa

215

216

Obrigações a taxa fixa• Já foi referido que uma obrigação consiste

num activo que condensa uma entrega inicial e recebimentos futuro.

• Recebe-se o “cupão” ao longo do tempo e uma soma no final (o valor de remissão)

• O valor da obrigação é o valor actual dos recebimentos futuros– Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr

de mercado

217

Obrigações a taxa fixa• Como valor da obrigação é o valor actual

dos recebimentos futuros,

• O seu valor altera-se com o decorrer do tempo – Porque se aproxima a data de remissão– Porque a taxa de juro de mercado altera-se

218

Obrigações a taxa fixa

219

Obrigações a taxa fixa• Ex.1.33. Uma obrigação a 10 anos de

valor nominal de 100€ reembolsável ao par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10 anos) cupão zero, vai ser vendida em leilão.

• 1) Para uma remunerado a uma taxa média de 7.5%/ano, qual o preço máximo que o investidor está disponível a pagar?

220

Obrigações a taxa fixa• 1) Vamos descontar os 100€ ao presente:

€52.48075.1100 10 V

221

Obrigações a taxa fixa• 2) Passados 5 anos, qual será o valor da

obrigação?

• 3) Se o mercado justificar um aumento da taxa de juro em um ponto percentual, qual a desvalorização da obrigação?

222

Obrigações a taxa fixa• 2) Já só faltam 5 anos para receber os

100€

• 3) O aumento da taxa de juro desvaloriza a obrigação em 4.5%

€66.69075.1100 5 V

€50.66085.1100 5 V

223

Obrigações a taxa fixa• 4) Se o investidor adquiriu a obrigação a

45€, qual a taxa de juro que pensava receber?

• 5) E qual será a taxa de juro que efectivamente recebeu quando vendeu a obrigação depois da desvalorização?

224

Obrigações a taxa fixa• 4) A taxa de juro prevista era

• 5) E passou a ser

%31.8€45)1(100 10 iiV

%13.81)45/50.66(

)1(45/50.66

€45)1(50.66

5/1

5

5

i

i

iV

225

Obrigações a taxa fixa• Ex.1.34. Uma obrigação soberana (i.e.,

emitida por um Estado) a 50 anos emitida em 2010 cujo par é 1000€ paga um cupão anual de 25€ postecipado e o par mais o cupão no fim do prazo.

• Qual a taxa de juro da obrigação se for adquirida ao par?

226

Obrigações a taxa fixa

• Podemos simplificar a expressão obtendo uma renda perpétua:

100011000)1(125 5050 rrr

100025)1(11000)1(125 5050 rrr

r

227

Obrigações a taxa fixa• Decorridos 6 meses, no mercado

secundário a obrigação está a ser transaccionada a 900€

• Para que taxa de juro aumentou a remuneração desta obrigação?– > De 2.500%/ano para 5.418%/ano

228

Obrigações a taxa fixa• Usava a ferramenta Goal Seek do Excel

C2: =B2*(1+E$1)^-A2 e copiava em colunaE2: = Sum(C2:C51)

Resolver em casa

229

230

Nona Aula21 Out

TAEGTaxa Anual Efectiva Global

231

232

TAEG implícita no contrato

• TAEG – Taxa anual efectiva global • Actualmente, é obrigatório nos anúncios

(de venda a crédito) que seja afixado o preço a pronto pagamento e a taxa de juro implícita efectiva calculada com todas as despesas a incorrer pelo cliente (global)– Também é referido o total de encargos do cliente

233


• A TAEG é a taxa de juro anual que faz a soma do valor actual de todos os pagamentos igual ao preço de pronto pagamento.

234


• Ex.1.35. Um televisor (ppp de 1190€), a crédito “paga na entrega 119€ mais 12 prestações trimestrais de 100€. Tem que pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.

• Determine a TAEG deste contrato de crédito.

235


• Podemos indicar algebricamente o resultado

• Mas o mais fácil é determina-lo no Excel

0)1(50))1(1(1001191190 412

iii

236


237


B2: = 1190-119; B3: 100; B6: -150C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copiar em coluna. C15: =Sum(C2:C14)Definimos a célula C15 para o valor 0

alterando E2.

• Se a EURIBOR for 5.5%/ano, qual é a probabilidade de incumprimento implícita neste contrato de crédito?

238


%426.4%)386.101/(%)5.51()1(

)1/(%)5.51(%386.101

pp

p

239


• Ex.1.36. Um anúncio dizia “Telefone que lhe emprestamos 5000€ por apenas 150€ mensais (durante 60 meses, TAEG=29.28%)”.

• Confirme a TAEG.

240


0])1(1[1505000

])1(1[1505000

])1(1[

60

60

ii

ii

iiRV N

Tem que se determinar no Excel

241


%46.291)1(%175.2 12 iii anual

Primeiro teste até aqui

242

243

Preços correntes e constantes

244


• A inflação (i.e., a subida generalizada dos preços dos bens e serviços) não tem efeito na afectação dos recursos escassos.

• Apenas a alteração dos preços relativos tem efeito.

245


• Quando comparamos preços de um bem disponíveis em instantes de tempo diferentes é preciso ver a evolução do nível médio de preços– A ponte D Luís custou 1850 €

Março 1884– A ponte 25-de-abril custou 11milhões €

Setembro 1964– A Ponte Vasco da Gama custou 680milhões €

Novembro 1996

246


• As somas seriam equivalentes se

– 1850 € (em 1884) -> 11milhões€ (em 1964)Capitalização à taxa de 11.4%/ano

– 11M€ (em 1964) -> 680M€ (em1996)Capitalização à taxa de 12.5%/ano

247

O Índice de Preços

• Calcula-se em cada ano o preço de uma capaz de compras representativo do consumidor médios (pesos de 2005).

B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5

Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preço médio 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €

248


• O IPC é a passagem do preço do cabaz ao valor 100 no ano base.

• B7: =B6/$B$6*100•

Rúbricas\ano 2005 2006 2007 2008 2009 PesosHabitação 345 € 367 € 389 € 372 € 339 € 40%Alimentação 641 € 654 € 663 € 669 € 652 € 21%Vestuário 245 € 240 € 243 € 247 € 251 € 22%Transportes 145 € 162 € 178 € 182 € 163 € 17%Preços 351 € 364 € 379 € 375 € 355 €IPC 100,00 103,79 107,80 106,67 101,22

249


• Em teoria, o índice de preços refere-se a um instante de tempo

• Mas não é possível medir todos os preços no mesmo instante

• Então, é um valor médio do período IP20002010 = preço médio em 2010 na base 2000

250


• O “preço médio” normalizado denomina-se por Índice de Preços no Consumo, havendo outros índices de preços– índice de preços na produção– índice de preços nos mais pobres– índice de preços no interior norte– índice de preços na construção– etc.

251


• Os preços dos bens ou serviços observados no dia a dia denominam-se de “preços correntes” (ou “preços nominais”) e variam ao longo do tempo.

• e.g., há um ano a gasolina tinha um preço diferente do preço que actualmente vigora.

252


• Os preços corrigidos da inflação denominam-se de “preços constantes” ou “preços reais”.

253


• Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços.

• Temos os preços correntes do período J, PJ, que queremos em preços reais com base no ano T, PTJ

• PJ PTJ

254


• Para transformar preços correntes em preços reais utilizamos o índice de preços.Um bem custava P2005 = 100€, IP20052005 = 100 e

custa actualmente P2012 = 250€, IP20052012 = 237

Compare os preços em termos reais

255


Posso passar os 250€ de 2012 para 2005P20052012 = 250 * 100 / 237 = 105.49

Ou o preço de 2005 para 2012P20122005 = 100 * 237/ 100 = 237.00

-> Em termos reais, o bem custa hoje mais 5.49% que custava em 2005105.49€/100.00€ = 250.00€ / 237.00€ = 1.0549

256


• Em termos de notação algébrica, é difícil memorizar mas basta fixar que:

• Se o índice de preços aumentou (o mais normal),

• 1) trazer preços nominais do passado para o presente, aumenta o seu valor

• 2) levar preços nominais do presente para o passado, diminui o seu valor

257


• Transformamos PJ PTJ• Multiplicando o preço corrente pelo índice de

preços do período T, IPTT, e dividindo pelo índice de preços do período J, IPTJ:

• Não interessa a base do IP pois dá-se uma mudança de base.

JIPTIPPJJPT

TT

258

Décima Aula

259

Dúvidas

260

Décima primeira Aula

28 Nov

261


• Ex.1.37. O preço de um frigorífico diminuiu de 178.50€ em 2006 para 169.90€ em 2010. Com IP20052006 = 101.61 IP20052010 = 102.86

Quais os preços na base 2005?Qual o preço de 2006 na base 2010?Qual foi a variação em termos nominais e

reais do preço?

262


• R. em 2005 o IP vale 100 porque é o ano base

• P20052006 =178.50100/101.61 = 175.67€• P20052010 =169.90100/102.82 = 165.24€

• Para 2010 ocorre mudança da base• P20102006 =178.50102.82/101.61 = 180.73€

263


• Em termos nominais temos 169.90/178.50 –1 = – 4.77% (169.90 – 178.50)/178.50 = – 4.77%

Em termos reais temosVariação = 165.24/175.77 –1 = –5.98%Var. média anual (1–5.98%)^(1/4) –1 = –1.53%/ano

264


• Podíamos usar outro ano base qualquer• e.g., 2010

Variação = 169.90/180.73 –1 = –5.98%

265


• Ex.1.38. O salário mínimo em 1974 era de 16,46€ e em 2010 é de 475,00€.

• IPC20001974 é 4.003 e

• IPC20002010 é 126,62.• compare, em termos reais (de 2010), o

poder aquisitivos do SM nesses dois anos e a taxa de variação anual em termos nominais e reais.

266


• Se quiséssemos comparar em termos de preços reais do ano 2010 fazemos

• os 16.46€ de 1974 valem a preços de 2010

• SM20101974= = 520,65€• Que é maior que os actuais• SM20102010 = 475€

003.462,12646.16

267


• R. Relativamente à taxa de variação, no espaço de 36 anos, em termos nominais o SM aumentou

(475/16.46)^(1/36)–1 = 9,79%/ano

• em termos reais, diminuiu (15.02/16.46)^(1/36) –1 = –0,25%/ano.

268

Taxa de Inflação

269


• A taxa de inflação é calculada pelo INE com base no IPC e tem periodicidade mensal.

• Taxa de inflação homóloga – compara o IPC do mês corrente com o IPC do mês igual do ano anterior.

• Taxa de inflação média – é a média das 12 taxas de inflação homóloga.

270


• Taxa de inflação acumulada – é a variação percentual do IPC desde o princípio do ano.

• A taxa de inflação mensal anualizada – é a variação percentual entre o IPC no mês anterior e o IPC no mês actual anualizada: (1+π)12-1.

• A taxa de inflação em cadeia – é a taxa de inflação mensal (ou trimestral) sem anualizar

271


• Interessará retirar a inflação da análise de equivalência das somas de valores dinheiro obtidas em instantes de tempo diferentes.

• e.g., precisamos saber se a renda de 44603€ mensais dará ou não para comprar alguma coisa quando o Figo tiver 85 anos.

272

Taxa de inflação

• Sendo IPT J e, IPT J-1os índice de preços no período J e J-1,

respectivamente• Calculamos a taxa de inflação durante o

período J, J , por:

1)1()1(

)1(

JIPJIP

JIPJIPJIP

T

T

T

TTJ

273


• Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC valia 128.7 e em Março 2006 passou a valer 131.4,

• Então, a taxa de inflação homóloga de Março entre estes dois “instantes” foi de 131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

274

Taxa de inflação

• Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia 128.7 e em 2006 valia 131.4, então a taxa de inflação em 2006 foi de

131.4/128.7 – 1 = 2.1%.

Neste exemplo, 128.7 refere-se à média do IPC de Jan., Fev., …, Dez. de 2005

275

Taxa de inflação

• Como a taxa de inflação é calculada com o índice de preços, podemos utilizá-la na transformação de preços correntes em preços reais

• Ou mesmo a refazer o IPC

nTTTTIPnTIP 1...11)()( 21

276

Décima segunda Aula

277


• Se o preço corrente de um bem em 2006 foi de 150€, podemos saber a quanto correspondia em 2005 em termos reais (constantes) descontando este preço com a taxa de inflação

• O preço do bem, a preços de 2005, seria

€92.146%1.211502006 12005 p

278


• O preço de um bem era p2005 = 1.25€ e passou para p2006 = 1.30€. Sendo que em 2006 a inflação foi de 2.1% será que o preço deste bem aumentou em termos reais?

279


• O preço, em termos reais, aumentou 1.86%– Vou ver quanto vale 1.30€ de 2006 em 2005

e comparo com 1.25€ :

%86.11250.1/273.1

€273.1%1.2130.12006 12005

p

280

Exercício

• Ex.1.42. No exercício 1.31, vimos que o planeamento da reforma do Figo se traduz numa prestação mensal a preços correntes de 44603€ até aos 85 anos.

• Prevendo-se uma taxa de inflação de 2% ano,

• i) Determine a preços constantes de agora, qual será o valor desse prestação (faltam 50 anos).

281

Exercício

• Vamos descontar 44603€ ao presente com a taxa de inflação de 2%/ano como taxa de desconto:

• Em termos reais, corresponde a apenas 37% do valor nominal.

€16571%)21(44603 50 R

282

Análise a preços constantes

283


• Ex.1.42.ii) Supondo as mesmas entregas, determine um plano de reforma que mantenha o poder aquisitivo (igual em termos reais).

284


• Posso fazer a análise

• a “preços correntes” aumentando as prestações na taxa de inflação prevista

• Ou a “preços constantes” retirando a taxa de inflação da taxa de juro

• Fica a taxa de juro real mais a correcção do risco.

285


• Fazemos a análise a preços reais retirando a taxa de inflação da taxa de juro nominal. A taxa de juro real mensal é 0.0813%= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.

€29381000813.11

000813.013944800

13944800)000813.11(0008135.0

600

600

xx

x

286


• A “preços correntes”, uso o Excel:

287


• B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3; • C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos

em coluna; • C603: =Sum(C2:C602) e usamos a

ferramenta “Atingir objectivo”, definir a célula C603 para o valor 0 por alteração da célula E1

288


• Retirada a taxa de inflação à taxa de juro nominal (“preços constantes”), deu o mesmo resultado

289

Fazer em casa o exercício usando uma conta corrente

290

Compatibilização de tramos da série com diferentes bases

• Com o acesso a fontes diferentes de informação e com o decorrer do tempo, as séries de preços mudam de base.

• Nessa alturas, o índice sofre uma quebra porque salta do valor do antigo tramo da série para 100 e são alterados os pesos relativos dos grupos agregados no índice (a representatividade de cada grupo no índice).

291


• Quando é preciso utilizar o número índice ao longo de todos os períodos, torna-se necessário compatibilizar os vários tramos da série à mesma base.

• A redução não é uma mudança para a mesma base porque não se tem em consideração que existem alterações dos ponderadores mas permite fazer uma transição suave entre os vários tramos da série.

292


• No sentido de tornar possível a compatibilização dos tramos, estes sobrepõem-se (pelo menos) durante um período.

• Temos que usar os períodos de sobreposição para calcular o valor do “salto” em termos relativo entre as séries e reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de uma mudança de base.

293


294


• Ex.1.46. A série do IPC do banco mundial WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para 1974 e vale 108.10 para 2002, e

• a série do INE (base o ano 2002) vale 116.187 para 2009 (media até Abril), compare, em termos reais, o salário mínimo de 1974 (16.46€/mês) com o SM actual (450.00€/mês).

295


• R. Há uma salto em 2002 entre as séries pelo que o valor da série do INE compatibilizado ao da série do Banco Mundial será 116.19108.10/100 = 125.60. O valor a preços de 2009 dos 16.46€/mês será 16.46125.60/4.00 = 516.84€/mês.

1 Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 1 Pedro Cosme Costa Vieira Faculdade de Economia da...

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