Relaes trigonomtricas nos tringulosProfa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumrio

Pgina

Razes trigonomtricas no tringulo retngulo .............................................................. 1 Seno .......................................................................................................................... 1 Cosseno .................................................................................................................... 2 Tangente ................................................................................................................... 2 Tabela trigonomtrica ..................................................................................................... 4 Tabelas importantes.................................................................................................. 6 Resolvendo problemas no tringulo retngulo ............................................................... 6 Relaes entre seno, cosseno e tangente......................................................................... 9 Relaes trigonomtricas em um tringulo qualquer ................................................... 10 Lei dos senos .......................................................................................................... 11 Lei dos cossenos ..................................................................................................... 12 Referncias bibliogrficas............................................................................................. 16

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Relaes trigonomtricas nos tringulosRazes trigonomtricas no tringulo retnguloUm tringulo uma figura geomtrica plana, constituda por trs lados e trs ngulos internos. Esses ngulos, tradicionalmente, so medidos numa unidade de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0o e 180o, de modo que, em qualquer tringulo, a soma dessas medidas 180o. Num tringulo retngulo definimos as chamadas razes trigonomtricas que so relaes entre os lados do tringulo e que tm a propriedade de determinar a medida dos ngulos do tringulo, uma vez que seus lados sejam conhecidos. Um tringulo dito retngulo quando um de seus ngulos reto, isto , tem medida igual a 90o. Os outros dois ngulos, evidentemente, so agudos.

No tringulo retngulo ABC, consideremos, por exemplo, o ngulo que tem vrtice em B, cuja medida , em graus, um nmero real que est no intervalo ]0,90[. Entre os lados do tringulo podemos estabelecer as seguintes razes:

Seno Seno de a razo entre o comprimento do cateto oposto ao ngulo B e o comprimento da hipotenusa do tringulo. Indicando o seno de por sen , AC temos: sen = . BC

Dado um segmento AB , indicamos o comprimento de AB por AB, onde AB = med( AB ).

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Cosseno Cosseno de a razo entre o comprimento do cateto adjacente ao ngulo B e o comprimento da hipotenusa do tringulo. Indicando o cosseno de por cos , AB . temos: cos = BC

TangenteTangente de a razo entre os comprimentos do cateto oposto e do cateto AC adjacente ao ngulo B . Indicando a tangente de x por tg , temos: tg = . AB Observao: De acordo com a definio, fcil verificar que tg = todo variando no intervalo ]0,90[. sen , para cos

Exemplo: No tringulo retngulo ABC, determine o valor do seno, cosseno e tangente do ngulo C .

Resoluo: Representando a medida da hipotenusa por x, calculamos esse valor aplicando o teorema de Pitgoras no ABC.x 2 = 5 2 + 12 2 x 2 = 25 + 144 x 2 = 169 x = 169 x = 13CO H 5 sen = 13 sen = CA H 12 cos = 13 cos = CO CA 5 tg = 12 tg =

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EXERCCIOS A (1) Considerando que 5 = 2,23 , determine o valor do seno, do cosseno e da tangente do ngulo B no tringulo retngulo ABC da figura abaixo.

(2) A figura seguinte um tringulo eqiltero ABC, onde cada ngulo interno vale 60. Traando-se a altura AH , teremos um tringulo retngulo AHC. l 3 Sabendo que h = (voc j conhece essa frmula), considere o tringulo 2 retngulo AHC e determine o valor de sen 60, cos 60 e tg 60, deixando esses valores na forma de radical.

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(3) Usando a mesma figura e o mesmo tringulo retngulo AHC (do exerccio anterior), determine o valor de sen 30, cos 30 e tg 30, pois a altura AH coincide com a bissetriz do ngulo interno A , no tringulo eqiltero (deixar a resposta na forma de radical).

(4) No tringulo retngulo, determine o valor do seno, do cosseno e da tangente do ngulo de 45 (deixar a resposta na forma de radical).

Tabela trigonomtricaEm muitos casos, para resolver problemas com tringulos retngulos necessrio conhecer as razes trigonomtricas dos ngulos agudos do tringulo. Como a cada ngulo agudo est associado um nico valor para o seno, para o cosseno e para a tangente, podemos elaborar uma tabela que nos fornea esses valores, evitando assim a necessidade de calcul-los a toda hora. A tabela a seguir foi construda h sculos, e nos d os valores do seno, do cosseno e da tangente de ngulos de 1 at 89, com aproximao at milsimos. A maioria das calculadoras, hoje em dia, nos fornecem esses valores.

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TABELA DE RAZES TRIGONOMTRICASngulo ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 sen 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,122 0,139 0,156 0,174 0,191 0,208 0,225 0,242 0,259 0,276 0,292 0,309 0,326 0,342 0,358 0,375 0,391 0,407 0,423 0,438 0,454 0,469 0,485 0,500 0,515 0,530 0,545 0,559 0,574 0,588 0,602 0,616 0,629 0,643 0,656 0,669 0,682 0,695 0,707 cos 1,000 0,999 0,999 0,998 0,996 0,995 0,993 0,990 0,988 0,985 0,982 0,978 0,974 0,970 0,966 0,961 0,956 0,951 0,946 0,940 0,934 0,927 0,921 0,914 0,906 0,899 0,891 0,883 0,875 0,866 0,857 0,848 0,839 0,829 0,819 0,809 0,799 0,788 0,777 0,766 0,755 0,743 0,731 0,719 0,707 tg 0,017 0,035 0,052 0,070 0,087 0,105 0,123 0,141 0,158 0,176 0,194 0,213 0,231 0,249 0,268 0,287 0,306 0,325 0,344 0,364 0,384 0,404 0,424 0,445 0,466 0,488 0,510 0,532 0,554 0,577 0,601 0,625 0,649 0,675 0,700 0,727 0,754 0,781 0,810 0,839 0,869 0,900 0,933 0,966 1,000 ngulo ( ) 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 sen 0,719 0,731 0,743 0,755 0,766 0,777 0,788 0,799 0,809 0,819 0,829 0,839 0,848 0,857 0,866 0,875 0,883 0,891 0,899 0,906 0,914 0,921 0,927 0,934 0,940 0,946 0,951 0,956 0,961 0,966 0,970 0,974 0,978 0,982 0,985 0,988 0,990 0,993 0,995 0,996 0,998 0,999 0,999 1,000 1,000 cos 0,695 0,682 0,669 0,656 0,643 0,629 0,616 0,602 0,588 0,574 0,559 0,545 0,530 0,515 0,500 0,485 0,469 0,454 0,438 0,423 0,407 0,391 0,375 0,358 0,342 0,326 0,309 0,292 0,276 0,259 0,242 0,225 0,208 0,191 0,174 0,156 0,139 0,122 0,105 0,087 0,070 0,052 0,035 0,017 0,000 tg 1,036 1,072 1,111 1,150 1,192 1,235 1,280 1,327 1,376 1,428 1,483 1,540 1,600 1,664 1,732 1,804 1,881 1,963 2,050 2,145 2,246 2,356 2,475 2,605 2,747 2,904 3,078 3,271 3,487 3,732 4,011 4,331 4,705 5,145 5,671 6,314 7,115 8,144 9,514 11,430 14,301 19,081 28,636 57,290 -

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Tabelas importantesNa resoluo de alguns problemas mais conveniente usar os valores da seguinte tabela: ngulo 30 45 60 sen1 22 2 3 2

cos3 2 2 2 1 2

tg3 3 1

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Por extenso da definio, consideramos:

ngulo 0 90

sen0 1

cos1 0

tg0 no existe

Resolvendo problemas no tringulo retngulo

Usando os valores do seno, do cosseno e da tangente de um ngulo agudo de um tringulo retngulo, podemos resolver problemas como veremos nos exemplos a seguir.

Exemplos:

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a) No tringulo retngulo da figura, determinar as medidas x e y dos catetos.x sen 32 o = 123 200 ,53

y cos 32 o = 123 200 ,848

0,53 =

x 20 x = 20 0,53 x = 10,60 cm

0,848 =

y 20 y = 20 0,848 y = 16,96 cm

b) Em um tringulo issceles, cada ngulo da base mede 71. Sabendo-se que a base desse retngulo mede 8 cm, determinar a medida h da altura relativa base.h tg 71o = 13 4 22 , 904

2,904 =

h 4 h = 4 2,904 h = 11,616 cm

EXERCCIOS B (1) No tringulo retngulo determine as medidas x e y indicadas. (Use: sen 65 o = 0,91; cos 65 o = 0,42 ; tg 65 o = 2,14 )

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(2) Considerando o tringulo retngulo ABC, determine as medidas a e b indicadas.

(3) Na figura temos que PA = 18 cm. Nessas condies, calcule:

a) o comprimento r do raio da circunferncia; b) a distncia x do ponto P ao centro O.

(4) A determinao feita por radares da altura de uma nuvem em relao ao solo importante para previses meteorolgicas e na orientao de avies para que evitem turbulncias. Nessas condies, determine a altura das nuvens detectadas pelos radares conforme o desenho seguinte. (Use: sen 28 o = 0,47 ; cos 28 o = 0,88 ; tg 28 o = 0,53 )

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Relaes entre seno, cosseno e tangenteAs razes trigonomtricas seno, cosseno e tangente se relacionam de vrias formas, como veremos a seguir: 1) sen 2 + cos 2 = 1 ( 0 o < < 90 o ) 2) tg =sen ( 0 o < < 90 o ) cos

Exemplo: Sabendo que sen = 0,6 , determine o cos e a tg .sen 2 + cos 2 = 1 (0,6) 2 + cos 2 = 1 0,36 + cos 2 = 1 cos 2 = 1 0,36 cos 2 = 0,64 cos = 0,64 64 100 8 cos = 10 cos = 0,8 cos =Ento, cos = 0,8 e tg = 0,75 . sen cos 0,6 tg = 0,8 tg = 0,75 tg =

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EXERCCIOS C (1) Sabendo que sen =2 2 17 e cos = , calcule o valor de tg . 5 5

(2) No tringulo retngulo da figura, temos cos =

12 . Calcule: 13

a) o sen e a tg ; b) a medida x da hipotenusa.

Relaes trigonomtricas em um tringulo qualquerAs relaes trigonomtricas estudadas at agora foram utilizadas em tringulos retngulos. Vamos conhecer outras relaes que valem para quaisquer tringulos.

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Lei dos senos

Em todo tringulo, as medidas de seus lados so proporcionais aos senos dos ngulos opostos.

a b C = = sen A sen B sen C

Exemplo: Um agrimensor quer medir a distncia entre duas rvores, A e B, que se encontram em margens opostas de um rio, como mostra a figura. A partir de um ponto C, ele tomou as seguintes medidas: AC = 14 m, med( C ) = 80 e med( A ) = 72. Com esses dados ele determinou a distncia de A at B. Qual essa distncia?

Resoluo: Utilizando os dados do problema, temos: med( B ) = 180 o (80 o + 72 o ) = 28Aplicando a lei dos senos no ABC: BC AC AB = = sen A sen B sen C BC AC AB = = o o sen 72 sen 28 sen 80 o BC 14 AB = = sen 72 o sen 28 o sen 80 o 14 AB = o sen 28 sen 80 o

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Na tabela trigonomtrica encontramos os valores de sen 28o e sen 80 o .14 AB = 0,469 0,985 0,469 AB = 14 0,985 13,79 AB = 0,469 AB = 29,4 Portanto, a distncia entre as duas rvores aproximadamente de 29,4 m.

Lei dos cossenos

Em todo tringulo, o quadrado da medida de um dos lados igual soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ngulo oposto ao primeiro lado.

a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A b 2 = a 2 + c 2 2 a c cos B c 2 = a 2 + b 2 2 a b cos C

Exemplo:

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No tringulo ABC, as medidas de dois lados so 10 cm e 6 cm e o ngulo formado por esses lados mede 50. Qual a medida do terceiro lado?

Resoluo: Como so dadas as medidas de dois lados e o ngulo formado por eles, podemos aplicar a lei dos cossenos. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos Aa 2 = 6 2 + 10 2 2 6 10 cos 50 o Na tabela trigonomtrica temos cos 50 o = 0,643a 2 = 6 2 + 10 2 2 6 10 cos 50 o a 2 = 36 + 100 120 0,643 a 2 = 136 77,16 a 2 = 58,84 a= a= 5884 100

2 1471 10 1471 a= 5 Portanto, o terceiro lado mede

1471 cm. 5

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EXERCCIOS D (1) No tringulo ABC, o ngulo B mede 60, o ngulo C mede 45 e o lado AB mede 3 2 cm. Calcule a medida do lado AC.

(2) No tringulo RMP, determine o valor de x sabendo que: MP = 18 cm, med( M ) = 45 e med( P ) = 75.

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(3) O CNT possui dois lados que medem 4 cm e 3 3 cm. O ngulo formado por esses lados mede 30. Qual a medida do lado oposto a esse ngulo?

(4) Observe as medidas marcadas na figura e calcule a medida do ngulo A .

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