ALOCAÇÃO DE AERONAVESALOCAÇÃO DE AERONAVESA UM ESQUEMA DE VÔOSA UM ESQUEMA DE VÔOS

SEMINÁRIO: OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA E SEMINÁRIO: OTIMIZAÇÃO COMBINATÓRIA E PROGRAMAÇÃO LINEARPROGRAMAÇÃO LINEAR

ALOCAÇÃO DE AERONAVES A UM ESQUEMA DE VÔOSALOCAÇÃO DE AERONAVES A UM ESQUEMA DE VÔOS

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS - UFALUNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS - UFAL

CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIACIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA

MESTRADO EM MODELAGEM COMPUTACIONAL DE CONHECIMENTOMESTRADO EM MODELAGEM COMPUTACIONAL DE CONHECIMENTO

Prof. Dr. Henrique Pacca L. LunaProf. Dr. Henrique Pacca L. Luna

Prof. Dr. João SolettiProf. Dr. João Soletti

ALLAN GOMES DOS SANTOSALLAN GOMES DOS SANTOS

rraav5@yahoo.com.brrraav5@yahoo.com.br

www.mcc007allangomes.cjb.netwww.mcc007allangomes.cjb.net

Maceió, 2004.Maceió, 2004.

ROTEIROROTEIRO

MOTIVAÇÃOMOTIVAÇÃO OBJETIVOSOBJETIVOS INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO APRESENTAÇÃO DO PROBLEMAAPRESENTAÇÃO DO PROBLEMA PROBLEMA DA ATRIBUIÇÃOPROBLEMA DA ATRIBUIÇÃO MODELO DE ATRIBUIÇÃO E SUA SOLUÇÃOMODELO DE ATRIBUIÇÃO E SUA SOLUÇÃO MODELO DE PROGRAMA LINEARMODELO DE PROGRAMA LINEAR COMENTÁRIOS FINAISCOMENTÁRIOS FINAIS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASREFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ROTAER

MANUAL AUXILIAR DE ROTAS AÉREAS

AIP - BRASIL

PUBLICACÒES DEINFORMAÇÕES AERONÁUTICAS

MotivaçãoMotivação 11

Maceió / Zumbi dos Palmares, MO SBMO 09 31 02S / 035 47 01WPUB 20N UTC-3 VFR IFR L21,23,26 INFRAERO12 - L6 (1) (2), 12 - (2600 X 45 46/F/A/X/T L14,15) - L12 - 30CMB - QUEROSENE / GASOLINACOM - TORRE 118.25MET - CMA (1 A 10)RDONAV - ILS/DME 12 IMO (1) 109.30 VOR/DME MCE 115.10 NDB COM 340AIS - (4) (82) 322-1773 R 320RMK - a. OBS VAC para entrada ou saída do cicuito de tráfego b. Quando em aproximação visual, tomar cuidado para não confundir com a RWY 14/32 do Aeroclube de Alagoas, situado a SE, a 7NM (13Km). c. OBS concentração de urubus na aproximação final RWY 12. d. AD habilitado para o TFC AÉREO INTL. As solicitações de FLT INTL deverão ser encaminhadas ao DAC. (4) Aceita plano de vôo e notificação por telefone (82) 322-3000

Obs.:RWY 46 - Número de classificação do pavimento (número que indica a resistência de um pavimento para operações sem restrições) F - Pavimento flexivel (asfalto) A - Categoria de Resistência do Subleito (alta) X - Categoria de pressão máxima admissível dos pneus (média) T - Métodos de avaliação (técnica)

Motivação 2Motivação 2

OBJETIVOSOBJETIVOS

Tecer algumas considerações sobre o significado Tecer algumas considerações sobre o significado prático da otimização no campo transporte aéreo;prático da otimização no campo transporte aéreo;

Determinar através da proposta de um problema o Determinar através da proposta de um problema o número necessário de aviões para realizar um número necessário de aviões para realizar um serviço, identificando também a seqüência de serviço, identificando também a seqüência de vôos que cada avião deve cumprir.vôos que cada avião deve cumprir.

INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO

O estabelecimento dos horários de aviões O estabelecimento dos horários de aviões comerciais depende, de um lado, da comerciais depende, de um lado, da disponibilidade de aeronaves e de suas disponibilidade de aeronaves e de suas características de operação e desempenho e, de características de operação e desempenho e, de outro, dos aspectos ligados à demanda do outro, dos aspectos ligados à demanda do transporte;transporte;

O problema de otimizar o uso da frota é O problema de otimizar o uso da frota é normalmente complexo, pois envolve um número normalmente complexo, pois envolve um número de parâmetros bastante amplo, além de estar de parâmetros bastante amplo, além de estar sujeito a condicionantes de ordem qualitativa ou sujeito a condicionantes de ordem qualitativa ou de difícil quantificaçãode difícil quantificação..

APRESENTAÇÃO DO PROBLEMAAPRESENTAÇÃO DO PROBLEMA Otimizar uma frota homogênea de aviões comerciais a partir de um esquema de Otimizar uma frota homogênea de aviões comerciais a partir de um esquema de

horários de vôo pré-fixado;horários de vôo pré-fixado; Uma empresa aérea de pequeno porte serve as cidades A, B e C de acordo com Uma empresa aérea de pequeno porte serve as cidades A, B e C de acordo com

o esquema de vôos apresentados no quadro 1;o esquema de vôos apresentados no quadro 1; Deseja-se determinar o número necessário de aviões para realizar um circuito Deseja-se determinar o número necessário de aviões para realizar um circuito

completo, identificando a melhor seqüência que cada avião deve realizar.completo, identificando a melhor seqüência que cada avião deve realizar. QUADRO 1: QUADRO 1: Esquema de vôos a ser cumpridoEsquema de vôos a ser cumprido

Vôo nºVôo nº Da cidadeDa cidade Para cidadePara cidade Horário de Horário de PartidaPartida

Horário de Horário de ChegadaChegada

11 AA BB 9:00h9:00h 12:00h12:00h

22 AA BB 10:00h10:00h 13:00h13:00h

33 AA BB 15:00h15:00h 18:00h18:00h

44 AA CC 20:00h20:00h 24:00h24:00h

55 AA CC 22:00h22:00h 2:00h2:00h

66 BB AA 4:00h4:00h 7:00h7:00h

77 BB AA 11:00h11:00h 14:00h14:00h

88 BB AA 15:00h15:00h 18:00h18:00h

99 CC AA 7:00h7:00h 11:00h11:00h

1010 CC AA 15:00h15:00h 19:00h19:00h

PROBLEMA DA ATRIBUIÇÃOPROBLEMA DA ATRIBUIÇÃO

O problema da atribuição é um caso especial do O problema da atribuição é um caso especial do Problema de Transporte onde cada unidade a ser Problema de Transporte onde cada unidade a ser alocada a partir de uma origem para um alocada a partir de uma origem para um determinado destino é considerada determinado destino é considerada individualmente, havendo igual número de origens individualmente, havendo igual número de origens e destinos;e destinos;

A formulação clássica do problema da atribuição é A formulação clássica do problema da atribuição é a seguinte: existem a seguinte: existem nn indivíduos e indivíduos e nn tarefas: são tarefas: são conhecidos os custos Cconhecidos os custos C ijij correspondentes a todas correspondentes a todas

as combinações de indivíduos e tarefas: trata-se as combinações de indivíduos e tarefas: trata-se de atribuir as tarefas a esses indivíduos, de modo de atribuir as tarefas a esses indivíduos, de modo que o custo total seja mínimo. (formar matrizes);que o custo total seja mínimo. (formar matrizes);

A formulação matemática do problema da atribuição é a seguinte:A formulação matemática do problema da atribuição é a seguinte:

O modelo matemático mostra que o problema da atribuição é um O modelo matemático mostra que o problema da atribuição é um caso especial de Programação Linear;caso especial de Programação Linear;

Assim, xAssim, xij ij será igual a 1, se o elemento será igual a 1, se o elemento i i for designado para a for designado para a tarefatarefa j j, e x, e xijij = 0, no caso contrário. = 0, no caso contrário.

PROBLEMA DA ATRIBUIÇÃOPROBLEMA DA ATRIBUIÇÃO

sujeito a:

com:

n

i

n

jijijxCZ

1 1

min

n

jij

n

iij

x

x

1

1

1

1 (j = 1, 2, ..., n)

(i = 1, 2, ..., n)

0ijx

MODELO DE ATRIBUIÇÃO E SUA SOLUÇÃOMODELO DE ATRIBUIÇÃO E SUA SOLUÇÃO

O problema pode ser resolvido por meio de um modelo de atribuição, em que se O problema pode ser resolvido por meio de um modelo de atribuição, em que se minimiza o tempo morto global das aeronaves;minimiza o tempo morto global das aeronaves;

Define-se a matriz A, cujo elemento aDefine-se a matriz A, cujo elemento a ijij representa o tempo morto dispendido pela representa o tempo morto dispendido pela aeronave, onde “aeronave, onde “ii” instante de chegada e “” instante de chegada e “jj” instante de partida;” instante de partida;

Faz-se aFaz-se aij ij = α, indica a inviabilidade física da seqüência de vôos i= α, indica a inviabilidade física da seqüência de vôos ij (chegada e j (chegada e partida diferentes);partida diferentes);

Exemplos: Exemplos: – aa1010,1,1 é igual a 14 horas (vôo nº 10 = 19:00h/cidade A - vôo nº 1 = 9:00h/cidade A); é igual a 14 horas (vôo nº 10 = 19:00h/cidade A - vôo nº 1 = 9:00h/cidade A);– aa55,1,1 é infinito (α, ) ( vôo nº 5 = cidade C - vôo nº 1 = cidade A ) é infinito (α, ) ( vôo nº 5 = cidade C - vôo nº 1 = cidade A )

QUADRO 2: Matriz A analisando todas as sequênciasQUADRO 2: Matriz A analisando todas as sequências

Aplicando o algoritmo a cada uma das submatrizes, de acordo com a Aplicando o algoritmo a cada uma das submatrizes, de acordo com a sistemática do Problema de atribuição, chega-se à seguinte matriz reduzida sistemática do Problema de atribuição, chega-se à seguinte matriz reduzida final:final:

Quadro 3: Matriz A’ solução do algoritmo de atribuiçãoQuadro 3: Matriz A’ solução do algoritmo de atribuição

Células assinaladas indicam uma solução ótima, no entanto outras soluções Células assinaladas indicam uma solução ótima, no entanto outras soluções ótimas possíveis podem ser analisadas através do posicionamento dos zeros.ótimas possíveis podem ser analisadas através do posicionamento dos zeros.

1 - 8 - 4 - 10 - 5 - 9 - 3 - 6 - 2 - 7 - 11 - 8 - 4 - 10 - 5 - 9 - 3 - 6 - 2 - 7 - 1 (uma das soluções ótimas)(uma das soluções ótimas)

MODELO DE ATRIBUIÇÃO E SUA SOLUÇÃOMODELO DE ATRIBUIÇÃO E SUA SOLUÇÃO

CÁLCULO DO NÚMERO MÍNIMO DE CÁLCULO DO NÚMERO MÍNIMO DE AERONAVESAERONAVES

Uma aeronave, efetuando o circuito completo, gastará um tempo total que é múltiplo Uma aeronave, efetuando o circuito completo, gastará um tempo total que é múltiplo de 24 horas;de 24 horas;

O cálculo do tempo “T” = tempo de vôo + tempo de espera;O cálculo do tempo “T” = tempo de vôo + tempo de espera; Uma vez que o programa de vôo da empresa aérea é diário, divide-se o valor de T Uma vez que o programa de vôo da empresa aérea é diário, divide-se o valor de T

por 24, resultando assim o número de aviões necessários. No exemplo exposto, por 24, resultando assim o número de aviões necessários. No exemplo exposto, temos: N = 120/24 = 5 aviões necessários;temos: N = 120/24 = 5 aviões necessários;

Quadro 4: Cálculo do tempo T para uma aeronave realizar um circuito completo.Quadro 4: Cálculo do tempo T para uma aeronave realizar um circuito completo.

Nº do Nº do VôoVôo

Nº do Vôo Nº do Vôo SeguinteSeguinte

Tempo de Tempo de Vôo (horas)Vôo (horas)

Tempo de espera até o Tempo de espera até o próximo Vôo (horas)próximo Vôo (horas)

Tempo decorrido entre Tempo decorrido entre partidas sucessivas partidas sucessivas

(horas)(horas)

11 88 33 33 66

88 44 33 22 55

44 1010 44 1515 1919

1010 55 44 33 77

55 99 44 55 99

99 33 44 44 88

33 66 33 1010 1313

66 22 33 33 66

22 77 33 2222 2525

77 11 33 1919 2222

TotalTotal -- 3434 8686 T=120T=120

O objetivo do modelo é alocar as aeronaves às diversas rotas, de forma a minimizar os custos; atendendo, O objetivo do modelo é alocar as aeronaves às diversas rotas, de forma a minimizar os custos; atendendo, por outro lado, a demanda e respeitando certas restrições operacionais.por outro lado, a demanda e respeitando certas restrições operacionais.

onde C é o custo global a ser minimizado , DCija representa o custo operacional direto da aeronave onde C é o custo global a ser minimizado , DCija representa o custo operacional direto da aeronave a a operando na rotaoperando na rota ij ij e nija o número diário de vôos diretos na rota que ligam e nija o número diário de vôos diretos na rota que ligam i i e e j.j.

As restrições do modelo são dadas:As restrições do modelo são dadas:

a) A demanda, em cada rota, deve ser atendida, ou seja,a) A demanda, em cada rota, deve ser atendida, ou seja,

onde: LFonde: LF ijaija = fator de utilização médio = fator de utilização médio (load factor(load factor))

SSaa = capacidade de assentos ofertados = capacidade de assentos ofertados

PPijij = demanda média diária de passageiros = demanda média diária de passageiros

b) A disponibilidade de aviões não deve ser excedida, ou seja,b) A disponibilidade de aviões não deve ser excedida, ou seja,

onde: TBija = representa o tempo de vôoonde: TBija = representa o tempo de vôo

Ua = utilização média diáriaUa = utilização média diária

Na = número de aparelhos disponíveis Na = número de aparelhos disponíveis

MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEARMODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

ij a

ijaijanDCC

ijijaa

aija PnSLF (para cada rota ij)

aij

aijaija NUnTB (para cada tipo de aeronave a)

MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (Cont.)MODELO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR (Cont.) c) Equação de continuidade: em cada cidade atendida o número de chegadas c) Equação de continuidade: em cada cidade atendida o número de chegadas

diárias de um certo tipo de aeronave deve ser igual ao número de partidas,ou seja,diárias de um certo tipo de aeronave deve ser igual ao número de partidas,ou seja,

d) Um número diário mínimo de frequências deve ser oferecido em cada rota, ou d) Um número diário mínimo de frequências deve ser oferecido em cada rota, ou seja,seja,

onde: NFonde: NFijij = número diário mínimo de frequência oferecida na rota = número diário mínimo de frequência oferecida na rota ijij

e) O número máximo de decolagens a partir de uma cidadee) O número máximo de decolagens a partir de uma cidade

onde: NVonde: NVi i = é o número máximo diário de decolagens no aeroporto = é o número máximo diário de decolagens no aeroporto i i As dimensões máximas do Problema de Programação Linear podem ser estimadas As dimensões máximas do Problema de Programação Linear podem ser estimadas

como:como:

i) número de variáveis i) número de variáveis E . a , onde E é o número de rotas (incluindo cada E . a , onde E é o número de rotas (incluindo cada sentido separadamente) e “sentido separadamente) e “a“ a“ é o número de tipos de aeronaves é o número de tipos de aeronaves

ii) número de restrições ii) número de restrições 2. E + 2. E + a a + Q. + Q. a a + Q , onde Q é o número de cidades + Q , onde Q é o número de cidades atendidasatendidas

Exemplo, ligando as principais capitais brasileiras:Exemplo, ligando as principais capitais brasileiras:

Q = 12 cidadesQ = 12 cidades

E = 24 rotas = 2 x 24 = 48 ligaçõesE = 24 rotas = 2 x 24 = 48 ligações

a a = 3 ( tipos aeronaves: B737, B727, E120)= 3 ( tipos aeronaves: B737, B727, E120)

Assim, teremos: Assim, teremos: 144 variáveis e 147 restrições144 variáveis e 147 restrições

0 j j

jiaija nn (para cada cidade i e para cada tipo de aeronave a)

ija

ija NFn (para cada rota ij)

a j

iija NVn (para cada aeroporto i)

CONSIDERAÇÕES FINAISCONSIDERAÇÕES FINAIS

A ESTRUTURAÇÃO DO ESQUEMA DE VÔOS A ESTRUTURAÇÃO DO ESQUEMA DE VÔOS CONSTITUI UM PROCESSO CONTÍNUO.CONSTITUI UM PROCESSO CONTÍNUO.

FATORES POLÍTICOS E DE COMPETIÇÃO ENTRE AS FATORES POLÍTICOS E DE COMPETIÇÃO ENTRE AS EMPRESAS TÊM SIDO DOMINANTES NA DEFINIÇÃO EMPRESAS TÊM SIDO DOMINANTES NA DEFINIÇÃO DOS ESQUEMAS DE VÔO.DOS ESQUEMAS DE VÔO.

DEVIDO AOS AUTOS CUSTOS OPERACIONAIS DO DEVIDO AOS AUTOS CUSTOS OPERACIONAIS DO TRANSPORTE AÉREO, MINIMIZAR O TEMPO MORTO TRANSPORTE AÉREO, MINIMIZAR O TEMPO MORTO GLOBAL DAS AERONAVES TORNA-SE UM FATOR GLOBAL DAS AERONAVES TORNA-SE UM FATOR ATUAL DE SOBREVIVÊNCIA DAS EMPRESAS. ATUAL DE SOBREVIVÊNCIA DAS EMPRESAS.

OTIMIZAÇÃO MUITAS VEZES NÃO É UM PROCESSO OTIMIZAÇÃO MUITAS VEZES NÃO É UM PROCESSO DE BUSCA DO MELHOR ABSOLUTO MAS A PROCURA DE BUSCA DO MELHOR ABSOLUTO MAS A PROCURA SISTEMÁTICA DO MELHOR PRÁTICO.SISTEMÁTICA DO MELHOR PRÁTICO.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICASREFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

NOVAES, Antonio Galvão. NOVAES, Antonio Galvão. Métodos de otimização, Métodos de otimização, aplicações aos transportes:aplicações aos transportes: São Paulo. Ed. Edgard Blucher São Paulo. Ed. Edgard Blucher ltda, 1978.ltda, 1978.

SIMPSON, R. W. SIMPSON, R. W. Scheduling and Routing Models for Scheduling and Routing Models for Airline SystemsAirline Systems. Publicações R68-3. Institute of . Publicações R68-3. Institute of Technology, 1969. Technology, 1969.

LUNA, Henrique Pacca L., GOLDBARG, Marco Cesar. LUNA, Henrique Pacca L., GOLDBARG, Marco Cesar. Otimização Combinatória e Programação LinearOtimização Combinatória e Programação Linear: Rio de : Rio de JAneiro. Ed. Campus, 2000.JAneiro. Ed. Campus, 2000.