Ap+5+-Derivadas+Parciais+Revisada
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FACCI - FACULDADE DE CIÊNCIAS ADMINISTRATIVAS E CONTÁBEIS DE ITABIRA
CREDENCIADA PELO DECRETO DE 30/12/1994 - D.O.U. 31/12/1994
Curso: Engenharia de Produção Tipo de atividade: ExercíciosDisciplina: Cálculo IIProfessor: Maria Auxiliadora LagePeríodo/turma: 3º Data: --/04/2014Aluno(a):
Derivadas Parciais Definição Equação do Plano Tangente Regra da Cadeia e Aplicações
Introdução
Se y = f (x) é uma função de uma variável real, sua derivada
f ' ( x )= limΔx→0
( f ( x+Δx )−f ( x )Δx pode ser interpretada como a taxa de variação de y em
relação a x ou como a função declividade da reta tangente ao gráfico de f .Se z = f (x, y) é uma função de duas variáveis, podemos falar em duas derivadas, por
isso, denominadas derivadas parciais. a derivada parcial de f em relação a x considera apenas x como variável e y
permanece constante. Notações: f x=
∂ f∂ x
a derivada parcial de f em relação a y considera apenas y como variável e x
permanece constante.Notações: f y=
∂ f∂ y
Valem para as derivadas parciais as fórmulas análogas às das funções de uma variável.
Participe da Resolução
1. (G) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:
a. O volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros
de raio e y metros de altura.
b. A quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala
retangular de largura a e comprimento b.
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c. A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para
revestir as paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura e
y metros de comprimento, se a altura do quarto é z metros.
2. Dadas as funções abaixo, calcule os valores funcionais indicados, sendo:
a) f ( x , y )=5x−13 y−x2 y+7 a1) f(2,3) = ? a2) f(-1,0) = ?
b) f ( x , y )=4 y3+12x
y+√ y+3−15
a1) f(3,1) = ? a2) f(6,-2) = ?
3. (ST)Se f ( x , y )=x3+x2 y3−2 y2, determine:
a.f x=
∂ f∂ x
b. f x (2,1)
c.f y=
∂ f∂ y
d. f y (2,1 )
4. (SH) Se f ( x , y )=x3 y2−2x2 y+3 x , determine:
a. f x ( x , y )
b. f y (x , y )
c. f x (2,−1)
d. f y (2 ,−1)
5. Se f ( x , y )=x2+3 xy2+2 y+3 yx2 , determine:
a.f x=
∂ f∂ x
b.f y=
∂ f∂ y
6. Se w=3 xe2 y+5x2, determine:
a.
∂w∂ x
b.
∂w∂ y
7. Se w=2 x2 y−5 yexy+3 x , determine:
a.
∂w∂ x
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b.
∂w∂ y
8. Se Z=x2sen2 y+x cos2x , determine:
a.
∂Z∂ x
b.
∂Z∂ y
9. (SH) Ache
∂w∂ y se w=xy 2exy .
Interpretação geométrica das derivadas parciais
As derivadas parciais, podem ser interpretadas como as inclinações das retas tangentes em P(a,b,c) aos cortes C1 e C2 de S nos planos y=b e x= a
Sejam S o gráfico de z=f(x,y) e P(a,b,c) um ponto de S onde f x e
f y existem. Sejam C1
e C2 os traços (cortes) de S nos planos y=b e x=a, respectivamente e seja, T 1e T 2 as tangentes a C1 e C2 em P.
(i) O coeficiente angular de T 1 no plano-y=b é f x (a ,b )
(ii) O coeficiente angular de T 2 no plano-x=a é f y (a ,b) . (SWOKOWSKI,1995, p.386)
Participe da resolução
1. (ST) Sef ( x , y )=4−x2−2 y2, encontre f x (1,1)e f y (1,1 )e interprete esses números
como inclinações .
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2. Se f ( x , y )=sen ( x
1+ y ), calcule
∂ f∂ x
e ∂ f∂ y
3. Determine
∂ z∂ x
e ∂ z∂ y se z é definido implicitamente como uma função de x e y pela
equação x3+ y3+z3+6 xyz=1 .
Resp:
∂ z∂ x
=−( x2+2 yz )z2+2 xy
∂ z∂ y
=−( y2+2 xz )z2+2 xy
As derivadas parciais podem ser interpretadas como taxa de variação. Se
z=f(x,y), então
∂ z∂ x representa a variação de z com relação a x quando y é mantido
fixo. Da mesma forma,
∂ z∂ y representa a taxa de variação de z em relação a y,
quando x é mantido fixo.
Regra da Cadeia e Aplicações
Se w=f (u , v ) , com u=g ( x , y )e v=h( x , y )e se f, g e h são diferenciais, então:
∂w∂ x
=∂w∂ u
∂u∂ x
+∂w∂v
∂ v∂ x e
∂w∂ y
=∂w∂ u
∂ u∂ y
+∂w∂ v
∂ v∂ y .
(SWOKOWSKI,1995, p.398)
Regra da cadeia e diagrama em árvore.Para achar a taxa de variação de uma variável com relação a outra numa cadeia de funçõescompostas diferenciáveis;a) Trace um diagrama em árvore exprimindo as relações entre as variáveis e assinale cada ligação no diagrama a derivada que relaciona as variáveis nas extremidades.b) Paca cada caminho entre duas variáveis multiplique as derivadas de cada passo ao longodo caminho.c) Some as contribuições de cada caminho.
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Participe da Resolução
1. Por meio da regra da cadeia, ache
∂w∂ p e
∂w∂ q se w=r3+s2
, com r=pq2 s=p2senq .
2. Use a regra da cadeia para achar
∂w∂ t , se w=x2+ yz , com y=2t−4 , z=t3
.
3. Calcule
∂w∂ h sendo w=x2+2 xy , x=3h e y=e2 h
4. Use a regra da cadeia para calcular
∂ z∂ t :
a. z=x3−3 xy2 , x=2t , y=t2
b. z=x2+3 y+1 , x=2 t+1 , y=t2
5. Sendo z=xe y+ y2sen ( x ) , comx=s2 t e y=st , calcular
∂ z∂ s e
∂ z∂ t
6. Determine
∂ z∂ t , sendo:
a. z=x2+xy− y2 , x=1−t , y=e t
b. z=x2 y+xy−3 , x=−t , y=ln t
Taxas relacionadas – Aplicações da Regra da CadeiaAs regras da cadeia são úteis na resolução de problemas de taxas relacionadas.
7. Seja um reservatorio de forma cilíndrica de 2 m de raio e 3 m de altura, calcule a variação do volume deste reservatorio quando as medidas são modificadas para 2,1m de raio e 2,8m de altura. (Lembre-se: volume do cilindro é calculado pela fórmula V=πr2 h ) R: 1,256m3/t
8. A areia está vazando por um buraco em um recipiente à razão de 6 cm3/min. Ao vazar a areia vai formando uma pilha em forma de um cone circular reto cujo raio da base aumenta a razão de 0,25cm/min. Se, no instante em que já vazaram 40 cm3, o raio é de 5cm. Determine a taxa de variação da altura da pilha. R: 0,076
9. Dada uma caixa retangular de comprimento (a), largura (b) e altura (c). As medidas da Caixa variam em função do tempo. Em certo instante, as dimensões da Caixa são a=1,3m, b= 1,6m e 2= 2 m e a e b aumentam a uma taxa de 1,2m/s e 1,4 m/s, respectivamente. A altura diminui a taxa de 2,83m/s. Nesse instante, determine a taxa de variação do volumen. R: 1,59m3/s
10. A pressão P(k,Pa), o volume V(litros) e a temperatura T(Kelvin) de 1 mol de gás ideal estão relacionadas pela equação PV=8,31T. encontré a taxa de variação da pressão em relação ao tempo, quando a temperatura é de 300K e está aumentando numa taxa de
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0,1K/s e o volume é de 100 L e está aumentando numa taxa de 0,2L/s. R: ∂P∂ t
=−0 ,4155KPa /s
11. (SH) Um circuito elétrico simples consiste em um resistor R e uma força eletromotriz V. Em certo instante, V é 80 volts e aumenta à taxa de 5 volts/min, enquanto R é 40 ohms e decresce à razão de 2 ohms/min. Use a lei de Ohm, I = V/R, e uma regra de cadeia, para achar a taxa à qual a corrente I (em ampères) varia em função do tempo.
12. A que taxa está crescendo a área de um retângulo se seu comprimento é de 8 cm e está crescendo à uma taxa de 0,5 cm/s enquanto a sua largura é de 6 cm e está crescendo a 0,2 cm/s?
13. Uma peça cilíndrica tem 12 cm de raio e 18 cm de altura. Se o raio diminui à razão de 0,02 cm/s e a altura aumentar à razão de 0,03 cm/s, então determine a taxa de variação do volume em relação ao tempo.
14. Uma peça retangular de metal tem 10 cm de base e 16 cm de altura. Se a base aumentar à razão de 0,04 cm/s e altura aumentar à razão de 0,02 cm/s, então determine a taxa de variação da área em relação ao tempo.
Exercícios de Aplicação - Lista 1
1. (SH) Ache os valores funcionais indicados:
a. f ( x , y )=2x− y2 , f (−2,5 ), f (0 ,−2 )
b.f ( x , y )= y+2
x, f (3,1 ), f (2,0)
c. f (r , s )=√1−r−ers , f (1,1) , f (0,4 )
d. f ( x , y , z )=√25−x2− y2−z2 , f (1 ,−2,2 )
e.f ( x , y , z )=2+tgx+ ysenz , f ( π
4,4 ,
π6
)
2. Calcule as derivadas parciais de 1ª ordem das funções abaixo:
a. f ( x , y )=3x−2 y 4
b. f ( x , y )=x+5 y2+3
c. f ( x , y )=x3−5 y2+3xy
d. f ( x , y )=x5+3 x3 y2+3 xy4
e. f ( x , y )=xy
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f. f ( x , y )=π⋅x2 y
g. f ( x , y )=xe3 y
h.f ( x , y )= x2
y
i.f ( x , y )= x
2+ 1y+7 x2 y
j.f ( x , y )= 3
x2− 1
y−√ x
k. f (r , s )=r ln (r2+s2 )
l. f ( x , y )=senx cos y
3. (SH) Seja z=f ( x , y )=x−4 y+3 .a. Calcule dz ;
b. Use dz encontrado para determinar a variação de z=f ( x , y )quando ( x , y )varia
de (1 , 3)para (1 ,01; 2,99 ).c. Compare com o resultado acima encontrado.
4. (SH) Seja V=f (r , h )=πr2h a função que nos dá o volume de um cilindro.d. Calcule dV ;
e. Use dV encontrado para determinar a variação de V=f (r , h )=πr2h quando o raio e a altura do cilindro variam de 6 cm e 15 cm para 6,01 e 15,02, respectivamente.
f. Compare com o resultado acima encontrado.
5. (SH) O raio o e a altura de um cilindro reto são 8 cm e 20 cm, respectivamente,
com erro possível de medida de ±0 ,01cm . Use diferenciais para aproximar o erro máximo no cálculo do volume do cilindro. (Lembre-se: volume do cilindro é
calculado pela fórmula V=πr2 h)
6. (SH) Seja um reservatório de forma cilíndrica de 2 m raio e 3 m de altura. Calcule um valor aproximado para a variação do volume deste reservatório, quando as medidas são modificadas para 2,1 m de raio e 2,8 m de altura.
7. Use a regra da cadeia para calcular dz/dt.a) z=x3 - 3xy2; x=2t, y=t2
b) z= xlny; x=3t, y=et
7. Calcule dz/dt, sendo z=x2+ 3y+1, x=2t+1 e y= t2.
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8. Sendo z = xey + y2sen(x), com x = s2t, y = s.t, calcular:
∂ z∂ s
,∂ z∂ t
9. Dados w = t2 + st, com t = x2 e s = lny, calcular:
∂w∂ x
,∂w∂ y
10. Sendo z = exseny, com x = st2 e y = s2 t, determinar
∂ z∂ s
,∂ z∂ t
11. (SH) Um certo gás obedece à lei dos gases ideiais PV=8T. Suponha que o gás esteja sendo aquecido à taxa de 2°/min e a pressão esteja aumentando à taxa de ½ (kg/cm2)/min. Se, em certo instante, a temperatura é de 200° e a pressão é 10 (kg/cm2), ache a taxa à qual o volumen está variando.
12. (SH) A areia está vazando por um buraco em um recipiente à razão de 6 cm 3/min. Ao vazar, a areia vai formando uma pilha em forma de um cone circular reto cujo raio da base aumenta à razão de ¼ cm/min. Se, no instante em que já vazaram 40 cm 3, o raio é de 5 cm, determine a taxa de aumento da altura da pilha.
13. (ST) O raio de um cone circular reto aumenta a uma taxa de 4,6 cm/s enquanto que a altura decresce à taxa de 6,5cm/s. Qual é a taxa de variação do volume do cone quando seu raio é de 300 cm a altura é de 350 cm?
14. (ST) O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em certo instante, as dimensões da caixa são l=1 m e w = h = 2 m, l e w aumentam a uma taxa de 2m/s, ao passo que h diminui à taxa de 3m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando.
a. O volume. R: 6m3/sb. A área da superficie. R: 10 m2/s
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GONÇALVES, M. B. FLEMMING, D. M. Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais Múltiplas, Integrais Curvelíneas e de Superfícies. 2 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
STEWART, James. Cálculo, volume 2. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 1995. 763 p. v. 2.