INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES

Se |x-a|<ε valer para todo ε>0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem

um limite e tal limite vale a. Simbolicamente,

Os valores x1, x2 e x3

da variável x, estão na vizinhança ε de x=a. Isto é, os valores xi

estão no intervalo a-e < xi <a+e (i=1,2,3)

LIMITE DE UMA FUNÇÃO Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos

desta vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou

e, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um

δ > 0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade

| f(x) - l | < ε, fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite de f(x).

UVA Cálculo Diferencial e Integral I Profª Cinira Fernandes Apostila 1

Limite de uma variável

a

a-ε a+ε

x

axax =→ lim,

bxfax

=→

)(lim

LIMITES NOS EXTREMOS DO DOMÍNIO

São os limites em que a variável independente x tende a assumir, em módulo,

valores muito grandes positivos ( + ∞ ) ou negativos (– ∞ ). Simbolicamente:

∞+→∞−→ x

limf(x) )(lim ouxfx

Ex: Calcule os limites das funções:

a) =

∞+→ xx

1 lim

b) =

∞−→ xx

1 lim

c) =

∞+→

3

xlim

x d) =

∞−→

3

xlim

x

OPERAÇÕES COM LIMITES Supondo que gefxf

ax

==→→ ax

g(x) lim )(lim , onde ( f e g são finitos), verificam-se

para os limites as seguintes propriedades:

a) gfxgxfxgxfaxaxax

+=+=+→→→

)(lim)(lim)]()([ lim

b) gfxgxfxgxfaxaxax

−=−=−→→→

)(lim)(lim)]()([ lim

c) gfxgxfxgxfaxaxax

×=×=×→→→

)(lim)(lim)]()([ lim

d) 0 )(lim)(lim)]()([ lim ≠÷=÷=÷→→→

gcomgfxgxfxgxfaxaxax

e) nn

ax

n

axfxfxf ==

→→)](lim[)]([ lim

Observação importante: Uma função f(x) definida em um intervalo I, com a ∈ I, é

contínua em x = a, se: )()(lim afxfax

=→

Exemplo: Verificar se a função 2

4)(

2

−

−=

x

xxf é contínua em x = 3.

Resolução: Cálculo de )3(f : 523

43)3(

2

=−

−=f

Cálculo do :)(lim3

xfx→

2

4lim

2

3 −

−

→ x

x

x =

)2(

)2)(2(lim

3 −

−+

→ x

xx

x = )2(lim

3+

→x

x = 5

Como )(lim3

xfx→

= )3(f , )(xf é contínua no ponto x = 3.

Exemplo: Verificar se a função 1

7)(

−

+=

x

xxf é contínua no ponto x = 1 A função é

descontínua em x = 1

Exemplo: Verificar se a função

>+

≤+=

3 22

3 2 )(

xsex

xsexxf é contínua em x =3.

Resolução: Cálculo de )3(f : Para x = 3, tem-se 523)3( =+=f . Contudo, como

8)(lim 5)(lim33

==+−

→→ xx

xfdediferenteéxf

Como não existe o limite em x = 3, a função é descontínua .

NOTAÇÕES SIMBÓLICAS OPERACIONAIS

a)

b)

c)

d) , �−∞�� =� +∞, �é���−∞, �éí���� ���� ∈ N*

e) f)

FORMAS INDETERMINADAS

As sete formas clássicas de indeterminação são:

∞−=∞−

∞+=∞+

k

k

<∞+

>∞−=−∞×

<∞−

>∞+=+∞×

0k se ,

0k se ,)(

0k se ,

0k se ,)(

k

k

0=∞±

k

∞+=+∞ )( n

<∞−

>∞+=

0k se ,

0k se ,

0

k

−∞=−∞+−∞

+∞=+∞++∞

)( )(

)( )(

00 1 ,0 ,0 , , ,0

0∞∞×∞−∞

∞

∞ ∞ e

Aparecendo uma destas formas no cálculo do limite, deve-se adotar técnicas com o

objetivo de encontrar uma expressão correlata à forma inicial, a fim de, substituí-la e

evitar tal situação. Exemplos:

a) = = = =

Como o resultado obtido é uma indeterminação, deve-se substituí-lo por uma

expressão correlata. A técnica adotada consiste em multiplicar e dividir a expressão

indicada pelo conjugado.

= =

= =

Observe que após a aplicação do primeiro procedimento, surge outra forma de

indeterminação. Este fato nos obriga a adotar outros recursos, ou seja: divide-se

numerador e denominador pela maior potência de x

= = =

lim�→� �� �� !� "�� �

�"�!

= = = 1 Conclusão: = 1

b) = =

= = = = 6

)32(lim 2xxx

x−++

∞→)32( 2

∞−+∞+∞ )3( ∞−+∞+∞ )( ∞−∞

)( ∞−∞

)32(

)32)(32(lim

2

22

xxx

xxxxxx

x +++

+++−++

∞→ )32(

)32(lim

2

22

xxx

xxx

x +++

−++

∞→

)32(

32lim

2xxx

x

x +++

+

∞→ )32(

32lim

2∞++∞+∞

+∞

∞→x ∞

∞

x

xxx

x

x

x )32(

32

lim2

+++

+

∞→

x

x

xx

x

x

x

xx

x

x

+++

+

∞→

222

2 32

32

lim

132

1

32

lim

2+++

+

∞→

xx

xx

1001

02

+++

+

11

2

+)32(lim 2

xxxx

−++∞→

3

9lim

2

3 −

−

→ x

x

x 33

932

−

−

0

0

3

9lim

2

3 −

−

→ x

x

x )3(

)3)(3(lim

3 −

−+

→ x

xx

x)3(lim

3+

→x

x)33( +

LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL

1

1limou 1

1lim ex

ex

x

x

x

x=

+=

+

−∞→+∞→

Onde e é um número irracional, chamado número de Euler.

Façamos x variar de 1 até +∞.

21

111

1

=

+→=x 5,2

4

9

2

112

2

==

+→=x

36,227

64

3

113

3

==

+→=x 44,2

256

625

4

114

4

==

+→=x

59,210

10.59,2

10

1110

10

1010

≅≅

+→=x 705,2

100

11100

100

≅

+→=x

717,21000

111000

1000

≅

+→=x

ex =≅

∞++→+∞→

+∞

...71828182,21

1

Uma forma equivalente desse limite é:

ex x

x=+

→

1

0)1(lim

Exemplos. Calcule os limites indicados abaixo:

a) x

x x

4)1

1(lim ++∞→

b)x

x x)

11(lim −

−∞→ c) x

xx

5

0)1(lim −

−→

O conceito de continuidade

Ao definir Lim f(x), se x a, analisamos o comportamento da função f(x) para valores

de x próximos de a, mas diferentes de a. Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f

não esteja definida no ponto a. Se f está definida em x=a e Lim f(x) existe, ainda pode

ocorrer que este limite seja diferente de f(a). Uma idéia muito simples de função real

contínua é a de uma função que possa ser traçada em uma folha sem retirar a caneta do

papel. Caso se interrompa o gráfico da função e se comece em outro local do papel,

ocorre uma "descontinuidade". Em contextos avançados, observa-se que este critério é

errado, mas para o momento tal análise é suficiente.

Abaixo, mostramos um gráfico de uma função f contínua (sem interrupção) e um

gráfico de uma função g descontínua com uma série de problemas.

Na função descontínua g, observamos que: Não existe Lim g(x), se x b, pois os

limites laterais de g=g(x) são diferentes, isto é:

Limx b_ g(x) = s

Limx b+ g(x) = k embora g(b)=k.

1. Não existe Lim g(x) quando x c, pois

Limx c_ g(x) =

Limx c+ g(x) = embora g(c)=k.

2. Em x=d, temos

Limx d_ g(x) = Limx d+ g(x) = s e g(d)=s. Assim Limx d g(x)=s

que coincide com o valor de g no ponto x=d, isto é:

Limx d g(x) = g(d) = s

3. Em x=e, o valor que se obtém não é o esperado, aqui

Limx e_ g(x) = k = Limx e+ g(x) mas g(e)=z, logo

Limx e g(x) g(e)

Definição de função contínua:

Seja uma função f:|a,b| R e a<c<b. A função f é contínua no ponto c, se Lim f(x)

existe, quando x c e é igual a f(c), ou de uma forma mais concisa:

Limx cf(x)=f(c)

onde |a,b| é um intervalo da forma: (a,b), (a,b], [a,b) ou [a,b].

Se não existe Lim f(x) ou se existe Lim f(x) quando x c, mas Lim f(x) é diferente de

f(c), dizemos que a função f é descontínua em x=c.

Limites trigonométricos

Limites envolvendo infinito

a) b) c) d)

Limite de uma função polinomial para

Seja a função polinomial . Então:

OBSERVAÇÃO: Quando x →→→→ + ∞∞∞∞ ou x →→→→ – ∞∞∞∞, o

limite de um polinômio é igual ao limite do seu termo de maior grau.

Exemplos:

a) lim�→��2$� + $ − 3� & lim�→� 2$� & ∞

b) lim�→'��3$( − 4$� + 2$ + 1� & lim�→'� 3$( & −∞

c) lim�→'� +��,��'!����"�-. & lim�→'� ��,�� & lim�→'�2$ & −∞