Apostila de Algebra Linear Para Eurj

1

Universidade do Estado do Rio de Janeiro Apostila de Álgebra Linear para aplicação nos cursos de engenharia, ciências atuariais e estatística. Professora Joice Santos do Nascimento

SUMÁRIO

MATRIZES Matrizes e definições...................................................................................................................................................2 Tipos de matrizes...............................................................................................................................................2 Operações com matrizes.....................................................................................................................................5 Exercícios de aplicação......................................................................................................................................7 DETERMINANTES Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3...................................................................................................11 Determinantes de matrizes de ordem maiores que 3.......................................................................................12 Processo de inversão de matrizes usando a matriz adjunta...............................................................................14 Processo de inversão de matrizes usando operação elementares....................................................................15 Exercícios de aplicação....................................................................................................................................16 SISTEMAS LINEARES Definição..........................................................................................................................................................18 Representação matricial de Sistemas................................................................................................................18 Tipos de sistemas............................................................................................................................................19 Matriz escalonada...........................................................................................................................................19 Posto de uma matriz........................................................................................................................................19 Solução de sistemas.........................................................................................................................................22 Exercícios de aplicação.....................................................................................................................................23 ESPAÇOS VETORIAIS Vetores ..........................................................................................................................................................24 Operações com vetores ..................................................................................................................................25 Combinação linear de vetores .........................................................................................................................25 Dependência e independência linear entre vetores ........................................................................................26 Subespaços vetoriais – definidos por equações cartesianas..............................................................................27 Subespaços vetoriais – gerados por vetores.....................................................................................................27 Base e dimensão.............................................................................................................................................29 Coordenadas de um vetor em relação a uma base.............................................................................................30 Matriz mudança de base.................................................................................................................................31 Exercícios de aplicação.....................................................................................................................................31

TRANSFORMAÇÕES LINEARES Definição de transformações lineares e operadores lineares....................................................................33 Exemplos de transformações lineares no plano e no espaço.....................................................................35 Núcleo e Imagem de uma transformação linear (teorema).......................................................................38 Matriz de uma transformação linear relativa a bases................................................................................39 Exercícios de aplicação...............................................................................................................................40 AUTOVALORES E AUTOVETORES Definição - Polinômio característico - Auto-espaços..................................................................................42 Diagonalização de operadores lineares......................................................................................................44 Exercícios de aplicação...............................................................................................................................45 MATRIZES E DEFINIÇÕES

2

Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m n elementos (números, polinômios, funções, etc.) dispostos em linhas e colunas:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn m n

a a a

a a aA

a a a

Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes a altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela:

Altura (m)

Peso (kg) Idade (anos)

Pessoa 1 1,70 70 23

Pessoa 2 1,75 60 45

Pessoa 3 1,60 52 25

Pessoa 4 1,81 72 30 Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, temos a matriz:

1,70 70 23

1,75 60 45

1,60 72 30

A representação genérica de uma matriz é dada por ij m nA a

, onde

ija representa o termo da matriz

que ocupa a i -ésima linha e a j -ésima coluna. Exemplos:

2 1

1 3

0 2

, 0 3 2

2 1 2

,

2

1

0

10

e 12 2

1 3

Outros exemplos: Vamos construir uma matriz de ordem 2 3 onde 2 ,

,ij

i j i ja

i j i j

:

A matiz genérica de ordem 2 3 é da forma 11 12 13

21 22 23 2 3

a a aA

a a a

, então calculando seus elementos

segundo a regra: para i j teremos 11 1 1 0a , 12 1 2 1a , 13 1 3 2a , 22 2 2 0a ,

23 2 3 1a e para i j teremos 21 2.2 1 5a . Logo temos a matriz: 2 3

0 1 2

5 0 1A

.

Outros exemplos:

1) Construir a matriz de ordem 1 3 onde .ija i j :

2) Construir a matriz de ordem 2 2 onde ,

,ij

i j i ja

i j i j

:

3) Construir a matriz de ordem 3 2 onde 2 2 3ija i j :

TIPOS DE MATRIZES

Matrizes retangular são aquelas cujo o número de linhas e colunas distintos.

3

Exemplos:

2 1

1 3

0 2

e 0 3 2

2 1 2

.

Matrizes-linhas são aquelas que possuem apenas uma linha.

Exemplos: 2 1 e 0 3 2 .

Matrizes-coluna são aquelas que possuem apenas uma coluna.

Exemplos: 2

0

e

2

1

0

10

.

Matrizes quadradas são aquelas cujos números de linhas e colunas são iguais.

Exemplos: 2 , 12 2

1 3

.

1 2 0

3 1 4

1 0 0

e

11 12 1

21 22 2

1 2

m

m

m m mm m m

a a a

a a a

a a a

para algum m .

Diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n ij n nA a

são os elementos

ija onde i j .

Por exemplo:

1) A diagonal principal da matriz 12 2

1 3

é dada por 12 3 .

2) A diagonal principal de matriz

1 2 0

3 1 4

1 0 0

é dada por 1 1 0 .

3) A diagonal principal de uma matriz quadrada genérica de ordem n é dada por

11 22 nna a a .

Diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n ij n nA a

são os elementos

ija onde

1i j n . Por exemplo:

1) A diagonal secundária da matriz 12 2

1 3

é dada por 2 1 .

2) A diagonal secundária de matriz

1 2 0

3 1 4

1 0 0

é dada por 0 1 1 .

3) A diagonal secundária de uma matriz quadrada genérica de ordem n é dada por

1 2 1 1n n na a a .

Matriz triangular superior (inferior) é aquela cujos elementos abaixo (acima) da diagonal principal são todos nulos. Por exemplo:

4

1) Matrizes triangulares superiores: 1 2

0 3

e

1 2 0

0 1 4

0 0 0

.

2) Matrizes triangulares inferiores: 1 0

1 3

e

1 0 0

2 1 0

1 3 1

.

Matriz diagonal é aquela que é triangular superior e inferior ao mesmo tempo.

Exemplo: 1 0

0 3

e

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Matriz nula é aquela que possui todos os elementos nulos. Por exemplo:

0 0

0 0

,

0 0 0

0 0 0

0 0 0

,

0 0

0 0

0 0

, 0 0 0

0 0 0

e

0 0 0

0 0 0

0 0 0m n

.

Obs.: Matrizes nulas não são necessariamente quadradas.

Matriz identidade é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal são formados apenas pelo número 1. Por exemplo:

1 0

0 1

,

1 0 0

0 1 0

0 0 1

e

1 0 0

0 1 0

0 0 1n n

.

Oposta de uma matriz: Dada uma matriz ij m nA a

a oposta dessa matriz é a matriz ij m n

B b

onde

ij ijb a .

Exemplo: A oposta de

2 1

1 3

0 2

é dada por

2 1

1 3

0 2

A oposta de 0 3 2

2 1 2

é dada por

0 3 2

2 1 2

.

Transposição de matrizes:

Dada uma matriz ij m nA a

a matriz transposta de A é dada por tA e obtida por trocar as linhas de A

por colunas. Por exemplo:

5

1)

2 12 1 0

1 31 3 2

0 2

t

2)

0 20 3 2

3 12 1 2

2 2

t

3) 2

2 11

t

4)

0

0 3 2 3

2

t

.

5) 2

2 00

t

6)

2

12 1 0 10

0

10

t

.

Matriz simétrica é aquela que igual a sua própria transposta.

Exemplos: 1 6

6 3

,

2 4 3

4 1 4

3 4 1

Matriz antissimétrica é aquela que é igual a oposta de sua transposta, ou seja, tA A .

Exemplo: 0 6

6 0

,

0 4 3

4 0 4

3 4 0

OPERAÇÃO COM MATRIZES

Igualdade de matrizes

Duas matrizes ij m nA a

e ij m n

B b

de mesma ordem são ditas iguais quando

seus elementos são iguais, ou seja, ij ija b para todo 1,...,i m e todo 1,...,j n . Por

exemplo:

2 1 2 1

1 3 1 3

0 2 0 2

Determinar os valores das incógnitas em 0 3 2 1 3 4

2 1 2 2 2

x y

z w

.

R: 1, 6, 1, 1x y z w .

Soma de matrizes

6

A soma de duas matrizes ij m nA a

e ij m n

B b

de mesma ordem é uma matriz

ij m nC c

de mesma ordem dada por

ij ij ijc a b .

Exemplos:

2 1 3 2 5 3

1 3 4 3 3 6

0 2 1 2 1 0

1 6 2 4 1 8

5 3 2 2 3 1

Produto por escalar

Se é um escalar, o produto de uma matriz ij m nA a

por esse escalar é uma matriz

ij m nB b

tal que .ij ijb a .

Exemplos:

3 2 15 10

5. 4 3 20 15

1 2 5 10

4 2 1 12 6 3

3 .3 5 0 9 15 0

Produtos de matrizes

Sejam as matrizes 2 1A e 3

2B

, o produto AB é dado por uma matriz

11C c tal que:

11 2.3 1 .2c

11 6 2c

11 4c

Logo, . 4A B .

Vamos generalizar esse conceito para matrizes de outras ordens. Por exemplo: sejam

2 1 4

2 2 1A

e

1

2

1

B

, o produto AB é dado pela matriz 11 12C c c tal que:

11 2.1 1 .2 4. 1c

11 2 2 4c

11 4c

12 2.1 2 .2 1. 1c

12 2 4 1c

12 3c

7

Logo, . 4 3A B

Agora vamos generalizar, sejam duas matrizes ij m nA a

e

ij n pB b

, onde o

número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas de B . Definimos o

produto entre A e B pela matriz ij m p

C c

onde:

1 1 2 2. . ... .ij i j i j in njc a b a b a b

Outros exemplos:

1 5

6 7A

e

0 2 1

5 3 2B

então .A B é dado pela matriz

2 3ijC c

.

11 1 .0 5.5 25c

21 6.0 7 .5 35c

12 1 .2 5.3 13c

22 6.2 7 .3 23c

13 1 . 1 5. 2 9c

23 6. 1 7 . 2 8c

25 13 9.

35 23 8A B

Exercícios de aplicação

1) Sejam as matrizes: 1 2 3

2 1 4A

,

1 0

2 1

3 2

B

,

3 1 3

4 1 5

2 1 3

C

,

3 2

2 4D

,

2 4 5

0 1 4

3 2 1

E

, 4 5

2 3F

e

0 0 0

0 0 0

0 0 0

O

. Agora se for

possível calcule: a) C E . b) A B . c) D F . d) 3 5C O . e) 2 3C E . f) 2B F . g) 3 2D F .

h) 3 2A .

i) 3 2A A .

j) 3 B D .

k) t

C E .

l) tD D .

m) t

C E F .

2) Seja 22

2 1 0

xA

x

. Se tA A então qual é o valor de x ?

3) Calcule 2A quando 2 1

3 2A

:

8

4) Encontre os valores de ,x ,y z e w se 2 3 1 0

.3 4 0 1

x y

z w

5) Sejam as matrizes: 1 2 3

4 0 2A

,

3 1

2 4

1 5

B

,

2 3 1

3 4 5

1 1 2

C

,2 3

1 2D

,

1 0 3

2 1 5

3 4 2

E

e 2 3

4 1F

. Agora se for possível calcule:

a) AB b) BA c) CB D d) AB DF e) BA FD

6) Calcule os valores de m e n para que as matrizes sejam iguais:

a) 8 15 8 75

12 3 6 3

n

m

b) 2 2 41 1340 4

6 36 3

m n

c) 2

7 8 7 8

4 4 10 25

n

m n

7) Dadas as matrizes

1 2

3 1

7 4

5 9

A

, 1 3 5 7

6 2 8 3B

,

2 4

3 5C

e

1 7 3 8

3 1 1 3

4 1 9 0

5 3 2 3

D

. Calcule:

a) AB

b) AB D

c) BA

d) BA C

8) Determinar a matriz trasposta da matriz:

2 4 3 5

1 7 0 2

8 9 6 4

A

:

9


5 0 6

8 0 3

2 2 7

1 1 5

A

,

1 3 2 4

7 8 5 9

0 6 3 8

B

,

2 3 0

1 1 8

3 5 4

C

e

5 0 3 2

8 1 2 4

3 2 1 5

0 1 0 2

D

. Calcule:

a) t

AB

b) tAB D

c) tA BD

d) tB C

e) 2 3t t tA B C


2 7 1

3 4 2

5 9 6

A

,

0 9 3

4 8 1

7 3 1

B

e

4 3 5

1 2 7

8 1 9

C

. Calcule e

classifique o resultado:

a) tA A b) tB B c) . tA A

d) tA A e) tB B f) tC C

11) João pesa 81 quilos. Ele quer perder peso por meio de um programa de dieta e exercícios. Após consultar a tabela 1, ele monta o programa na tabela 2. Quantas calorias ele vai perder por dia se seguir esse programa?

Tabela 1 Calorias queimadas por hora

Atividades esportivas

Peso Andar a 3km/h Correr a 9km/h Andar de bicicleta a 9km/h

Jogar tênis (moderado)

69 213 651 304 420

73 225 688 321 441

77 237 726 338 468

81 249 764 356 492

10

12) Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três categorias. Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção de um único exemplar de cada produto a ser fabricado por trimestre. Essas estimativas são dadas nas tabelas 3 e 4. A empresa gostaria de apresentar a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo total por trimestre de cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais. Construa tal tabela.

Tabela 3. Custo de produção por item (em dólares)

Gastos Produto

A B C

Matéria-prima

0,10 0,30 0,15

Pessoal 0,30 0,40 0,25

Despesas 0,10 0,20 0,15

Tabela 4. Quantidade produzida por trimestre

Estação

Produto verão Outono Inverno Primavera

A 4000 4500 4500 4000

B 2000 2600 2400 2200

C 5800 6200 6000 6000

Tabela 2 Horas por dia para cada atividade

Programa de exercícios

Andar Correr Andar de bicicleta Jogar tênis

Segunda-feira 1,0 0,0 1,0 0,0

Terça-feira 0,0 0,0 0,0 2,0

Quarta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0

Quinta-feira 0,0 0,0 0,5 2,0

Sexta-feira 0,4 0,5 0,0 0,0

11

Determinantes

Determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3

Definimos determinantes de matrizes quadradas por indução sobre a ordem da matriz:

Matriz de ordem 1: Seja 11A a uma matriz de ordem 1 seu determinante é dado por:

11det A a

Matriz de ordem 2: Seja 11 12

21 22

a aA

a a

uma matriz de ordem 2 seu determinante é dado por:

11 22 12 21det A a a a a .

Matriz de ordem 2: Seja

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

uma matriz de ordem 3 seu determinante é

encontrado após executarmos alguns passos:

1) Repetimos as duas primeiras colunas da matriz

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

A a a a a a

a a a a a

2) Seguindo a direção da diagonal principal realizamos as multiplicações: 11 22 33. .a a a , 12 23 31. .a a a

e 13 21 32. .a a a .

3) Seguindo a diagonal secundária também realizamos as seguintes multiplicações: 13 22 31. .a a a ,

11 23 32. .a a a e 12 12 33. .a a a .

4) Agora realizamos a soma 11 22 33 12 23 31 13 21 32. . . . . .a a a a a a a a a e a soma

13 22 31 11 23 32 12 12 33. . . . . .a a a a a a a a a .

5) E assim o determinante é dado pela diferença entre os dois resultados:

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 11 23 32 12 12 33det . . . . . . . . . . . .A a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Exemplos:

1) det 2 2 , det 3 2 , 1 1

det2 2

, det 2 2

.

2) 2 1

det 2.7 ( 1).3 14 3 14 3 173 7

,

3 1

det 3 .2 ( 1).6 6 6 6 6 06 2

,

1 1det 1.2 1.3 2 3 1

3 2

.

12

3)

1 2 4

det 3 1 2

4 2 1

, para calcular vamos seguir os passos. Primeiro repetimos as duas

primeiras colunas:

1 2 4 1 2

3 1 2 3 1

4 2 1 4 2

e realizamos as multiplicações nas duas direções:

Diagonal principal: 1 . 1 .1 2. 2 . 4 4.3.2 1 16 24 41

Diagonal secundária: 4. 1 . 4 1 . 2 .2 2.3.1 16 4 6 26

Logo,

1 2 4

det 3 1 2 41 26 15

4 2 1

.

Vamos calcular

14

3 1

det 2 2 2

6 2 1

:

Primeiro passo:

14

3 1 3 1

2 2 2 2 2

6 2 1 6 2

.

Segundo passo: diagonal principal: 14

3.2. 1 1 . 2 . 6 .2.2 6 12 1 17

Diagonal secundária: 14.2. 6 3. 2 .2 1 .2. 1 3 12 2 13

Logo,

14

3 1

det 2 2 2 17 ( 13) 17 13 4

6 2 1

Determinantes de matrizes de ordem superior a 3

Usaremos o método dos cofatores: dada a matriz ij n nA a

, o cofator de um elemento ija da

matriz ij m nA a

é dado por 1 .det '

i j

ijcof a A

, onde 'A é a matriz menor obtido da

matriz ij m nA a

retirando a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Exemplo: Dada a matriz

5 0 3 2

8 1 2 4

3 2 1 5

0 1 0 2

D

vamos calcular 14cof a :

1 4

14

8 1 2

1 .det 3 2 1 1 . 0 0 6 0 8 0 14

0 1 0

cof a

13

Vamos calcular agora 23cof a :

2 3

23

5 0 2

1 .det 3 2 5 1 . 20 0 0 0 0 0 20

0 0 2

cof a

.

Precisamos aprender a calcular cofatores para calcular determinantes de matrizes de qualquer ordem.

Definição: Dada uma matriz quadrada ij n nA a

temos que seu determinante é dado pela soma

dos produtos de elementos de uma linha (ou coluna) da matriz por seus respectivos cofatores.

Exemplo: Vamos calcular o determinante da matriz

5 0 3 2

8 1 2 4

3 2 1 5

0 1 0 2

D

Vamos escolher a quarta linha para calcular os cofatores de seus elementos:

4 1

41

0 3 2

1 .det 1 2 4 1 . 0 24 2 8 15 49

2 1 5

cof a

4 2

42

5 3 2

1 .det 8 2 4 1 . 50 36 16 12 20 120 154

3 1 5

cof a

4 3

43

5 0 2

1 .det 8 1 4 1 . 25 0 32 6 100 0 151

3 2 5

cof a

4 4

44

5 0 3

1 .det 8 1 2 1 . 5 0 48 9 20 0 14

3 2 1

cof a

Logo o determinante é calculado assim: det 0. 49 1. 154 0.151 2. 14 172D

Observação: o método de cofatores pode ser aplicado para calcular determinantes de qualquer ordem até mesmo as ordens 2 e 3.

Propriedades:

1) O determinante de matrizes triangulares ou diagonais é o produto da diagonal principal.

2) O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes.

3) Os determinantes de uma matriz quadrada e sua transposta são iguais.

14

4) O determinante de uma matriz nula é nulo.

5) O determinante de uma matriz que possui uma linha ou uma coluna nula é nulo.

6) O determinante de uma matriz que possui duas linhas ou colunas iguais é nulo.

Uma matriz quadrada A

se diz invertível quando existe outra matriz de mesma ordem 1A

tal

que 1.A A I

onde I

é a matriz identidade de mesma ordem. Dizemos que 1A

é a matriz

inversa da matriz A

. Tal definição levanta o estudo dos processos de encontrar tal matriz inversa.

Processo de inversão de matrizes usando matriz adjunta

Dada uma matriz quadrada ij n nA a

definimos como a matriz cofatora da matriz ij n n

A a

como a matriz formada por todos os cofatores dos elementos de ij n nA a

. Notação

ijn n

cof A cof a

.

Exemplo: Vamos calcular a matriz cofatora da matriz

1 1 1

1 1 0

1 1 0

A

:

Vamos calcular os cofatores de todos elementos da matriz para construir a matriz cofatoras:

1 1

11

1 01 .det 1.0 0

1 0cof a

,

1 2

12

1 01 .det 1.0 0

1 0cof a

,

1 3

13

1 11 .det 1.( 2) 2

1 1cof a

,

2 1

21

1 11 .det 1.1 1

1 0cof a

,

2 2

22

1 11 .det 1.( 1) 1

1 0cof a

,

2 3

23

1 11 .det 1.0 0

1 1cof a

,

3 1

31

1 11 .det 1.( 1) 1

1 0cof a

,

3 2

32

1 11 .det 1 . 1 1

1 0cof a

,

3 3

33

1 11 .det 1.2 2

1 1cof a

.

Assim a matriz cofatora de A é dada por

0 0 2

1 1 0

1 1 2

cof A

.

Matriz adjunta 'A de uma matriz ij n nA a

é a transposta da matriz cofatora de A, ou seja,

't

A cof A .

15

Exemplo: A matriz adjunta da matriz

1 1 1

1 1 0

1 1 0

A

é dada por

0 1 1

' 0 1 1

2 0 2

A

A partir da matriz adjunta passamos a definir o primeiro processo de inversão de matrizes:

1 1

. 'det

A AA

Exemplos: A inversa da matriz

1 1 1

1 1 0

1 1 0

A

é dada por

1 12 2

1 1 12 2

0 1 1 01

0 1 1 02

2 0 2 1 0 1

A

.

Processos de inversão de matrizes usando operações elementares

Esse processo de inversão consiste em usar o que chamamos de operações elementares entre linhas de uma matriz para encontrar a matriz inversa. Por vezes usaremos essas operações para resolver outros problemas na Álgebra linear, como classificação e resolução de sistemas lineares, determinação de espaço gerado, determinação do núcleo e da imagem de uma transformação linear. Vamos a cada uma das operações:

1) Soma de linha de uma matriz: Soma-se duas linhas de uma matriz e substituiu uma das linhas usadas por esse resultado.

Exemplo: 2 1

1 1 1 1 1 1

1 1 0 2 0 1

1 1 0 1 1 0

L L

.

2) Multiplicação de uma linha por número: Multiplicar uma das linhas de uma matriz por um número real e substituir a própria linha.

Exemplo: 32.

1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 0

1 1 0 2 2 0

L

.

3) Troca de linhas: trocar duas linhas de posição.

Exemplo: 2 3

1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 1 0

1 1 0 1 1 0

L L

.

Ainda podemos combinar as duas primeiras operações:

3 22 1 32

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 3 2 1 3 2

1 1 0 1 1 0 2 8 6

L LL L

.

16

Agora vamos propriamente para o processo de inversão: Vamos inverter a matriz

1 1 1

1 1 0

1 1 0

A

agora usando esse processo: primeiro acrescenta a matriz A a matriz identidade:

1 1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 0

1 1 0 0 0 1

. O objetivo é usar as operações para transformar a matriz acima na matriz

identidade acrescido da matriz inversa. Observemos esse processo:

3 12 1

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0

1 1 0 0 1 0 0 2 1 1 1 0 0 2 1 1 1 0

1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1

L LL L

1 3 2 3 1 22

1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

0 2 1 1 1 0 0 2 0 0 1 1

0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1

L L L L L L

1 11 22 2

1 1 1 12 2 2 2

1 12 2

2 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0

0 2 0 0 1 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1

L L

3

1 12 2

1 1 12 2

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 1 0 1

L

. Logo

1 12 2

1 1 12 2

0

0

1 0 1

A

.

Em sala de aula usaremos os dois processos para inverter as matrizes:

a) 1 3

2 1B

b) 3 2

2 1C

c)

1 2 1

2 4 7

1 1 1

D

d)

1 2 1 4

1 1 2 1

5 0 1 0

0 0 0 1

E

.

Exercícios de Aplicação

1) Calcule o determinante das matrizes de ordem 2 abaixo:

17

a) 7 5

2 4A

b) 3 8

5 2B

c) 1 0

0 1C

d) 6 3

0 5D

2) Calcule o determinante das matrizes de ordem 3 abaixo:

a)

2 5 7

3 1 4

6 8 2

A

b)

2 5 7

3 1 4

6 8 2

A

c)

2 5 7

3 1 4

6 8 2

C

d)

1 9 8

6 7 2

1 4 6

D

3) Calcule o determinante da matriz

3 2 1 4

0 1 9 8

5 6 7 2

3 1 4 6

A

:

4) Resolva as equações abaixo:

a)

2 3 1

det 2 1 3 60

3 2 1

x x x

b)

2 2 1

det 1 3 4 56

3 1 5

x

x

x

c)

4 6

det 5 2 128

7 4 2

x

x

x

d)

3 1 4

det 4 5 3 7

9 10 1

x x x

e)

2 2

det 1 1 3

1 1 6

x

x

f)

2 6 2

det 4 2 0

2 8 4

x

x

g) 5) Inverta as matrizes abaixo usando método da adjunta:

a) 2 3

1 1A

b)

1 4 7

2 5 8

3 6 9

B

6) Inverta as matrizes abaixo usando o método das operações elementares:

a)

2 3 1

5 2 2

3 1 3

A

18

b)

1 3 5

0 0 2

0 4 12

B

c)

2 1 0 2

3 1 2 2

4 1 2 3

3 1 1 2

C

7) Sejam

3 4 1

5 2 9

7 8 6

A

,

4 1 3

3 0 1

7 2 4

B

e

2 6 8

3 9 12

1 2 3

C

. Calcule:

a) det A b) det B c) detC

d) det A B

e) det A B

f) det 2 3 4A B C

g) det .B C

Sistemas lineares

A soma das idades de Paulo e Rafael é igual a 45 e a diferença entre o dobro da idade de Paulo e a de Rafael é 21. É possível descobrir a idade de Rafael?

A resposta é simples: SIM. O problema acima é um típico exercício de sistema de equações do primeiro grau (visto por volta do 6° ano do ensino fundamental). Equacioná-lo pode ser mais simples ainda: vamos representar x como a idade de Paulo e y a idade de Rafael. A soma das idades de Paulo e Rafael é igual a 45: 45x y ; e a diferença entre o dobro da idade de Paulo e a

de Rafael é 21: 21x y

Assim teremos um sistema: e sua solução será dada por:

45

21

x y

x y

somando as equações 2 66x assim

6633

2x substituindo o valor de x temos:

33 45

45 33 12

y

y

.

Resposta: Então a idade de Paulo é de 33 anos e de Rafael é de 12 anos.

Esse é um exemplo de problema de sistemas de equações, porém a simplicidade da solução está no fato de termos apenas duas variáveis x e y e duas equações. Veremos nessa aula como resolver sistemas com várias equações e várias variáveis. A aplicação desse estudo se dará na própria matéria (aulas subseqüentes), matérias como cálculo numérico (ou aproximações), soluções de sistemas de equações diferenciais, e outros. Uma forma genérica de representar um sistema com n variáveis e m equações é:

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

, onde 1 2, , , nx x x são as variáveis; 11 12 1 1, ,..., ,..., , ,...,n mn ma a a a b b são números

reais. Representação matricial de sistemas lineares

19

Podemos representar um sistema linear através de matrizes, na verdade, todo sistema linear pode ser

representado por uma equação matricial .A X B onde ij m n

A a

é chamada matriz dos coeficientes,

1j nX x

é a matriz das incógnitas ou variáveis e

1i mB b

é a matriz dos termos livres. Para resolver

sistemas usaremos a seguinte representação

matrizampliada

matrizdoscoeficientes

A B.

Tipos de sistemas lineares

Sistemas lineares podem ser homogêneos (SLH), quando a matriz 1i m

B b

é nula. Por exemplo:

2 3 2 0

3 5 4 0

2 7 0

x y z

x y z

x y z

Ou, pode ser um sistema linear não homogêneo (SLNH), quando 1i m

B b

não é nula. Por exemplo:

2 3 2 2

3 5 4 5

2 7 24

x y z

x y z

x y z

Usando as operações elementares podemos dizer se é ou não possível encontrar solução para o sistema e mais se essa solução é única ou não. Matriz escalonada Escalonar uma matriz é usar operações elementares para transformar uma matriz em outra matriz de modo em que a matriz encontrada satisfaça o seguinte critério: “As linhas possuem um número crescente de zero antes do primeiro elemento não nulo de cada linha, a partir da segunda linha, ou seja, encontrar um zero na segunda linha, dois ou mais zeros na terceira linha, e assim sucessivamente.” Exemplos:

3 1 3 22 1 4 22 3 3 72 3

2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2 2 1 3 2

1 1 2 4 0 3 1 10 0 3 1 10 0 3 1 10

3 2 1 5 3 2 1 5 0 7 11 4 0 0 40 82

0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2 0 1 0 2

L L L LL L L L

4 340

2 1 3 2 2 1 3 2

0 3 1 10 0 3 1 10

0 0 40 82 0 0 40 82

0 0 1 4 0 0 0 242

L L

.

Posto de uma matriz O posto de uma matriz é o número de linhas não nulas de uma matriz após o seu escalonamento, por exemplo:

1) No exemplo acima a matriz tem posto 4 afinal não possui linhas nulas.

2) Dada a matriz

1 2 0 2 5

2 5 1 1 8

0 3 3 4 1

3 6 0 7 2

seu escalonamento é dado por:

20

3 22 1 4 1 32 3

1 2 0 2 5 1 2 0 2 5 1 2 0 2 5

2 5 1 1 8 0 1 1 3 2 0 1 1 3 2

0 3 3 4 1 0 3 3 4 1 0 3 3 4 1

3 6 0 7 2 3 6 0 7 2 0 0 0 13 13

L LL L L L

4 213 5

1 2 0 2 5 1 2 0 2 5

0 1 1 3 2 0 1 1 3 2

0 0 0 5 5 0 0 0 5 5

0 0 0 13 13 0 0 0 0 0

L L

. O posto dessa matriz é 3.

Para analisar os sistemas compararemos o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz ampliada pelos termos independentes. Sistemas lineares homogêneos são sempre possíveis, pois sempre admite a solução nula. Essa solução é única - sistema determinado – quando número de variáveis do sistema for igual ao posto da matriz. A solução de um sistema linear homogêneo é indeterminada quando existirem infinitas soluções, ou seja, quando número de variáveis do sistema for maior que o posto. Sistemas lineares não homogêneos podem ser impossíveis de se solucionar – quando o posto da matriz ampliada for diferente do posto da matriz dos coeficientes; pode ser possível – quando o posto da matriz ampliada for igual ao da matriz dos coeficientes; e ainda, o sistema sendo possível, ele pode ser determinado - quando número de variáveis do sistema for igual ao posto da matriz, ou indeterminado quando número de variáveis do sistema for maior que o posto. Ex.:

a)

2 2 5 0

2 5 0

3 3 4 0

3 6 7 2 0

x y t w

x y z t

y z t w

x y t w

Temos aqui um sistema linear homogêneo, logo sempre é possível. Vejamos se é

determinado ou indeterminado. A matriz do sistema é dada por:

1 2 0 2 5 0

2 5 1 1 8 0

0 3 3 4 1 0

3 6 0 7 2 0

matrizampliada


Então vamos fazer o escalonamento:

3 22 1 4 1 32 3

1 2 0 2 5 0 1 2 0 2 5 0 1 2 0 2 5 0

2 5 1 1 8 0 0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2 0

0 3 3 4 1 0 0 3 3 4 1 0 0 3 3 4 1 0

3 6 0 7 2 0 3 6 0 7 2 0 0 0 0 13 13 0

L LL L L L

4 213 5

1 2 0 2 5 0 1 2 0 2 5 0

0 1 1 3 2 0 0 1 1 3 2 0

0 0 0 5 5 0 0 0 0 5 5 0

0 0 0 13 13 0 0 0 0 0 0 0

L L

. O posto da matriz é 3 e temos 5 variáveis, a

saber, , , , ,x y z t w ;logo nosso sistema é indeterminado (mas a frente veremos como obter a solução).

21

b)

2 3 2 0

3 5 4 0

2 7 0

x y z

x y z

x y z

Temos aqui um sistema linear homogêneo, logo sempre é possível. Vejamos se é

determinado ou indeterminado. A matriz do sistema é dada por:

2 3 2 0

3 5 4 0

1 2 7 0

matrizampliada


Vamos ao escalonamento:

1 3 3 1 3 22 1 2 73

2 3 2 0 1 2 7 0 1 2 7 0 1 2 7 0

3 5 4 0 3 5 4 0 0 1 25 0 0 1 25 0

1 2 7 0 2 3 2 0 2 3 2 0 0 7 12 0

L L L L L LL L

1 2 7 0

0 1 25 0

0 0 163 0

. Oposto da matriz é 3 que é o número de variáveis, logo o sistema é possível e determinado

(Sua solução é única, logo é a solução nula).

c)

2 2 5 0

2 5 10

3 3 4 1

3 6 7 2 5

x y t w

x y z t

y z t w

x y t w

Temos aqui um sistema linear não homogêneo. Vejamos se é possível ou impossível. A

matriz do sistema é dada por:

1 2 0 2 5 0

2 5 1 1 8 10

0 3 3 4 1 1

3 6 0 7 2 5

matrizampliada



3 22 1 4 1 32 3

1 2 0 2 5 0 1 2 0 2 5 0 1 2 0 2 5 0

2 5 1 1 8 10 0 1 1 3 2 10 0 1 1 3 2 10

0 3 3 4 1 1 0 3 3 4 1 1 0 3 3 4 1 1

3 6 0 7 2 5 3 6 0 7 2 5 0 0 0 13 13 5

L LL L L L

4 213 5

1 2 0 2 5 0 1 2 0 2 5 0

0 1 1 3 2 10 0 1 1 3 2 10

0 0 0 5 5 31 0 0 0 5 5 31

0 0 0 13 13 5 0 0 0 0 0 115

L L

. O posto da matriz ampliada é 4 porém o

posto da matriz dos coeficientes é 3, logo o sistema é impossível.

22

d)

2 3 6

3 2 19

2 15

x y z

x y z

x y z

. Temos aqui um sistema linear não homogêneo. Vejamos se é possível ou

impossível. A matriz do sistema é dada por:

2 1 3 6

3 1 2 19

1 2 1 15

matrisampliada



1 3 3 1 3 22 1 2 7 53

2 1 3 6 1 2 1 15 1 2 1 15 1 2 1 15

3 1 2 19 3 1 2 19 0 7 1 26 0 7 1 26

1 2 1 15 2 1 3 6 2 1 3 6 0 5 1 24

L L L L L LL L

1 2 1 15

0 7 1 26

0 0 12 38

. O posto da matriz ampliada é 3 que o mesmo posto da matriz dos coeficientes, logo o

sistema é possível. E como o número de variáveis é 3 temos que o sistema também é determinado.

e)

2 3 6

3 2 2 19

13

x y z

x y z

x y z

Temos aqui um sistema linear não homogêneo. Vejamos se é possível ou

impossível. A matriz do sistema é dada por:

2 1 3 6

3 2 2 19

1 1 1 13

matrizampliada



1 3 3 1 3 22 1 23

2 1 3 6 1 1 1 13 1 1 1 13 1 1 1 13

3 2 2 19 3 2 2 19 0 1 5 20 0 1 5 20

1 1 1 13 2 1 3 6 2 1 3 6 0 1 5 20

L L L L L LL L

1 1 1 13

0 1 5 20

0 0 0 0

. O posto da matriz ampliada é 2 que o mesmo posto da matriz dos coeficientes, logo o

sistema é possível. Porém o número de variáveis é 3 então temos que o sistema é indeterminado. Soluções de sistemas:

1) Quando um sistema linear homogêneo é determinado, como já vimos ele admite apenas uma solução, a nula, ou seja, a única solução admitida é que todas as variáveis sejam nulas. Por exemplo, vimos que o sistema homogêneo

23

2 3 2 0

3 5 4 0

2 7 0

x y z

x y z

x y z

é possível e determinado, logo sua única solução é dada por 0, 0, 0x y z .

2) Quando um sistema linear homogêneo for indeterminado ele possui infinitas soluções, além da solução nula. Para encontrar essas soluções precisamos resolver o sistema gerado pela matriz do sistema

escalonada por usando a substituição. Por exemplo, o sistema linear homogêneo

2 2 5 0

2 5 0

3 3 4 0

3 6 7 2 0

x y t w

x y z t

y z t w

x y t w

é possível e indeterminado como já vimos. A matriz do sistema escalonado é dada por

1 2 0 2 5 0

0 1 1 3 2 0

0 0 0 5 5 0

0 0 0 0 0 0

que gera o sistema

2 2 5 0

3 2 0

5 5 0

x y t w

y z t w

t w

. Vamos encontrar uma letra em

função da outra, ou seja, podemos fazer 5 5t w t w , substituindo t nas outras duas equações

temos 2 2 5 0 2 3 0 2 3

3 2 0 0

x y w w x y w x y w

y z w w y z w z y w

, logo a solução é dada por

2 3 , | ,x y w z y w y w .

3) Quando temos um sistema linear não homogêneo podemos encontrar a solução resolvendo o sistema gerado pela matriz escalonada. Encontremos a solução de dois sistemas, um possível e determinado e outro possível e indeterminado:

2 3 6

3 2 19

2 15

x y z

x y z

x y z

. A matriz escalonada é dada por

1 2 1 15

0 7 1 26

0 0 12 38

que gera o sistema

2 15

7 26

12 38

x y z

y z

z

e temos a solução 403 173 1742 42 6

, ,x y z .

2 3 6

3 2 2 19

13

x y z

x y z

x y z

. A matriz escalonada é dada por

1 1 1 13

0 1 5 20

0 0 0 0

que gera o sistema 13

5 20

x y z

y z

e temos a solução 7 4 , 20 5 |x z y z z .


1) Classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:

a) 5 8 34

10 16 50

x y

x y

b)

4 3 15

3 2 5 7

2 3 4 7

x y z

x y z

x y z

c)

2 3 2 2

3 5 4 5

2 7 24

x y z

x y z

x y z

d)

2 3 10

3 4 6 23

3 2 3 10

x y z

x y z

x y z

e)

5 3 7 5

4 2

2 4 8 10

x y z

x y z

x y z

24

f)

4 6 11

2 3 4 9

3 2 2 7

x y z

x y z

x y z

2) Estabeleça a condição que deve ser satisfeita pelos termos independentes para que cada sistema abaixo seja possível.

a)

4 12 8

2 5 3

4 4

x y z a

x y z b

y z c

b)

2 4 2

3 8 5

3 4

x y z a

x y z b

x y z c

c) 2

x y z a

x z b

y z c

3) Calcular o valor de k para que o sistema admita mais de uma solução:

2 6 0

4 0

x y

x ky

4) Determine o valor de a para que o sistema

3 0

2 4

2

x y z

x y z

x y az a

seja:

a) Possível e indeterminado: b) Possível e indeterminado: c) Existe algum valor para a tal que o sistema seja impossível?

5) Determine o valor de a para que o sistema2

3 1

2 2 8 4

x y z

x y z

x y a z a

, para que o sistema seja:

a) Impossível: b) Possível e determinado: c) Possível e indeterminado:

Espaços vetoriais

Vetores Pretendemos nesse capítulo dar uma visão algébrica de vetores, de como se relacionam e qual é sua importância algébrica, estudando subespaços gerados por eles, combinações lineares e em que condição um conjunto de vetores formam uma base. Sabemos bem que os vetores também são estudados na geometria, porém a vertente aqui será diferente da geométrica que visa estudar uma posição no espaço. Veremos vetores pertencentes a vários espaços diferentes.

Um vetor no 2 é dado por uma dupla, ou seja, por um par ordenado, ,x y onde ,x y . Já um vetor no 3 é dado por uma tripla, ou seja, , ,x y z onde , ,x y z . Assim temos que um vetor no n é dado por

uma n-upla 1 2, ,..., nx x x onde 1 2, ,..., nx x x .

Exemplos: 323

0, 1 , 2,1 2, 14,150000

são vetores do 2 .

25

89

2,3,4 , 0,2, são vetores do 3 . O conjunto de todos os vetores da forma , ,x x x com está contido no 3 .

Dizemos que 2 , 3 ,..., n são espações vetoriais. Existem outros espaços vetoriais, porém nessa disciplina só estudaremos os espações vetoriais euclidianos citados acima. Operações com vetores São duas operações que estão definidas sobre cada espaço vetorial euclidiano: adição de vetores e multiplicação por escalar.

Adição de vetores: dados dois vetores 1 2 1 2, ,..., , , ,..., n

n nx x x y y y , a soma deles é dada por:

1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., , ,..., , ,...,n n n nx x x y y y x y x y x y .

Exemplos: 1, 2 0,3 1 0, 2 3 1,1

51 16 6 6, 5,7 1,0, 6 1, 5 0,7 6 , 5,1

Multiplicação por escalar: dado escalar a e um vetor 1 2, ,..., n

nx x x , a multiplicação entre eles é

dada por: 1 2 1 2. , ,..., , ,...,n na x x x ax ax ax .

Exemplo: 3. 1, 8 3.1,3.( 8) 3, 24

5. 1,0, 2 5.1, 5.0, 5.( 2) 5,0,5 2

0. 1,4, 5,0 0.1,0.4,0.( 5),0.0 0,0,0,0

Podemos combinar as duas operações:

2 1, 2 3 0,3 2,4 0,9 2,13

2 2 113 3 3

3 2, 5,1 0,3,1 6, 15,3 0,2, 6, 13,

5 0,10,3, 2 4 0,1, 2,3 1,0, 2,3 0, 50, 15,10 0,4, 8,12 1,0, 2,3 1, 46, 21,19

Combinação linear de vetores

Dizemos que um vetor v pode ser escrito como combinação linear dos vetores 1 2, ,..., nu u u quando existem

1 2, ,..., na a a tais que 1 1 2 2 ... n nv a u a u a u .

Exemplos:

1) Verifiquemos que o vetor 1,3,1v é combinação linear dos vetores: 1 22,0,1 , 0, 6, 1u u .

Segundo a definição de combinação linear precisamos verificar se existem 1 2,a a tais que

1 1 2 2v a u a u

e usando as operações com vetores temos: 1 21,3,1 . 2,0,1 . 0, 6, 1a a .

1 1 2 21,3,1 2 ,0, 0, 6 ,a a a a

1 2 1 21,3,1 2 , 6 ,a a a a . Assim podemos gerar o sistema

1

2

1 2

2 1

6 3

1

a

a

a a

e teremos os valores

1 11 22 2

,a a . Então podem escrever 1 12 2

1,3,1 . 2,0,1 . 0, 6, 1 .

2) Verifiquemos que o vetor 1,3,1,0v não é combinação linear dos vetores

1 2 32,0, 1,1 , 1,0, 6, 1 , 1,1, 1, 1u u u :

3)

Voltaremos a usar a definição de combinação linear, vamos verificar que não existem 1 2 3, ,a a a

tais que 1 1 2 2 3 3v a u a u a u :

26

4)

1 2 31,3,1,0 . 2,0, 1,1 . 1,0, 6, 1 . 1,1, 1, 1a a a

5)

1 1 1 2 2 2 3 3 3 31,3,1,0 2 ,0, , ,0, 6 , , , ,a a a a a a a a a a

6)

1 2 3 3 1 2 3 1 2 31,3,1,0 2 , , 6 ,a a a a a a a a a a . Assim podemos gerar o sistema

1 2 3

3

1 2 3

1 2 3

2 1

3

6 1

0

a a a

a

a a a

a a a

cuja matriz é dada por

2 1 1 1

0 0 1 3

1 6 1 1

1 1 1 0

matrizampliada


e escalonando temos:

2 3 2 4 4 12

2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1

0 0 1 3 1 6 1 1 0 7 2 1 0 7 2 1

1 6 1 1 0 0 1 3 0 0 1 3 0 0 1 3

1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 3 1 1

L L L L L L

4 34 27 3

2 1 1 1 2 1 1 1

0 7 2 1 0 7 2 1

0 0 1 3 0 0 1 3

0 0 1 10 0 0 0 7

L LL L

, como o posto da matriz dos coeficientes é 3

e o posto da matriz ampliada é 4 temos que o sistema é impossível, logo não existem tais

1 2 3, ,a a a .

3) O vetor nulo é combinação linear de qualquer conjunto de vetores pois: 1 20 0. 0. ... 0. nu u u par

qualquer que sejam os vetores 1 2, ,..., nu u u .

Dependência e independência linear entre vetores

Dados um conjunto de vetores 1 2, ,..., nu u u dizemos que 1 2, ,..., nu u u é um conjunto linearmente

independente quando ao testarmos a combinação linear nula: 1 1 2 2. . ... . 0n na u a u a u encontramos

1 20, 0,..., 0na a a . Caso contrario, dizemos que 1 2, ,..., nu u u é linearmente dependente.

Exemplos:

1) 1,1 , 1, 1 é linearmente independentes, pois testando a combinação linear nula:

1,1 1, 1 0,0a b temos , , 0,0 , 0,0a a b b a b a b , o que gera o sistema

0

0

a b

a b

, e portanto, 0, 0a b , o que prova que 1,1 , 1, 1 é linearmente independente.

2) 2, 2 , 1, 1 é linearmente dependentes, pois testando a combinação linear nula:

2, 2 1, 1 0,0a b temos 2 , 2 , 0,0 2 , 2 0,0a a b b a b a b , o que gera o

sistema 2 0

2 0

a b

a b

, e portanto, 2b a , o que prova que 2, 2 , 1, 1 é linearmente

dependente.

27

3) 1,1,0 , 2,1, 1 , 0,0,1 é linearmente independentes, pois testando a combinação linear nula:

1,1,0 2,1, 1 0,0,1 0,0,0a b c temos

, ,0 2 , , 0,0, 0,0,0 2 , , 0,0,0a a b b b c a b a b b c , o que gera o sistema

2 0

0

0

a b

a b

b c

, e portanto, 0, 0, 0a b c , o que prova que 1,1,0 , 2,1, 1 , 0,0,1 é linearmente

independente.

4) 1,1,1 , 1,2, 1 , 0,1, 2 é linearmente independentes, pois testando a combinação linear nula:

1,1,1 1,2, 1 0,1, 2 0,0,0a b c temos

, , ,2 , 0, , 2 0,0,0 , 2 , 2 0,0,0a a a b b b c c a b a b c a b c , o que gera o

sistema

0

2 0

2 0

a b

a b c

a b c

, e portanto, a c b , o que prova que 1,1,1 , 1,2, 1 , 0,1, 2 é

linearmente dependente.

Subespaços vetoriais – definidos por equações cartesianas Subespaços vetoriais são subconjuntos de espaços vetoriais. Dizemos que são definidos por uma equação cartesiana quando definimos o subespaço através de uma equação que envolva suas coordenadas. Exemplos:

1) 2, | 5 0x y x y .

2) 2, | 0, 0x y x x y .

3) 3, , | 2 3 0x y z x y z .

4) 3, , | 3 0; 3 0x y z x y x z .

5) 3, , | 2 3 0; 5 0x y z x y z x y z .

6) 3, , | 2 2 0; 0; 0x y z x y z x y z x .

7) 4, , , | 2 3 0; 3 0x y z t x y z x z t .

Subespaços vetoriais – gerados por vetores

Subespaços vetoriais que são gerados pelos vetores 1 2, ,..., nu u u é o subespaço formado por todos os

vetores da forma 1 1 2 2. . ... .n nv a u a u a u , onde 1 2, ,..., na a a . Denotamos o subespaço gerado pelo

conjunto de vetores 1 2, ,..., nu u u por 1 2, ,..., nu u u .

Exemplos:

1) 1,1,1 , 1,2, 1 .

2) 1,1 , 2, 1 .

3) 1,1,1 .

28

4) 1,1,1 , 1,2, 1 , 0,1,1 .

Podemos encontrar conjuntos geradores de subespaços definidos por uma equação, bem como determinar a equação que define um subespaço gerado por vetores. Exemplos: Vamos determine a(s) equação(ões) dos subespaços gerados por:

1) 1,1,1 , 1,2, 1 : Bem, o que queremos é determinar uma equação a qual as coordenadas de todos

os vetores desse subespaço gerado satisfaça. Os vetores aqui são da forma

, , . 1,1,1 . 1,2, 1 , , ,2 , , 2 ,x y z a b a a a b b b a b a b a b e o que queremos é

encontrar uma condição (equação) sobre , ,x y z para que o sistema sempre tenha solução, ou seja,

quero impor uma condição para que , ,a b c sempre existam, já que são as variáveis do sistema.

Vamos lá: o sistema é dado por 2

a b x

a b y

a b z

, logo a matriz do sistema é

1 1

1 2

1 1

x

y

z

. Vamos escaloná-

lo: 3 1 3 22 1 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 0 1 0 1 0 1

1 1 1 1 0 2 0 0 2( )

L L L LL L

x x x x

y y x y x y x

z z z x z x y x

Para que o sistema seja sempre possível é necessário que 2( ) 3 2 0z x y x x y z . Então

3 2 0x y z é a equação do subespaço gerado por 1,1,1 , 1,2, 1 .

2) 1,1, 1 , 1,2, 1 , 0,1,0 : A forma dos vetores é , , . 1,1, 1 . 1,2, 1 . 0,1,0x y z a b c

, , ,2 , 0, ,0 , 2 ,a a a b b b c a b a b c a b então teremos o sistema: 2

a b x

a b c y

a b z

e vamos resolvê-lo: 3 12 1

1 1 0 1 1 0

1 2 1 0 1 1

1 1 0 1 1 0

L LL L

x x

y y x

z z

1 1 0

0 1 1

0 0 0

x

y x

z x

, logo para que o sistema seja possível temos que equação 0x z .

Agora, como fazer para determinar o conjunto gerador de um subespaço vetorial definido por uma equação? Por exemplo:

1) 2, | 5 0x y x y . Basta estudarmos a equação 5 0x y , podemos dizer aqui que 5x y ,

assim as coordenadas são da forma , 5 , . 5,1x y y y y , logo são geradas por 5,1 .

2) 3, , | 2 0; 0; 0x y z x y z x y z x . Usando as três equações, temos que ; 0y z x ,

logo as coordenadas são da forma , , 0, , . 0,1,1x y z y y y e o espaço gerado é dado por

0,1,1 .

29

3) 4, , , | 2 3 0; 3 0x y z t x y z x z t . Usando as duas equações, temos

2 3 ; 3( 2 3 ) 7 9z x y t x x y x y , logo as coordenadas são da forma

, , , , , 2 3 , 7 9 ,0, 2 , 7 0, ,3 ,9 . 1,0, 2, 7 . 0,1,3,9x y z t x y x y x y x x x y y y x y e o

espaço gerado é dado por 1,0, 2, 7 , 0,1,3,9 .

Base e dimensão

Dizemos de um conjunto de vetores 1 2, ,..., nu u u é uma base de um espaço (ou subespaço) vetorial

quando:

a) 1 2, ,..., nu u u é linearmente independente

b) 1 2, ,..., nu u u é um conjunto gerador.

Dimensão de um espaço (ou subespaço) vetorial é a quantidade de vetores de uma base.

Exemplos:

1) O conjunto 1,0 , 0,1 é uma base para o espaço 2 .

a) 1,0 , 0,1 é linearmente independente: . 1,0 . 0,1 0,0 ,0 0, 0,0a b a b

, 0,0 0, 0a b a b .

b) 1,0 , 0,1 é um conjunto gerador do espaço 2 : , . 1,0 . 0,1x y x y , ou seja, todo vetor

do é gerado por 1,0 , 0,1 .

2) O conjunto 1,1 , 1,2 é uma base para o espaço 2 .

a) 1,1 , 1,2 é linearmente independente:

. 1,1 . 1,2 0,0 , ,2 0,0 , 2 0,0 0, 2 0a b a a b b a b a b a b a b

Resolvendo o sistema 0

2 0

a b

a b

temos 0, 0a b .

b) 1,1 , 1,2 é um conjunto gerador do espaço 2 : 2

3 3, . 1,1 . 1,2y x y xx y , ou seja,

todo vetor é gerado por 1,1 , 1,2 .

3) O conjunto 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 é uma base para o espaço 3 .

a) 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 é linearmente independente:

. 1,0,0 . 0,1,0 . 0,0,1 0,0,0 , , 0,0,0a b c a b c , então 0, 0, 0a b c .

b) 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 é um gerador do 3 : , , . 1,0,0 . 0,1,0 . 0,0,1x y z x y z .

4) O conjunto 1, 1,0 , 1,0,1 , 2,1,1 é uma base para o espaço 3 .

a) 1, 1,0 , 1,0,1 , 2,1,1 é linearmente independente:

30

. 1, 1,0 . 1,0,1 . 2,1,1 0,0,0 2 , , 0,0,0a b c a b c a c b c , então temos o

sistema

2 0

0

0

a b c

a c

b c

cujo resultado é 0, 0, 0a b c .

b) 1, 1,0 , 1,0,1 , 2,1,1 é gerador de 3 :

3

2 2 2, , . 1, 1,0 . 1,0,1 . 2,1,1x y z x y z x y zx y z .

5) O conjunto 1,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,1,0 , 0,0,0,1 é uma base para o subespaço 4 .

a) 1,0,0,0 , 0,1,0,0 , 0,0,1,0 , 0,0,0,1 é linearmente independente:

. 1,0,0,0 . 0,1,0,0 . 0,0,1,0 0,0,0,1 0,0,0,0 , , , 0,0,0,0a b c d a b c d , então

0, 0, 0, 0a b c d .

6) Como determinar bases de subespaços determinado por equações:

Determinar uma base para o subespaço 4, , , | 2 3 0; 3 0x y z t x y z x z t . Usando as

duas equações, temos 2 3 ; 3( 2 3 ) 7 9z x y t x x y x y , logo as coordenadas são da

forma , , , . 1,0, 2, 7 . 0,1,3,9x y z t x y como já foi visto no exemplo 3 de subespaços

determinados por equações, assim o conjunto 1,0, 2, 7 , 0,1,3,9

é um gerador do

subespaço. Vejamos que 1,0, 2, 7 , 0,1,3,9 também é linearmente independente:

. 1,0, 2, 7 . 0,1,3,9 0,0,0,0 ,0, 2 , 7 0, ,3 ,9 0,0,0,0a b a a a b b b

, , 2 3 , 7 9 0,0,0,0 0, 0a b a b a b a b , e é linearmente independente

1,0, 2, 7 , 0,1,3,9 .

Coordenadas de um vetor em relação a uma base

Dado um vetor v dizemos que 1 2, ,..., na a a , nessa ordem, são as coordenadas de v em relação a uma

base 1 2, ,..., nu u u quando 1 1 2 2. . ... .n nv a u a u a u . Notação |v , o que quer dizer as coordenadas de v

na base .

Exemplos:

1) Escrever as coordenadas do vetor 2,1, 1 em relação a base ordenada

1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 : Como 2,1, 1 2. 1,0,0 1. 0,1,0 1. 0,0,1 temos que

2,1, 1 | 2,1, 1 .

2) Escrever as coordenadas do vetor 2,1, 1 em relação a base ordenada

1, 1,0 , 1,0,1 , 2,1,1 : Queremos encontrar valores de , ,a b c para que

2,1, 1 . 1, 1,0 . 1,0,1 . 2,1,1a b c assim temos o sistema

2 2

1

1

a b c

a c

b c

, cuja solução é dada

por 1, 3, 2a b c , e portanto 2,1, 1 | 1, 3,2 .

Matriz mudança de base

31

Dadas duas bases 1 2, ,..., nu u u e 1 2, ,..., nv v v de um mesmo espaço vetorial, temos que a matriz

mudança de base da base para a base é dada por ij n nP a

onde

1 1 2 2. . ... .j j j nj nu a v a v a u . Em

outras palavras, as colunas da matriz mudança de base são as coordenadas dos vetores da base em

relação a base . A relação da matriz mudança de base com as coordenadas de um vetor qualquer é dada

por | . |v P v

.

Exemplos: Sejam 1,1 , 1,2 e 1,1 , 1,0 bases do 2 , vamos calcular a matriz mudança de

base da base para a base : 11 211,1 . 1,1 . 1,0a a e 12 221,2 . 1,1 . 1,0a a . Então temos os

sistemas 11 21

11 21

11

11, 2

1

a aa a

a

e

12 22

12 21

12

12, 1

2

a aa a

a

. Assim a matriz passagem é dada

por: 1 2

2 1

.

Agora as coordenadas de 1,1 | 1,0 e assim temos como verificar a relação entre as duas bases e as

coordenadas dos vetores: 1 2 1 1

2 1 0 2

, ou seja, | . |v P v

.


1) Sejam os vetores 2, 3,2u

e 1,2,4v

em 3 .

a) Escrever o vetor 7, 11,2w como combinação linear de u e v .

b) Para que valor de k o vetor 8,14,k é combinação linear de u e v .

c) Determine uma condição entre ,a b e c para que o vetor , ,a b c seja uma combinação

linear de u e v .

2) Seja o espaço vetorial 2 2M e os vetores 1 0

1 1u

, 1 2

0 1v

e 0 1

2 1w

. Escrever o

vetor 1 8

0 5

como combinação linear dos vetores u , v e w .

3) Escrever o vetor nulo como combinação linear dos vetores:

a) 1,3u e 2,6v

b) 1,3u e 2,5v

4) Sejam os vetores 1 1,2,1v , 2 1,0,2v e 3 2, 1,0v . Expressar cada um dos vetores

8,4,1u , 0,2,3v e 0,0,0w como combinação linear de 1,v 2v e 3v :

5) Expressar o vetor 41,4, 4,6u como combinação linear dos vetores 1 3, 3,1,0v ,

2 0,1, 1,2v e 3 1, 1,0,0v .

6) Seja S o subespaço do 4 definido por: 4, , , | 2 0, 0S x y z t x y z t . Pergunta-se:

a) 1,2,3,0 ?S

b) 3,1,4,0 ?S

c) 1,1,1,1 ?S

32

7) Seja o subespaço de 2 2M : 2

| ,a b a

S a ba b b

. Pergunta-se:

a) 5 6

?1 2

S

b) Qual deve ser o valor de k para que o vetor 4

2 3

k

pertença a S ?

8) Determinar uma equação cartesiana para cada subespaço gerado abaixo:

a) 2, 1,3

b) 1,3,2 , 2, 2,1

c) 1,0,1 , 0,1,2 , 2,3,1

d) 1,2, 1 , 1,1,0 , 3,0,1 , 2, 1,1

e) 1,2, 1 , 1,1,0 , 0,0,2 , 2,1,0

9) Seja o conjunto 1,3, 1 , 1, 2,4A , determine:

a) O subespaço gerado por A:

b) O valor de k para que o vetor 5, ,11u k pertença a subespaço encontrado na letra a.

10) Se 3, 1, 1,1,1 , 1,2,0 , 1,3, 1k , qual será o valor de k ?

11) Determine o subespaço do 4 gerado pelos vetores 1 2, 1,1,4v , 2 3,3, 3,6v e

3 0,4, 4,0v .

12) Classifique os conjuntos abaixo em L.I. ou L.D.:

a) 21,3

b) 21,3 , 2,6

c) 22, 1 , 3,5

d) 21,0 , 1,1 , 3,5

e) 32, 1,3

f) 31, 1,1 , 1,1,1

g) 32, 1,0 , 0,0,0 , 1,5,2

h) 31,2, 1 , 2,4, 2 , 1,3,0

i) 31, 1,2 , 2,1,1 , 1,0,3

j) 31,2, 1 , 1,0,0 , 0,1,2 , 3, 1,2

k) 42,1,0,0 , 1,0,2,1 , 1,2,0, 1

l) 40,1,0, 1 , 1,1,1,1 , 1,2,0,1 , 1,2,1,0

m) 40,0,1, 1 , 1,2,1, 2 , 1, 1,0,0 , 0,1,0,0

13) Consideremos as seguintes bases do 2 : 1,1 , 0, 1 e 2, 3 , 3,5 .

a) Determine a matriz-mudança de base P

:

b) Utilize a matriz obtida no item a) para calcular |v , sendo | 2,3v .

33

c) Determine a matriz mudança da base para P

.

14) Repetir o problema anterior para as bases 3, 1 , 1, 2 e 3,2 , 2,2 , sendo

| 4,3v .

15) Sejam 1,0 , 0,1 , 1,1 , 1,0 , 1,1 , 2, 3 e 2,1 , 5, 1 , bases do 2

.

a) Determinar as matrizes mudança de base: P

, P

, P

, P

e P

.

b) Determinar as coordenadas do vetor | 3,4v em relação às bases , e .

16) Sabendo que 1 4

4 11P

e que 3,5 , 1,2 determine a base :

17) Sabendo que 7 6

11 8P

e que 1,3 , 2, 4 determine a base :

18) Consideremos as seguintes bases do 3 : 1,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 e

1,0, 1 , 0,1, 1 , 1,1,1 .

d) Determine a matriz-mudança de base P

:

e) Utilize a matriz obtida no item a) para calcular |v , sendo | 1,2,3v .

f) Determine a matriz mudança da base para P

.

19) Se

0 1 0

1 1 0

1 1 1

P

determinar |v , sabendo que

3

| 2

0

v

:

Transformações lineares

Dados espaços vetoriais V e W sobre um mesmo corpo , chamamos de transformação linear de V em W a função :T V W que satisfaz a:

a) Para quaisquer vetores 1 2,v v V temos que 1 2 1 2( ) ( ) ( )T v v T v T v ;

b) Para qualquer vetor v V e qualquer escalar temos que ( ) ( )T v T v .

Exemplos:

1) Seja 3 2:T tal que ( , , ) (2 3 , 2 )T x y z x y z x y z , vejamos que tal função é uma

transformação linear:

a) , , , , , ,T x y z a b c T x a y b z c

2( ) 3( ) ( ),( ) 2( ) ( )x a y b z c x a y b z c

2 2 3 3 , 2 2x a y b z c x a y b z c

2 3 , 2 2 3 , 2x y z x y z a b c a y c

34

, , , ,T x y z T a b c

Logo, a) é satisfeita.

b) , , , , 2 3 , 2T x y z T x y z x y z x y z

2 3 , 2 2 3 , 2 , ,x y z x y z x y z x y z T x y z

Logo, b) também é satisfeita e, portanto, T é uma transformação linear.

2) Seja 2 3:T tal que ( , ) ( 3 , 2 , )T x y x y x y x y , vejamos que tal função é uma


a) , , ,T x y a b T x a y b

, 2( ), ( )x a y b x a y b x a y b

, 2 , , 2 ,x y x y x y a b a b a b

, ,T x y T a b


b) , , , 2 ,T x y T x y x y x y x y

, 2 , 3 , 2 , ,x y x y x y x y x y x y T x y


3) Seja 2 2:T tal que ( , ) ( , 4 )T x y x y x y , vejamos que tal função é uma transformação

linear:

a) , , , , 4( )T x y a b T x a y b x a y b x a y b

, 4 , 4 , ,x y x y a b a b T x y T a b


b) , , , 4T x y T x y x y x y

, , , ,

2 ,2 4 ,

2 , 2 4 , , ,

T x y z T x y z

x y z x y x y z

x y z x y x y z T x y z


4) Seja 3 3:T tal que ( , , ) ( 2 ,2 4 , )T x y z x y z x y x y z , vejamos que tal função é uma


a) , , , , , ,T x y z a b c T x a y b z c

2( ) ,2( ) 4( ),x a y b z c x a y b x a y b z c

2 ,2 4 , 2 ,2 4 ,x y z x y x y z a b c a b a b c

, , , ,T x y z T a b c .

35


b) , , , ,T x y z T x y z

2 ,2 4 ,x y z x y x y z

2 , 2 4 , , ,x y z x y x y z T x y z


Transformações lineares no plano Agora iremos apresentar uma visão geométrica das transformações lineares, dando alguns exemplos de transformações lineares do plano no plano. Você verá assim, que, por exemplo uma expansão, uma rotação e certas deformações podem ser descritas por transformações lineares.

a) Expansão (ou contração) uniforme: 2 2:T , onde , ,T x y x y .

Por exemplo: 2 2:T onde , 2 ,2T x y x y .

Observe que transformando na forma de matrizes colunas temos:

2

2

x xT

y y

ou

2 0

0 2

x xT

y y

Se tomássemos 2 2:F onde 2 2, , yxF x y é uma contração.

b) Expansão (ou contração) na direção do eixo x : 2 2:T , onde , ,T x y x y .

Por exemplo: 2 2:T onde , 2 ,T x y x y .

Sua forma matricial é: 2x x

Ty y

ou

2 0

0 1

x xT

y y

.

c) Expansão (ou contração) na direção no eixo y : 2 2:T , onde , ,T x y x y .

Por exemplo: 2 2:T onde , , 3T x y x y .

Sua forma matricial é: 3

x xT

y y

ou

1 0

0 3

x xT

y y

.

d) Reflexão em torno do eixo x : 2 2:F onde , ,F x y x y

36

Na forma de matrizes temos x x

Fy y

ou

1 0

0 1

x xF

y y

e) Reflexão em torno do eixo y 2 2:F onde , ,F x y x y .

Na forma matricial temos 1 0

0 1

x x xF

y y y

.

f) Reflexão em torno da origem: 2 2:F onde , ,F x y x y .

Na forma matricial temos x x

Fy y

ou

1 0

0 1

x xF

y y

.

g) Reflexão em torno da reta y x : 2 2:F onde , ,F x y y x .

Sua forma matricial é dada por: 0 1

1 0

x y xF

y x y

.

h) Reflexão em torno da reta y x : 2 2:F onde , ,F x y y x .

Sua forma matricial é dada por: 0 1

1 0

x y xF

y x y

.

i) Rotação de um ângulo (no sentido anti-horário):

37

' cos( ) cos cosx r r rsen sen . Mas cosr x e rsen y , então ' cosx x ysen .

Analogamente, ' ( ) cos cos cosy rsen rsen r sen y xsen .

Assim a rotação 2 2:R é dada por , cos , cosR x y x ysen y xsen , ou na forma matricial:

cos cos

cos cos

x x ysen sen xR

y y xsen sen y

.

Consideremos o caso particular onde 2

. Neste caso, cos 0 e 1sen . Então,

0 1

1 0

x y xR

y x y

.

j) Cisalhamento horizontal: 2 2:T , onde , ,T x y x y y com . Por exemplo: 2 2:T onde , 2 ,T x y x y y . Sua representação matricial é dada por:

2 1 2

0 1

x x y xT

y y y

.

38

k) Cisalhamento vertical: 2 2:T , onde , ,T x y x x y com . Por exemplo: 2 2:T onde , ,3T x y x x y . Sua representação matricial é:

1 0

3 3 1

x x xT

y x y y

.

Núcleo e Imagem de uma transformação linear Dada uma transformação linear :T V W , chamamos de Núcleo da transformação T o conjunto dos

vetores v V tais que sua imagem por T é nula, ou seja, | 0WKer T v V T v .

Exemplos:

1) Seja 3 2:T tal que ( , , ) (2 3 , 2 )T x y z x y z x y z , determinemos o seu núcleo: Quero

encontrar valores para ,x y e z tais que , , 0,0T x y z , ou seja, (2 3 , 2 ) 0,0x y z x y z o

que gera o seguinte sistema: 2 3 0

2 0

x y z

x y z

. Cuja soluça é dada por 3y x e 7z x , logo o

núcleo é dado por , 3 , 7 |Ker T x x x x .

2) Seja 2 3:T tal que ( , ) ( 3 , 2 , )T x y x y x y x y , determinemos o seu núcleo: Quero

encontrar valores para ,x y tais que , 0,0,0T x y , ou seja, ( 3 , 2 , ) 0,0,0x y x y x y o que

gera o seguinte sistema:

3 0

2 0

0

x y

x y

x y

. Cuja solução é dada por 0x y , logo o núcleo é dado por

0,0Ker T .

Dada uma transformação linear :T V W , chamamos de Imagem de uma transformação T o conjunto dos

vetores T v onde v V , ou seja, Im |T T v v V .

Exemplo:

39

1) Seja 2 2:T tal que ( , ) ( , 4 )T x y x y x y , determinemos sua imagem. Quero encontrar quem

é o conjunto de vetores da forma ( , 4 )x y x y e isso é feito descobrindo os vetores geradores:

, 4 , , 4 1,1 1, 4x y x y x x y y x y

Logo o conjunto gerador da imagem é 1,1 , 1, 4 , e assim 2Im T .

2) Seja 2 3:T tal que ( , ) ( 3 , 2 , )T x y x y x y x y , determinemos a sua imagem. Quero

encontrar quem é o conjunto de vetores da forma ( 3 , 2 , )x y x y x y então:

( 3 , 2 , ) , , 3 , 2 , 1,1,1 3, 2, 1x y x y x y x x x y y y x y

Logo o conjunto gerador da imagem é 1,1,1 , 3, 2, 1 .

Teorema do núcleo e imagem: Seja :T W V uma transformação linear entre espaços vetoriais e sejam

ker T o núcleo de T e Im T a imagem de T . Então dim dimker dimImW T T .

Exemplos:

Aqui valem fazer mais algumas observações;

Proposição 1: Uma transformação linear :T W V é dita injetiva quando 0Ker T .

Proposição 2: Uma transformação linear :T W V é dita sobrejetiva quando Im T V .

Definição: Uma transformação linear :T W V é um isomorfismo quando for injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo.

Exemplo:

1) Seja 2 3:T tal que ( , ) ( 3 , 2 , )T x y x y x y x y , ao determinarmos o seu núcleo vimos que

0,0Ker T , logo T é injetiva. A transformação não é sobrejetiva, pois como dimker 0T

pelo teorema do núcleo e imagem 22 dim 0 dimIm T , e assim dimIm 2T , ou seja,

3Im T . E T não é um isomorfismo.

2) Seja 2 2:T tal que ( , ) ( , 4 )T x y x y x y , ao determinarmos sua imagem vimos que

2Im T , logo T é sobrejetiva. E ainda temos que 2dim 2 assim, usando o teorema do núcleo e

imagem, temos 2 dimker 2T e então dimker 0T , logo T é um isomorfismo.

Matriz de uma transformação linear relativa a bases

Dada uma transformação linear :T W V entre dois espaços vetoriais, 1 2, ,..., nv v v W e

1 2, ,..., mu u u bases de W e V , respectivamente. Definimos a matriz da transformação linear T em

relação as bases e como a matriz ij m nT a

onde: 1 1 2 2 ...j j j mj mT v a u a u a u com 1,...,j n .

Exemplo: Seja 2 3:T tal que ( , ) ( 3 , 2 , )T x y x y x y x y e as bases 21,0 , 0,1 e

31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 então:

40

1,0 1,1,1 1 1,0,0 1 0,1,0 1 0,0,1T e 0,1 3, 2, 1 3 1,0,0 2 0,1,0 1 0,0,1T . Assim a

matriz da transformação associada a essa bases é dada por

3 2

1 3

1 2

1 1

T

.

Agora se considerarmos outras bases 21,1 , 2,1 e 31,1,1 , 1,1,0 , 1,0, 1 vamos ver

como ficaria a matriz T

: 1,1 4, 1,0 5 1,1,1 6 1,1,0 5 1,0, 1T e

2,1 5,0,1 6 1,1,1 6 1,1,0 5 1,0, 1T . Assim temos a matriz

3 2

5 6

6 6

5 5

T

.


1) Verifique se as seguintes funções são transformações lineares:

a) 2 2:f onde , ,f x y x y x y

b) 2:g onde ,g x y xy

c) 2 3:h onde , , ,2h x y z x z x y z

d) :t onde h x x

2) a) Determine a transformação linear 2 3:T tal que 1,1 3,2,1T e 0,1 1,1,0T .

b) Encontre 2v tal que 2,1, 3T v .

3) a) Determine a transformação linear 3 2:T tal que 1, 1,0 1,1T , 0,1,1 2,2T e

0,0,1 3,3T .

b) Achar 1,0,0T e 0,1,0T .

4) Seja 3 2:T uma transformação linear definida por 1,1,1 1,2T , 1,1,0 2,3T e

1,0,0 3,4T .

a) Determinar , ,T x y z .

b) Determinar 3v tal que 3, 2T v .

c) Determinar 3v tal que 0,0T v .

5) Seja 3 3:T a transformação linear tal que 1,0,0 0,2,0T , 0,1,0 0,0, 2T e

0,0,1 1,0,3T . Determinar , ,T x y z e o vetor 3v tal que 5,4, 9T v .

6) O vetor 3,2v experimenta sequencialmente: uma reflexão em torno da reta y x ; um

cisalhamento horizontal de fator 2; uma contração na direção do eixo y de fator 1

3; e por último:

uma rotação de 90 no sentido anti-horário. Calcule o vetor resultante dessa sequencias de operações:

41

7) Seja 3 3:T onde , 2 ,4 2T x y x y x y . Quais dos seguintes vetores pertencem ao

ker T ?

a) 1, 2

b) 2, 3

c) 3,6

8) Para a mesma transformação acima, verifique quais dos vetores pertencem a 3 3:T .

a) 2,4

b) 12, 1

c) 1,3

9) Para as transformações lineares abaixo verifique quais são injetivas, sobrejetiva e/ou isomorfismo:

a) 2 2:T onde , 3 , 3T x y x y x y .

b) 2 3:T onde , , ,2T x y x y x y .

c) 2 2:T onde , 2 ,T x y x y x y .

d) 3 2:T onde , , 2 ,2T x y z x y z x y z .

e) 3 3:T onde , , 2 , 2 , 3T x y z x y z x y z x z .

f) 3 3:T onde , , 3 , ,T x y z x y x z z x .

10) Consideremos a transformação linear 3 2:T definida por , , 2 , 2T x y z x y z x y e as

bases 31,0,0 , 2, 1,0 , 0,1,1 e 21,1 , 0,1 . Determinar a matriz T

.

11) Seja a transformação linear 2 3:T onde , 2 , 3 , 2T x y x y x y y e as bases

21,1 , 2,1 e 30,0,1 , 0,1, 1 , 1,1,0 . Determinar T

. Qual a matriz T

,

onde 31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 ?

12) Sabendo que a matriz de uma transformação linear 2 3:T nas bases 21,1 , 1,0 e

31,1, 1 , 2,1,0 , 3,0,1 é:

3 1

2 5

1 1

T

, encontrar a expressão de ,T x y e a matriz

T

nas bases 21,0 , 0,1 e 31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 .

13) Considere a transformação linear 3 2:T definida por: , , 2 ; 3T x y z x y z x y z .

Determine: a) Núcleo de T: b) Uma base e a dimensão do núcleo de T: c) Um conjunto gerador para a imagem de T:

d) A matriz da transformação linear relativa as bases 31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 e

21,0 , 0,1 :

e) A matriz da transformação linear relativa as bases 31,1,1 , 1,2,3 , 0,0,1 e

21,0 , 1,1 :

42

14) Considere a transformação linear 2 3:T definida por: , 2 3 ; 2 ;T x y x y x y x y .

Determine: a) Núcleo de T: b) Uma base e a dimensão do núcleo de T: c) Um conjunto gerador para a imagem de T:

d) A matriz da transformação linear relativa as bases 21,0 , 2,1 e

31,0,0 , 1,1,0 , 0,1,1 :

15) Considere a transformação linear 2 2:T definida por: , 3 , 2T x y x y x y . Determine:

a) Núcleo de T: b) Uma base e a dimensão do núcleo de T: c) Um conjunto gerador para a imagem de T:

d) A matriz da transformação linear relativa a base 21,0 , 0,1 :

e) A matriz da transformação linear relativa a base 21,0 , 1,1 :

f) Verifique se T é um isomorfismo:

16) Considere a transformação linear 3 3:T definida por:

, , 3 , 2 , 2T x y z x y z x y z x y z . Determine:

a) Núcleo de T: b) Uma base e a dimensão do núcleo de T: c) Um conjunto gerador para a imagem de T:

d) A matriz da transformação linear relativa a base 31,0,0 , 0,1,0 , 0,0,1 :

e) A matriz da transformação linear relativa a base 31,0,1 , 0, 1,0 , 1,0,1 :

f) Verifique se T é um isomorfismo:

AUTOVALORES E AUTOVETORES

Dada uma transformação linear :T V V , chamamos de autovetor de T o vetor não nulo v V tal que

T v v para algum .

Exemplo: Seja 2 2:T uma transformação linear dada por , 2 ,T x y x y y . Temos que o vetor

1,0 é um autovetor de T, pois 1,0 2,0 2 1,0T , e nesse caso 2 .

O escalar também recebe um nome, ele é chamado de autovalor de T.

Vamos aprender a determinar os autovalores e autovetores associados a uma transformação T qualquer:

Primeiro calculamos o determinante da matriz T I , onde I é a matriz identidade e é uma

indeterminada, assim encontraremos o que chamamos de polinômio característico.

Depois encontramos as raízes do polinômio característico, que serão os meus autovalores 1 2 3, , ...

Para encontrar os autovetores resolvemos o sistema gerado por 1T v v , 2T v v ,

3T v v ,... Cada conjunto solução será um auto-espaço associado a um autovalor de T. Os

autovetores de T são os vetores não nulos dos auto-espaços de T.

43

Exemplos:

Vamos determinar os autovalores e autovetores das transformações lineares abaixo:

1) Seja 2 2:T definida por , 4 ,T x y y x :

Polinômio característico:

20 4 1 0 0 4 0 4

det det det 41 0 0 1 1 0 0 1

As raízes do polinômio característico: 2 24 0 4 4 2

Logo, escrevemos 1 2 e

2 2 são os autovalores de T.

Agora vamos encontrar os autovetores: , 2 , 4 , 2 ,2T x y x y y x x y

O que gera o sistema 4 2

2

y x

x y

, cuja solução é 2x y . Então o auto-espaço de T associado ao

autovalor 2 é 2 2 , |V y y y e os autovetores associados a 2 são dados por

*2 2 , |v y y y .

Agora: , 2 , 4 , 2 , 2T x y x y y x x y . O que gera o sistema 4 2

2

y x

x y

, cuja solução

é 2x y . Então o auto-espaço de T associado ao autovalor -2 é 2 2 , |V y y y e os

autovetores associados a -2 são dados por *2 2 , |v y y y .

2) Seja 2 2:T definida por , ,2T x y x y x y : (fazer em aula)

3) Seja 3 3:T definida por , , 2 , , 2T x y z x z x z x y z :

Polinômio característico:

3 2

1 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0

det 1 0 1 0 1 0 det 1 0 1 0 0

1 1 2 0 0 1 1 1 2 0 0

1 0 2

det 1 1 1 2 2 2 1

1 1 2

3 3

As raízes do polinômio característico: 3 23 3 0 , logo 1 1 , 2 1 e 3 3

Agora vamos encontrar os autovetores:

, , 1 , , 2 , , 2 , ,T x y z x y z x z x z x y z x y z

44

O que gera o sistema

2

2

x z x

x z y

x y z z

, cuja a solução é: x y e 0z . Logo o auto-espaço

associado ao autovalor 1 é 1 , ,0 |V x x x e os autovetores associados a 1 são dados

por *1 , ,0 |v x x x

, , 1 , , 2 , , 2 , ,T x y z x y z x z x z x y z x y z

O que gera o sistema

2

2

x z x

x z y

x y z z

, cuja a soluça é z x e 0y . Logo o auto-espaço

associado ao autovalor -1 é 1 ,0, |V x x x e os autovetores associados a -1 são

dados por *1 ,0, |v x x x .

, , 3 , , 2 , , 2 3 ,3 ,3T x y z x y z x z x z x y z x y z

O que gera o sistema:

2 3

3

2 3

x z x

x z y

x y z z

, cuja solução é z x e 0y .

Logo o auto-espaço associado ao autovalor 3 é 3 ,0, |V x x x e os autovetores

associados a 3 são dados por *3 ,0, |v x x x .

4) Seja 3 3:T definida por , , ,2 ,3 2T x y z x x y x y z : (fazer em aula)

Diagonalização de operadores lineares

Sabemos que dada uma transformação linear :T V V e uma base de V faz-se corresponder

uma matriz T

que esta associada a T relativa à base . Nosso objetivo é verificar se existe uma base

de modo que a matriz T

é uma matriz diagonal.

Temos algumas propriedades que nos ajudam a identificar quando um operador é ou não diagonalizável:

1) Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes. 2) A soma das dimensões dos auto-espaços de uma transformação linear é menor ou igual a dimensão

do espaço vetorial em questão.

5) Exemplos: Seja a transformação 3 3:T definida por , , , ,T x y z x y z y z z , seu

autovalor é 1 e seu único auto-espaço é 1 ,0,0 |V x x . Logo esse operador não é

diagonalizável, pois 1dim 1 3V . Já a transformação linear 3 3:T definida por

, , 2 , , 2T x y z x z x z x y z possui os autovalores 1,-1 e 3 cujos auto-espaços são

1 , ,0 |V x x x , 1 ,0, |V x x x e 3 ,0, |V x x x . Temos que 1dim 1V ,

45

1dim 1V e 3dim 1V , assim 1 1 3dim dim dim 1 1 1 3V V V e a transformação é

diagonalizável. Exercícios de aplicação


, 6 ,5T x y x y x y , determine:

a) Polinômio característico de T: b) Autovalores de T: c) Auto-espaços e autovetores associados a cada autovalor. d) T é diagonalizável?


, , 3 4 ,5 5 ,T x y z x z y z z , determine:



, 3 4 , 2T x y x y x y , determine:



, , , 2 ,2T x y z x y x y z x y z , determine:


Bibliografia: Steinbruch, A., Winterlte, P. Álgebra linear, 2 ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987. Bolbrini, J.L. Álgebra linear, 3 ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980

Apostila de Algebra Linear Para Eurj

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