Aula 01. Calculo IIIjjnynytcnucy
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Equaes DiferenciaisDany Oliveira
1
Srie numrica infinita, definio, propriedadesAula 08
ObjetivosDesenvolver noes de srie numrica infinitas e de convergncia de sries comparando com sequncias.
SequnciasUma sequencia uma lista de nmeros numa certa ordem, a1, a2, a3, ..., an ... , onde a1 o 1 termo, a2 o 2 termo, ... , an o n-simo termo geral.Notao: {a1, a2, a3, ..., an } ou {an }.
Ex:
Convergncia e divergncia de uma sequnciaConverge se
Diverge se no existe ou infinito.
Sries infinitasConsideremos a sequncia (an)nN e construamos a partir desta, a seguinte soma parcial:
S1 = a1S2 = a1 + a2Sn= a1+ a2 + ... + an
Srie numrica infinitaDefinio:Se {an} uma sequncia infinita, ento uma expresso
chamada srie numrica infinita de termo geral an. Se somarmos os N primeiros termos desta srie, teremos o que chamamos de soma parcial:
Exemplos
a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
b) 1, 2, 6, 24, 120 ...
Convergncia e divergncia de uma srie
S a soma da srie se .
Converge:
Diverge: Quando no converge.
Exerccios
Limites de uma sequencia
Exemplos
ExerccioPara as sries abaixo determine:Os quatro primeiros termos da srie;A sequencia das somas parciais;A soma da srie, se possvel.
01)
02)
Sries geomtricas
Uma srie geomtrica uma srie da forma:
A n-sima soma parcial da srie geomtrica :
Concluses
Exerccios01. Determine se a srie convergente ou divergente, se convergente encontre a soma.
4)
Exerccios03. Expresse a dzima peridica 0,222 ... Como uma frao comum
04 Encontre os valores de x para os quais a srie converge e a soma da srie para esses valores.
Teste da divergncia ou Critrio do Termo Geral
Mostre que as sries so divergentes:
a)
b)
c)
d) Exemplos
P-srie ou srie hiper-harmnica Uma p- srie uma srie da forma:
Teste da Integral
ExemplosEstude a convergncia das p-sries:
1) 2) 3)
Propriedades das sries
Propriedades das sries
Propriedades das sries
Exemplo: e
d) A convergncia ou divergncia de uma srie no afetada pela retirada ou o acrscimo de um nmero finito de termos. Em outras palavras: Se converge ( diverge), a srie obtida de acrescentando-se ou suprimindo-se alguns termos tambm converge (diverge) .
Ex:
Propriedades das sries
Sries AlternadasTeste de Leibniz
Sries Alternadas
Teste das Sries Alternadas (Teste de Leibniz)
A srie alternada , an > 0 converge se todas as condies a seguir forem satisfeitas:
Os an forem decrescente: an > an +1 , .
Exerccios
Usando o teste de Leibniz (TL) , examine quanto convergncia, as sries:
a)
b)
c)
3
Somas Aproximadas de Sries Alternadas
Se uma srie alternada satisfaz s condies do Teste de Leibniz e S a sua soma temos o seguinte resultado:
Exemplo
Determine quantos termos devem ser utilizados para calcular a soma da srie inteira com com um erro de menos de 0,001
Somas Aproximadas de Sries Alternadas
Com este resultado podemos avaliar somas de sries alternadas com preciso de k casas decimais usando que
Convergncia absoluta
ObjetivosIdentificar a diferena entre convergncia absoluta e convergncia de sries.
Convergncia Absoluta
Convergncia absoluta e convergncia condicional
Determine se a srie dada absolutamente convergente:Exerccios
Teste da razo, Teste da Raiz
ObjetivosConhecer mtodos de convergncia.
ExercciosDetermine se a srie convergente ou divergente pelo teste da razo.
ExercciosDetermine se a srie convergente ou divergente pelo teste da raiz.
Sries de Potncias
ObjetivosDeterminar o domnio de convergncia das sries de potncia;Encontrar uma representao em srie de potncias para as funes;
Sries de potnciaDefinio:
Quando em uma srie de potncias a varivel for substituda por um nmero, a srie resultante numrica e pode convergir ou no.
Intervalo de convergncia
Procedimento para encontrar o intervalo de convergncia de uma srie de potncias.
Aplicar o teste da razo ( ou da raiz);Resolver a inequao resultante;Analisar os extremos individualmente.Intervalo de convergncia
Convencionaremos as seguintes observaes:
A varivel x ROs coeficientes an R(x-a)0 = 1 mesmo que x = ax0 = 1 mesmo que x=0
Intervalo de convergncia
01. Determinar os intervalos de convergncias das sries:Exerccios
Uma srie de potncias pode ser encarada como uma funo da varivel x.
Onde o domnio de f o conjunto dos valores de x que tornam a srie convergente. Clculos numricos utilizando srie de potncias so a base para a construo de calculadoras. Clculos algbricos, diferenciao e integrao podem ser realizados com o uso de sries. O mesmo acontece com as funes trigonomtricas, trigonomtricas inversas, logaritmos e hiprboles.Funes definidas por sries de potncias
Se uma srie de potncias tem um intervalo de convergncia ]a r, a + r[ , onde r o raio de convergncia, podemos usar a srie de potncias para definir uma funo cujo domnio o intervalo de convergncia da srie ]a r, a + r[ f: ]a r, a + r[ Rf(x) =
ou seja, para cada valor de x pertencente ao intervalo ]a r, a + r[ associamos o valor que corresponde soma da srie
f(x) = = a0 + a1(x a) + a2(x a)2 + a3(x a)3 +...
Funes definidas por sries de potncias
Exemplos: A srie geomtrica tem regio de convergncia ]1, 1[. Assim, nesteintervalo ela define a funo f(x) =
A srie uma srie geomtrica de razo r = x a. No intervalo ela define a funo f(x)
A partir da srie geomtrica, tanto como potncia de x quanto como potncia de ( x a) podemos obter novas sries que definem outras funes.
Funes definidas por sries de potncias
Exerccios
Considere a srie geomtrica
obtenha uma representao em srie de potncias para
ExercciosEncontre uma representao em srie de potncias para as seguintes funes:
a)
b)
Considere a srie geomtrica
obtenha uma representao em srie de potncias para
, a = 2 , a = 2
, a = 1
Exerccios
Derivao e integrao das sries de potncias
Exemplos
Derivando termo a termo temos:
Exemplo
Integrando termo a termo temos:
1) f(x) = ln(1+x)
Sries de Taylor e Maclaurin
ExemploEncontre a srie de Taylor gerada por f(x) = 1/x em a = 2.
Polinmio de TaylorSeja f uma funo com derivadas de ordem n para n = 1,2, n em algum intervalo contendo a como ponto interior. Ento, para qualquer inteiro n de 0 a N, o polinmio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a o polinmio