Aula1 ResolucaoDeProblemas v21 02 Ok Atualizado

Resoluo de Problemas

Aula 1

Prof. Dr. Ivan Alcntara

Agenda

Exerccios versus Problemas

Resoluo de problemas

As quatro fases ou etapas para resolver um problema, segundo G. Polya.

Problemas para resolver

Exerccio versus problema Dicionrio Aurlio (AURLIO, 2004)

exerccio (substantivo masculino) 1. Ato de exercer; prtica, uso. 2. Desempenho de funo ou profisso. 3. Atividade fsica. 4. Atividade planejada e executada regularmente. 5. Trabalho escolar para adestrar ou treinar o aluno. 6. Perodo de execuo dos servios dum oramento pblico. problema (substantivo masculino) 1. Questo matemtica proposta para que se lhe d soluo. 2. Questo no solvida, ou de soluo difcil.

Exerccio versus problema (Dicionrio Houaiss, 2001)

Exerccio s. m.

1. treinamento. 2. ... 3. trabalho escolar 4. ...

Problema s. m.

1. algo de difcil soluo ou explicao 2. situao difcil

3. ... 4. questo matemtica para ser solucionada ... 6. pessoa, coisa ou situao incmoda, fora de controle etc.

Exerccio versus problema

First, what is a problem? We distinguish between problems and exercises. An exercise is a question that you know how to resolve immediately. Whether you get it right or not depends on how expertly you apply specific techniques, but you don't need to puzzle out what techniques to use. In contrast, a problem demands much thought and resourcefulness before the right approach is found. Paul Zeitz (ZEITZ, 2007)


Um exerccio uma questo que voc conhece como resolver imediatamente. No precisa decifrar qual tcnica utilizar para resolv-lo.

Um problema demanda muito mais reflexo e esforo para desembaraar antes de encontrar a abordagem apropriada. necessrio descobrir que tcnica utilizar para resolver.


Paul Zeitz (ZEITZ, 2007) comenta que, ainda que no exista unanimidade quanto a dar um nome para a rea de resoluo de problemas, alguns autores, como George Polya, utilizam o termo heurstica.

Heurstica: Conjunto de regras e mtodos que

visam descoberta, inveno ou resoluo de problemas. Dicionrio Aurlio (AURLIO, 2004).

Exerccio versus problema Heurstica: sugestes, tcnicas ou estratgia geral

que ajude a abordar, entender e resolver um problema.

Segundo Polya, G. O objetivo da Heurstica o estudo dos mtodos e das regras da descoberta e da inveno. A Heurstica moderna procura compreender o processo solucionador de problemas, particularmente as operaes mentais, tpicas deste processo... (POLYA, 1995, pp. 86, 87).

Exerccio versus problema Segundo Polya, G. Raciocnio heurstico

aquele que no se considera final e rigoroso, mas apenas provisrio e plausvel (razovel, admissvel), e que tem por objetivo descobrir a soluo do problema que se apresenta (...) Teremos a absoluta certeza quando chegarmos soluo completa, mas frequentemente, antes de chegarmos certeza absoluta, teremos de nos satisfazer com uma estimativa mais ou menos plausvel. (POLYA, 1995, p. 132).

Como resolver um problema? As quatro etapas

As quatro fases, etapas ou passos para resolver um problema, segundo George Polya (POLYA, 1995, p. XII).

1. COMPREENSO DO PROBLEMA

2. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO

3. EXECUO DO PLANO

4. REFLEXO (RETROSPECTO)

Como resolver um problema? Etapa 1 - Compreenso do problema

Primeiro: preciso compreender o problema

1. COMPREENSO DO PROBLEMA

Qual a incgnita? Quais so os dados? Qual a condicionante (que

estabelece condio para a realizao ou cumprimento de algo)?

Adote uma notao adequada. Trace uma figura.

possvel satisfazer a condicionante? A condicionante suficiente

para determinar a incgnita? Ou insuficiente? Ou redundante? Ou

contraditria?

Separe as diversas partes da condicionante. possvel anot-las?

Como resolver um problema? Etapa 1 - Compreenso do problema - Exemplo

Problema: Calcular a diagonal de um

paraleleppedo retngulo do qual so

conhecidos, o comprimento, a largura e a

altura.

Necessidades: conhecimento do Teorema de Pitgoras e aplicao na

geometria plana, alm de um conhecimento sistemtico de

geometria espacial.


Qual a incgnita?

O comprimento da diagonal de um paraleleppedo.

Quais so os dados?

O comprimento, a largura e a altura do paraleleppedo.

Notao adotada:

Comprimento = c, Largura = l

Altura = a, Incgnita = x

Qual a condicionante que relaciona c, l e a com x?

x a diagonal do paraleleppedo, na qual c, l, a so, respectivamente, o

comprimento, a largura e a altura do paraleleppedo. Sendo

suficiente essas informaes para se determinar a diagonal x.


Figura

c l

a x

Como resolver um problema? Etapa 2 Estabelecimento de um plano

Segundo

Encontre a conexo entre os dados e a incgnita.

Possivelmente ser necessrio considerar problemas auxiliares, pesquisar...

2. ESTABELECIMENTO DE UM PLANO

J o viu antes? Ou j viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente?

Conhece um problema correlato (mais geral ou especfico)? Conhece um problema que lhe poderia ser til? possvel utilizar o seu mtodo?

Considere a incgnita! E procure pensar em um problema conhecido que tenha a mesma incgnita ou outra semelhante.

possvel reformular o problema? possvel reformul-lo ainda de outra maneira? Volte s definies.

Como resolver um problema? Etapa 2 Estabelecimento de um plano - Exemplo

J o viu antes? Ou j viu o mesmo problema

apresentado sob uma forma ligeiramente diferente?

Conhece um problema correlato? Conhece um

problema que lhe poderia ser til? possvel utilizar

o seu mtodo?

Perceba que a diagonal x do paraleleppedo um

segmento de reta, similar ao problema de encontrar o

lado de um tringulo retngulo.

Observe o tringulo retngulo na figura.


Figura

c l

a x


Observe que procuramos a hipotenusa do tringulo

retngulo, mas no conhecemos um dos catetos,

possvel encontr-lo?

Sim, basta verificar que esse cateto a hipotenusa

do tringulo retngulo composto dos catetos c e

l.

Logo, podemos aplicar o Teorema de Pitgoras duas

vezes e encontramos o valor da incgnita x.

Como resolver um problema? Etapa 3 Execuo do plano

Terceiro

Execute o seu plano

3. EXECUO DO PLANO

Ao executar o seu plano de resoluo, verifique cada passo. possvel

verificar claramente que o passo est correto? possvel

demonstrar que ele est correto?

Como resolver um problema? Etapa 3 Execuo do plano

Ao executar o seu plano de resoluo, verifique cada passo.

Aplicando o Teorema de Pitgoras a 1 vez, encontramos h:

h2 = l2 + c2 h = l2 + c2

Aplicando o Teorema de Pitgoras a 2 vez, encontramos x:

x2 = h2 + a2 x = h2 + a2 x = l2 + c2 + a2

c l

a x

h

Como resolver um problema? Etapa 4 Reflexo (Retrospecto)

Quarto

Examine a soluo obtida

4. REFLEXO (RETROSPECTO)

possvel verificar o resultado? possvel verificar o argumento?

Utilizou todos os dados?

possvel chegar ao resultado por um caminho diferente? possvel

perceber isto em um relance?

possvel utilizar o resultado, ou o mtodo, em algum outro problema?

Como resolver um problema? Etapa 4 Reflexo (Retrospecto)

possvel verificar o resultado? possvel verificar o argumento?

Utilizou todos os dados?

Todos dados (c, l, a) foram utilizados.

Alm disso, se zerarmos l, por exemplo, devemos calcular o resultado

para um paralelogramo retngulo. Que pode ser verificado na

frmula encontrada.

Como resolver um problema? Problema - Aquecimento

No centro da cobertura retangular de um edifcio que tem 21 metros de comprimento e 16 metros de largura, instala-se um mastro de 8 metros de altura. Para amarrar o mastro, precisamos de quatro cabos iguais. Estes partem do mesmo ponto, 2 metros abaixo do topo do mastro, e so fixados nos quatro cantos da cobertura do edifcio.

a) Qual ser o comprimento de cada cabo?

b) Considerando que o metro do cabo custa R$ 40,00. Qual o valor a ser gasto para amarrar o mastro?

Como resolver um problema? Problemas - Grupo de 3 a 6 pessoas

1) Elaborar a soluo para o problema que calcula a quantidade de latas de tinta necessrias e o custo para pintar tanques cilndricos onde so conhecidos a altura e o raio do tanque.

sabe-se que: a lata de tinta custa R$ 100,00.

cada lata contm 5 litros.

cada litro de tinta pinta 10 metros quadrados.

2) Especifique as aes necessrias para que uma pessoa que est no local (a) possa ir em segurana at o local (b). Para tal, observe o sentido do trfego na encruzilhada, a faixa, o sinal de pedestres, o semforo e a placa de trnsito.

a

c d

b


3) O presidente do clube de campo do Mato deseja construir uma piscina moderna. O projeto da piscina segue o modelo abaixo:

a) Determinar qual o volume mximo de gua necessrio para preencher toda a piscina.

a/2 a/2

a a

b

4a

a/4

a/4


b) O presidente deseja colocar lajota na parte reservada para banho de sol e azulejo em todo o restante da piscina. Sabendo-se que as lajotas so quadradas (lado l) (M reais o m2) e que os azulejos possuem lados l1, l2 (N reais o m2) . Determinar o custo total para cobrir todo o espao do projeto da piscina.


4) Suponha que voc possui um rob e queira faz-lo trocar uma lmpada de uma sala (conforme figura), sendo que o mesmo foi programado para obedecer aos seguintes comandos:

Pegue ; pressione ; gire garras 180o no sentido horrio; gire garras 180o no sentido anti-horrio; mova para ; desloque-se para .

e ainda capaz de:

Perceber quando algum comando no pode mais ser executado;

Sentir alguma fonte de calor.

Elabore uma soluo que permita ao rob trocar a lmpada (verifique se a lmpada est queimada).

Sala Depsito de Lmpadas

rob

lmpada

interruptor

Como resolver um problema? Exerccios - Grupo de 3 a 6 pessoas

5) Construir uma sequncia de passos que devem ser seguidos por uma pessoa para encontrar um livro das nossas referncias bibliogrficas bsicas na biblioteca da Universidade e retir-lo. Suponha que a pessoa est na porta de entrada da sala da biblioteca, sabe o nome do livro que deseja buscar, editora, ano de publicao, edio e o(s) autor(es).

6) Dados duas retas em um plano X, Y. Encontrar o ponto de interseco Pi = (xi, yi) entre elas. Supor que as duas retas no so paralelas.

Reta 1: definida pelos pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2)

Reta 2: definida pelos pontos P3 = (x3, y3) e P4 = (x4, y4)

Obs.: A equao reduzida da reta para um ponto P = ( x, y ) y = m x + c, onde m chamado coeficiente angular (ngulo entre a reta e o eixo x) e c o coeficiente linear (valor que a reta corta o eixo y).

Como resolver um problema? Exerccios - Grupo de 3 a 6 pessoas

A entrega deve ser feita pelo Blackboard at 18/03 23h.

Entregue os exerccios que conseguir resolver.

Deve-se ter uma capa com o nome do curso, nome da disciplina, nome do professor, nome e RGM dos integrantes do grupo (ordenados pelo RGM).

Bibliografia utilizada

Material das aulas de Resoluo de Problemas da profa. Ms. Cristiane Pires Camilo e prof. Ms. Manuel Fernndez Paradela Ledn

AURLIO. Aurlio Buarque de Holanda F. Novo Aurlio. Dicionrio da Lngua Portuguesa. Curitiba: Positivo, 2009.

BIANCHINI, E. Curso de Matemtica. So Paulo: Moderna, 2003.

POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Rio de Janeiro: Editora Interciencia, 1995.

RAE. Real Academia Espaola. Disponvel on-line em www.rae.es.

ULLMAN, J. et.al. Introduo Teoria de Autmatos, Linguagens e Computao. Rio de Janeiro: Campus, 2003.

ZEITZ, P. The Art and Craft of Problem Solving. Danvers: John Wiley & Sons Inc., 2007.

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