Calculo Diferencial e Integral Real

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Calculo Diferencial e Integral Real

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  • Matemtica I - 2a Parte: Clculo Diferencial e Integral real

    Matemtica I - 2a Parte: Clculo Diferencial eIntegral real

    Ana Rita Martins

    Catlica Lisbon

    1o Semestre 2012/2013

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  • Matemtica I - 2a Parte: Clculo Diferencial e Integral real

    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    FunesUma funo uma correspondncia f entre dois conjuntos A e B, que a cadaelemento x A faz corresponder um e um s elemento f (x) B. o conjunto A chamado o domnio da funo e tambm denotado porDf ;

    o conjunto B chamado o conjunto de chegada de f ; o subconjunto {f (x) : x A} = {y B : x A, y = f (x)} chamado

    o contradomnio da funo f e denotado CDf .

    Qual das seguintes correspondncias define uma funo?

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  • Matemtica I - 2a Parte: Clculo Diferencial e Integral real

    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Uma funo f : A B diz-se: injectiva se:

    a, a A(a 6= a f (a) 6= f (a))ou de modo equivalente

    a, a A(f (a) = f (a) a = a) sobrejectiva se:

    b Ba A : f (a) = b,ou de modo equivalente, se CDf = B,

    bijectiva se for simultaneamente injectiva e sobrejectiva, ou seja:

    b B!a A : f (a) = b.

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  • Matemtica I - 2a Parte: Clculo Diferencial e Integral real

    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes reais de varivel real

    Funes reais de varivel realQuando os conjuntos A e B so ambos subconjuntos de R a funo diz-sefuno real de varivel real e usa-se a notao f.r.v.r. Neste caso, tambmse costuma caracterizar a funo da seguinte maneira:

    f : Df R Rx 7 f (x),

    ouf : Df R R; x 7 f (x).

    Dada uma f.r.v.r f : Df R R chama-se grfico de f ao subconjunto deR2:

    Gf = {(x, y) R2 : y = f (x)}.

    CD_f

    D_f

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  • Matemtica I - 2a Parte: Clculo Diferencial e Integral real

    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes reais de varivel real

    Exemplos de f.r.v.r

    -10 -5 5 10x

    1

    2

    3

    42

    -10 -5 5 10x

    -10

    -5

    5

    10x

    -10 -5 5 10x

    20

    40

    60

    80

    100x2

    -10 -5 5 10x

    -1000

    -500

    500

    1000x3

    -10 -5 5 10x

    0.51.01.52.02.53.0

    x

    -10 -5 5 10x

    0.5

    1.0

    1.5

    2.0

    x3

    -10 -5 5 10x

    -1.0

    -0.5

    0.5

    1.0

    1

    x

    -10 -5 5 10x

    2

    4

    6

    8

    10x

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  • Matemtica I - 2a Parte: Clculo Diferencial e Integral real

    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes reais de varivel real

    Operaes algbricas com f.r.v.r.Dadas f.r.v.r. f : D1 R R, g : D2 R R, podemos definir asseguintes operaes algbricas:

    Soma

    f + g : D1 D2 Rx 7 (f + g)(x) := f (x) + g(x)

    Multiplicao por um escalar Rf : D1 R

    x 7 (f )(x) := (f (x)) Diferena

    f g : D1 D2 Rx 7 (f g)(x) := f (x) g(x)

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    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes reais de varivel real

    Operaes algbricas com f.r.v.r.

    Produtofg : D1 D2 R

    x 7 (fg)(x) := f (x)g(x) Quociente

    fg : {x D1 D2 : g(x) 6= 0} R

    x 7 ( fg )(x) := f (x)g(x) Composio

    g f : {x D1 : f (x) D2} Rx 7 (g f )(x) := g(f (x))

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    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes reais de varivel real

    Operaes algbricas com f.r.v.r.

    Raiz de ndice n parnf : {x D1 : f (x) 0} R

    x 7 ( nf )(x) := nf (x) Raiz de ndice n mpar

    nf : D1 R

    x 7 ( nf )(x) := nf (x)

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  • Matemtica I - 2a Parte: Clculo Diferencial e Integral real

    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes reais de varivel real

    Caractersticas geomtricas das f.r.v.r

    Uma f.r.v.r f : D R R diz-se crescente (resp. decrescente) se

    x, x D(x < x f (x) f (x))

    (resp.x, x D(x < x f (x) f (x)).)

    No caso das desigualdades acima serem estritas, a funo diz-se estritamentecrescente (resp. descrescente). Repare-se que neste caso as funes serotambm injectivas.

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    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes reais de varivel real

    Caractersticas geomtricas das f.r.v.r

    Uma f.r.v.r f : D R R diz-se montona caso seja crescente ou descrescente;

    -4 -2 2 4x

    -4

    -2

    2

    4y

    -0.4 -0.2 0.2 0.4x

    3.00

    3.05

    y

    limitada se existir M > 0 tal que x D, |f (x)| M;

    -4 -2 2 4x

    -1.0-0.5

    0.51.0

    y

    -4 -2 2 4x

    -1.0-0.5

    0.51.0

    y

    par se x D, f (x) = f (x);

    -4 -2 2 4x

    5

    10

    15

    y

    -4 -2 2 4x

    -10

    -5

    5y

    mpar se x D, f (x) = f (x).

    -4 -2 2 4x

    -60-40-20

    204060

    y

    -4 -2 2 4x

    -40-20

    20406080

    y

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    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes reais de varivel real

    Deslocando grficos...

    Como se relaciona o grfico de uma funo f (x) e os grficos de f (x+ c),f (x) + c e cf (x) (c R)?

    -4 -2 2 4x

    5

    10

    15

    y=fHxL

    -8 -6 -4 -2 2 4x

    5101520253035

    y=fHx+2L

    -4 -2 2 4x

    5

    10

    15

    y=fHxL+2

    -2 -1 1 2x

    2

    4

    6

    8y=2fHxL

    -4 -2 2 4x

    -15

    -10

    -5

    y=-fHxL

    -4 -2 2 4x

    -10

    102030

    y=3fHxL-10

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    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes reais de varivel real

    InvertibilidadeNo caso de uma f.r.v.r f : Df R R ser injectiva, tem lugar a chamadafuno inversa de f denotada por f1 e que a nica funo f1 : CDf Dfsatisfazendo a seguinte condio

    (f1 f )(x) = x, (f f1)(y) = y,x Df , y CDf .

    Propriedades

    A funo f ser crescente (resp. descrescente) se, e somente se, f1 ofor;

    Um ponto (x, y) est no grfico de f se, e somente se (y, x) est nogrfico de f1. De facto, o grfico de f1 uma reflexo do grfico de frelativamente recta y = x;

    Df1 = CDf e CDf1 = Df ; (f1)1 = f .

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    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes Trigonomtricas

    Trigonometria

    b

    a

    c

    Cos = a/c Sin = b/c Tan =b/a

    sin2 x+ cos2 x = 1 1 + tan2 x = 1cos2 xcos(2x) = cos2 x sin2 x sin(2x) = 2 sin x cos x

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    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes Trigonomtricas

    Funo Seno

    Seno : R Rx 7 sin x

    -10 -5 5 10x

    -1.0

    -0.5

    0.5

    1.0

    y

    A funo Seno uma funo limitada: 1 sin x 1, x R; mpar: sin(x) = sin x, x R; peridica, de perodo 2pi: sin(x+ 2pi) = sin(x), x R;

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    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes Trigonomtricas

    Funo Seno

    sin x = sin x = + 2kpi x = pi + 2kpi, k Z

    sin x = 0 x = kpi, k Zsin x = 1 x = pi

    2+ 2kpi, k Z

    sin x = 1 x = 3pi2+ 2kpi, k Z

    sin x =12 x = pi

    6+ 2kpi x = 5pi

    6+ 2kpi, k Z

    sin x =

    2

    2 x = pi

    4+ 2kpi x = 3pi

    4+ 2kpi, k Z

    sin x =

    3

    2 x = pi

    3+ 2kpi x = 2pi

    3+ 2kpi, k Z

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    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes Trigonomtricas

    Funo Arco de SenoConsiderando a restrio da funo Seno ao intervalo [pi2 , pi2 ], obtemos achamada restrio principal do Seno,

    -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

    -1.0

    -0.5

    0.5

    1.0

    y

    que uma funo estritamente crescente e, portanto, injectiva.Podemos ento considerar a sua funo inversa que designada por funoArco de Seno:

    Arco de Seno : [1, 1] [pi2 , pi2 ]x 7 arcsin x

    -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

    -1.5

    -1.0

    -0.5

    0.5

    1.0

    1.5

    y

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    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes Trigonomtricas

    Funo ArcoSeno

    A funo Arco de Seno pode ser definida analiticamente da seguintemaneira:

    a [1, 1], arcsin(a) = sin = a [pi2,pi

    2].

    Repare-se que a funo Arco de Seno continua a ser: uma funo estritamente crescente:

    a, b [1, 1], a b arcsin(a) arcsin(b) uma funo mpar:

    a [1, 1], arcsin(a) = arcsin(a).

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    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes Trigonomtricas

    Funo Coseno

    Coseno : R Rx 7 cos x

    -10 -5 5 10x

    -1.0

    -0.5

    0.5

    1.0

    y

    A funo Coseno uma funo: limitada: 1 cos x 1, x R; par: cos(x) = cos x, x R; peridica, de perodo 2pi: cos(x+ 2pi) = cos(x), x R;

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    Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

    Funes Trigonomtricas

    Funo Coseno

    cos x = cos x = + 2kpi x = + 2kpi, k Z

    cos x = 1 x = 2kpi, k Zcos x = 0 x = pi

    2+ kpi, k Z

    cos x = 1 x = (2k + 1)pi, k Z

    cos x =12 x = pi

    3+ 2kpi x = pi

    3+ 2kpi, k Z

    cos x =

    2

    2 x = pi

    4+ 2kpi x = pi

    4+ 2kpi, k Z

    cos x =

    3

    2 x = pi

    6+ 2kpi x = pi

    6+