Calculo Diferencial e Integral Real

Matemtica I - 2a Parte: Clculo Diferencial e Integral real

Matemtica I - 2a Parte: Clculo Diferencial eIntegral real

Ana Rita Martins

Catlica Lisbon

1o Semestre 2012/2013

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Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)

FunesUma funo uma correspondncia f entre dois conjuntos A e B, que a cadaelemento x A faz corresponder um e um s elemento f (x) B. o conjunto A chamado o domnio da funo e tambm denotado porDf ;

o conjunto B chamado o conjunto de chegada de f ; o subconjunto {f (x) : x A} = {y B : x A, y = f (x)} chamado

o contradomnio da funo f e denotado CDf .

Qual das seguintes correspondncias define uma funo?

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Uma funo f : A B diz-se: injectiva se:

a, a A(a 6= a f (a) 6= f (a))ou de modo equivalente

a, a A(f (a) = f (a) a = a) sobrejectiva se:

b Ba A : f (a) = b,ou de modo equivalente, se CDf = B,

bijectiva se for simultaneamente injectiva e sobrejectiva, ou seja:

b B!a A : f (a) = b.

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Funes reais de varivel real

Funes reais de varivel realQuando os conjuntos A e B so ambos subconjuntos de R a funo diz-sefuno real de varivel real e usa-se a notao f.r.v.r. Neste caso, tambmse costuma caracterizar a funo da seguinte maneira:

f : Df R Rx 7 f (x),

ouf : Df R R; x 7 f (x).

Dada uma f.r.v.r f : Df R R chama-se grfico de f ao subconjunto deR2:

Gf = {(x, y) R2 : y = f (x)}.

CD_f

D_f

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Exemplos de f.r.v.r

-10 -5 5 10x

1

2

3

42

-10 -5 5 10x

-10

-5

5

10x

-10 -5 5 10x

20

40

60

80

100x2

-10 -5 5 10x

-1000

-500

500

1000x3

-10 -5 5 10x

0.51.01.52.02.53.0

x

-10 -5 5 10x

0.5

1.0

1.5

2.0

x3

-10 -5 5 10x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1

x

-10 -5 5 10x

2

4

6

8

10x

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Operaes algbricas com f.r.v.r.Dadas f.r.v.r. f : D1 R R, g : D2 R R, podemos definir asseguintes operaes algbricas:

Soma

f + g : D1 D2 Rx 7 (f + g)(x) := f (x) + g(x)

Multiplicao por um escalar Rf : D1 R

x 7 (f )(x) := (f (x)) Diferena

f g : D1 D2 Rx 7 (f g)(x) := f (x) g(x)

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Operaes algbricas com f.r.v.r.

Produtofg : D1 D2 R

x 7 (fg)(x) := f (x)g(x) Quociente

fg : {x D1 D2 : g(x) 6= 0} R

x 7 ( fg )(x) := f (x)g(x) Composio

g f : {x D1 : f (x) D2} Rx 7 (g f )(x) := g(f (x))

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Operaes algbricas com f.r.v.r.

Raiz de ndice n parnf : {x D1 : f (x) 0} R

x 7 ( nf )(x) := nf (x) Raiz de ndice n mpar

nf : D1 R

x 7 ( nf )(x) := nf (x)

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Caractersticas geomtricas das f.r.v.r

Uma f.r.v.r f : D R R diz-se crescente (resp. decrescente) se

x, x D(x < x f (x) f (x))

(resp.x, x D(x < x f (x) f (x)).)

No caso das desigualdades acima serem estritas, a funo diz-se estritamentecrescente (resp. descrescente). Repare-se que neste caso as funes serotambm injectivas.

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Caractersticas geomtricas das f.r.v.r

Uma f.r.v.r f : D R R diz-se montona caso seja crescente ou descrescente;

-4 -2 2 4x

-4

-2

2

4y

-0.4 -0.2 0.2 0.4x

3.00

3.05

y

limitada se existir M > 0 tal que x D, |f (x)| M;

-4 -2 2 4x

-1.0-0.5

0.51.0

y

-4 -2 2 4x

-1.0-0.5

0.51.0

y

par se x D, f (x) = f (x);

-4 -2 2 4x

5

10

15

y

-4 -2 2 4x

-10

-5

5y

mpar se x D, f (x) = f (x).

-4 -2 2 4x

-60-40-20

204060

y

-4 -2 2 4x

-40-20

20406080

y

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Deslocando grficos...

Como se relaciona o grfico de uma funo f (x) e os grficos de f (x+ c),f (x) + c e cf (x) (c R)?

-4 -2 2 4x

5

10

15

y=fHxL

-8 -6 -4 -2 2 4x

5101520253035

y=fHx+2L

-4 -2 2 4x

5

10

15

y=fHxL+2

-2 -1 1 2x

2

4

6

8y=2fHxL

-4 -2 2 4x

-15

-10

-5

y=-fHxL

-4 -2 2 4x

-10

102030

y=3fHxL-10

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InvertibilidadeNo caso de uma f.r.v.r f : Df R R ser injectiva, tem lugar a chamadafuno inversa de f denotada por f1 e que a nica funo f1 : CDf Dfsatisfazendo a seguinte condio

(f1 f )(x) = x, (f f1)(y) = y,x Df , y CDf .

Propriedades

A funo f ser crescente (resp. descrescente) se, e somente se, f1 ofor;

Um ponto (x, y) est no grfico de f se, e somente se (y, x) est nogrfico de f1. De facto, o grfico de f1 uma reflexo do grfico de frelativamente recta y = x;

Df1 = CDf e CDf1 = Df ; (f1)1 = f .

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Funes Trigonomtricas

Trigonometria

b

a

c

Cos = a/c Sin = b/c Tan =b/a

sin2 x+ cos2 x = 1 1 + tan2 x = 1cos2 xcos(2x) = cos2 x sin2 x sin(2x) = 2 sin x cos x

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Funo Seno

Seno : R Rx 7 sin x

-10 -5 5 10x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

A funo Seno uma funo limitada: 1 sin x 1, x R; mpar: sin(x) = sin x, x R; peridica, de perodo 2pi: sin(x+ 2pi) = sin(x), x R;

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Funo Seno

sin x = sin x = + 2kpi x = pi + 2kpi, k Z

sin x = 0 x = kpi, k Zsin x = 1 x = pi

2+ 2kpi, k Z

sin x = 1 x = 3pi2+ 2kpi, k Z

sin x =12 x = pi

6+ 2kpi x = 5pi

6+ 2kpi, k Z

sin x =

2

2 x = pi

4+ 2kpi x = 3pi

4+ 2kpi, k Z

sin x =

3

2 x = pi

3+ 2kpi x = 2pi

3+ 2kpi, k Z

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Funo Arco de SenoConsiderando a restrio da funo Seno ao intervalo [pi2 , pi2 ], obtemos achamada restrio principal do Seno,

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

que uma funo estritamente crescente e, portanto, injectiva.Podemos ento considerar a sua funo inversa que designada por funoArco de Seno:

Arco de Seno : [1, 1] [pi2 , pi2 ]x 7 arcsin x

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

y

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Funo ArcoSeno

A funo Arco de Seno pode ser definida analiticamente da seguintemaneira:

a [1, 1], arcsin(a) = sin = a [pi2,pi

2].

Repare-se que a funo Arco de Seno continua a ser: uma funo estritamente crescente:

a, b [1, 1], a b arcsin(a) arcsin(b) uma funo mpar:

a [1, 1], arcsin(a) = arcsin(a).

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Funo Coseno

Coseno : R Rx 7 cos x

-10 -5 5 10x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

A funo Coseno uma funo: limitada: 1 cos x 1, x R; par: cos(x) = cos x, x R; peridica, de perodo 2pi: cos(x+ 2pi) = cos(x), x R;

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Funo Coseno

cos x = cos x = + 2kpi x = + 2kpi, k Z

cos x = 1 x = 2kpi, k Zcos x = 0 x = pi

2+ kpi, k Z

cos x = 1 x = (2k + 1)pi, k Z

cos x =12 x = pi

3+ 2kpi x = pi

3+ 2kpi, k Z

cos x =

2

2 x = pi

4+ 2kpi x = pi

4+ 2kpi, k Z

cos x =

3

2 x = pi

6+ 2kpi x = pi

6+ 2kpi, k Z

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Funo Arco de CosenoConsiderando a restrio da funo Coseno ao intervalo [0, pi], obtemos achamada restrio principal do Coseno,

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

que uma funo estritamente decrescente e, portanto, injectiva.Podemos ento considerar a sua funo inversa que designada por funoArco de Coseno:

Arco de Coseno : [1, 1] [0, pi]x 7 arccos x

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

y

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Funo Arco de Coseno

A funo Arco de Coseno pode ser definida analiticamente da seguintemaneira:

a [1, 1], arccos(a) = cos = a [0, pi].

Repare-se que a funo Arco de Coseno continua a ser: uma funo estritamente decrescente:

a, b [1, 1], a b arccos(a) arccos(b).

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Funo Tangente

Tangente : R\{pi2 + 2kpi, k Z} Rx 7 tan x

-10 -5 5 10x

-6

-4

-2

2

4

6

y

A funo Tangente uma funo mpar: tan(x) = tan x, x R\{pi2 + 2kpi, k Z}; peridica, de perodo pi:

tan(x+ pi) = tan(x), x R\{pi2 + 2kpi, k Z}.22 / 99




Funo Tangente

tan x = tan x = + kpi, k Z

tan x = 0 x = kpi, k Ztan x = 1 x = pi

4+ kpi, k Z

tan x = 1 x = pi4+ kpi, k Z

tan x =

3 x = pi3+ kpi, k Z

tan x =

3

3 x = pi

6+ kpi, k Z

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Funo Arco de TangenteConsiderando a restrio da funo Tangente ao intervalo ] pi2 , pi2 [, obtemosa chamada restrio principal da Tangente,

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5x

-6

-4

-2

2

4

6

y

que uma funo estritamente crescente e, portanto, injectiva.Podemos ento considerar a sua funo inversa que designada por funoArco de Tangente:

Arco de Tangente : R ] pi2 , pi2 [x 7 arctan x

-10 -5 5 10x

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5y

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Funo Arco de Tangente

A funo Arco de Tangente pode ser definida analiticamente da seguintemaneira:

a R, arctan(a) = tan = a ] pi2,pi

2[.

Repare-se que a funo Arco de Tangente uma funo estritamentecrescente, isto :

a, b R, a b arctan(a) arctan(b)e continua a ser uma funo mpar:

a R, arctan(a) = arctan(a).

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Funo Exponencial

Relembremos o nmero de Neper

e = 2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995...

e a funo exponencial (de base e)

ex : R R+x 7 ex

que uma funo estritamente crescente e, portanto, invertvel.

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Funo Exponencial

Valem ainda as propriedades:

exey = ex+y,

ex

ey= exy,

ex =1ex,

(ex)y = exy.

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Funo LogaritmoA funo inversa da funo exponential (de base e), chama-se funologaritmo e est definida por:

ln x : R+ Rx 7 ln x

2 4 6 8 10x

-1

1

2

y

x > 0, ln x = y ey = x,x, ln(ex) = x,x > 0, eln x = x.

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Funo Logaritmo

Valem ainda as seguintes propriedades:

ln(xy) = ln x+ ln y;

ln(xy

)= ln x ln y;

ln x = ln(x).

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Funo Exponencial de base a > 0Mais geralmente, podemos considerar a funo exponencial de base a, paraqualquer a > 0:

ax : R R+x 7 ax

que continua a ser uma funo invertvel, mas temos dois casos a considerar: Se a > 1, ax uma funo estritamente crescente;

-4 -2 2 4x

5

10

15

y

Se a < 1, ax uma funo estritamente decrescente;

-4 -2 2 4x

5

10

15

y

Em ambos os casos, vale a igualdade

ax = ex ln a, x, a R, a > 0.30 / 99




Funo Logaritmo de base a > 0A funo inversa da funo exponential de base a, com a > 0:

loga x : R+ Rx 7 loga x

est definida por:x > 0, loga x = y ay = x

Alm disso, uma funo estritamente crescente se a > 1;

-4 -2 2 4x

-3

-2

-1

1

2

y

uma funo estritamente decrescente se a < 1;

-4 -2 2 4x

-2

-1

1

2

3

y

vale a igualdadeloga x =

ln xln a

, a, x > 0.31 / 99



Limites

Noo de limitePara falarmos em limites de f.r.v.r. temos de falar primeiro em pontos deacumulao!

Seja D um subconjunto no vazio da recta real. Um ponto a R chama-seponto de acumulao de D se para qualquer vizinhana V =]a , a + [( > 0) de a se tem

V (I\{a}) 6= .

Exemplos

1 e 2 so pontos de acumulao dos conjuntos [1, 2], ]1, 2[, [1, 2[ e ]1, 2]; 0 ponto de acumulao do conjunto ] 1, 0[]0, 1[; o conjunto de todos os pontos de acumulao de ] 1, 0[]0, 1[ dado pelo

intervalo [1, 1]; o ponto 1 no ponto de acumulao do conjunto ], 0] {1}.

Dado um ponto de acumulao a do domnio D de uma certa f.r.v.r. fpodemos ento analisar se existe o limite de f quando x tende para a.

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Limites

Definio segundo HeineSeja f : D R R uma f.r.v.r e consideremos a um ponto de acumulaodo domnio D de f . Diz-se que b R limite de f no ponto a, ou de maneiraequivalente, que f tende para b quando x tende para o ponto a eescreve-se

limxa f (x) = b

se, e somente, para qualquer sucesso de nmeros reais (xn)n em Dconvergente para a

xn ase tem

f (xn) b.

Note-se que a definio segundo Heine tem especial interesse na prova da no exis-tncia de limite. Com efeito, basta encontrar duas sucesses (xn)n e (yn)n em Dconvergentes para a, tais que f (xn) e f (yn) no convergem para o mesmo valor b,para se concluir a no existncia de limite de f quando x tende para a.

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Limites

Definio formalSeja f : D R R uma f.r.v.r e consideremos a um ponto de acumulaodo domnio D de f . Diz-se que b R limite de f no ponto a, ou de maneiraequivalente, que f tende para b quando x tende para o ponto a eescreve-se

limxa f (x) = b

se, e somente, for verificada a seguinte condio:

> 0 > 0 : x D\{a}, |x a| < |f (x) b| < .

A condio quer dizer o seguinte:sempre que fixamos uma vizinhana ]b , b+ [ ( > 0) do ponto bexiste uma vizinhana ]a , a+ [ ( > 0) do ponto a tal quepara qualquer ponto x do dominio de f pertencente a D]a , a+ [, a sua imagemf (x) pertence vizinhana tomada de b: f (x) ]b , b+ [.

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Limites

Limites laterais

DefinioSeja f : D R R uma f.r.v.r e consideremos o seguinte subconjunto dodomnio D de f : D+ = {x D : x > a}.

Se a for ponto de acumulao de D+ pode considerar-se o limite de f direita no ponto a, que se denota por limxa+ f (x), e que corresponde aolimite quando x tende para a da restrio f |D+ , isto :

limxa+

f (x) = b R

> 0 > 0 : x D, a < x < a+ |f (x) b| < .

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Limites

Limites laterais

DefinioNo caso de a ser um ponto de acumulao do conjuntoD := {x D : x < a}, define-se de modo anlogo o limite de f esquerda no ponto a que se denota por limxa f (x) e que corresponde aolimite quando x tende para a da restrio f |D :

limxa

f (x) = b R

> 0 > 0 : x D, a < x < a |f (x) b| < .

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Limites

Proposio

Seja f : D R R e a um ponto que ponto de acumulao tanto deD+ como de D.

Ento a funo f converge para b R no ponto a se, e somente se,existem os limites laterais esquerda e direita do ponto a e ambos sodados por b.

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Limites

Infinitsimos

DefinioChama-se infinitsimo no ponto a a toda a funo que tem limite nulo noponto a.

ProposioO produto de um infinitsimo no ponto a por uma funo limitada numavizinhana do ponto a, ainda um infinitsimo no ponto a.

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Limites

Infinitamente grandes

DefinioDiz-se que a funo f tende para + quando x tende para o ponto a, se esomente se, for verificada a condio:

> 0 > 0 : x D\{a}, |x a| < f (x) > .

DefinioDiz-se que a funo f tende para quando x tende para o ponto a, se esomente se, for verificada a condio:

> 0 > 0 : x D\{a}, |x a| < f (x) < .

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Limites

Limites quando x tende paraDefinioSeja f : D R R uma f.r.v.r. Se D contiver um intervalo da forma]c,+[, tem tambm sentido calcular o limite de f quando x tende para+, e dado b R, tem-se:

limx+ f (x) = b > 0 > 0 : x D, x > |f (x) b| < .

DefinioAnalogamente, se D contiver um intervalo da forma ], c[, tem tambmsentido calcular o limite de f quando x tende para , e dado b R,tem-se:

limx f (x) = b > 0 > 0 : x D, x < |f (x) b| < .

Como sero as definies correspondentes para b {,}?40 / 99



Limites

Notao

Dado um subconjunto limitado D de R, denotamos por D o conjuntodos pontos de acumulao de D. Se D contiver um intervalo da forma]c,+[ e/ou ] , c[ usamos a mesma notao D para o conjunto dadopela unio do conjunto dos pontos de acumulao com {+} e/ou com{}.

Portanto, D serve para denotar o conjunto dos pontos onde faz sentidoestudar a existncia de limite de uma funo f !

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Limites

Propriedades:

1) Se existe limite de f quando x tende para a D, ento nico.2) O limite de uma funo constante em D a prpria constante em

qualquer ponto x D.3) Se a f.r.v.r f : D R tiver limite finito quando x tende para a D,

ento f limitada numa vizinhana de a.

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Limites

ProposioSejam f , g : D R R f.r.v.r, a D e admitamos que limxa f (x) = b elimxa g(x) = c.

1) Se b < c, ento existe > 0 tal que para todo ox {x Df Dg : 0 < |x a| < } se tem f (x) < g(x);

2) Reciprocamente, se existe > 0 tal que para todo ox {x Df Dg : 0 < |x a| < } se tem f (x) g(x), ento b c;

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Limites

Teorema do EncaixeSejam f , g, h : D R R f.r.v.r e a D.Se

f (x) h(x) g(x)numa vizinhana do ponto a e

limxa f (x) = limxa g(x) = b,

entolimxa h(x) = b.

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Limites

lgebra dos Limites Finitos

ProposioSejam f , g : D R R f.r.v.r e a D. Se f e g admitem limite finito noponto a ento tambm o admitem as funes f + g, f g e f g e tem-se:

limxa(f + g) = (limxa f ) + (limxa g),

limxa(f g) = (limxa f ) (limxa g),

limxa(f g) = (limxa f ) (limxa g).

Alm disso, se limxa g 6= 0, ento existe o limite de fg no ponto a e tem-se:

limxa

fg=

limxa flimxa g

.

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Limites

ProposioSejam f : D1 R R e g : D2 R R funes tais que CDf D2 econsideremos a D1. Se f admite limite no ponto a e g admite limite noponto b = limxa f ento a funo f g tambm admite limite no ponto a etem-se:

limxa(g f )(x) = limyb g(y).

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Limites

lgebra dos Limites

Para se enunciar de forma simples a lgebra de limites de f.r.v.r. (finitosou infinitos) costume considerar a chamada recta acabada:

R := R {,+}.

As operaes algbricas (soma, produto, quociente, etc.) na recta aca-bada so definidas de modo a que a sua restrio aR corresponda s operaesusuais.

No entanto, no possivel determinar o resultado de todas operaesem R e, sempre que isto acontecer, diz-se que estamos perante uma indeter-minao.

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Limites

lgebra dos LimitesConsideremos ento um elemento a R. Define-se:Soma

a+ () = a () = ++ (+) = ++ () = ++ () ou + (+) uma indeterminao do tipoProduto

a () ={, se a > 0, se a < 0

0 () uma indeterminao do tipo 0 + (+) = ++ () = () = +

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Limites

lgebra dos Limites

Quociente1 = 01

0 = =

1 = 0 (Ind.)

00 = 0 10 = 0 () (Ind.)Potenciao

Consideremos agora que a 0a+ =

{0, se a < 1+, se a > 1

a = 1a =

{+, se a < 10, se a > 1

1 uma indeterminao do tipo 1

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Limites

lgebra dos Limites

Potenciao

Seja b R: (+)b ={+, se b > 00, se b < 0

()0 indeterminao do tipo0(+)+ = +(+) = 1(+)+ = 000 tambm indeterminao.

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Limites

Lista de Indeterminaes

Lista de Indeterminaes

=

1 = 0 = 0

10=

00

1

0

00

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Limites

Levantamento de IndeterminaesTal como se viu atrs, existem operaes na recta acabada que no esto de-

finidas para todos os elementos de R, surgindo naturalmente as indeterminaes noclculo de limites. Felizmente, em geral, possvel "transformar"o limite dado numlimite equivalente, mas cujo resultado se pode obter atravs de operaes bem defini-das em R, dizendo-se neste caso que se "levantou"a indeterminao.

Para tal so teis os chamados limites notveis:

limx0

sin xx

= 1, limx0

1 cos xx

= 0

limx0

ex 1x

= 1, limx+

ex

xk= +(k N)

limx0

ln(1 + ax)x

= a(a R)

limx+

ln(x)x

= 0, limx0+

x ln(x) = 0, > 052 / 99



Limites

Levantamento de Indeterminaes

ProposioSejam f e g duas f.r.v.r. tais que

limx f (x) = a R

e limx |g(x)| = +. Ento

limx

(1 +

f (x)g(x)

)g(x)= ea.

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Continuidade

Continuidade de Funes reais e de varivel realDefinioSeja f : D R R e a D. Diz-se que f contnua no ponto a se

limxa f (x) = f (a).

No caso de f ser contnua em todos os pontos do seu domnio, diz-se que f uma funo contnua em D.

Exemplo de uma funo contnua

-4 -2 2 4x

-1.0

-0.5

0.5

1.0

y

Exemplo de uma funo descontnua

-2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

conseguem-me definir uma funo com infinitos pontos de descontinuidade?

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Continuidade

Continuidade de Funes reais e de varivel real

ProposioSejam f , g : D R R f.r.v.r e a D. Se f e g so funes contnuas noponto a, ento tambm o so (no mesmo ponto) as funes f + g, f g e f g.Alm disso, se g(a) 6= 0, ento tambm a funo fg ser contnua no ponto a.

ProposioSejam f : D R R e g : D R R funes e a D tal que f (a) D.Se f for contnua no ponto a e g for contnua no ponto f (a), ento a funog f tambm ser contnua no ponto a.

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Continuidade

Continuidade da Funo Inversa

Continuidade da Funo InversaSe f uma funo injectiva e contnua num intervalo I de R ento f1 contnua em f (I).

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Continuidade

Teorema de BolzanoSejam a, b R e f uma funo contnua em [a, b]. Ento f assume todos osvalores entre f (a) e f (b), isto , dado qualquer nmero real k compreendidoentre f (a) e f (b) existe sempre um ponto c [a, b] tal que f (c) = k.Corolrio do Teorema de BolzanoSe f uma funo contnua em [a, b] e f (a) f (b) < 0 ento f tem, pelomenos, um zero em ]a, b[.

Teorema de WeierstrassSe f for uma funo contnua num intervalo [a, b], ento a imagem de f em[a, b] tambm um intervalo fechado [c, d], onde c (resp. d) o valormnimo (resp. mximo) tomado por f no intervalo [a, b].

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Continuidade

Prolongamentos por continuidade

Consideremos novamente uma f.r.v.r. f e a um ponto de acumulao do seu domnio.Se a / D, no faz sentido analisar a continuidade de f no ponto a, uma vez que esteponto no est no domnio da funo. No entanto, podemos averiguar a existncia deuma funo contnua em D e que coincida com f em D\{a}, chamando-se a umafuno nestas condies o prolongamento por continuidade de f ao ponto a.

Por definio de continuidade e de limite, imediato que a funo f serprolongvel por continuidade ao ponto a se, e somente se, existir e for finitoo limite de f no ponto a, estando, nesse caso, o prolongamento contnuo de fdefinido univocamente pela funo:

f : D {a} R

x 7{f (x), x Dlimxa f (x), x = a.

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Derivadas de Funes reais de varivel real

Noo de derivada

DefinioSeja I um intervalo aberto de R e a I. Dizemos que a funo f : I R derivvel ou diferencivel em a se:

limxa

f (x) f (a)x a R

e chama-se ao limite obtido a derivada de f no ponto a, donotado por f (a)ou fx (a).Note-se que fazendo h = x a, podemos tambm escrever

f (a) = limh0

f (a+ h) f (a)h

.

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Derivadas laterais

Chamamos derivada direita (resp. esquerda) no ponto a a:

f d(a) = limxa+

f (x) f (a)x a = limh0+

f (a+ h) f (a)h

(resp.

f e(a) = limxa

f (x) f (a)x a = limh0

f (a+ h) f (a)h

).

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Interpretao geomtricaDado x I, x 6= a, o quociente f (x)f (a)xa representa o declive da recta quepassa nos pontos (a, f (a)) e (x, f (x)) do grfico de f (recta secante ao grficode f ).

(a, f(a))

(x, f(x))

a x

Desta forma, f ser diferencivel em a se, e somente se, o grfico de fadmitir uma recta tangente no ponto (a, f (a)), com declive igual a f (a).Nesse caso, a recta tangente ao grfico de f tem equao:

y f (a) = f (a)(x a). 61 / 99




Uma funo pode admitir ambas as derivadas laterais num ponto e no serderivvel. Veja, por exemplo, a funo mdulo...

ProposioUma funo ser derivvel num ponto a sse admite ambas as derivadaslaterais no ponto a e f d(a) = f

e(a).

TeoremaSe f derivvel no ponto a, ento contnua.

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Funo Derivada

DefinioSeja I um intervalo aberto de R e f : I R. A funo f diz-se derivvel emI se for derivvel em todos os pontos de I e, nesse caso, podemos definir afuno derivada de f :

f : I Rx f (x).

Note-se que tambm possvel definir a funo derivada em intervalossemi-abertos ou fechados, ]a, b], [a, b[ ou [a, b] usando a conveno:f (a) = f d(a) e f

(b) = f e(b), sempre que se aplicar.

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Regras de derivao

Sejam f , g : I R funes derivveis em I, R e n R. Ento f , f + g,fg e f n tambm so derivveis em I; fg derivvel em {x I : g(x) 6= 0}, enestes domnios, tem-se:

(f + g) = f + g (f ) = f (fg) = f g+ fg (f n) = nf f n1

( fg ) =f ggf

g2

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Derivada da funo compostaSejam f : I R J e g : J R R funes e consideremos a I. Se f derivvel no ponto a e g derivvel no ponto f (a) ento a funo g ftambm derivvel no ponto a e tem-se:

(g f )(a) = g(f (a))f (a).

Derivada da funo inversaSeja f : I R J uma bijeco derivvel e consideremos a I tal quef (a) 6= 0. Ento f1 derivvel no ponto f (a) e tem-se:

(f1)(f (a)) =1

f (a).

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Exemplos

1) (sin x) = cos x2) (cos x) = sin x3) (ex) = ex

4) (ax) = (ex ln a) = ax(ln a), (a > 0)5) (tan x) = 1cos2 x6) (cot x) = 1sin2 x7) (arcsin x) = 1

1x2

8) (arccos x) = 11x2

9) (arctan x) = 11+x2

10) (ln x) = 1x11) (loga x)

= ( ln xln a ) = 1x ln a , (a > 0)

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Mais geralmente, dada uma f.r.v.r. u diferencivel, temos:1) (sin u) = u cos u2) (cos u) = u sin u3) (eu) = ueu

4) (au) = (eu ln a) = uau(ln a), (a 0)5) (tan u) = u

cos2 u

6) (cot u) = usin2 u7) (arcsin u) = u

1u2

8) (arccos u) = u1u2

9) (arctan u) = u

1+u2

10) (ln u) = uu

11) (loga u) = ( ln uln a )

= u

u ln a

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Regra de Cauchy

Regra de CauchySejam f e g duas funes diferenciveis em ]a, b[\{c} e c ]a, b[ tais que: g(x) 6= 0, para todo o x ]a, b[; lim

xcf (x) = limxcg(x) = 0 (ou limxcf (x) = limxcg(x) =).

Nestas condies, se existe limxc

f (x)g(x) ento tambm existe limxc

f (x)g(x) e tem o

mesmo valor.

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Derivadas de ordem superior primeiraSeja f : D R uma f.r.v.r. e denotemos por D1 o subconjunto de D constitudo pelospontos onde f diferencivel. Tem assim lugar a funo f de domnio D1. Dadoa D1 se a funo f for diferencivel em a ento diz-se que f duas vezesdiferencivel e chama-se a (f )(a) := f (a) a derivada de segunda ordem de f noponto a.

Podemos agora continuar com o raciocnio e definir a derivada de ordem 3, f , deordem 4, f (4), e assim sucessivamente.

Mais precisamente, podemos definir, por recorrncia, a derivada de ordemn 2 da funo f da seguinte maneira

f (n) : Dn Rx 7 f (n)(x) := (f (n1))(x),

onde Dn o subconjunto de D constitudo pelos pontos onde f (n1) diferencivel.A funo f diz-se infinitamente diferencivel no ponto a se for n-vezesdiferencivel para todo o n 1. 69 / 99



Aplicaes ao estudo do grfico de uma funo

Diferenciabilidade &Monotonia

ProposioSe para todo o ponto x num intervalo aberto I Df , se verificar f (x) > 0(respectivamente, f (x) < 0), ento f estritamente crescente (resp.descrescente) em I.

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Extremos

Definio

Diz-se que f : I R R tem um mnimo (resp. mximo) local noponto a I se existe > 0:

f (x) f (a)(resp. f (x) f (a)), x ]a , a+ [I.

Neste caso, o ponto a chama-se um minimizante (resp. maximizante)local de f .

Diz-se que f tem um mnimo (resp. mximo) absoluto no ponto a Ise:

f (x) f (a)(resp. f (x) f (a)),x I.Neste caso, o ponto a diz-se um minimizante (resp. maximizante)

absoluto de f .

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Pontos Crticos

ProposioSeja f uma funo diferencivel no ponto a. Se f (a) for extremo de f entof (a) = 0.

No entanto, uma funo pode ter derivada nula num ponto, sem queesse ponto corresponda a um ponto de extremo. Chamam-se ento pontoscrticos de uma funo aos zeros da sua derivada.

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Para esclarecer se um ponto crtico a de uma funo derivvel f correspondeou no ponto de extremo, recorre-se ao sinal da primeira derivada: se existe > 0 tal que f (x) > 0 para x ]a , a[ e f (x) < 0 parax ]a, a+ [, ento f (a) mximo local;

se existe > 0 tal que f (x) < 0 para x ]a , a[ e f (x) > 0 parax ]a, a+ [, ento f (a) mnimo local;

caso contrrio, o ponto no ser de extremo.

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Concavidades

DefinioSendo f e g duas funes definidas num certo domnio D, diz-se que ogrfico de f est acima do de g se:

x D, f (x) g(x).

De facto, uma das questes que importa estudar, do ponto de vistalocal, a posio do grfico de uma funo diferencivel em a em relao sua tangente no ponto (a, f (a)):

Concavidades se existe > 0 tal que o grfico de f est acima da recta tangentey = f (a) + f (a)(x a) no aberto ]a , a+ [, diz-se que a funo f cncava no ponto a ou que o seu grfico tem concavidade voltadapara cima;

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ConcavidadesConcavidades se existe > 0 tal que a recta tangente y = f (a) + f (a)(x a) est

abaixo do grfico de f no aberto ]a , a+ [, diz-se que a funo f convexa no ponto a ou que o seu grfico tem concavidade voltadapara baixo;

se existe > 0 tal que num dos intervalos ]a , a[ e ]a, a+ [ ogrfico est acima da recta tangente e no outro esteja abaixo, diz-se que(a, f (a)) um ponto de inflexo do grfico de f ou que o grfico de ftem uma inflexo no ponto a.

Proposio

Uma funo 2 vezes derivvel cncava (resp. convexa) nos intervalosabertos onde tem segunda derivada positiva (resp. negativa).

Se o grfico de uma funo 2 vezes derivvel tem uma inflexo numponto, esse ponto corresponde a um zero da segunda derivada.

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Assimptotas

Admitamos que o domnio de uma funo f contm um intervalo daforma ]a,+[ (resp. ], a[) e seja r uma recta de equao y = mx+ b.

Diz-se que r assimptota ao grfico de f quando x tende para +(resp, ) se:

limx+f (x) (mx+ b) = 0,

(resp.lim

x(f (x) (mx+ b)) = 0.)

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Assimptotas no verticais

TeoremaPara que grfico de uma funo cujo domnio contm um intervalo da forma]a,+[ (resp. ], a[) tenha uma assimptota (no vertical) direita (resp. esquerda) necessrio e suficiente que existam e sejam finitos os limites:

m = limx+

f (x)x ;

b = limx+(f (x) mx),

(resp.

m = limx

f (x)x ;

b = limx(f (x) mx),)

sendo a assimptota dada pela equao y = mx+ b.

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Assimptotas verticais

Se um ponto a de acumulao ao domnio de f verificar a condio:

limxa

f (x) =

(resp.limxa+

f (x) =)

diz-se que x = a uma assimptota vertical esquerda (resp. direita) noponto a.

Se x = a for simultaneamente assimptota vertical direita e esquerdade a, ento diz-se que x = a assimptota vertical bilateral.

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Estudo completo de uma funo

Como fazer o estudo completo de uma f.r.v.r.?

1o Determinar o domnio;2o Estudar a continuidade;3o Averiguar a existncia de assimptotas;4o Calcular a derivada de f e estudar a funo quanto monotonia e

existncia de extremos;5o Calcular a segunda derivada de f e estudar o sentido das concavidade de

f e existncia de pontos de inflexo;6o Esboar o grfico;7o Determinar contradomnio recorrendo ao grfico.

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Clculo Integral

Primitivao

Primitivao

Definio

Seja I um intervalo no degenerado de R e consideremos uma funof : I R.

A funo f diz-se primitivvel em I se existir uma funo g : I Rtal que:

g(x) = f (x), x I,chamando-se primitiva de f em I a qualquer funo nestas condies.

ExemplosA primitiva da funo cos x a funo sin x. Qual ser a primitiva da funosin x?

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Clculo Integral

Primitivao

Primitivao

Resulta imediatamente da definio que dada uma primitiva g de f emI, a funo g+C tambm uma primitiva de f em I, para qualquer constantereal C.

Reciprocamente, dadas duas primitivas g e h de f em I, por definio,tem-se

(g h)(x) = g(x) h(x) = 0,para todo o x I, pelo que g h uma funo constante em I.ConclusoSe uma funo for primitivvel, ento admite infinitas primitivas quediferem entre si por uma constante.

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Clculo Integral

Primitivao

Neste curso, vamos usar a notao Pf ,f ou

f (x)dx para denotar a

expresso geral das primitivas de f em I, isto :

Pf = g+ C, C R,

para qualquer primitiva g de f em I.

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Clculo Integral

Primitivao

Observamos agora que nem todas as funes so primitivveis.

ExemploA funo de Heaviside H : R R definida por

H(x) =

{0, x < 01, x 0,

no primitivvel em qualquer intervalo I que contenha a origem.Com efeito, se H admitisse uma primitiva g num intervalo I contendo a

origem, esta funo teria de estar necessariamente definida em I da forma

g(x) =

{x+ c, x < 0c, x 0 ,

para uma certa constante c R, o que nos leva a uma contradio, uma vez que umafuno assim definida nunca poder ser diferencivel na origem.

Por outro lado, existem funes primitivveis para as quais no seconsegue calcular primitivas!

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Clculo Integral

Primitivao

Propriedades da primitivao

1) Paf = aPf , a R,2) P(f + g) = Pf + Pg,3) Pf = f ,4) (Pf ) = f .

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Clculo Integral

Primitivao

Tabela de Primitivas Imediatas

Seja u uma funo real de varivel real diferencivel. Temos:

Puum = um+1

m+1 + C (m 6= 1) P uu = ln |u|+ C

Pueu = eu + C Pu cos u = sin u+ C

Puau = Pueu(ln a) = au

ln a + C Pu sin u = cos u+ C

P u

cos2 u = tan u+ C Pu

sin2 u = cotanu+ C

P u

1+u2 = arctan u+ C

P u

1u2 = arcsin u+ C = arccos u+ C

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Clculo Integral

Primitivao

Clculo IntegralUma das maneiras mais naturais de motivar o conceito de integral

recorrer noo de rea.Consideremos uma funo f : [a, b] R (a < b), limitada, contnua,

no negativa e denotemos por K o conjunto:

K = {(x, y) R2 : a x b, 0 y f (x)},designado por conjunto das ordenadas de f sobre o intervalo [a, b].

Y=f(x)

b a

K

A rea da regio K pode ser calculada atravs do integral de f no in-tervalo [a, b], representado por

ba f (x)dx.

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Clculo Integral

Primitivao

Integral definidoIntegral definidoMais geralmente, define-se o integral definido de qualquer funointegrvel f (no sentido de Riemann) no intervalo [a, b], representado por b

af (x)dx.

TeoremaQualquer funo contnua num intervalo I da forma [a, b] integrvel em I.

Exemplo

Seja f uma funo constante igual a c > 0 em [a, b].Sendo f contnua, sabemos ser integrvel. Qual ser o valor do integral: b

acdx?

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Clculo Integral

Primitivao

Propriedades do integral definido

Propriedades do Integral DefinidoSejam f e g so duas funes integrveis no intervalo I:(1) A soma f + g tambm integrvel e tem-se: b

a(f + g)(x)dx =

baf (x)dx+

bag(x)dx.

(2) Dado c R, temos que cf tambm integrvel e tem-se: bacf (x)dx = c

baf (x)dx.

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Clculo Integral

Primitivao


(3) Se f (x) g(x), para todo o x I, ento: baf (x)dx

bag(x)dx.

Em particular, se f for uma funo integrvel em I, tal que f (x) 0,para todo o x I, ento: b

af (x)dx 0.

(4) Se f uma funo integrvel no intervalo I, ento |f | tambm integrvel e tem-se:

| baf (x)dx|

ba|f (x)|dx.

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Clculo Integral

Primitivao


ProposioSejam a, b, c R tais que a < c < b e suponhamos que f integrvel emqualquer um dos intervalos [a, c] e [c, b]. Ento, f tambm integrvel em[a, b] e tem-se: b

af (x)dx =

caf (x)dx+

bcf (x)dx.

ProposioQualquer funo f limitada num intervalo I e contnua em todos os pontosdesse intervalo, excepto, quando muito, num nmero finito de pontos, integrvel em I.

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Clculo Integral

Primitivao

Propriedades do integral definidoProposioSejam f e g funes tais que f (x) = g(x) para todo o x I, excepto, quandomuito, nos pontos de um subconjunto finito de I. Ento, f ser integrvel emI se, e somente se, g o for e, nesse caso, tem-se: b

af (x)dx =

bag(x)dx.

Convenes

aa f (x)dx = 0, a R. ab f (x)dx = ba f (x)dx a, b R, a < b.

Desta forma, dada uma funo f integrvel num intervalo que contenhaa, b, c R, tem-se: b

af (x)dx =

caf (x)dx+

bcf (x)dx.

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Clculo Integral

Teorema Fundamental da Anlise. Regra de Barrow.

Teorema do Valor Mdio

Vamos ver agora como se relacionam os conceitos de derivada e inte-gral no chamado Teorema Fundamental de Anlise. A demonstrao desteTeorema necessita do seguinte resultado:

Teorema do valor mdioSeja f uma funo integrvel no intervalo a e b (a < b ou b < a) edesignem-se, respectivamente, por M e m o supremo e o nfimo de f nomesmo intervalo. Ento, existe [m,M] tal que: b

af (x)dx = (b a).

Note-se que, em particular, este resultado diz-nos que a rea do conjunto dasordenadas de uma funo integrvel e positiva sobre um intervalo [a, b] coincide coma rea do quadrado de lados [a, b] e [0, ], onde pertence ao intervalo limitado pelonfimo e supremo de f , respectivamente.

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Clculo Integral


Integral Indefinido

Definio

Seja I um intervalo de R (no degenerado) e f : I R uma funo integrvelem I. Dado a I, chama-se integral indefinido de f com origem em a funo definida em I pela frmula:

(x) = xaf (t)dt.

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Clculo Integral


Propriedades do Integral Indefinido

TeoremaSeja I um intervalo de R (no degenerado) e f : I R uma funointegrvel em cada intervalo limitado e fechado contido em I. Sejam a, b Ie denotemos por a, b os integrais indefinidos de f com origens nos pontosa e b, respectivamente. Ento:

i) a diferena de a e b constante em I, tendo-se precisamente:

a b = baf (x)dx;

ii) a funo a contnua no intervalo I.

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Clculo Integral


Teorema Fundamental do Clculo

TeoremaSeja f : [a, b] R (a < b )uma funo contnua. Ento o integral

indefinido com origem em a, a(x) = xa f (t)dt uma funo com derivada

contnua em [a, b], dada em cada ponto por:

a(x) =d( xa f (t)dt)dx

(x) = f (x).

Este resultado implica, em particular, que toda a funo contnua numintervalo I primitivvel, admitindo como primitiva o integral indefinidocom origem em qualquer ponto do intervalo I. Alm disso, tem-se:

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Clculo Integral


Regra de Barrow

Regra de BarrowSeja f um funo contnua (ou simplesmente integrvel) no intervalo [a, b] eseja F uma primitiva qualquer de f no mesmo intervalo. Ento: b

af (x)dx = F(b) F(a) := [F(x)]ba.

Temos ento a seguinte relao entre os conceitos j estudados:

Diferenciabilidade Continuidade Integrabilidade,

no sendo nenhuma das implicaes uma equivalncia.

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Clculo Integral


Regra de Leibniz

Como vimos, pelo Teorema fundamental do Clculo Integral, o integralindefinido associado a uma funo f contnua num intervalo I diferencivelnesse intervalo I, com derivada dada pela prpria funo f .

Se usarmos este resultado em conjunto com o Teorema da derivada dafuno composta, prova-se a chamada regra de Leibnitz:

Regra de LeibinzSeja f uma funo contnua num intervalo aberto I e consideremos

funes a e b diferenciveis em I. Ento, a funo definida porx 7 b(x)a(x) f (t)dt diferencivel em I e tem-se:

ddx

( b(x)a(x)

f (t)dt

)= f (b(x))b(x) f (a(x))a(x).

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Clculo Integral

Clculo de reas planas


Seja f : [a, b] R uma funo contnua e no negativa. Tal como vimosanteriormente, o integral de f em [a, b] representa a rea da regio:

{(x, y) R; a x b, 0 y f (x)}.

No caso em que f no positiva o valor do integral ba f (x)dx representa o

simtrico da rea da regio {(x, y) R; a x b, f (x) y 0}.

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Clculo Integral



Mais geralmente, dadas duas funes f , g : [a, b] R, tais que g(x) f (x),para todo o x [a, b], a rea da regio plana

{(x, y) R; a x b, g(x) y f (x)}

representada pelo integral: ba(f g)(x)dx.

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Clculo Integral

Integrais Imprprios

Integrais Imprprios

Ao definir o integral ba f (x)dx, partimos de dois pressupostos essenciais:

a limitao do intervalo de integrao a limitao da funo integranda no intervalo [a, b]

De facto, estas hipteses podem ser suprimidas e podemos generalizar adefinio de integral da seguinte maneira:

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Clculo Integral

Integrais Imprprios

Integrais Imprprios de 1a e 2a Espcie

DefinioSeja f uma funo definida em [a, b[ (podendo b ser + ou um nmero realtal que x = b assimptota ao grfico de f ) e integrvel em qualquer intervaloda forma [a, x], com a < x < b. Define-se: b

af (x)dx = lim

xb

xaf (t)dt.

Analogamente, se f estiver definida em ]a, b] (podendo a ser ou umnmero real tal que x = a assimptota ao grfico de f ) e integrvel emqualquer intervalo da forma [x, b], com a < x < b. Define-se: b

af (x)dx = lim

xa+

bxf (t)dt.

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Clculo Integral

Integrais Imprprios

Integrais Imprprios de 1a e 2a Espcie

Os integrais assim definidos dizem-se imprprios e so convergentescaso os limites que figuram nos segundos membros das igualdades anterioresexistam e sejam finitos. Caso contrrio, dizem-se divergentes.

Nestas condies, o integral imprprio diz-se ainda: de primeira espcie se a = ou b = +. de segunda espcie se a, b R e a funo f for ilimitada.

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Clculo Integral

Integrais Imprprios

Propriedades dos Integrais ImprpriosProposioSe f e g so funes definidas em [a, b[ (respectivamente, ]a, b]) e

ba f (x)dx, b

a g(x)dx so convergentes, ento:

1) ba (f + g)(x)dx convergente e b

a(f + g)(x)dx =

baf (x)dx+

bag(x)dx,

2) Se k R, ba (kf )(x)dx convergente e tem-se ba(kf )(x)dx = k

baf (x)dx,

3) Se f (x) g(x), para todo o x [a, b[ (resp. ]a, b]), tem-se baf (x)dx

bag(x)dx.

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Clculo Diferencial Real (uni-dimensional)Funes reais de varivel realFunes TrigonomtricasLimitesContinuidadeDerivadas de Funes reais de varivel realAplicaes ao estudo do grfico de uma funo

Clculo IntegralPrimitivaoTeorema Fundamental da Anlise. Regra de Barrow.Clculo de reas planas

Calculo Diferencial e Integral Real

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