8/17/2019 Derivadas Funções Elementares

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A apostila que o conteudista elaborou e que está no blackboard não traz derivadas de funções elementares, como a

derivada de funções exponenciais e logarítmicas.

A derivadas dessas funções são muito importantes para engenaria.

DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL

!onsidere a função exponencial natural xe x  f     ="# .

A derivada de f#x" $%

&u se'a, a derivada da função exponencial natural $ ela mesma.

Exemplos

(a)  xe x  f     x −="#

("#   −=′   xe x  f  

(b) )*"#   −=   xe x  f  

 xe x  f   *"#   =′

(c)+

"# x

e x  f  

 x

=

( )   ),+++ "+#"+#+..

"# x

 xe

 x

 x xe

 x

 xe xe x  f  

 x x x x−

=−

=−

=′

(d)  xe x  f     x *"# ( +=   +

**"# (( +=+=′   ++   x x e xe x  f  

DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL DE A!E a " -e   xa y = , #a / e (≠a ", então

Exemplo 0 1erivar as funções exponenciais.

(a)  x y   +=

 x  xe x   =′⇒=

a x

ln.=′

DERIVADA DE FUNÇ#E! ELE$ENTARE!

AULA EXTRA

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+ln.+ x y   =′

(b)  x y   *=

*ln.* x y   =′

DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL CO$PO!TA % -e   ua y= , #a / e (≠a ", onde u 2 f#x", então

Exemplo 0 1erivar as funções exponenciais.

(a)  x x y   ++

*   +=

"++#.*ln.*

"+#.*ln.*

+

++

+

+

+=′

′+=′+

+

 x y

 x x y

 x x

 x x

• -e a base for o n3mero e, basta substituir a por e na f4rmula. 5e'a%

ue y   =  ⇒  66 u.eln.ue y   =   como (ln   =e  a f4rmula fica expressa por%

ue y   =  ⇒  66 u.ue y   =

Exemplo 7 &bter a função derivada da função  x xe y   +++

=

"++#.

,(ln

"++.#ln.

+6

+6

+

+

+=

=

+=

+

+

 xe y

temoseComo

 xee y

 x x

 x x

DERIVADA DA FUNÇÃO LO&AR'T$ICA " -e   x y alog= , #a / e (≠a ", então

.

Exemplo 7 &bter a função derivada da função ( ),*log8   +=   x y .

8ln".,*#

*9 6

+=

 x

-e a base do logaritmo for e, a expressão $ dada por%

uln= y  ⇒ eln.

66

u

u y   =

!omo (eln   =  a f4rmula fica expressa por%

aau=′   .ln.

 x

 y

ln

(=′

 

⇒ 

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&bter a função derivada da função ( ),*ln   +=   x y .

",*#

*

",*#

",*#9 6

+=′

+

′+=

 x y

 x

 x

EXERC'CIO!

(7+ x xe y   −=   +7 "(/ln#"#   + +=   x x  f     )7

+((/"#   x x  f     −=

7 "(ln#"#   xe x x  f     +=   *7  x x  f     ),"#   +=   :7)+"(#"#   +−=   x x x  f  

;7 ")(#log"# +   x x  f     −=   87;) ",#"#   x x x  f     +=  

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#(*" )+# ("

# "# +"

 x f x

 x

+′   =

+  #(:"

+

# " + .* .ln#*" x f x x′   =

#(;"+ (# " + .8 .ln#8" x f x x   +′   =   #(8"

((

*

8 # (+"# "

# 8"

 x x f x

 x

+′   =

+

#(