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Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Aula 24Aula 24

Teste de Hipóteses para 3 ou mais médias: Teste de Hipóteses para 3 ou mais médias: ANOVA dois fatoresANOVA dois fatores

Inferência sobre 3 ou mais médiasInferência sobre 3 ou mais médias

Objetivo: dadas 3 ou mais amostras, verificar a hipótese de igualdade de 3 ou mais médias populacionais mesmo objetivo de antes

Mas agora vamos verificar a influência não somente de um fator, mas de 2 fatores ANOVA de 2 fatores ou 2 critérios

Além de ser analisado se o nível de um determinado fator (tratamento) afeta a igualdade ou não das médias, será analisado se um dos fatores interfere no outro ou interage com o outro interação de fatores


O que significa interação entre fatores?Um exemplo simples ...Suponhamos que a tabela abaixo mostre um os resultados de experimento com 2 fatores A e B, cada um com 2 níveis (Aalto, Abaixo, Balto e Bbaixo). Vamos analisar o que ocorre por causa da mudança de nível do fator

Fator A Fator BBbaixo Balto

Abaixo 10 20Aalto 30 40

A variação na resposta por causa dessa mudança chamaremos de efeito principal do fator


O que significa interação entre fatores?Um exemplo simples ...O efeito principal do fator A é a diferença entre a resposta média no nível alto de A e resposta média no nível baixo de A



2022010

24030A efeito

A variação no fator A do nível baixo para o nível alto faz a resposta média aumentar de 20 unidades

Fazendo o mesmo para B, a resposta média tem um aumento de 10 unidades


O que significa interação entre fatores?Um exemplo simples ...Imaginemos agora que, no lugar do resultado 40 na tabela, tenhamos obtido o resultado 0





Que tipo de interferência no resultado ocorre?

022010

2030A efeito

O efeito de A depende do nível escolhido de B !


O que significa interação entre fatores?Um exemplo simples ...O efeito que chamamos principal de A depende do nível de B ele é mascarado pela interação AB

Podemos estimar ou verificar a interação neste caso simples de 2 formas: calculando o efeito AB ou por gráficos






O que significa interação entre fatores?





024010

23020AB interação

202

0102

3020AB interação

Exemplo: Um engenheiro suspeita que o acabamento de uma superfície de peças metálicas seja influenciado pelo tipo de tinta usada e pelo tempo de secagem. Ele selecionou três tempos de secagem (20, 25 e 30 minutos) e usou dois tipos de tinta. Três peças são testadas com cada combinação de tipo de tinta e tempo de secagem. Os dados são apresentados a seguir:

ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatores

Fator B


Quais são os fatores?

Usaremos a tabela ANOVA de 2 fatores, verificando se há interação significativa e efeitos médios dos fatores significativos


Como é construída a tabela ANOVA?

ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatoresComo calcular as somas quadráticas?Supondo 2 fatores: fator A com 2 (a = 2) tratamentos e fator B com 3 tratamentos (b = 3)

Fator B1 2 3 média

s totais

Fator A1 x111

x112

x121 x122

x131 x132

xml1 xtl1

2 x211x212

x221 x222

x231 x232

xml2 xtl2

médias xmc1 xmc2 xmc3 xtotais xtc1 xtc2 xtc3 xt

=

ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatoresNomenclatura:Célula intersecção entre fatores (em nosso exemplo há uma célula com os valores x111 e x112)No de níveis do fator A a = 2 (nosso exemplo)No de níveis do fator B b = 3 (nosso exemplo)No de réplicas n = 2 (nosso exemplo)Observação da ij-ésima célula para a k-ésima réplica xijk

ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatoresNomenclatura:SQA SQ devido às linhas ou fator ASQB SQ devido às colunas ou fator BSQAB SQ devido à interação entre A e BSQE SQ devido ao erroSQT = SQA + SQB + SQAB + SQE SQ totalE então, como calcular as somas quadráticas?Primeiro SQTDepois SQA, SQB e SQABDepoisSQE = SQT - SQA - SQB – SQAB

E as fórmulas?

ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatoresComo calcular as somas quadráticas?

abnxxxxx...xxxSQ

2t2

1112232

2231

2222

2121

2112

2111T

abnx

bnxxSQ

2t

2tl2

2tl1

A

abnx

anxxxSQ

2t

2tc3

2tc2

2tc1

B

BA

2t

2tcel23

2tcel22

2tcel21

2tcel13

2tcel12

2tcel11

AB SQSQabnx

nxxxxxxSQ

ij célula na totalxtcelij

SQE = SQT - SQA - SQB – SQAB

ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatoresQuais os passos no teste de hipótese?1) Testar a hipótese nula de que não há qualquer

interação entre os fatores2) Se rejeitarmos H0 do passo 1 parar. Senão,

prosseguir e testar outras hipóteses passo 3

3) Testar as hipóteses: H0: não há qualquer efeito do fator linha (isto é, as

médias das linhas são iguais) H0: não há qualquer efeito do fator coluna (isto é, as

médias das colunas são iguais)

1)-1)(b-(aSQMQ AB

AB 1)-ab(nSQMQ E

E E

ABMQMQ

Verificar primeiro isto

ANOVA de 2 fatoresANOVA de 2 fatoresQuais os passos no teste de hipótese?

1

1

AplicaçõesAplicaçõesExemplo: Um engenheiro suspeita que o acabamento de uma superfície de peças metálicas seja influenciado pelo tipo de tinta usada e pelo tempo de secagem. Ele selecionou três tempos de secagem (20, 25 e 30 minutos) e usou dois tipos de tinta. Três peças são testadas com cada combinação de tipo de tinta e tempo de secagem. Os dados são apresentados a seguir:

Tinta (A) Tempo de Secagem (min) (B) Total Média20 25 30

174

18873

17878

255 621 69,0064 61 8550 44 92

292

24698

25966

196 701 77,8986 73 4568 88 85

Total 434 437 451 1322 Média 72,33 72,83 75,17 73,44

AplicaçõesAplicações

Tinta (A) a = 2T. Sec. (B) b = 3

n = 3N = 18

4.504,443321.3228545

66688692928578446174SQ2

22

2222222222T


355,563321.322

33701621SQ

222

A

27,443321.322

32451437434SQ

2222

B

1.878,7827,44355,563321.322

3196255259178246188SQ

2

222222

AB

SQE = 4.504,44 – 355,56 – 27,44 – 1.878,78 = 2.242,67

1.878,78

4.504,44

2.242,67

355,56

27,44

2-1 = 1

3-1 = 2

(2-1).(3-1) = 2

2.3.(3-1) = 12

2.3.3-1 = 17

355,56/1 = 355,56

27,44/2 = 13,72

1.878,78/2 = =939,39

2.242,67/12 = =186,89

1,90

0,07

5,03


Fc para AB = F0,05;2;12 = 4,7472 rejeita H0 passo 1 Parar, pois há interação entre os fatores


Tipo de Tinta

Tempo de secagem

20 min

25 min

30 min

Tipo 1 62,67 59,33 85,00Tipo 2 82,00 86,33 65,33

Interação detectada graficamente

Médias nas células

AplicaçõesAplicaçõesUso do Statdisk

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