EstatísticaEstatísticaAula 06Aula 06

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de AssisSantos de Assis

Aula 06Aula 06

Medidas de Locação Medidas de Locação

Média aritmética simplesMédia aritmética simples Média aritmética ponderadaMédia aritmética ponderada MedianaMediana ModaModa

CVDOT

Medidas de Locação Medidas de Locação (ou de tendência central)(ou de tendência central)

São utilizadas para sintetizar em um único número o conjuntoSão utilizadas para sintetizar em um único número o conjunto

de dados observadosde dados observados

As medidas de locação mostram o valor representativo emAs medidas de locação mostram o valor representativo em

torno do qual os dados tendem a agrupar-setorno do qual os dados tendem a agrupar-se

Média aritmética simplesMédia aritmética simples

É a mais importante medida de locaçãoÉ a mais importante medida de locação

Média amostralMédia amostral

Média populacionalMédia populacional

Se n observações de uma amostra forem representadas por x1, x2,..., xn, a média amostral será:

1

n

ii

xx

n

Quando a população tiver um número finito de observações (N), a média populacional será:

1

N

ii

x

N

Média AmostralMédia Amostral

Média PopulacionalMédia Populacional

Média Aritmética SimplesMédia Aritmética Simples

Exemplo 1Exemplo 1 Resultados2627

252734282924

17252627

Determinar a média aritmética dos resultados de resistência à compressão apresentados

Média Aritmética SimplesMédia Aritmética Simples

12

1 1 26 27 25 ... 17 25 26 2726,25

12 12

n

i ii i

x xx

n

Exemplo 2Exemplo 2

Determinar a média aritmética dos resultados de resistência à compressão apresentados no exemplo 1 da aula 4

40

1 1 49 50 50... 69 7158,375

40 40

n

i ii i

x xx

n

Média Aritmética SimplesMédia Aritmética Simples

Exemplo 3Exemplo 3

Abaixo estão listadas as medidas das quantidades de chumbo (em microgramas por metro cúbico, ou g/m3) no ar. A Agência de Proteção Ambiental americana estabeleceu um padrão de qualidade do ar para o chumbo: 1,5 g/m3. As medidas registradas abaixo foram registradas no local do Edifício 5 do Word Trade Center, em dias diferentes, logo após a destruição causada pelos ataques terroristas de 11 de setembro de 2001. Após os desmoronamento dos dois edifícios do Word Trade Center, houve muita preocupação sobre a qualidade do ar. Ache a média para esta amostra de medidas de níveis de chumbo no ar.

5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10

Média Aritmética SimplesMédia Aritmética Simples

Medidas de Locação Medidas de Locação

Em algumas situações, os números que queremos sintetizarEm algumas situações, os números que queremos sintetizar

têm graus de importância (pesos) diferentes têm graus de importância (pesos) diferentes

Média aritmética ponderadaMédia aritmética ponderada

1

1

n

i ii

p n

ii

x px

p

A média aritmética ponderada dos números x1, x2,..., xn, com pesos p1, p2,..., pn, será:

Exemplos:

após a prova final, utiliza-se da média aritmética ponderada para o cálculo da média semestral do aluno

O coeficiente de rendimento de um aluno da Ufal é calculado por esta média. Os pesos são as cargas horárias semestrais das disciplinas

Medidas de LocaçãoMedidas de Locação

Sempre que possível, as medidas estatísticas devem ser calculadasSempre que possível, as medidas estatísticas devem ser calculadas antes de os dados serem agrupadosantes de os dados serem agrupados

Média para dados agrupadosMédia para dados agrupados

Muitas vezes só conhecemos os dados provenientes da distribuiçãoMuitas vezes só conhecemos os dados provenientes da distribuição de freqüência de freqüência

Considere que, em cada classe, todos os valores são iguais ao ponto médio da classe em cada uma delas, o ponto médio se repete f vezes

1

1

.k

i iik

ii

x nx

n

xxii – Ponto médio da i-ésima classe, – Ponto médio da i-ésima classe, nnii – Frequência da i-ésima classe – Frequência da i-ésima classe

kk – Número de classes – Número de classes

Soma de todos os valores amostrais

Número total de valores amostrais

Média para dados agrupadosMédia para dados agrupados

Exemplo 4Exemplo 4

Calcular o valor médio da resistência do concreto cujos dados estão Calcular o valor médio da resistência do concreto cujos dados estão agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 – aula 04)agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 – aula 04)

Média para dados agrupadosMédia para dados agrupados

Exemplo 4Exemplo 4

1

1

.k

i iik

ii

x nx

n

6

16

1

.50.8 54.7 58.9 62.6 66.6 70.4 2348

58,708 7 9 6 6 4 40

i ii

ii

x nx

n

Média para dados agrupadosMédia para dados agrupados

Comparação – Exemplos 2 e 4Comparação – Exemplos 2 e 4

58,375x

58,70x

Se o número de observações for ímpar, a mediana será o valor central das observações colocada em ordem crescente

Se o número de observações for par, a mediana será a média entre os dois valores centrais das observações colocadas em ordem crescente

Cálculo da Mediana

Medidas de LocaçãoMedidas de Locação

MedianaMediana

Medida da tendência central, que divide os dados Medida da tendência central, que divide os dados

em duas partes iguais (valor do “meio” do conjunto)em duas partes iguais (valor do “meio” do conjunto)

Exemplo 6Exemplo 6

Ache a mediana para o caso da amostra de medidas de níveis de chumbo no ar.

5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10

MedianaMediana

Colocando os resultados em ordem crescente:

0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 5,40

0,9152

1,832

1,100,73x

~Cálculo da mediana:

Lembrando da média: 1,538 g/m3

Exemplo 7Exemplo 7

Ache a mediana para o caso da amostra de medidas de níveis de chumbo no ar, substituindo o valor 5,40 g/m3 pelo valor 1,20 g/m3

1,20 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10

MedianaMediana

Colocando os resultados em ordem crescente:

0,42 0,48 0,73 1,10 1,10 1,20

0,9152

1,832

1,100,73x

~Cálculo da mediana:

Agora e média muda: 0,838 g/m3

MedianaMediana

Comparação entre média e medianaComparação entre média e mediana

Resultados ordenados

0,42

0,48

0,73

1,10

1,10

5,40

Caso 1

Resultados ordenados

0,42

0,48

0,73

1,10

1,10

1,20

Caso 2

0,915x ~ 0,915x ~1,538x 0,838x

Comparação entre os exemplos 6 e 7Comparação entre os exemplos 6 e 7

MedianaMediana

Comparação entre média e medianaComparação entre média e mediana

A mediana é a mesma (0,915) em ambos os casosA mediana é a mesma (0,915) em ambos os casos

O exemplo ilustra os seguintes fatos:O exemplo ilustra os seguintes fatos:

A média é muito sensível a valores extremosA média é muito sensível a valores extremos

A mediana não sofre muito com a presença de alguns valores muito A mediana não sofre muito com a presença de alguns valores muito altos ou muito baixosaltos ou muito baixos

Medidas de LocaçãoMedidas de Locação

O algoritmo para cálculo da mediana pressupõe que as observações O algoritmo para cálculo da mediana pressupõe que as observações estejam em ordem crescente e igualmente espaçadas dentro de cadaestejam em ordem crescente e igualmente espaçadas dentro de cada classeclasse

Mediana para dados agrupadosMediana para dados agrupados

Nesses casos, a mediana pode ser obtida por interpolação linearNesses casos, a mediana pode ser obtida por interpolação linear

Exemplo 8Exemplo 8

Determinar a mediana dos resultados de resistência à compressão agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 –aula 04)

Como existem 40 dados, a Como existem 40 dados, a mediana é o 20º elementomediana é o 20º elemento, e , e pertence àpertence à

terceira classeterceira classe (ver N (ver N22 e N e N33))

Mediana para Dados AgrupadosMediana para Dados Agrupados

Exemplo 8Exemplo 8

Para determinar o Para determinar o 20º elemento20º elemento, , interpolaremosinterpolaremos, obtendo:, obtendo:

Mediana para Dados AgrupadosMediana para Dados Agrupados

Exemplo 8Exemplo 8

6056 x~

x15

24

20 56601524

x1520

x = 2,22

58,22 2,22 56 x ~

Classe da mediana

Medidas de LocaçãoMedidas de Locação

ModaModa

É o valor da observação que ocorre com a maior freqüênciaÉ o valor da observação que ocorre com a maior freqüência

No caso de dados agrupados, é o ponto média da classe de No caso de dados agrupados, é o ponto média da classe de

maior freqüênciamaior freqüência

A média é uma medida mais adequada ao caso de dados A média é uma medida mais adequada ao caso de dados

agrupados. Nesse caso, a classe de maior freqüência se chamaagrupados. Nesse caso, a classe de maior freqüência se chama

classe modalclasse modal

No caso de dados não agrupados, a moda nem sempre tem No caso de dados não agrupados, a moda nem sempre tem

utilidade como elemento representativo ou sintetizador do utilidade como elemento representativo ou sintetizador do

conjuntoconjunto

ModaModa

Exemplo 9Exemplo 9

Determinar a classe modal e a moda dos resultados de resistência à compressão agrupados na tabela abaixo (exemplo 1 –aula 04)

Classe modal:

Moda: 58

Medidas de Locação Medidas de Locação

Resumo para dados não agrupadosResumo para dados não agrupados

Fonte: Mario F. Triola. Introdução à estatística (2005)

EstatísticaEstatísticaAula 06Aula 06

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de AssisSantos de Assis