Estatística Aula 11 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo...

EstatísticaEstatísticaAula 11Aula 11

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli RodriguesSantos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

Aula 11Aula 11

Regra da MultiplicaçãoRegra da Multiplicação Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional

Independência de EventosIndependência de Eventos

Propriedades BásicasPropriedades Básicas

Regra da MultiplicaçãoRegra da Multiplicação

Estamos interessados na probabilidade de o evento A Estamos interessados na probabilidade de o evento A ocontecer em uma primeira prova e o evento B ocorrer em ocontecer em uma primeira prova e o evento B ocorrer em uma segunda provauma segunda provaPalavra – chave Palavra – chave ee

NotaçãoNotação

P(A P(A ee B ) = P(evento A ocorrer na primeira prova B ) = P(evento A ocorrer na primeira prova ee evento B evento B ocorrer na segunda prova)ocorrer na segunda prova)



Exemplo: Supor que em um teste temos duas questões: a 1ª é verdadeiro ou falso e a 2ª possui 5 alternativas (a, b, c, d, e). Qual a probabilidade de que, se uma pessoa responde aleatoriamente as ambas as questões, a 1ª resposta esteja certa e a 2ª resposta esteja certa?

Vamos supor que as respostas corretas sejam V e c

Queremos P(V e c)



1ª

2ª Resultados possíveis

V

e

abcd

VaVaVbVbVcVcVdVdVeVe

Espaçoamostral

F

e

abcd

FaFaFbFbFcFcFdFdFeFe

2 x 5 = 10

0,1101

corretas) P(ambas

0,1101

c) eP(V



51

21

0,1101

c) eP(V

Se vocês prestaram a atençãoSe vocês prestaram a atenção

P(V)

P(c)P(V e C) = P(V) P(V e C) = P(V) .. P(c) P(c)

Acertar a 2ª questão depende de ter acertado a 1ª ?Acertar a 2ª questão depende de ter acertado a 1ª ?

Este problema foi resolvido com o auxílio de um diagrama de árvore porque o no de resultados possíveis não foi muito grande



Pelo menos 1 ...Pelo menos 1 ...

Pelo menos um Pelo menos um é equivalente a é equivalente a um ou maisum ou mais

Ache a probabilidade de que, entre várias provas, pelo menos uma forneça um resultado especificado

O O complementarcomplementar de se obter de se obter pelo menos um pelo menos um de um item particular é de um item particular é não se obter qualquer não se obter qualquer item daquele tipoitem daquele tipo




Exemplo: Ache a probabilidade de uma casal ter, pelo menos, 1 menina entre 3 crianças. Suponha que meninos e meninas sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança seja independente do sexo de qualquer outro irmão ou irmã

Seja A = pelo menos 1 das 3 crianças é menina

Evento complementar:

= não obter pelo menos 1 menina em 3 crianças = todas as 3 crianças são meninos = menino, menino, menino

A

menino-menino-meninomenino-menino-meninamenino-menina-meninomenino-menina-meninamenina-menino-meninomenina-menino-meninamenina-menina-meninomenina-menina-menina

87

81

-1 )AP( 1 P(A) 81

21

21

21

)AP(

Para achar a probabilidade de pelo menos um de alguma coisa, calcule a probabilidade de nenhum, então subtraia o resultado de 1




P(pelo menos um ) = 1 - P(nenhum)P(pelo menos um ) = 1 - P(nenhum)

Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional

Como será que a probabilidade de um evento mudaComo será que a probabilidade de um evento muda após sabermos que um outro evento ocorreu? Isso nosapós sabermos que um outro evento ocorreu? Isso nos leva à idéia de probabilidade condicionalleva à idéia de probabilidade condicional

A idéia de probabilidade condicional está intimamenteA idéia de probabilidade condicional está intimamente relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetarrelacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar ou não a probabilidade de ocorrência de outro eventoou não a probabilidade de ocorrência de outro evento

Uma probabilidade condicional nada mais é do queUma probabilidade condicional nada mais é do que uma uma probabilidade calculadaprobabilidade calculada não mais a partir donão mais a partir do espaço amostral inteiro E, e sim espaço amostral inteiro E, e sim a a partir de umpartir de um subconjunto de Esubconjunto de E


Suponha uma população com N indivíduosSuponha uma população com N indivíduos

Suponha dois eventos:Suponha dois eventos:

A: o indivíduo é do sexo femininoA: o indivíduo é do sexo feminino B: o indivíduo é daltônicoB: o indivíduo é daltônico

Pode-se definir as probabilidadesPode-se definir as probabilidades

P(A) = NP(A) = Nff / N / N

P(B) = NP(B) = Ndd / N / N

Poderíamos estar interessados em saber a probabilidade dePoderíamos estar interessados em saber a probabilidade de ser daltônico dentro da população feminina ser daltônico dentro da população feminina

ou seja: P(B|A) = Nou seja: P(B|A) = Ndfdf / N / Nff

dividindo os dois lados por N:dividindo os dois lados por N:

MotivaçãoMotivação

P(A)B)P(A

A)|P(B


A

B

A ∩ BEspaço amostral E

A

B

A ∩ BNa probabilidade condicional, A faz o papel do espaço amostral

E

MotivaçãoMotivação

P(A)B)P(A

A)|P(B

Qual a Prob. de que a 1ª tenha vagem verde e 2ª amarela?


Exemplo da genéticaExemplo da genética

Se 2 ervilhas são escolhidas aleatoriamente sem reposição ...


Exemplo da genéticaExemplo da genética

148

verde) P(vagem 1ª seleção: 1ª seleção: Há 14 ervilhas, 8 das Há 14 ervilhas, 8 das quais têm vagem verdequais têm vagem verde

136

amarela) P(vagem 2ª seleção: 2ª seleção: Restam 13 ervilhas, 6 Restam 13 ervilhas, 6 das quais têm vagem das quais têm vagem amarelaamarela

0,264136

148

amarela) vagem com 2 e verde vagem com P(1 aa


O ponto chave é que temos que ajustar a probabilidade do 2º evento para refletir o resultado do 1º evento

A probabilidade para o 2º evento B tem que levar em conta o fato de que o 1º evento A já ocorreu

P (B | A) lê-se “P de B dado A”

NotaçãoNotação

P(A P(A ee B) = P(A) B) = P(A) .. P(B|A) P(B|A)


Ao calcular a probabilidade de ocorrência do evento A em uma prova e do evento B na prova seguinte, multiplique a probabilidade do evento A pela a probabilidade do evento B, mas certifique-se de que a probabilidade do evento B leva em conta a ocorrência prévia do evento A

FormalFormal

P(A B) = P(A) . P(B|A)


Dados dois eventos A e B, com P(A) > 0, chama-se P(B | A) Dados dois eventos A e B, com P(A) > 0, chama-se P(B | A)

a probabilidade condicional de B dado A (a probabilidade condicional de B dado A (ou probabilidade ou probabilidade

de B condicionada a Ade B condicionada a A) definida pela expressão) definida pela expressão

DefiniçãoDefinição

P(A)B)P(A

A)|P(B

Analogamente: (com P(B) > 0)

P(B)B)P(A

B)|P(A


Se A e B são disjuntos:Se A e B são disjuntos:A B

Caso geral:Caso geral:B

A

P(A)B)P(A

A)|P(B

0 A)|P(B

Se B A :Se B A :

UU

A

B

P(A)P(B)

A)|P(B

P(B)B)P(A

Se A B :Se A B :

UU

B

A

1 A)|P(B

P(A)B)P(A

Esse resultado é também conhecido como Esse resultado é também conhecido como Teorema da Teorema da MultiplicaçãoMultiplicação

Este teorema nos permite escrever uma probabilidade Este teorema nos permite escrever uma probabilidade condicional em termos da probabilidade condicionalcondicional em termos da probabilidade condicional““inversa”, o que é útil quando uma delas for difícil de inversa”, o que é útil quando uma delas for difícil de calcularcalcular

Em particular:Em particular:


( ) ( ). ( | ) ( ). ( | ) P A B P B P A B P A P B A

( ). ( | )( | )

( )P A P B A

P A BP B


Exemplo 1Exemplo 1

Um grupo de pessoas inclui 40 com diploma de curso superior, Um grupo de pessoas inclui 40 com diploma de curso superior,

20 microempresários e 10 que são, ao mesmo tempo, portadores de 20 microempresários e 10 que são, ao mesmo tempo, portadores de

diploma do curso superior e microempresários.diploma do curso superior e microempresários.

Calcule a probabilidade de alguém ser microempresário sabendo que Calcule a probabilidade de alguém ser microempresário sabendo que

ele tem diploma de curso superior.ele tem diploma de curso superior.

Sejam os eventos:Sejam os eventos:

A = { pessoa tem diploma de curso superior }A = { pessoa tem diploma de curso superior }

B = { pessoa é um microempresário }B = { pessoa é um microempresário }

Seleciona-se uma das 50 pessoas aleatoriamente.Seleciona-se uma das 50 pessoas aleatoriamente.Então:Então:


Exemplo 1Exemplo 1

P( A ) = 40/50 , P( B ) = 20/50 e P( A ∩ B ) = 10/50P( A ) = 40/50 , P( B ) = 20/50 e P( A ∩ B ) = 10/50

Considere o seguinte evento: a pessoa é microempresária e sabe-se Considere o seguinte evento: a pessoa é microempresária e sabe-se

que ela tem diploma de curso superiorque ela tem diploma de curso superior

A probabilidade deste evento é diferente da probabilidade da pessoa ser A probabilidade deste evento é diferente da probabilidade da pessoa ser

microempresária, visto que agora microempresária, visto que agora o espaço amostral não consiste mais o espaço amostral não consiste mais

nas 50 pessoas originaisnas 50 pessoas originais, mas , mas apenas naquelas que possuem diploma apenas naquelas que possuem diploma

de curso superiorde curso superior


Exemplo 1Exemplo 1

A probabilidade condicional de que uma pessoa A probabilidade condicional de que uma pessoa seja microempresária sabendo-se que ela tem seja microempresária sabendo-se que ela tem diploma de curso superior é dada por:diploma de curso superior é dada por: 10

( ) 1050( | )40( ) 4050

P A B

P B AP A

( | ) 0,25P B AO exemplo mostra que devemos olhar O exemplo mostra que devemos olhar para as 10 pessoas na interseção para as 10 pessoas na interseção dentre as 40 pessoas com diploma de dentre as 40 pessoas com diploma de curso superiorcurso superior

O nosso espaço amostral, ao calcular a probabilidade O nosso espaço amostral, ao calcular a probabilidade condicional, restringe-se às 40 pessoas que têm curso condicional, restringe-se às 40 pessoas que têm curso superior, e não mais às 50 pessoas do grupo originalsuperior, e não mais às 50 pessoas do grupo original

ObservaçõesObservações


Exemplo 2Exemplo 2

Em uma amostra de 100 funcionários de uma empresa:Em uma amostra de 100 funcionários de uma empresa:

35 são homens e fumantes,35 são homens e fumantes, 28 são homens e não fumantes,28 são homens e não fumantes, 17 são mulheres e fumantes,17 são mulheres e fumantes, 20 são mulheres e não fumantes.20 são mulheres e não fumantes.

Qual a probabilidade de um funcionário escolhido aoQual a probabilidade de um funcionário escolhido ao acaso ser fumante, considerando que ele seja homem?acaso ser fumante, considerando que ele seja homem?


Exemplo 2Exemplo 2

Sejam os eventos:Sejam os eventos:

A = { o funcionário é fumante }A = { o funcionário é fumante }

B = { o funcionário é homem }B = { o funcionário é homem }


Exemplo 2Exemplo 2

Note que, quando definimos que o evento B correu (o funcionário é Note que, quando definimos que o evento B correu (o funcionário é homem), restringimos o espaço amostral à ocorrência do evento A homem), restringimos o espaço amostral à ocorrência do evento A (o funcionário é fumante)(o funcionário é fumante)

O novo universo passa a ser o próprio evento BO novo universo passa a ser o próprio evento B


Exemplo 2Exemplo 2 Utilizando o número de elementos de cada conjunto: P(A | B) = 35/63 = 0,556

Ou empregando a expressão da definição:

P(B) = 63/100 = 0.63 P(A ∩ B) = 35/100 = 0.35 P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0,35/0,63 = 0,556


Exemplo 3Exemplo 3Ao serem lançados dois dados equilibrados sobre uma Ao serem lançados dois dados equilibrados sobre uma mesa, calcule a probabilidade de a soma das duas faces ser mesa, calcule a probabilidade de a soma das duas faces ser 8, sabendo que ocorre face 3 no primeiro dado.8, sabendo que ocorre face 3 no primeiro dado.

Sejam os eventos:Sejam os eventos:A = { a soma das duas faces é 8 }A = { a soma das duas faces é 8 }B = { ocorre face 3 no primeiro dado }B = { ocorre face 3 no primeiro dado }

Total de resultados possíveis no lançamento dos dois dados: 6 x 6 = 36 Total de resultados possíveis no lançamento dos dois dados: 6 x 6 = 36

A = { (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) }A = { (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2) }

B = { (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6) }B = { (3;1), (3;2), (3;3), (3;4), (3;5), (3;6) }

( ) 1/ 36 P A B( ) 1/ 36

( | )( ) 6 / 36

P A B

P A BP B(3;5)

( ) 6 / 36P B ( | ) 1/ 6P A B


Dois eventos A e B são independentes quando se verifica:Dois eventos A e B são independentes quando se verifica:

( | ) ( )P A B P A ( | ) ( )P B A P Be

( )( | ) ( ) ( ) ( )

( )

P A B

P A B P A B P A P BP B

Portanto, se A e B são eventos independentes vale: ( ) ( ) ( ) P A B P A P B


Dois eventos são independentes se qualquer uma das Dois eventos são independentes se qualquer uma das seguintes afirmações for verdadeira:seguintes afirmações for verdadeira:

1)P(A│B) = P(A)

2)P(B│A) = P(B)

3)P(A ∩ B) = P(A) . P(B)


Exemplo 4Exemplo 4

A tabela abaixo descreve a história de 84 amostras de ar, A tabela abaixo descreve a história de 84 amostras de ar, com base na presença de duas moléculas raras. Faça A com base na presença de duas moléculas raras. Faça A denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 1 e B denotar o evento que consiste que contém a molécula 1 e B denotar o evento que consiste em todas as amostras de ar que contém a molécula 2. em todas as amostras de ar que contém a molécula 2. Calcule P(B) e P(BCalcule P(B) e P(B│A).│A).

Molécula 1

Não Sim

Molécula 2Não 32 24

Sim 16 12


Exemplo 4Exemplo 4

Resposta:Resposta:

P(B) = 28 / 84 = 0,333P(B) = 28 / 84 = 0,333

P(A) = 36 / 84 = 0,428P(A) = 36 / 84 = 0,428

P(BP(B│A) = P(A ∩ B)/P(A) = (12/84) / (36/84) = 12/36 = 0,333│A) = P(A ∩ B)/P(A) = (12/84) / (36/84) = 12/36 = 0,333

P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = (36/84).(28/84) = 0,142P(A ∩ B) = P(A) . P(B) = (36/84).(28/84) = 0,142

P(A ∩ B) = 12/84 = 0,142P(A ∩ B) = 12/84 = 0,142

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