Estatística Aula 13 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo...

EstatísticaEstatísticaAula 13Aula 13

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli RodriguesSantos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

Aula 13Aula 13

Variáveis AleatóriasVariáveis Aleatórias

Distribuição de ProbabilidadeDistribuição de Probabilidade


IntroduçãoIntroduçãoSeja o experimento de jogar 1 dadoSeja o experimento de jogar 1 dado

Do que vimos até o momento podemos:Do que vimos até o momento podemos:

• Jogar repetidamente os dados e coletar dados amostrais;Jogar repetidamente os dados e coletar dados amostrais;• Descrever os resultados por gráficos como o histograma deDescrever os resultados por gráficos como o histograma de frequência;frequência;• Calcular média, desvio padrão e outras estatísticas;Calcular média, desvio padrão e outras estatísticas;• Achar a probabilidade de cada resultado possívelAchar a probabilidade de cada resultado possível

Estatística descritivaEstatística descritiva

Teoria da probabilidadeTeoria da probabilidade

• Achar a probabilidade de cada resultado possívelAchar a probabilidade de cada resultado possível


IntroduçãoIntrodução

Seja o experimento de jogar 1 dadoSeja o experimento de jogar 1 dado

Agora nós vamos combinar os conceitos anterioresAgora nós vamos combinar os conceitos anteriores

Elas descrevem o que Elas descrevem o que provavelmenteprovavelmente ocorreráocorrerá, em vez de o , em vez de o que realmente ocorreuque realmente ocorreu

Desenvolveremos o conceito de distribuição de Desenvolveremos o conceito de distribuição de probabilidadeprobabilidade



Até o momento, usamos valores observados que tinham sido realmente coletados.Agora, com as distribuições de probabilidade, apresentaremos resultados possíveis junto com as frequências relativas que esperamos



Figura 4-1 triolaFigura 4-1 triola


Experimento aleatórioExperimento aleatório

É aquele que não é possível antecipar seu resultado, apesar de conhecermos todos os resultados possíveis que definem o espaço amostral do experimento

Ao jogarmos um dado, sabemos os resultadosAo jogarmos um dado, sabemos os resultadospossíveis, mas não sabemos qual o próximo resultado, dapossíveis, mas não sabemos qual o próximo resultado, dapróxima jogadapróxima jogada

Lançar uma moeda 2 vezes e estudar o nLançar uma moeda 2 vezes e estudar o noo de “caras”: de “caras”:

Resultado do experimento Valor numéricoResultado do experimento Valor numérico

Cara Coroa Cara Coroa 1 1

Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado Cada vez que o experimento for repetido, seu resultado pertencerá a um espaço amostral S pertencerá a um espaço amostral S cada resultado é um cada resultado é um ponto amostralponto amostral

Agora, em vez de operar com S, usaremos o conceito de Agora, em vez de operar com S, usaremos o conceito de variável aleatóriavariável aleatória, que recebe valores (números) de acordo , que recebe valores (números) de acordo com os resultados de um experimento aleatóriocom os resultados de um experimento aleatório


Experimento aleatórioExperimento aleatório

Ponto amostral Valor correspondentePonto amostral Valor correspondente


Variável aleatóriaVariável aleatória

É uma variável (normalmente representada por x) que tem um único valor numérico, determinado por acaso, para cada resultado de um experimento

É um gráfico,uma tabela ou fórmula que dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória

Distribuição de probabilidadeDistribuição de probabilidade


S

característicaqualitativa

quantitativadiscreta

contínuav.a.

Ponto amostralPonto amostral

Variável aleatóriaVariável aleatória

S

E1

E2...

X

x1

x2...

Eventos Números

Se definirmos X == “nos de caras”, quais os valores que X pode assumir?

Exemplo: lançamento de 2 moedas


Variável aleatóriaVariável aleatória A cada evento do espaçoA cada evento do espaçoamostral amostral S S associamos um valor associamos um valorna variável na variável X X variável aleatória X variável aleatória X

SKC

KK

CK

CC

X

1

2

1

0

Exemplo: Lançamento de 2 moedasExperimento:Experimento: jogar 2 moedas e observar o resultado ( jogar 2 moedas e observar o resultado (KK = cara e = cara e CC = coroa) = coroa)


A A v.a.v.a. associa cada elemento do associa cada elemento doespaço amostral espaço amostral SS a um número real a um número real

É uma função formada por valores É uma função formada por valores numéricos definidos sobre o espaço numéricos definidos sobre o espaço amostral de um experimento:amostral de um experimento:

A cada resultado do experimento aleatórioA cada resultado do experimento aleatório corresponderá apenas um único valorcorresponderá apenas um único valor numérico da v.a. numérico da v.a. CK corresponde ao n CK corresponde ao noo 1 1 somentesomente

Entretanto, um valor numérico da v.a. poderáEntretanto, um valor numérico da v.a. poderá corresponder a um ou mais resultados de umcorresponder a um ou mais resultados de um experimento experimento o n o noo 1 corresponde a KC e 1 corresponde a KC e CKCK

S

KK

KC

CK

CC

X: número de caras em 2 lances de moeda

0 1 2

X = 0 CCX = 1 KC CKX = 2 KK

imagem



CK corresponde ao nCK corresponde ao noo 1 somente 1 somente

Entretanto ,Entretanto , o n o noo 1 corresponde a KC e CK 1 corresponde a KC e CK


O passo fundamental para entendermos uma v.a. éO passo fundamental para entendermos uma v.a. é associar a cada valor a sua probabilidade, obtendo o queassociar a cada valor a sua probabilidade, obtendo o que se chama de uma se chama de uma distribuição de probabilidadesdistribuição de probabilidades

A distribuição de probabilidades fica caracterizada pelosA distribuição de probabilidades fica caracterizada pelos valores da v.a. valores da v.a. XX e pela regra, ou função, que associa a e pela regra, ou função, que associa a cada valor uma probabilidadecada valor uma probabilidade

Essa função, chamada de função de probabilidade, éEssa função, chamada de função de probabilidade, é representada por representada por f(x).f(x). No exemplo anterior, temos: No exemplo anterior, temos:

Valores de X

Probabilidade

0 1 2

1/4 1/2 1/4

SKC

KK

CK

CC

X

1

2

1

0

X P(X)

0 1/4 0,25

1 1/2 0,50

2 1/4 0,25

Exemplo: Lançamento de 2 moedas



P(X)0,50

0,25

0,50

0,25

Gráfico da distribuição de probabilidade da v.a.No de caras

Exemplo: Lançamento de 2 moedas



S

KK

KC

CK

CC

X: número de caras em 2 lances de moeda

0 1 2 imagem



0,00 0,25 0,50 Imagem P(X)



Requisitos para que uma função seja chamada de Requisitos para que uma função seja chamada de distribuição de probabilidadedistribuição de probabilidade

1) Podemos associar números a eventos do espaço

amostral v.a.;

2) Para cada número podemos associar uma probabilidade tal que esta esteja entre zero

e 1,0;

3) Soma de todas as probabilidades é 1 ou 100%


Exemplo: f(x) = x/3 (onde x pode ser 0, 1 ou 2 aleatoriamente) determina uma distribuição de probabilidade?

f(0) = 0/3 = 0,0

f(1) = 1/3f(2) = 2/3

133

32

31

30

f(x)

Cada valor de f(x) está entre 0 e 1

f(x) é um exemplo de distribuição de probabilidade


Variável aleatória Variável aleatória ClassificaçãoClassificação

Discreta

Tem ou um no finito de valores, ou uma quantidade enumerável de valores, onde “enumerável” se refere ao fato de que podem existir infinitos valores, mas que podem ser associados a um processo de contagem

Contínua

Tem infinito valores , e esses valores podem ser associados com medidas em uma escala contínua, de modo que não há pulos ou interrupções


Exemplos:Exemplos:

Seja Seja x o número de ovos que uma galinha põe em um diax o número de ovos que uma galinha põe em um dia.. Essa é uma variável aleatória discreta porque sãoEssa é uma variável aleatória discreta porque são possíveis apenas os valores 0, 1, 2, e assim por diante.possíveis apenas os valores 0, 1, 2, e assim por diante. Nenhuma galinha põe 2,345 ovosNenhuma galinha põe 2,345 ovos, valor que seria, valor que seria possível se os dados proviessem de uma escala contínuapossível se os dados proviessem de uma escala contínua

Seja Seja x a quantidade de leite que uma vaca produz em umx a quantidade de leite que uma vaca produz em um diadia. Essa é uma variável aleatória contínua porque pode. Essa é uma variável aleatória contínua porque pode assumir qualquer valor em um intervalo contínuo.assumir qualquer valor em um intervalo contínuo. Durante um único dia, uma vaca pode produzir umaDurante um único dia, uma vaca pode produzir uma quantidade de leite que pode ser qualquer valor entre 0 equantidade de leite que pode ser qualquer valor entre 0 e 5 litros. 5 litros. Seria possível obter 4,1234 litros, porque a vacaSeria possível obter 4,1234 litros, porque a vaca não é restrita a quantidades discretas de 0, 1, 2, 3, 4 ou 5não é restrita a quantidades discretas de 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 litros.litros.

Distribuição Discreta de ProbabilidadeDistribuição Discreta de Probabilidade

Definição formalDefinição formal

Uma distribuição discreta de probabilidade de uma v.a.Uma distribuição discreta de probabilidade de uma v.a. XX é uma relação dos distintos valores é uma relação dos distintos valores xxii de de XX juntamente juntamente

com as probabilidades associadas com as probabilidades associadas f(xf(xii))

Para que uma função Para que uma função f(x)f(x) seja uma distribuição de seja uma distribuição de probabilidade, é necessário que:probabilidade, é necessário que:

( ) ( ) i if x P X xOnde:Onde:

( ) 0

( ) 1

( ) ( )

f x

f x

P X x f x

Consideremos a soma dos pontos que aparecem na Consideremos a soma dos pontos que aparecem na jogada de doisjogada de dois dados. Sabemos que os valores possíveis da soma dados. Sabemos que os valores possíveis da soma XX, com suas, com suas probabilidades associadas probabilidades associadas P(X = x)P(X = x) são:são:


ExemploExemplo

x

f(x)

2 3

1/36

4 5

2/36 3/36 4/36

6 7

5/36

8 9

6/36 5/36 4/36

10 11 12

3/36 2/36 1/36

Podemos calcular probabilidades do tipo: Podemos calcular probabilidades do tipo:

1 2 3 4 10( 5)

36 36 36 36 364 3 2 1 10

( 8) ( 9)36 36 36 36 36

5 6 5 16(6 8)

36 36 36 36

P X

P X P X

P X

f(2) + f(3) + f(4) + f(5)

f(9) + f(10) + f(11) + f(12)

f(6) + f(7) + f(8)

Para calcularmos probabilidades associadas a uma Para calcularmos probabilidades associadas a uma

variável aleatória, temos basicamente de saber calcularvariável aleatória, temos basicamente de saber calcular

as probabilidades dos eas probabilidades dos eventos:ventos:


( )P X x ( )P X xee

Outras probabilidades calculam-se como combinaçõesOutras probabilidades calculam-se como combinações

dessas duas. Assim, no exemplo apresentado:dessas duas. Assim, no exemplo apresentado:

( 9) 1 ( 8)

(6 8) ( 8) ( 6) ( 8) ( 5)

P X P X

P X P X P X P X P X

Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de ProbabilidadesVariáveis Aleatórias Discretas e Distribuição de Probabilidades

O Espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, d, e, f} e O Espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, d, e, f} e cada resultado é igualmente provável. Uma variável aleatória é cada resultado é igualmente provável. Uma variável aleatória é definida como segue:definida como segue:

ExemploExemplo

Resultado a b c d e f

x 0 0 1,5 1,5 2 3

Resposta:

f(0) = P(X=0) = 1/6 + 1/6 = 1/3f(1,5) = P(X=1,5) = 1/6 + 1/6 = 1/3f(2) = P(X=2) = 1/6f(3) = P(X=3) = 1/6

Determine a função de Determine a função de probabilidade de X.probabilidade de X.


Use a função probabilidade do exemplo anterior para determinar as seguintes probabilidades:a) P(X = 1,5);b) P(0,5<X<2,7);c) P(X>3);d) P(0≤X<2);e) P(X = 0 ou X = 2).

ExemploExemplo

Resposta:

a) P(X = 1,5) = 1/3

b) P(0,5<X<2,7) = P(X = 1,5) + P(X = 2) = 1/6 + 1/3 = 1/2

c) P(X>3) = 0

d) P(0≤X<2) = P(X = 0) + P(X = 1,5) = 1/3 + 1/3 = 2/3

e) P(X = 0 ou X = 2) = 1/3 + 1/6 = 1/2

Gráficos como o apresentado abaixo são chamados histogramas de Gráficos como o apresentado abaixo são chamados histogramas de probabilidadeprobabilidade

Observe na figura que P(0≤X<2) = P(X = 0) + P(X = 1,5) = 1/3 + 1/3 = 2/3

Trata-se de uma soma de áreas.

O que isto tem haver com integral? Veremos adiante ...


Representação gráfica de uma distribuição de probabilidadeRepresentação gráfica de uma distribuição de probabilidade


0,6561

0,2916

0,04860,0036 0,0001

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0 1 2 3 4

Exemplo:

P(X = 0) = 0,6561

P(X = 1) = 0,2916

P(X = 2) = 0,0486

P(X = 3) = 0,0036

P(X = 4) = 0,0001

AplicaçõesAplicações

O espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, O espaço amostral de um experimento aleatório é {a, b, c, d, e, f} e cada resultado é igualmente provável. Uma variável d, e, f} e cada resultado é igualmente provável. Uma variável aleatória é definida como se segue:aleatória é definida como se segue:

Determine a função de probabilidade de X.Determine a função de probabilidade de X.

resultado

x

a b c

0 1,5 1,5

d e

2

f

2 2

(0) ( 0)

(0) 1/ 6

f P X

f

(1,5) ( 1,5)

(1,5) 1/ 6 1/ 6 1/ 3

f P X

f

(2) ( 2)

(2) 1/ 6 1/ 6 1/ 6 1/ 2

f P X

f


a) P(X = 0)a) P(X = 0) resultado

x

a b c

0 1,5 1,5

d e

2

f

2 2b) P(0,7<X<1,7)b) P(0,7<X<1,7)

c) P(0c) P(0≤≤X<1,9)X<1,9)

d) P(X = 0 ou X = 2)d) P(X = 0 ou X = 2)

e) P(X = 3,5)e) P(X = 3,5)

f(0)=1/6 f(1,5)=1/3 f(2)=1/2

a) P(X = 0) = f(0) = 1/6a) P(X = 0) = f(0) = 1/6

b) P(0,7<X<1,7) = P(X=1,5) = 1/3b) P(0,7<X<1,7) = P(X=1,5) = 1/3

Único valor no intervaloÚnico valor no intervalo

Considerando a função de probabilidade do caso anterior, Considerando a função de probabilidade do caso anterior, determine as seguintes probabilidades:determine as seguintes probabilidades:


Considerando a função de probabilidade do caso anterior, Considerando a função de probabilidade do caso anterior, determine as seguintes probabilidades:determine as seguintes probabilidades:

a) P(X = 0)a) P(X = 0) resultado

x

a b c

0 1,5 1,5

d e

2

f

2 2b) P(0,7<X<1,7)b) P(0,7<X<1,7)

c) P(0c) P(0≤≤X<1,9)X<1,9)

d) P(X = 0 ou X = 2)d) P(X = 0 ou X = 2)

e) P(X = 3,5)e) P(X = 3,5)

f(0)=1/6 f(1,5)=1/3 f(2)=1/2

c) P(0≤X<1,9) = P(X=0)+ P(X=1,5)c) P(0≤X<1,9) = P(X=0)+ P(X=1,5) = 1/6 + 1/3 = 1/2= 1/6 + 1/3 = 1/2

d) P(X = 0 ou X = 2) = P(X=0) + P(X=2) d) P(X = 0 ou X = 2) = P(X=0) + P(X=2) = 1/6 + 1/2 = 2/3= 1/6 + 1/2 = 2/3

e) P(X=3,5)e) P(X=3,5) = 0 = 0

Se o espaço amostral contém um número infinito não-Se o espaço amostral contém um número infinito não-enumerável de pontos, enumerável de pontos, temos de trabalhar com temos de trabalhar com distribuições contínuas de probabilidadedistribuições contínuas de probabilidade

Variáveis aleatórias contínuas → Variáveis aleatórias contínuas → Distribuições Distribuições contínuascontínuas

Distribuição Contínua de ProbabilidadeDistribuição Contínua de Probabilidade

Até agora, temos lidado com distribuições discretas de Até agora, temos lidado com distribuições discretas de probabilidadeprobabilidade

Distribuições discretas Distribuições discretas → Espaço amostral com número → Espaço amostral com número finito ou infinito contável de pontosfinito ou infinito contável de pontos


Como calcular probabilidades com Distribuições para VA contínuas


0

3

6

9 P (X = 3) = ?

X = “Hora”

¼ ou 25%

Imagine um relógio que somente marque as horas abaixo:


E agora ?

P (X = 3) = ?

1/8 ou 12,5%

02

3

64

9

8

10


02

3

64

9

8

10

P (X = 3) = ?

P (X = 3) 0

Agora imagine milhões de pontos!


Refazendo a pergunta: Relógio Real

P (0 < X < 3) = ?

¼ ou 25%

P (3 < X < 9) = ?

½ ou 50%


FIZEMOS O CÁLCULO OBSERVANDO A ÁREA!

É ASSIM QUE FUNCIONA COM DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS



Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua

Se uma variável puder assumir qualquer valor num Se uma variável puder assumir qualquer valor num intervalo real, é uma variável aleatória contínuaintervalo real, é uma variável aleatória contínua

v. a. discretas v. a. discretas atribuímos uma probabilidade a um atribuímos uma probabilidade a um determinado valor da variáveldeterminado valor da variável

v. a. contínuasv. a. contínuas podem assumir infinitos valorespodem assumir infinitos valores em um em um intervalo intervalo pensamos na pensamos na probabilidade de ocorrência probabilidade de ocorrência associada a um intervaloassociada a um intervalo


NomenclaturaNomenclatura


DistribuiçõesDistribuições

dede

probabilidadesprobabilidades

distribuições discretas distribuições discretas função funçãode probabilidadede probabilidade f(x)f(x)

distribuições contínuasdistribuições contínuas funçãofunçãodensidade probabilidadedensidade probabilidade também também f(x)f(x)

A função densidade de probabilidade fornece um valor A função densidade de probabilidade fornece um valor para cada possível valor (infinito) da variável Xpara cada possível valor (infinito) da variável X

No entanto, No entanto, os valores de os valores de f(x)f(x) não representam as não representam as probabilidades associadas a xprobabilidades associadas a x

Ao invés disso, a área (isto é, a integral) sob a função de densidade de probabilidade em um determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse intervalo

Função Densidade de ProbabilidadeFunção Densidade de Probabilidade


Função Densidade de ProbabilidadeFunção Densidade de Probabilidade


É uma função que satisfaz:É uma função que satisfaz:

( ) 0f x

( ) ( )b

a

P a X b f x dx

( ) 1f x dx

a)a)

b)b)

c)c) Área sob a curva f(x) de a a b para quaisquer a e b

X

f(x)

a b

P(a < X < b)



Da definição de densidade, segue que, para uma v.a. contínua, a probabilidade de um único ponto é zero, isto é: P(X = a) = 0 para qualquer número a

X

f(x)

a b

P(a < X < b)

ExemploExemplo


1 32 1

0

0

1 33 3

cx ccx dx c

Seja X uma variável aleatória contínua com espaço = {x: 0 < x < 1}. Seja ℵf(x) = cx2 para todo x , onde c é uma constante a determinar. Qual o ∈ ℵvalor de c?

Logo c = 3 é a constante necessária para fazer de f(x) uma Logo c = 3 é a constante necessária para fazer de f(x) uma densidade em densidade em ℵℵ, isto é, para fazer com que a densidade , isto é, para fazer com que a densidade integre a um no intervalo (0,1)integre a um no intervalo (0,1)

ExemploExemplo


Faça a variável aleatória contínua X denotar a corrente em um fio delgado de cobre, medida em miliampéres. Suponha que a faixa de X seja [0, 20] e considere que a função densidade de probabilidade de X seja f(x) = 0,05 para 0 ≤ x ≤ 20. Qual é a probabilidade de que uma medida de corrente seja menor que 10 miliampéres? Qual é a probabilidade de uma medida de corrente ficar entre 5 e 15 {P(5<X<15)}?

F(x) = 0,05

0,05

0 20 x

f(x)

105 15

50,0)010.(05,0.05,0).()10(10

0

10

0

dxdxxfXP

50,0)515.(05,0.05,0).()155(15

5

15

5

dxdxxfXP

ExemploExemplo


Faça a variável aleatória contínua X denotar o diâmetro de um orifício perfurado em uma placa com um componente metálico. O diâmetro que se quer atingir, o chamado diâmetro alvo, é 12,5 milímetros. A maioria dos distúrbios aleatórios no processo resulta em diâmetro maiores. Dados históricos mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma função densidade de probabilidade f(x) = 20 e-20(x-12,5), x ≥ 12,5. Se uma peça com diâmetro maior que 12,60 milímetros for descartada, qual será a proporção de peças descartadas? A função densidade e a probabilidade requerida são mostradas na figura abaixo. Uma peça é descartada se X > 12,60.

x

f(x)

12,5 12,6

RespostaResposta


135,0.20).()60,12(6,126,12 6,12

)5,12(20)5,12(20 xx dxdxxfXP

865,0.20).()60,125,12(6,12

5,12

6,12

5,12

6,12

5,12

)5,12(20)5,12(20 xx dxdxxfXP

x

f(x)

12,5 12,6

865,0135,01)6,12(1)6,125,12( XPXP

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