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GUIA DO TUTORVolume 1

Matemática3ª série do Ensino Médio

Entre Jovens 3ª série do Ensino Médio: guia do tutor matemática.

– São Paulo: Instituto Unibanco/CAEd, 2013.

214 p.; Vol I

Coordenação do materialJuliana Irani do Amaral

Pesquisa e conteúdoCAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação da Educação

Consultoria responsávelCAEd – Centro de Políticas Públicas e Avaliação da Educação

Agradecimentos especiaisSecretaria Municipal de Educação do Rio de Janeiro, Secretarias de Estado de Educação do Rio de Janeiro, São Paulo, Espírito Santo e Minas Gerais e escolas parceiras que contribuíram para a testagem e validação da Metodologia Entre Jovens.

RealizaçãoInstituto Unibanco

PresidênciaPedro Moreira Salles

Vice-PresidênciaPedro Sampaio Malan

ConselhoAntonio MatiasCláudio de Moura CastroCláudio Luiz da Silva HaddadMarcos de Barros LisboaRicardo Paes de BarrosTomas Tomislav Antonin ZinnerThomaz Souto Corrêa NettoWanda Engel

Diretoria ExecutivaFernando Marsella Chacon RuizGabriel Amado de MouraJânio GomesJosé Castro Araujo RudgeLeila Cristiane B. B. de MeloLuis Antônio RodriguesMarcelo Luis Orticelli

Superintendência ExecutivaRicardo Henriques

Gerência de Implementação de ProjetosTiago Borba

Gerência de Desenvolvimento e ConteúdoMarta Grosbaum

Gerência de Gestão do ConhecimentoCamila Iwasaki

Gerência de Administração e FinançasFábio Santiago

Gerência de Escritório de ProjetosJosé Carlos R. de Andrade

Assessoria de Assuntos EstratégicosChristina Fontainha

Assessoria de ComunicaçãoMarina Rosenfeld

Assessoria de VoluntariadoFabiana Mussato

SUMÁRIO

Apresentação

OFICINA 1RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

OFICINA 2PROPORCIONALIDADE

OFICINA 3EQUAÇÃO DO 1º GRAU

OFICINA 4PORCENTAGEM

OFICINA 5EQUAÇÃO DO 2º GRAU

OFICINA 6PROGRESSõES ARITMéTICAS E PROGRESSõES GEOMéTRICAS

OFICINA 7MATEMáTICA FINANCEIRA

OFICINA 8SEMELHANÇA DE TRIâNGULOS E O TEOREMA DE TALES

OFICINA 9ALGUMAS CONSEQUêNCIAS DO AxIOMA DAS PARALELAS

OFICINA 10FUNÇÃO DO 1º GRAU

MATRIZ DE REFERÊNCIA DE MATEMáTICA DO SAEB PARA A 3ª SéRIE DO ENSINO MéDIO

REFERÊNCIAS BIBLIOGRáFICAS

RESPOSTAS

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35

55

73

87

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201

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APRESENTAÇÃO

Prezado tutor, é com muita honra e entusiasmo que escrevemos esse guia.

Os temas das oficinas que comporão os dois guias, certamente, não esgotam a grade curricular do Ensino Médio, da mesma forma que, cada oficina, não tem a pretensão de esgotar o tema por ela abordado.

A teoria apresentada em cada oficina serve para que você, tutor, possa revisitar o assunto em tela e, com isso, instrumentalizar-se, do ponto de vista teórico, para uma abordagem adequada do tema proposto.

Não recomendamos que você faça a exposição da teoria veiculada no Guia. Esperamos sim que, na medida da necessidade, brevemente revise com os alunos as ideias ou conceitos necessários para uma adequada abordagem das atividades propostas.

Em vários pontos do guia, interrompemos a apresentação para chamar-lhe a atenção de procedimentos a serem adotados ou de erros frequentes cometidos pelos alunos, de forma a que você dê especial atenção naquelas passagens. Essas interrupções são simbolizadas por uma imagem como a apresentada à esquerda desse parágrafo.

Utilizamos o símbolo para indicar que o exemplo ou a demonstração em apresentação finalizou-se.

Os exemplos veiculados em cada oficina são, pela ordem, os exercícios propostos aos alunos, de forma que, em cada oficina, o Exemplo 1 do Guia do Tutor, corresponderá à Atividade 1 do Guia do Aluno, o Exemplo 2, à Atividade 2, e assim, sucessivamente. Com isso, as primeiras atividades de cada oficina encontram-se resolvidas, no próprio Guia do Tutor, como sendo os exemplos resolvidos no corpo do material da oficina. Todos as atividades propostas estarão resolvidas e disponíveis na plataforma, a qual você deverá acessar com frequência.

Além das atividades propostas nos guias, você encontrará uma relação complementar de outras atividades que poderá desenvolver com os alunos. Deve-se dar ênfase e prioridade às atividades dos guias mas, havendo tempo, pode-se lançar mão das demais atividades.

A plataforma conterá recursos e conteúdos diversos. Além de textos complementares, serão disponibilizados aplicativos que facilitarão a sua compreensão, seja da teoria envolvida, seja dos exercícios propostos. Caso você atue em uma escola que ofereça, por alguns períodos, o espaço do laboratório de informática para sua atividade, apresente os aplicativos aos alunos.

Ao longo desse Guia estaremos sugerindo sua visita à plataforma para utilizar o material lá disponibilizado. Essas chamadas podem ser localizadas ao longo do texto, sempre que encontrar uma imagem como a que está à esquerda desse parágrafo.

Cada oficina deve ser conduzida de forma a que o aluno tenha uma postura participativa, sendo permanentemente desafiado, provocado por perguntas e estimulado a tentar, ele próprio, a resolver as atividades propostas. Sempre que necessário, revisite os aspectos teóricos e conceituais relacionados às ferramentas a serem empregadas na resolução de uma atividade. Estimule soluções por raciocínios diversos e, ao resolver um problema, procure apontar, sempre que possível, a diversidade de resoluções.

As dicas e sugestões presentes nesse Guia se complementam com outras que estarão disponíveis na plataforma.

Bom trabalho!

RESOLUÇÃO DE PROBLEMASOFICINA 1

Metas:– Introduzir técnicas básicas de resolução de problemas.

Objetivos:– Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de:

• identificar dados e incógnitas em um problema de matemática.

• planejar e elaborar estratégias para a resolução de problemas.

• executar estratégias.• verificar e analisar os resultados obtidos.

Pré-requisito:– Temas diversos de matemática pertinentes ao Ensino

Fundamental.

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“Compreender, planejar, executar, verificar e interpretar.” Criatividade, espírito de organização, capacidade de trabalho,

auto-confiança, paciência, persistência.

Resolver problemas é uma habilidade que pode ser desenvolvida. Esta oficina não oferece uma chave mágica que abre todas as portas e resolve todos os problemas, mas oferece algumas técnicas úteis para disciplinar postura e organização quando o desafio é a resolução de problemas. Um problema, ainda que simples, pode despertar o prazer pelo trabalho mental se desafiar a curiosidade e proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta da resolução.

Nesse sentido, os problemas podem estimular a curiosidade do aluno e levá-lo a se interessar pela Matemática, de modo que, ao tentar resolvê-los, o aluno adquire criatividade e aprimora o raciocínio, além de utilizar e ampliar o seu conhecimento matemático.

1. Definição de Problema

Um problema matemático é toda e qualquer situação onde é requerida uma descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que está tentando resolvê-lo, ou ainda, é o desenvolvimento da demonstração de um dado resultado matemático. O ponto principal é que a pessoa que vai resolver um problema terá de descrever novas estratégias, percorrer novos caminhos. Ela até pode conhecer os objetivos a serem alcançados, mas desconhece os meios para alcançar tais objetivos.

Pode-se definir assim um problema: situação em que devemos chegar a um objetivo em que não conhecemos o caminho a ser trilhado. De outra forma não seria um problema, mas sim a aplicação de conhecimentos previamente conhecidos.

Algumas características dos problemas:

• o caminho da resolução é desconhecido;

• precisam ser analisados de várias formas diferentes, ou seja, esgotar todas as suas possibilidades;

• exigem paciência, pois devemos analisar até descobrirmos padrões, regularidades que permitam traçar estratégias de resolução;

• podem conter informações ocultas, que só percebermos se analisarmos corretamente as informações dadas;

• não têm uma resposta única: podemos nos deparar com situações em que existam várias maneiras de resolver o mesmo problema, outras em que não exista uma melhor solução ou até mesmo encontrar problemas sem solução, pois resolver um problema não é a mesma coisa que identificar somente a resposta.

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2. Diferença entre problema e exercício

é muito comum a dúvida entre a diferença de problemas e exercícios. Exercícios são atividades em que aplicamos conhecimentos e/ou habilidades já conhecidos, ou seja, apenas utilizamos conhecimentos prévios para resolver situações semelhantes às que foram apresentadas anteriormente na ocasião do aprendizado. Exercícios envolvem apenas a reprodução de situações de aprendizagem já fixadas, enquanto o problema exige o desenvolvimento de novos caminhos.

Na verdade, essa diferenciação é relativa à cada pessoa. O que é um exercício para alguns, pode ser um problema para outros. Por exemplo, se estamos apresentando, pela primeira vez, equação do segundo grau a um aluno, para ele, aluno, que não sabe ainda da existência de uma fórmula resolutiva para tal equação, achar as raízes dessa equação é um problema. Depois que ele já tenha visto a fórmula resolutiva dessa equação, ao se deparar com uma outra equação do segundo grau a ser resolvida, ele estará diante de um exercício, não mais de um problema.

3. Técnicas e estratégias para a solução de problemas

O processo da tradução do problema para a linguagem matemática é apenas o começo da solução do problema, mas é nela em que se executam as ações que mais se aproximarão da solução.

Quando falamos em estratégias para resolução de problemas temos que montar um plano para encontrar uma solução e executar esse plano, com isso concluímos que a organização do processo é fundamental para a resolução.

Estas estratégias incluem planejamento e organização das diferentes técnicas já aprendidas para encontrar uma meta desejada. Para a resolução de problemas não basta que o aluno conheça uma determinada técnica ou um determinado algoritmo para aplicá-lo na tarefa, pois isso não garante que ele irá conseguir resolver o problema somente com esse conhecimento.

Segundo Polya, a solução de um problema exige uma compreensão da tarefa, concepção de um plano que nos leve a uma meta, execução desse plano e uma análise que nos leve a determinar se alcançamos nossa meta, ou seja, nosso objetivo.

Como vemos, segundo Polya, o primeiro passo é compreender o problema, ou seja, entender a situação e querer buscar uma solução que satisfaça suas condições. Devemos primeiramente compreender a linguagem, em seguida nos situar em relação aos conhecimentos prévios que possam ser aplicados no processo.

Após termos compreendido o problema, devemos traçar um plano para alcançar os resultados que satisfaçam a situação. Esses planos e metas podem ser chamados de estratégias de solução de problemas, e os procedimentos usados para a execução desses planos podem ser chamados de regras, algoritmos ou operações.

Existe uma grande variedade de estratégias disponíveis que qualquer pessoa pode utilizar na resolução de problemas, desde o método de tentativa e erro, até os métodos mais complexos e elaborados.

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Depois de ter sido traçado o plano, o terceiro passo é a execução desse mesmo plano, ou seja, desenvolver o que havia sido planejado e transformar o problema através do algoritmo que mais se adequar na situação em questão. Não é de se estranhar se nessa etapa, o problema original transformar-se em outro problema. Nesse caso, é necessário traçar um novo plano na tentativa de satisfazer o novo problema, ou seja, adequar o plano anterior para uma nova situação. Isso é mais comum do que se imagina, pois se estamos resolvendo um problema, significa que se trata de uma situação desconhecida, por isso deve ser analisada e adequada no decorrer do processo, de forma a dar continuidade na busca da solução do problema inicial.

E por último, executamos o quarto passo que é não somente chegar na solução do problema, mas também checar sua validade, ou seja, analisar a resposta obtida e verificar se ela satisfaz as condições iniciais do problema proposto. Essa verificação deve ocorrer para que se evite cometer erros de se apresentar respostas erradas como solução de um problema.

Em geral, o 4º passo tende a ser negligenciado pelo aluno. Ao perceber que “resolveu” o problema proposto, a tendência é dá-lo por encerrado e não ter o cuidado de verificar se a resposta obtida está correta e compatível com o problema. Isto é uma questão de hábito, que pode e dever ser cultivado pelos alunos, mas que só ocorrerá se você tutor der o exemplo. Sempre verifique a resposta obtida em cada atividade.

Essas fases de resolução têm sido consideradas como métodos gerais de solução de problemas, independente da área a ser considerada, e nem sempre sua aplicação garante uma resolução satisfatória, pois nem todas as pessoas conseguem realizar corretamente todas as etapas, seja por falta de conhecimentos concretos, seja por impaciência na busca de um caminho mais objetivo e, na maioria das vezes, por falta de criatividade. Mas independente do algoritmo escolhido para a resolução do problema a que se propuser resolver, com base nesses quatro passos, fica mais fácil o planejamento e a execução da estratégia de resolução.

4. A arte de resolver problemas

A seguir, apresentamos os quatro passos na resolução de um problema, apontados por Polya.

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1º. é preciso compreender o problema

O primeiro passo para resolver um problema é compreendê-lo bem. Deve-se saber exatamente o que é dado e o que é pedido.

• Leia o problema com muita atenção. Se necessário leia-o em voz alta e tente explicá-lo aos seus colegas.

• Tome nota das quantidades e das condições que são dadas – os chamados dados do problema.

• Identifique as incógnitas. Identifique as condicionantes. O que é que se pretende exatamente: calcular ou provar?

• Desenhe uma figura ou um esquema que possa lhe ajudar a organizar a informação e a visualizar o problema.

• Uma possível ajuda é reformular o problema de formas diferentes, ou pensá-lo numa situação concreta que te seja mais familiar. Tente isto!

2º. é preciso planejar uma estratégia para resolver o problema.

Agora que já compreendeu bem o problema, deve imaginar um plano para resolvê-lo. Esse é o passo mais difícil porque requer algumas capacidades que tem que aprender a desenvolver – criatividade, espírito de organização e experiência. é claro que só irá consegui-lo com esforço e trabalho. Não há outra hipótese! Mas verá que vale a pena.

• Tente pensar num problema semelhante que, eventualmente, já tenha resolvido antes.

• Tente fazer um diagrama que explique a estratégia que tenha imaginado para a resolução.

• Identifique as ferramentas necessárias para a resolução - ferramentas analíticas, geométricas, combinatórias, etc...

• Se não conseguir resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema do mesmo tipo. é possível imaginar um problema parecido mais acessível? Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um problema análogo? é possível resolver uma parte do problema?

• Fixe apenas uma parte das condicionantes, deixe outras de lado; até que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar? é possível obter dos dados alguma coisa de útil? é possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? é possível variar a incógnita ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si?

• Utilizou todos os dados? Utilizou todas as condicionantes?

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3º. Execute a estratégia que planejou. Reveja tudo, desde o início se necessário!

Agora já tem um plano para resolver o problema. Tem que o executar. Sem receios, é claro! Seja auto-confiante!

• Guarde sempre as notas do teu trabalho, já que podem ser úteis se precisar revê-lo.

• Verifique de novo cada passo da resolução e confirme se não há erros que afetem a solução final.

• Teste sempre a estratégia que imaginou no passo 2. Se encontrar erros, contradições ou falta de informação para prosseguir, é natural que tenha que repensar o teu plano. Tenha paciência, volte atrás! A paciência é também fundamental na resolução de problemas!

4º. Verifique e interprete os resultados a que chegou.

Agora já tem uma solução. Mas, estará correta? É muito importante validar os resultados obtidos.

• Confirme que os resultados que obtive fazem sentido. Verifique que, por exemplo, eles têm as unidades esperadas e têm valores numéricos que não sejam absurdos em relação ao contexto apresentado pelo problema.

• Verifique de novo os seus cálculos, ou faça-os de outra forma diferente.

• Teste a consistência dos teus resultados considerando casos particulares ou situações limites.

• Escreva a solução final de forma clara e concisa, usando uma linguagem simples sem qualquer margem para ambiguidade.

Agora vamos praticar as técnicas apontadas por Polya, resolvendo alguns problemas. é claro que nenhuma técnica de resolução de problemas, por si só, são suficientes para se resolver um problema. Há problemas de todos os níveis. Em problemas menos complicados, o emprego de técnicas de resolução de problemas podem dar bons resultados pois, a simples organização e sistematização de procedimentos podem facilitar muito no enfrentamento do problema. Entretanto, há problemas que são bastante difíceis, que exigem muita, mas muita criatividade e, nesses casos, as técnicas pouco ajudam.

Os problemas apresentados a seguir não exigem conhecimentos matemáticos preliminares além dos tratados ao longo do Ensino Fundamental. é provável que alguns alunos aleguem não terem visto ou não se lembrarem dos conhecimentos matemáticos subjacentes a cada problema tratado. Nesse caso, cabe a você tutor colaborar com os alunos, revistando brevemente os saberes matemáticos necessários. Em relação aos problemas que abordaremos, faremos uso dos seguintes saberes:

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• teorema de Pitágoras;

• equação do 1º grau;

• números inteiros;

• critérios de divisibilidade;

• áreas de triângulos e quadrados;

• sistema de equações lineares (2x2).

Inicialmente, apresente o problema ao aluno e dê-lhe um tempo para tentar resolvê-lo, orientando-o a seguir as quatro etapas apontadas por Polya. Se após algum esforço o aluno ficar inclinado a desistir, você deverá entrar em ação, elaborando perguntas e apresentando sugestões, simples, genéricas. À medida da necessidade, deve-se gradualmente descer a sugestões mais específicas. Enquanto os alunos estiverem tentando resolver o problema, não forneça a conclusão. Por fim, resolva o problema, em detalhes, comentando a postura de investigação esperada.

Conduza-o com perguntas, deixando ao aluno sempre a sensação de que ele teve efetiva participação na resolução do problema. Essa atitude de sua parte é desejável pois desenvolve a autoestima do aluno e o encoraja a continuar trabalhando e se esforçando nos problemas seguintes.

Exemplo 1: Um gato está sobre um muro de 4m de altura quando avista um rato a uma distância de 8m da base do muro. Quando o rato dirige-se a sua casa (em linha reta até o muro) é comido pelo gato, que pula diagonalmente, andando o mesmo comprimento que o rato tinha andado até então. Qual a distância que cada um percorreu?

Solução:

1ª etapa: compreensão do problema

Para entendermos um problema devemos estar em condições de identificar as partes principais do problema, ou seja, a incógnita, os dados, a condicionante. Caso haja uma figura relacionada ao problema, é importante desenhá-la e adotar uma notação adequada.

Qual é a incógnita?

A distância que cada um percorreu; denotaremos a mesma por d.

Quais são os dados?

Altura do muro: 4m.

Distância do rato à base do muro: 8m.

A trajetória percorrida pelo gato é uma linha reta diagonal.

O muro é perpendicular ao chão.

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Traçando uma figura para esquematizar o problema:

2ª etapa: estabelecimento de uma estratégia

“Consideramos que temos uma estratégia quando, ao menos em linhas gerais, sabemos quais são os cálculos, construções, etc., que devemos efetuar para encontrar a solução do problema considerado” (G. Polya, A arte de resolver problemas)

Vamos encontrar a conexão entre os dados e a incógnita do problema, reduzindo-a a figuras geométricas com propriedades conhecidas. Neste caso, visualizamos três triângulos (BGE, BGR e EGR), sendo os dois primeiros retângulos e o último isósceles.

A estratégia é resolvê-lo através do triângulo retângulo menor (BGE, retângulo em B) aplicando o Teorema de Pitágoras, pois conhecemos a distância BG = 4m e as distâncias BE e GE em função de d, isto é, BE = 8 – d e a distância GE = d.

3ª etapa: execução da estratégia.

Nessa etapa devemos observar se é possível executar a estratégia.

Observemos a figura construída novamente:

()22 2 28 16 64 16 16 16 80 5d d d d d d d= − + ⇒ = − + + ⇒ = ⇒ = m.

4ª etapa: revisão da solução.

Nessa etapa, examinamos a solução obtida.

é possível verificar o resultado?

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De fato, basta substituir d = 5 na figura acima e teremos a seguinte situação:

Desse modo, chegamos a resposta de que a distância percorrida tanto pelo gato quanto pelo rato é 5m.

é possível verificar o argumento?

O argumento utilizado foi o Teorema de Pitágoras, cujo uso era válido pelo fato do triângulo BGE ser retângulo em B.

é possível utilizar o resultado ou o método em algum outro problema?

Notamos que todo triângulo retângulo de catetos 3 e 4 possui hipotenusa 5 (o famoso triângulo retângulo 3, 4 e 5, o único de lados sendo inteiros consecutivos). O Teorema de Pitágoras é extremamente útil e empregado na resolução de muitos problemas.

é possível chegar ao resultado por um caminho diferente?

Uma ideia poderia ser olhar para o triângulo isósceles EGR e utilizar a lei dos cossenos. Parece ser um caminho interessante!

Exemplo 2: Nicolau gastou tudo o que tinha no bolso em cinco lojas. Em cada loja gastou R$ 1,00 a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quando tinha Nicolau no bolso antes das compras?

Solução:

1ª etapa: compreensão do problema.


A quantia que Nicolau tinha no bolso antes das compras; denotaremos essa quantia por x.


O número de lojas em que Nicolau fez compras: 4.

A informação de quanto gastou em cada loja: R$ 1,00 a mais do que a metade do que tinha ao entrar na loja.

2ª etapa: estabelecimento de uma estratégia.

Vamos encontrar a conexão entre os dados e a incógnita do problema:

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LojaQuantia com que

entrouQuantia que gastou Quantia com a qual saiu

1ª x1

12

x +1

12

x −

2ª1

12

x −1 1

1 12 2

x − +

1 11 1

2 2x − −

3ª1 1

1 12 2

x − −

1 1 11 1 1

2 2 2x

− − +

1 1 11 1 1

2 2 2x

− − −

4ª1 1 1

1 1 12 2 2

x − − −

1 1 1 11 1 1 1

2 2 2 2x

− − − +

1 1 1 11 1 1 1

2 2 2 2x

− − − −

Como Nicolau gastou todo seu dinheiro nessas quatro lojas, significa que ele deverá ter saído da 4ª loja sem nenhum dinheiro.


Nesta etapa devemos observar se é possível executar a estratégia.

A estratégia, nesse caso, corresponde a resolver à equação:

1 1 1 11 1 1 1 0

2 2 2 2x

− − − − =

.

Resolvendo-a:

1 1 1 11 1 1 1

2 2 2 2

1 1 11 1 1 2

2 2 2

1 1 11 1 3

2 2 2

1 1-1 -1 6

2 2

1 1-1 7

2 21

-1 1421

152

30

x

x

x

x

x

x

x

x

− − − =

− − − =

− − =

= =

=

=

=

Portanto Nicolau tinha no bolso R$ 30,00 antes das compras.

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Nesta etapa, examinamos a solução obtida.


Sim, refaremos a tabela anterior com x = 30:

Loja Quantia com que entrou Quantia que gastou Quantia com a qual saiu

1ª 30 16 14

2ª 14 8 6

3ª 6 4 2

4ª 2 2 0

é possível chegar ao resultado por um caminho diferente?

Talvez pensando de trás para frente: ao se gastar R$ 1,00 mais a metade do que se tem e ficar sem dinheiro algum, qual a quantia que se teria?

Exemplo 3: Um número palíndromo é aquele que é “o mesmo” lido da esquerda para a direita e vice-versa. Exemplos: 343; 1.001; 245.542, etc.

Um motorista dirige em uma rodovia cuja velocidade máxima permitida é de 100 km/h. Esse motorista obedece a esse limite e viaja a uma velocidade constante. Então observa que o marcador de quilometragem indica 15.951 km, e diz pra si mesmo:

“Um palíndromo – e isso aconteceu há um bom tempo”.

Mas exatamente duas horas depois o marcador apresenta um novo número palíndromo. A que velocidade viaja o motorista?

Solução:



A velocidade na qual o motorista viajava duas horas após o marcador de quilometragem do carro indicar 15.951 km. Indicaremos essa velocidade por v.


A quilometragem do carro duas horas antes do último palíndromo: 15.951 km.

A velocidade máxima da rodovia: 100 km/h.

A informação de que o motorista respeitava o limite de velocidade da rodovia e que viaja à uma velocidade constante.

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Como o motorista respeita a limite de velocidade da rodovia, isso significa que, em 2 horas, é possível ele ter percorrido, no máximo, 200 km.

Com isso, duas horas após o marcador do carro ter acusado 15.951 km, esse marcador poderá estar marcando, no máximo 16.151 km. Se descobrirmos qual o palíndromo existente entre os números 15.951 e 16.151, digamos x, será possível descobrirmos qual a distância s que esse carro deslocou, em quilômetros, nessas 2 horas, calculando 15.951s x= − . Com isso será

possível descobrir a velocidade do carro, fazendo 2

s sv

t= = .



A estratégia, nesse caso, corresponde, inicialmente, a achar o palíndromo existente entre os números 15.951 e 16.151. Note que, para o palíndromo procurado, o algarismo das unidades deve permanecer sendo 1, pois se for 2, por exemplo, a dezena de milhar deveria ser também 2, o que faria como que esse motorista tivesse que ter deslocado mais de 4.000 km em duas horas, o que não é possível já que ele respeita o limite de velocidade da rodovia (na verdade nem sequer existe um carro capaz de se deslocar tão rápido) e, além disso, se ultrapassaria a marca de 16.151 km. Com isso sabe-se que o deslocamento s teria sido _0 km ou 1_0 km. Ao testarmos todas as dezenas da forma _0, concluiremos que nenhuma delas servirá. Logo só restará analisarmos as centenas da forma 1_0: começando pela centena 100, veremos que essa não servirá. Tentando agora a centena da forma 110, teremos 15.951 + 110 = 16.061, que é um palíndromo. Ao testarmos 120, 130, ..., 190, observaremos que nenhum deles servirá. Com isso, o único palíndromo entre 15.951 e 16.151 é 16.061.

Com isso, a distância percorrida entre 15.951 e 16.061 é 16.061 15.951 110d = − = km e,

portanto, a velocidade que o motorista viaja é 110

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v = = km/h.




Sim, pois viajando a uma velocidade de 55 km/h, que está dentro do limite de velocidade estabelecido para a rodovia, em duas horas se percorre 2 55 110× = km e, portanto, o marcador do carro se altera de 15.951 km para 15.951 110 16.061+ = km, que é outro palíndromo.

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Exemplo 4: Entre os papéis do vovô foi encontrado um recibo:

72 frangos = $ _67,9_

O primeiro e o último algarismos do número, que evidentemente representava o preço total das aves, aparecem aqui substituídos por espaços em branco porque se apagaram e estão ilegíveis. Quais serão os algarismos apagados e qual era o preço de um frango?

Solução:



O primeiro e o último algarismos do valor $ _67,9_, que corresponde ao preço de 72 frangos.


O número de frangos que corresponde ao valor $ _67,9_: 72 frangos.



Se 72 frangos custam $ _67,9_, é porque o número _679_ é divisível por 72. Como 72 se fatora como 8 9× , segue que o número _679_ tem que ser divisível tanto por 8 quanto por 9. O critério de divisibilidade por 8 é ter os três últimos algarismos formando um múltiplo de 8 e o critério de divisibilidade por 9 é ter a soma de seus algarismos igual a um múltiplo de 9. Aplicando esses critérios de divisibilidade deve se obter os algarismos apagados. Em seguida, conhecendo-se o número que equivale ao preço das 72 aves, bastará dividi-lo por 72 para se obter o preço de uma ave.



Se 72 frangos custam $ _67,9_, é porque o número _679_ é divisível por 72 que e, como este se fatora como 8 9× , segue que o número _679_ é divisível tanto por 8 quanto por 9. Para que o número _679_ seja divisível por 8, é necessário que sua centena, 79_, seja divisível por 8. Assim essa centena deve ser 792 (já que 800 é divisível por 8, o múltiplo de 8 que o antecede é 792). Logo, o último algarismo apagado do número _67,9_ é 2. Agora, se _6792 é divisível por 9, a soma de seus algarismos deve ser divisível por 9 e, portanto, representando por x o primeiro algarismo apagado do número _6792 , tem-se

6 7 9 2 24x x+ + + + = + ,

donde, para que resulte num múltiplo de 9, deve-se ter x = 3.

Assim, o primeiro algarismo apagado do número _67,9_ deve ser 3.

Portanto, o número que corresponde ao preço das 72 aves é $ 367,92 e, com isso, o preço de um frango é $ 367,92 72 $ 5,11÷ = .

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Sim, se um frango custa $ 5,11, então 72 frangos custarão $ 367,92 ( )72 5,11= × . Nesse valor

total, se apagarmos o primeiro e o último algarismo chegaremos a $ _67,9_ , que confere portanto com as condições do problema.

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Resolva as atividades propostas abaixo.

Atividade 1: Um gato está sobre um muro de 4m de altura quando avista um rato a uma distância de 8m da base do muro. Quando o rato dirige-se a sua casa (em linha reta até o muro) é comido pelo gato, que pula diagonalmente, andando o mesmo comprimento que o rato tinha andado até então. Qual a distância que cada um percorreu?

Atividade 2: Nicolau gastou tudo o que tinha no bolso em cinco lojas. Em cada loja gastou R$ 1,00 a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quando tinha Nicolau no bolso antes das compras?

Atividade 3: Um número palíndromo é aquele que é “o mesmo” lido da esquerda para a direita e vice-versa. Exemplos: 343; 1.001; 245.542, etc.

Um motorista dirige em uma rodovia cuja velocidade máxima permitida é de 100 km/h. O motorista obedece a esse limite e viaja a uma velocidade constante. Então observa que o marcador de quilometragem indica 15.951 km, e diz pra si mesmo:

“Um palíndromo – e isso aconteceu há um bom tempo”.

Mas exatamente duas horas depois o marcador apresenta um novo número palíndromo. A que velocidade viaja o motorista?

Atividade 4: Entre os papéis do vovô foi encontrado um recibo:

72 frangos = $ _67,9_

O primeiro e o último algarismos do número, que evidentemente representava o preço total das aves, aparecem aqui substituídos por espaços em branco porque se apagaram e estão ilegíveis. Quais serão os algarismos apagados e qual era o preço de um frango?

Atividade 5: Para numerar as páginas de um grosso volume de um livro, o tipógrafo utilizou 2.989 algarismos, começando a numerar a 1ª página pelo número 1. Quantas páginas tem esse livro?

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Atividade 6: André irá decorar azulejos quadrados, de 8 cm de lado, pintando uma figura geométrica decorativa, conforme ilustrado na figura abaixo.

A quantidade de tinta que ele dispõe é suficiente para pintar somente 0,5 m² de superfície. Quantos azulejos André conseguirá pintar completamente?

Atividade 7: Um velho e justo mercador de Bagdá deixa seus bens para serem divididos igualmente entre seus três filhos. Entre os bens existiam 21 vasilhames: 7 cheios de mel; 7 com mel pela metade e 7 vasilhames vazios. Como fazer a divisão equitativa, de forma que cada um dos filhos receba o mesmo número de vasilhames e a mesma quantidade de mel, sem que haja nenhuma transposição de qualquer quantidade de mel de um vasilhame para outro?

Atividade 8: Em ambas margens de um rio existem dois mastros, um em frente ao outro. A altura de um é 9 metros e a do outro é de 4 metros. A distância entre eles é de 25 metros. Sobre cada mastro está um pássaro. Subitamente, os dois pássaros descobrem um peixe que aparece na superfície da água, no alinhamento dos dois mastros. Os pássaros, que voam a uma mesma velocidade, lançam-se sobre o peixe e alcançam-no ao mesmo tempo. A que distância do mastro maior apareceu o peixe?

Atividade 9: Um cavalo e uma mula caminhavam juntos levando no lombo sacos pesados. Lamentava-se o cavalo de sua pesada carga quando a mula lhe disse: “De que se queixa? Se eu levasse um dos seus sacos, minha carga seria o dobro da sua. E se eu lhe desse um saco, sua carga seria igual à minha”. Quantos sacos levava o cavalo e quantos levava a mula?

Atividade 10: O professor de matemática resolveu dividir os alunos de sua turma em grupos. Ao dividi-los em grupos de 6, sobraram 4 alunos. Ao dividi-los em grupos de 9, também sobraram 4 alunos. Qual é o menor número possível de alunos desta turma?

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Anotações

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OFICINA 2

PROPORCIONALIDADEOFICINA 2

Meta:– Apresentar as noções de:

• grandezas proporcionais.• grandezas inversamente proporcionais.


• reconhecer grandezas direta e inversamente proporcionais.

• resolver problemas envolvendo grandezas proporcionais, direta ou inversamente.

• resolver problemas onde uma grandeza é proporcional a várias grandezas.

Pré-requisito:– Operações com números inteiros e frações.

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Esse é um tema básico e importante. Tem sido solicitado em concursos diversos, em vestibulares e também no ENEM. Em geral o aluno sabe lidar razoavelmente quando se depara com duas grandezas proporcionais mas não é capaz de tratar situações de proporcionalidade que envolvam mais de duas grandezas relacionadas e, muito menos tratar das aplicações onde há duas grandezas inversamente proporcionais. O objetivo dessa oficina é revistar esses temas e habilitar os alunos a utilizarem essas ferramentas na resolução de problemas.

1. Grandezas Proporcionais

Considere a seguinte situação: uma empresa de engenharia consegue asfaltar 60 km de estrada em 20 dias. Deseja-se saber quantos dias seriam necessários para que essa mesma empresa asfalte uma estrada de 84km. As duas grandezas envolvidas, quilômetros de estrada asfaltada e o número de dias necessários para realizar o asfaltamento são tais que: se uma delas aumenta, a outra também aumenta, ou seja, quando aumentamos o número de quilômetros a ser asfaltado, o tempo necessário para realizar esse asfaltamento também aumenta.

Note, por exemplo, que se duplicássemos o número de quilômetros, o tempo gasto para realizar o asfaltamento seria também duplicado. Se triplicássemos o número de quilômetros o tempo para realizar o asfaltamento deveria também ser triplicado. Na tabela abaixo registramos a situação para algumas quilometragens. Note que na última coluna dessa tabela encontra-se registrado o quociente dos valores das duas grandezas em cada caso.

Quilometragem q da estrada

Nº d de dias necessários para realizar o asfaltamento

Quociente q/d

60 20 3

120 40 3

180 60 3

30 10 3

12 4 3

1 1/3 3

Nessa situação, as grandezas q e d são tais que o valor de uma aumenta quando a outra também aumenta e, além disso, o quociente entre elas é constante.

Quando duas grandezas apresentam características como as exemplificada acima, diremos que as duas grandezas são proporcionais (ou diretamente proporcionais). Tecnicamente duas grandezas x e y são proporcionais quando existe uma constante k (fator de proporcionalidade)

tal que y k x= × ou, equivalentemente, y

kx= .

Exemplo 1: Uma empresa de engenharia consegue asfaltar 60 km de estrada em 20 dias. Quantos dias seriam necessários para a mesma empresa asfaltar uma estrada de 84km?

Solução:

Há dois métodos que são geralmente empregados para resolver esse tipo de problema.

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1º método (método de redução à unidade):

Inicialmente se calcula quantos dias serão necessários para asfaltar uma estrada de 1 km. Como 60 km requerem 20 dias, 1km irá requerer 20 60 dias. Então 84km irão requerer 84 20 60 28× = dias.

Através de um esquema poder-se-ia proceder da seguinte maneira:

2º método (proporção):

Seja x o número de dias que se deseja descobrir. Então 60km estão para 84km, assim como 20 dias estão para x dias. Ou seja:

60 2084 x

=

Logo 84 20

2860

x×

= = .

Note que, na resolução desse problema, as duas grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, pois o número de dias necessários para asfaltar uma estrada é proporcional ao comprimento da estrada. Cada 1km asfaltado demanda 20 60 1 3= de um dia. O valor 1/3 é a constante de proporcionalidade entre essas duas grandezas.

Pode ser útil montar o seguinte esquema no 2º método de resolução:

As setas têm o seguinte significado: à medida que se aumenta o número de quilômetros de estrada a ser asfaltado(passa de 60km para 84km), o número de dias necessários para executar esse asfaltamento também tem que aumentar (passa de 20 dias para x dias). Por isso, as duas setas estão indicando a mesma direção. Portanto, sem resolver o problema, já se sabe que o valor a ser obtido para x deverá ser maior que 20.

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Procure apresentar ao aluno, sempre que possível, as diversas possibilidades de tratamento para um mesmo problema. é importante que ele seja exposto a diferentes métodos de solução. Faça uma discussão sobre as vantagens e desvantagens de cada um dos métodos empregados na resolução do exemplo em tela.

O problema a seguir ilustra uma situação muito comum, encontrada nos supermercados: um produto de uma determinada marca, oferecido em embalagens diferentes, com preços diferentes. é importante, nesses casos, que o consumidor saiba decidir qual das opções é economicamente a mais vantajosa.

Exemplo 2: Uma lata de leite em pó, pesando 400g, custa R$ 5,20. O mesmo leite, na embalagem de 900g, custa R$ 11,20. Qual das duas opções é economicamente mais vantajosa?

Solução:

Há dois métodos que são geralmente empregados para resolver esse tipo de problema.

1º método: Nesse tipo de problema, para se comparar qual a embalagem economicamente mais vantajosa, o ideal é descobrir por quanto está saindo o preço de uma mesma quantidade do produto em cada uma das duas embalagens para,em seguida, comparar os preços dessa mesma quantidade. Obviamente, deve-se escolher uma quantidade para comparação que facilite as contas. No exemplo em tela, 100g parece ser uma boa escolha pois 100g é 1/4 de 400g e 1/9 de 900g. Designando por x o preço de 100g de leite em pó na embalagem de 400g e por y o preço de 100g de leite em pó na embalagem de 900g, tem-se:

Inicialmente perceba que as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais. Dos esquemas acima seguem as proporções:

400 5,20 5,204 5,20 1,30

100 4900 11,20 11,20

9 11,20 1,24100 9

x x xx

y y yy

= ⇔ = ⇔ = ⇔ =

= ⇔ = ⇔ = ⇔ ≅

Comparando então o preço de 100g de leite em pó em cada uma das embalagens, percebe-se que a embalagem com 900g do produto é economicamente mais vantajosa, já que y x< .

Chamamos a atenção para o fato de que não é necessário montar o esquema e as proporções para se resolver este tipo de problema. O procedimento pode ser mais direto, simplesmente raciocinando da seguinte maneira:

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Na embalagem de 400g, cada 100g de leite em pó custam $5,20 4 $1,30R R÷ = . Já na embalagem de 900g, cada 100g custam $11,20 9 $1,24R R÷ ≅ . Logo a segunda embalagem é economicamente mais vantajosa.

é importante explorar com o aluno as diversas formas de resolver um mesmo problema. Comente com eles as vantagens e desvantagens de cada forma de solução.

2º método: Outra opção é comparar quanto custaria, por exemplo, 400g de leite em pó na embalagem de 900g. Nesse caso, designando por z o preço de 400g de leite em pó na embalagem de 900g, tem-se:

donde segue a proporção:

900 11,20 44,809 4 11,20 4,98

400 9z z

z= ⇔ = × ⇔ = ≅

Logo, 400g de leite em pó, na embalagem de 900g, saem a R$ 4,98 enquanto que, na embalagem de 400g, saem a R$ 5,20. Com isso, é mais vantajoso economicamente comprar esse leite em pó na embalagem de 900g.

Consideraremos agora um problema no qual uma grandeza é proporcional a várias outras. Em geral, os alunos têm dificuldades em trabalhar com esse tipo de problema.

Exemplo 3: Trabalhando 8 horas por dia, 3 trabalhadores constroem um muro de 40 m de comprimento em 12 dias. Se o número de horas de trabalho diário for reduzido para 6 e o número de trabalhadores aumentado para 5, qual o comprimento de um muro de mesma altura que eles construirão em 15 dias?

Solução:

Nesse problema há 4 grandezas envolvidas: horas trabalhadas por dia (H), número de trabalhadores (T), comprimento de muro (L) e número de dias (D). O que se quer conhecer é o comprimento do muro (L) quando H = 6, T = 5 e D = 15. Pelas informações do enunciado, sabe-se que L = 40 quando H = 8, T = 3 e D = 12.

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Inicialmente note que a grandeza L depende das grandezas H, T e D e, além disso, L é proporcional a cada uma das três grandezas H, T e D, ou seja, mantidas as grandezas H e T constantes, a grandeza L e D são proporcionais pois, aumentando o comprimento do muro a ser construído, o nº de dias aumenta na mesma proporção, isto é, duplicando o comprimento do muro, teremos que duplicar o nº de dias para construí-lo e vice versa. A mesma análise pode ser feita entre L e H, mantidas as grandezas T e D constantes, e ainda, entre L e T, mantidas H e D constantes. Assim, a grandeza L é proporcional a cada uma das três grandezas envolvidas. Dessa forma temos:

Como a grandeza L é proporcional a cada uma das outras três grandezas, a idéia é, passo a passo, transformarmos a relação fornecida entre as quatro grandezas na nova relação desejada, executando em cada passo, uma única proporção entre L e cada uma da três grandezas, mantendo sempre as outras duas fixas.

Logo, se o número de horas de trabalho diário for reduzido para 6 e o número de trabalhadores aumentado para 5, eles construirão em 15 dias um muro de comprimento igual a 62,5 m.

Então, não é fácil? Não há segredo na resolução desse tipo de problema. Na prática trabalhamos sempre com duas grandezas de cada vez. Realizando assim várias (nesse exemplo três) regras de três simples. é esse tipo de problema que alguns autores chamam de regra de três composta.

Existe um procedimento mais direto para esse tipo de problema. A idéia é que se uma grandeza w é proporcional às grandezas x, y e z, então a grandeza w é proporcional ao produto delas, ou seja, proporcional a xyz, o que significa existir uma constante k tal que ()w k xyz= × .

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Aplicando esse fato ao exemplo anterior temos que, como a grandeza L é proporcional às grandezas H, D e T, segue que L é proporcional à HDT, o que significa existir uma constante k tal que L = k x HDT. Como é sabido que L = 40 quando H = 8, T = 3 e D = 12, podemos obter o valor de k substituindo esses valore na relação L k HDT= × :

40 540 8 12 3

288 36k k= × × × ⇒ = = .

Agora, para H = 6, T = 5 e D = 15 temos: 5

6 15 5 62,536

L = × × × = . Com isso, o muro terá comprimento 62,5m.

2. Grandezas inversamente proporcionais

Considere agora um tanque a ser enchido e que se possa enchê-lo utilizando-se uma, duas ou várias torneiras, todas de mesma vazão. Dependendo do número de torneiras utilizadas, o tempo para encher o tanque varia. é importante observar que essa situação se diferencia dos anteriores pois, nesse caso, as duas grandezas envolvidas, número de torneiras e tempos para encher o tanque, são tais que, quando uma delas aumenta, a outra diminui, ou seja, quando aumentamos os número de torneiras, o tempo necessários para se encher o tanque diminui. Note, por exemplo, que se uma torneira sozinha gastasse 6 horas para encher o tanque, duas torneiras juntas levariam a metade desse tempo, ou seja, 3 horas, e ainda, três torneiras juntas levariam um terço desse tempo, ou seja, 2 horas. Na tabela abaixo registramos a situação para o número de torneiras variando de 1 a 6. Note que na última coluna dessa tabela encontra-se registrado o produto dos valores das duas grandezas em cada caso.

Nº n de torneirasTempo t necessário para encher o

tanque (em horas)Produto n x t

1 6 6

2 3 6

3 2 6

4 1,5 6

5 1,2 6

6 1 6

Nessa situação, as grandezas n e t são tais que o valor de uma aumenta quando a outra diminui e, além disso, o produto entre elas é constante.

Quando duas grandezas apresentam características como as exemplificada acima, diremos que as duas grandezas são inversamente proporcionais. Tecnicamente duas grandezas x e y são inversamente proporcionais quando existe uma constante k (fator de proporcionalidade) tal

que k

yx

= ou, equivalentemente, x y k× = .

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Exemplo 4: Se 5 torneiras (com mesma vazão) enchem um tanque em 2 horas (estando o tanque inicialmente vazio), quanto tempo demorará para encher esse tanque (estando inicialmente vazio) quando somente 3 dessas 4 torneiras estiverem abertas?

Solução:

Nesse problema temos duas grandezas que são o número n de torneiras e o tempo t necessário para encher o tanque. Note que, pelo exposto acima, o tempo necessário para encher o tanque é inversamente proporcional ao número de torneiras.

Consideraremos dois métodos que sintetizam procedimentos possíveis para resolver esse problema.

1º método (método de redução à unidade):

Pode-se montar o seguinte esquema:

Logo, 4 torneiras levarão 2,5 horas ou, equivalentemente, 2 horas e 30 minutos para encher esse tanque (já que 0,5 horas corresponde a meia hora que, em minutos, equivale a 30 minutos).

Note que, ao diminuirmos o número de torneiras, dividindo-o por 5, o tempo é multiplicado por 5, ao passo que, ao aumentarmos o número de torneiras, multiplicando-o por 4, o tempo é dividido por 4.

2º método (proporção):

Seja x o tempo necessário para que 4 torneiras encham o tanque. Pode-se montar o seguinte esquema:

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As setas têm o seguinte significado: à medida que se diminui o número de torneiras (passa de 5 para 4), o tempo necessário para encher o tanque aumenta (passa de 2 horas para x horas). Por isso as duas setas estão indicando direções contrárias. Portanto, sem resolver o problema, já se sabe que o valor a ser obtido para x deverá ser maior que 2 horas.

O importante agora é a montagem da proporção, que deve ser feita de forma inversa, ou seja,

54 2

x= .

Logo, 2 5

2,54

x×

= = horas, isto é, 2 horas e 30 minutos (que é um valor superior a 2 horas,

conforme era esperado).

Chame a atenção dos alunos para um erro que é muito comum ser cometido na resolução de problemas que envolvem grandezas inversamente proporcionais. Em geral, os alunos montam a

proporção como sendo 54 2

x= , e resolvem-na, achando horas ou,

equivalentemente, 1 hora e 36 minutos (já que 0,6 horas são 6 décimos de 1 hora e, cada décimo de hora possui 6 minutos). Note que esse procedimento equivale a considerar que as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais, que não é o caso. Daí a importância de se analisar previamente se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais antes de se montar a proporção. Isso faz toda a diferença na resolução do problema.

Exemplo 5: Um fazendeiro possui ração suficiente para alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias, ele vende 4 vacas. Passados mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Quantos dias, no total, durou sua reserva de ração?

Solução:

Inicialmente, deve-se observar que o número de dias que dura a ração é inversamente proporcional ao número de vacas a serem alimentadas: quanto mais vacas, menos dias dura a ração e ainda, se o número de vacas duplica, o tempo de duração da ração é reduzido à metade; se triplica, o tempo de duração da ração é reduzido a um terço, e assim sucessivamente. Com isso, passados os primeiros 14 dias, o fazendeiro ainda tinha ração para alimentar 16 vacas por 48 (= 62 – 14) dias. Nesse momento, tendo vendido 4 vacas, precisa-se saber quantos dias ainda durará o estoque de ração, agora para alimentar 12 (= 16 – 4) vacas. Sendo essas duas

grandezas inversamente proporcionais, como 12

12 1616

= × , tem-se que 12 16

48 48 6416 12

÷ = × = .

Com isso, depois da venda das 4 vacas, o fazendeiro tem ração suficiente para alimentar suas 12 vacas por 64 dias. Passados os próximos 15 dias, há ração para alimentar 12 vacas por 49 (= 64 – 15) dias. Nesse instante, tendo o fazendeiro comprado mais 9 vacas, precisa-se saber quantos dias ainda durará o estoque de ração, agora para alimentar 21 (= 12 + 9) vacas.

Como 21

21 1212

= × , tem-se que 21 12

49 49 2812 21

÷ = × = . Com isso, depois da compra das 9

vacas, o fazendeiro tem ração suficiente para alimentar suas 21 vacas por mais 28 dias.

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Com isso a ração terá durado 14 + 15 + 28 = 57 dias.

Veja em seguida um esquema que pode ser montado e que sintetiza todo o raciocínio aqui desenvolvido.

Faremos agora o exemplo clássico das torneira que enchem um tanque. Vale comentar que, em geral, chega-se a aplicar fórmula para a resolução desse problema. De fato é possível deduzir uma fórmula que se aplica no caso geral. Entretanto, entendemos que a fórmula é dispensável, pois a aluno tende a decorá-la (e depois certamente a esquece) e não reproduz o raciocínio de proporcionalidade envolvido no problema, perdendo assim a oportunidade de compreender claramente como as grandezas se relacionam. Na verdade, o problema é bastante simples. Confira!

Exemplo 6: Uma torneira A enche um tanque em 5 horas. Uma torneira B enche esse mesmo tanque em 15 horas. As duas torneiras juntas encherão esse tanque em quantas horas?

Solução:

Vamos designar por V o volume desse tanque. As grandezas tempo e volume são proporcionais pois quanto maior o tempo, maior o volume despejado pela torneira e, se uma torneira despeja, por exemplo, 5 litros em 1 hora, despejará 10 litros em duas horas, 2,5 litros em meia hora e assim sucessivamente. Com isso, podemos montar os seguintes esquemas:

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Assim, a torneira A despeja 5V

litros de água por hora no tanque e a torneira B despeja 15V

litros de água por hora nesse tanque. Portanto, as duas torneiras juntas despejarão, por hora,

15 5 205 15 5 15 75V V V V V++ = =

× litros de água.

Pensemos agora as duas torneiras juntas como sendo uma única torneira C. Sobre a torneira C já

sabemos que ela despeja 2075

V litros de água por hora. A pergunta então é: em quanto tempo

a torneira C despejará V litros d’água? Essa pergunta é facilmente respondida ao fazermos:

Logo a torneira C, ou seja, as torneiras A e B juntas, enchem esse tanque em 7520

horas, isto é, em 3,75 horas ou, ainda, em 3 horas e 45 min.

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Atividade 1: Uma empresa de engenharia consegue asfaltar 60 km de estrada em 20 dias. Quantos dias seriam necessários para a mesma empresa asfaltar uma estrada de 84km?

Atividade 2: Uma lata de leite em pó, pesando 400g, custa R$ 5,20. O mesmo leite, na embalagem de 900g, custa R$ 11,20. Qual das duas opções é economicamente mais vantajosa?

Atividade 3: Trabalhando 8 horas por dia, 3 trabalhadores constroem um muro de 40 m de altura em 12 dias. Se o número de horas de trabalho diário for reduzido para 6 e o número de trabalhadores aumentado para 5, qual o comprimento de um muro de mesma altura que eles construirão em 15 dias?

Atividade 4: Se 5 torneiras (com mesma vazão) enchem um tanque em 2 horas (estando o tanque inicialmente vazio), quanto tempo demorará para encher esse tanque (estando inicialmente vazio) quando somente 3 dessas 5 torneiras estiverem abertas?

Atividade 5: Um fazendeiro possui ração suficiente para alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias, ele vende 4 vacas. Passados mais 15 dias, ele compra 9 vacas. Quantos dias, no total, durou sua reserva de ração?

Atividade 6: Uma torneira A enche um tanque em 5 horas. Uma torneira B enche esse mesmo tanque em 15 horas. As duas torneiras juntas encherão esse tanque em quantas horas?

Atividade 7: Um barco com 7 pessoas, à deriva no mar, tem suprimento de água suficiente para 28 dias. Após 4 dias, o barco recolhe mais 1 náufrago. Se o consumo diário de água por pessoa se mantiver o mesmo, em quantos dias mais durará a reserva de água?

Atividade 8: Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e, nos primeiros 10 dias, trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo e todos passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, qual a quantidade de alimentos arrecadados ao final dos 30 dias de campanha?

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Atividade 9: Uma caixa d’água de 1000 litros tem um furo no fundo, por onde escoa água a uma vazão constante. Às 6h da manhã de certo dia ela foi cheia e, ao meio dia desse mesmo dia, só tinha 850 litros. Quando o volume d’água restante na caixa alcançará a metade da capacidade da caixa?

Atividade 10: Uma caravana com 7 pessoas deve atravessar o Sahara em 42 dias. Seu suprimento de água permite que cada pessoa disponha de 3,5 litros por dia. Após 12 dias, a caravana encontra 3 beduínos sedentos, vítimas de uma tempestade de areia, e os acolhe. Pergunta-se:

a) Quantos litros de água por dia caberão a cada pessoa se a caravana prosseguir sua rota como planejado?

b) Se os membros da caravana (beduínos inclusive) continuarem consumindo água como antes, em quantos dias, no máximo, será necessário encontrar um oásis?

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Anotações

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OFICINA 3

EQUAÇÃO DO 1º GRAUOFICINA 3

Meta:– Apresentar equação do 1º grau como ferramenta de resolução

de problemas.


• resolver equações do 1º grau.• resolver problemas que envolvam equações do 1º grau.

Pré-requisito:– Operações entre números inteiros e racionais.

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Esse é um tema importante pois vários problemas, quando modelados matematicamente, recaem em equações e, sendo a equação do 1º grau o modelo mais simples de equação, torna possível ao aluno se familiarizar com os procedimentos de modelagem em um nível mais elementar para, mais adiante, se deparar com situações de modelagem matemática mais complexas. Os temas aqui trabalhados guardam profunda relação com o que será visto na 9ª Oficina, mas será útil ao longo de outras oficinas.

1. Identidade e equação

é importante, inicialmente, compreender a diferença entre equação e identidade. Essa diferenciação é adequada ser apontada a priori, pois esclarecerá, mais a frente, as situações “estranhas” que surgirão ao se resolver algumas equações.

Dada uma expressão onde figura apenas uma letra, digamos x, à qual nos referiremos como expressão em x, o conjunto dos números reais x para os quais se podem efetuar as operações indicadas na expressão é chamado de domínio da expressão. Veja os dois casos abaixo.

a) O domínio da expressão 2

3x − é o conjunto dos x reais diferentes de 3,

pois nessa expressão podemos atribuir a x todos os valores reais, exceto o valor 3 já que, nesse caso, o denominador se anularia e estaríamos diante de uma divisão por zero, o que não existe.

b) O domínio da expressão 3 2x + é o conjunto IR dos números reais, pois podemos atribuir a x qualquer valor real que a expressão em tela sempre fornecerá, por resultado, um número real.

Dada uma igualdade onde em cada membro se tem uma expressão em x, consideremos o conjunto dos números reais x que são comuns aos domínios dessas expressões, ou seja, o conjunto dos números reais x para os quais são possíveis de serem realizadas as operações indicadas por ambas as expressões. Indiquemos tal conjunto por D. Veja os dois casos abaixo.

a) No caso da igualdade 3 1 4x x+ = − , as operações indicadas por ambas as expressões 3 1x + e 4x − podem ser efetuadas para qualquer x real, logo D = IR. O mesmo sucede com a igualdade ()2 22 4 4x x x+ = + + .

b) Na igualdade 2 3

2 3 2x x=

+ −, o conjunto D é a coleção dos números reais

diferentes de 2− e 2 3 , pois tais números anulam respectivamente os denominadores do primeiro e segundo membros. No caso da igualdade

1 2 32 2 2x x x+ =

− − −, o conjunto D é a coleção dos números reais

diferentes de 2.

Se a igualdade se verifica para todo x de D, tem-se uma identidade (em D). Caso contrário, tem-se uma equação. Neste último caso, resolver a equação significa achar os valores x de D que a verificam, o conjunto desses valores será chamado de conjunto-solução da equação (eventualmente tal conjunto pode não conter nenhum elemento, que é o caso de não haver solução para a equação).

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2. Equação do 1º grau

Exemplo 1: Num país chamado Aposentadolândia, um trabalhador tem direito à aposentadoria quando a soma do número de anos trabalhados com a idade do trabalhador é igual a 100. Com que idade poderia aposentar-se uma pessoa que tenha trabalhado ininterruptamente a partir dos 22 anos?

Solução:

Seja x a idade mínima para aposentadoria dessa pessoa. O número de anos trabalhados foi ()22x − . Tem-se que ()22 100x x− + = , ou seja, 2 22 100x − = . Essa expressão tem por domínio o conjunto dos números reais. Tal expressão é uma equação. Para resolvê-la, somamos 22 a ambos os membros, obtendo 2 22 22 100 22x − + = + , ou seja, 2 122x = . Finalmente,

dividindo ambos os membros dessa última equação por 2 obtém-se 2 1222 2x= , donde 61x = .

Logo, pelas regras do país, essa poderá se aposentar aos 61 anos.

A equação que surgiu na resolução desse problema, 2 22 100x − = , é uma típica equação do 1º grau.

Uma equação do 1º grau é uma equação redutível (que pode ser reescrita e transformada em) à forma 0ax b+ = , na qual a e b são constantes, 0a ≠ e x é a incógnita da equação.

Note que o domínio da expressão 0ax b+ = , com a e b constantes e 0a ≠ , é o conjunto dos números reais.

Sua resolução é feita da seguinte forma:

0

0 [subtrai-se de ambos os membros para cancelar com o b]

[divide-se ambos os membros por para isolar a incógnita x]

ax b

ax b b b b

ax b

ax ba

a ab

xa

+ =+ − = −= −−

=

= −

Logo, a expressão 0ax b+ = é uma equação e o seu conjunto solução é o conjunto unitário b

Sa

= −

.

Uma atitude que se deve evitar ao se resolver equações é a mecanização excessiva dos procedimentos, criando-se “regras” (algoritmos sem significado), que levam invariavelmente o aluno a não saber o que está realmente fazendo e que, certamente, não trazem significado à sua aprendizagem. Além disso, essas “regras” são facilmente confundidas pelo aluno.

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é muito comum o aluno decorar regras do tipo “passa para lá com o sinal trocado” ou “passa para lá dividindo” e depois não sabe quando se aplica uma ou outra regra.

Por exemplo, na resolução da equação 2 4 10x − = é comum o aluno utilizar as “regras” acima da seguinte forma:

2 4 10

2 10 4 [“ 4 ”]

14 [“ 2 ”]

27

x

x passa o para lá com o sinal trocado

x passa o para lá dividindo

x

− == +

=

=o que conduz, nesse caso, à resposta correta, ou seja, o conjunto solução dessa equação é {}7S = .

Entretanto, não é incomum o aluno aplicar essas mesmas “regras” da seguinte forma:

2 4 10

102 [“passa o 4 para lá com o sinal trocado e dividindo”]

42 2,5

2,5 2 [“passa o 2 para lá com sinal trocado”]

0,5

x

x

x

x

x

− =

=

== −=

Esse tipo de erro é fruto de se tentar fixar o algoritmo de resolução em detrimento das ideias associadas aos procedimentos de resolução.

é sempre melhor dizer, explicitamente, o que realmente está se fazendo, em cada passagem, conforme apresentado a seguir:

2 4 10

2 4 4 10 4 [soma-se 4 em ambos os membros para cancelar o -4 no 1º membro]

2 14

2 14 [divide-se ambos os membros por 2 para isolar x no 1º membro]

2 27

x

x

x

x

x

− =− + = +=

=

=

Procedendo dessa forma, a aprendizagem ganha significado para o aluno e evita que este “decore” receitas de procedimentos que, muito provavelmente, cedo ou tarde, ele as esquecerá ou as confundirá.

Exemplo 2: Resolva as equações abaixo:

a) 2 3 4 2x x+ = −

b) 3 1 1

1,52 2

xx

−= −

c) 4 3

2 22

xx

−+ =

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Solução:

a) 2 3 4 2x x+ = − . Inicialmente observe que o domínio dessa expressão é IR.

2 3 4 2

2 3 4 4 2 4

2 3 2

2 3 3 2 3

2 5

5 52 2

x x

x x x x

x

x

x

x

+ = −+ − = − −

− + = −− + − = − −− = −

−= =−

b) 3 1 1

1,52 2

xx

−= − . Inicialmente observe que o domínio dessa expressão é IR.

3 1 12 1,5 2

2 23 1 3 1

xx

x x

− × = − ×

− = −

Aqui é comum o aluno continuar desnecessariamente os procedimentos e, com isso, terá a surpresa do desaparecimento da incógnita x e chegando assim, à igualdade 0 0= , sem saber o que fazer. Pois bem, aqui se revela a importância da diferenciação entre identidade e equação. Nesse caso estamos diante de uma identidade pois a igualdade 3 1 3 1x x− = − se verifica para todo valor real de x, portanto para todo o domínio da expressão. Mesmo que o aluno continue seus procedimento até chegar a 0 0= , ele estará, da mesma forma, diante de uma igualdade que se verifica para todo valor real de x. Com isso o conjunto solução dessa equação é IR.

c) 4 3

2 22

xx

−+ = . Inicialmente observe que o domínio dessa expressão é IR.

32 2 2

2x x+ = − .

Nesse ponto já se pode concluir que o conjunto solução da equação é o conjunto vazio, já que as parcelas que envolvem a incógnita x são idênticas nos dois membros e com relação às

parcelas constantes, tem-se 3

22

≠ − . Entretanto, em geral o aluno não resiste em prosseguir:

32 2 2 2 2

23

22

x x x x+ − = − −

= −

Nesse caso, chega-se a uma igualdade que não é válida nunca, independente de qual seja o valor real atribuído à x. Estamos diante de uma equação cujo conjunto solução é o conjunto vazio ()∅ .

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Exemplo 3: Em um teste de 25 questões, por cada acerto ganha-se 4 pontos e por cada erro perde-se 1 ponto. Pedro respondeu a todas as questões e marcou 70 pontos. Quantas questões Pedro acertou?

Solução:

Seja x o número de questões que Pedro acertou. Se ele respondeu a todas as questões, num total de 25, é porque ele errou (25 – x) questões. Como para cada acerto Pedro ganha 4 pontos e por cada erro ele perde um perde 1 ponto, tem-se que o total de pontos marcados por Pedro, 70, é tal que:

( )⋅ − ⋅ − =

− + = ⇒ − =− + = + ⇒ =

= ⇒ =

4 1 25 70

4 25 70 5 25 70

5 25 25 70 25 5 95

5 9519

5 5

x x

x x x

x x

xx

Logo, Pedro acertou 19 das 25 questões do teste.

Procure chamar a atenção do aluno para a modelagem do problema. é importante que ele saiba montar a equação. Em geral eles são capazes de resolver a equação, mas não conseguem produzi-la. Não apresente a equação pronta aos alunos, provoque-os com perguntas e conduza-os para a elaboração da mesma. A tradução de um contexto para a linguagem matemática é, em geral, a parte mais difícil do problema para o aluno. Por isso deve ser enfatizada.

Exemplo 4: Azul e Branca são duas locadoras de automóvel. A locadora Azul cobra R$ 1,00 por quilômetro rodado mais uma taxa de R$ 100,00 fixa. A locadora Branca cobra R$ 0,80 por quilômetro rodado mais uma taxa fixa de R$ 200,00. Discuta em que situação é mais vantajoso se alugar um carro em uma ou outra locadora.

Solução:

Ambas as locadoras cobram uma taxa fixa, na Azul essa taxa é de R$ 100,00 e na Branca é de R$ 200,00. Já pelo quilômetro rodado, a Azul cobra R$ 1,00 e a Branca cobra R$ 0,80. Assim, sem resolver o problema, intuitivamente, já dá para perceber que, se for para rodar uma grande quantidade de quilômetros, a locadora Branca pode ser mais vantajosa para quem está alugando um carro. Entretanto, para que irá rodar poucos quilômetros, a locadora Azul torna-se mais vantajosa. Parece então que o que definirá por qual locadora é mais vantajoso alugar um carro será o número de quilômetros a ser rodado com esse carro. Seja então x o número de quilômetros a ser rodado com o carro alugado. O preço do aluguel, por cada uma das locadoras será:

Locadora Azul: 100 1 100x x+ = +

Locadora Branca: 200 0,8x+

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Os aluguéis coincidirão quando 100 200 0,8x x+ = + . Resolvendo essa equação:

100 100 200 0,8 100

100 0,8

0,8 100 0,8 0,8

0,2 100

0,2 1000,2 0,2

100 100 10100 500

20,2 210

x x

x x

x x x x

x

x

x

+ − = + −= +− = + −

=

=

= = = × =

Logo, quando se rodam 500 km, o valor do aluguel em ambas as locadoras será o mesmo. Abaixo de 500 km rodados, o aluguel do carro pela locadora Azul é mais vantajoso e, para rodas acima de 500 km, o aluguel do carro pela locadora Branca é mais vantajoso.

Note que esse é um exercício típico de inequação do 1º grau. Só não utilizamos inequação nesse exemplo para enfatizarmos inicialmente as noções de equação do 1º grau. Inequações serão tratadas na Oficina 9. Entretanto, caso algum aluno resolva esse problema empregando inequação, não há o que repreender. é legítimo e adequado o emprego de inequação nesse problema. Só certifique-se de que ele trabalhou corretamente com as desigualdades.

Exemplo 5: Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?

Solução:

Esse é um problema que em geral os alunos apresentam dificuldades para resolvê-lo. A razão é que a tendência é tentar se considerar o valor originalmente rateado entre as 50 pessoas iniciais. Os alunos não percebem que basta considerar somente as informações relativas ao rateio dos R$ 510,00 restantes, que é o que faremos. Seja x o valor da cota calculada no acerto final, para cada uma das 55 pessoas. Sabe-se que, esses R$ 510,00 serão cobertos pelos R$ 7,00, dados por cada uma das 50 pessoas iniciais, mais 5 cotas integrais no valor x, dados pelas novas 5 pessoas. Assim tem-se:

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50 7 5 510

350 5 510

350 5 350 510 350

5 160

5 1605 5

32

x

x

x

x

x

x

× + × =+ =+ − = −=

=

=

Logo, o valor da cota calculada no acerto final, para cada uma das 55 pessoas, foi R$ 32,00.

3. Sistemas lineares de duas equações com duas incógnitas

Resolver um sistema formado por duas equações lineares, com duas incógnitas corresponde a obter as soluções simultâneas dessas duas equações. Vejamos um exemplo.

Exemplo 6: Resolva o sistema: 2 1

3 11

x y

x y

− = + =

Solução:

Há vários métodos para se resolver sistemas lineares. Consideraremos alguns desses métodos.

1º Método (comparação): Determinamos, em cada equação, o valor de uma das

incógnitas, por exemplo, y. Obtemos, assim 2 1y x= − e 113

xy

−= . Daí vem:

112 1 6 3 11 7 14 2

3x

x x x x x−

− = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ = .

Agora basta substituir o valor 2x = na equação 2 1y x= − para se obter 3y = . Logo a solução do sistema dado é 2x = e 3y = .

2º Método (substituição): Determinamos, em uma das equações, o valor de uma das incógnitas em função da outra. Por exemplo, o valor de y na 1ª equação: 2 1y x= − . Substituindo agora na 2ª equação, obtém-se: ()3 2 1 11x x+ − = , ou seja, 7 14x = , donde

2x = . Agora basta substituir o valor 2x = na equação 2 1y x= − para se obter 3y = . Logo a solução do sistema dado é 2x = e 3y = .

3º Método (eliminação): Multiplicamos as equações por números tais que, quando somarmos as equações, uma das incógnitas desapareça. Nesse exemplo multiplicaremos a 1ª equação por 3 e a 2ª equação por 1. Assim obtemos:

2 1 6 3 3

3 11 3 11

x y x y

x y x y

− = − = ⇒ + = + =

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Somando essas duas equações obtemos 7 14x = , donde 2x = . Agora basta substituir o valor 2x = em uma das equações do sistema original, por exemplo, na 1ª equação, para obtermos o valor de y: ()2 2 1y− = , ou seja, 3y = .

Logo a solução do sistema dado é 2x = e 3y = .

Exemplo 7: Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a idade que eu tenho, juntos teremos 135 anos. Qual é a minha idade?

Solução:

O problema refere-se à idade de duas pessoas em três épocas distintas. Organizaremos essas informações numa tabela.

Passado Presente Futuro

Eu x 2y 135 – 2y

Tu y x 2y

“Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas...” nos permitiu escrever que a idade eu-presente é o dobro da idade tu-passado, ou seja, essas idades são 2y e y.

“...eu tinha a idade que tu tens...” nos permitiu escrever que a idade eu-passado é igual à idade tu-presente, ou seja, essa idades são x e x.

“...tiveres a idade que eu tenho...” nos diz que a idade tu-futuro é igual à idade eu-presente, ou seja, a idade tu-futuro é igual a 2x.

“...juntos teremos 135 anos...” nos diz que a soma das idades futuras vale 135; como a idade tu-futuro é 2y, a idade eu-futuro será 135 – 2y.

Como o tempo passa igualmente para todos, teremos as seguintes equações:

( )2 2 3 0135 2 2 2 6 135

y x x y x yy y y x x y

− = − − = ⇒ − − = − − = −

Resolvendo esse último sistema por substituição: 6 135x y= − , donde ( )2 6 135 3 0y y− − = , donde 9 270y = , portanto 30y = e, consequentemente, ()6 30 135 45x = − = .

Como foi perguntada a minha idade, que foi representada por y, temos que a minha idade é 60 anos.

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Atividade 1: Num país chamado Aposentadolândia, um trabalhador tem direito à aposentadoria quando a soma do número de anos trabalhados com a idade do trabalhador é igual a 100. Com que idade poderia aposentar-se uma pessoa que tenha trabalhado ininterruptamente a partir dos 22 anos?

Atividade 2: Resolva as equações abaixo:

a) 2 3 4 2x x+ = −

b) 3 1 1

1,52 2

xx

−= −

c) 4 3

2 22

xx

−+ =

Atividade 3: Em um teste de 25 questões, por cada acerto ganha-se 4 pontos e por cada erro perde-se 1 ponto. Pedro respondeu a todas as questões e marcou 70 pontos. Quantas questões Pedro acertou?

Atividade 4: Azul e Branca são duas locadoras de automóvel. A locadora Azul cobra R$ 1,00 por quilômetro rodado mais uma taxa de R$ 100,00 fixa. A locadora Branca cobra R$ 0,80 por quilômetro rodado mais uma taxa fixa de R$ 200,00. Discuta em que situação é mais vantajoso se alugar um carro em uma ou outra locadora.

Atividade 5: Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total será dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?

Atividade 6: Resolva o sistema: 2 1

3 11

x y

x y

− = + =

Atividade 7: Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens. Quando tiveres a idade que eu tenho, juntos teremos 135 anos. Qual é a minha idade?

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Atividade 8: Para promover um baile, um clube fez o seguinte levantamento de gastos:

Banda R$ 3.000,00

Decoração R$ 2.400,00

Iluminação R$ 400,00

Além dos gastos acima, o buffet cobrará R$ 35,00 por pessoa. O preço do convite individual é R$ 70,00. Qual o número mínimo de convites que o clube deve vender para que o baile não dê prejuízo?

Atividade 9: A herança do Antônio foi dividida, entre 10 pessoas, seus 2 irmãos e seus 8 filhos, em partes iguais. Caso a partilha da herança fosse feita somente entre seus 8 filhos, cada um deles teria recebido R$ 5.000,00 a mais do que receberam na partilha por 10. Qual o valor da herança partilhada?

Atividade 10: Foram pesados 3 cubos idênticos e 2 esferas idênticas, todos juntos e, nessa pesagem, obteve-se 11,5 kg. Em seguida, pesou-se 2 desses cubos juntos com 3 esferas idênticas às da primeira pesagem e obteve-se 11kg. Qual o peso de cada cubo e de cada esfera?

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Anotações

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OFICINA 4

PORCENTAGEMOFICINA 4

Meta:– Introduzir a noção de porcentagem.


• reconhecer o conceito de porcentagem.• calcular porcentagem.• resolver problemas envolvendo porcentagens.

Pré-requisito:– Operações com números inteiros e frações e equação do 1º grau.

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O tema porcentagem é recorrente em toda a matemática e surge nas mais diversas situações. São saberes trabalhados ao longo do ensino fundamental e devem ser devidamente revisitados.

Porcentagem

Objetivamente falando, uma porcentagem é uma fração de denominador 100.

Dessa forma, “sete por cento” escreve-se 7% e significa “sete centésimos”, isto é, 7

7%100

= .

Sempre que se diz “sete por cento” está se pensando em 7% de uma determinada grandeza. Nesse caso está se pensando em sete centésimos dessa grandeza.

Como porcentagem surge a todo instante, é conveniente se ter em mente os significados das mais comuns.

Porcentagem 10% 20% 25% 50% 100%

Significado 1/10 1/5 1/4 1/2 1

Um erro muito comum é considerar que se uma mercadoria custava R$ 100,00, e passou a custar R$ 400,00, então essa mercadoria sofreu um aumento de 400%, já que o preço atual e o quádruplo do preço original. De fato, o preço atual é o quádruplo do preço original, entretanto o aumento foi de R$ 400,00 – R$ 100,00 = R$ 300,00 = 3 x R$ 100,00, que corresponde a um aumento de 300% em relação ao preço original.

Em determinados contextos não faz sentido falar em porcentagens superiores a 100%. Por exemplo, não faz sentido falar em um desconto de 140% no preço de um produto. Seria dar um desconto superior ao preço do produto. Entretanto faz sentido falar que um produto teve um aumento de 140%.

Os problemas de porcentagem envolvem, em geral, três elementos fundamentais: o valor básico, a taxa de porcentagem e a porcentagem do valor básico. Os problemas mais simples de porcentagem consistem em, dados dois desses elementos, calcular o terceiro.

Exemplo 1: O salário mensal de um trabalhador é R$ 980,00. Ao receber um aumento salarial de 3,6%, qual passou a ser seu novo salário?

Solução:

1º método: 3,6% de R$ 980,00 é 3,6 centésimos de 980, ou seja, é 3,6

980 35,28100

× = . Logo

o valor do aumento foi de R$ 35,28. Com isso, o novo salário desse trabalhador será:

R$ 980,00 + R$ 35,28 = R$ 1015,28.

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2º método: Considerar o salário original como 100% e, somando com 3,6% obtém-se 103,6%, ou seja, o salário com aumento é 103,6% do salário original. Assim, o salário com

aumento vale 103,6

980 1,036 980 1015,28100

× = × = , ou seja, R$ 1015,28.

Exemplo 2: O preço da entrada do cinema foi reajustado em 25% e, com isso, passou a valer R$ 11,25. Qual era o valor da entrada antes do reajuste?

Solução:

Seja x o preço da entrada do cinema antes do reajuste. Com o reajuste de 25%, passou a custar:

2511,25

100x x+ =

Resolvendo essa equação obtém-se:

25 1 5 4 4511,25 11,25 11,25 11,25 9

100 4 4 5 5x x x x x x+ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = × = =

,

ou seja, a entrada custava R$ 9,00 antes do reajuste.

Exemplo 3: Numa empresa há 620 funcionários. Desse total, 341 são homens. Qual a porcentagem de funcionárias nessa empresa?

Solução:

Nessa empresa há 620 – 341 = 279 funcionárias. Indicando por x% o percentual de mulheres nessa empresa tem-se:

620 279100

x× = .

Resolvendo essa equação obtém-se:100

620 279 279 45100 620

xx x× = ⇔ = × ⇔ = .

Logo, 45% do total de funcionários dessa empresa são mulheres.

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Exemplo 4: Em uma liquidação, um lojista diminuiu em 20% o preço de todas as suas mercadorias. Terminado o período da liquidação, o lojista resolveu reajustar todos os preços de forma a restaurá-los aos preços praticados antes da liquidação. Qual deverá ser o percentual de reajuste?

Solução:

Seja p o preço original de uma mercadoria, antes da liquidação. Se com a liquidação houve uma diminuição de 20% em seu preço, seu novo preço passou a ser:

20 80100 100

p p p− = .

Sendo x% o reajuste a ser aplicado em todas as mercadorias de forma a que seu preço retorne ao valor anterior à liquidação, deve-se ter:

80 80100 100 100

valor do reajuste preço naliquidação

xp p p× + =

.

Resolvendo essa equação na variável x obtém-se:

80 80 80 80 80 1001 1 1 1

100 100 100 100 100 100 100 100 100 80x x x x

p p p × + = ⇔ × + = ⇔ + = ⇔ + =

100 20 11

100 80 100 80 4x x

= − ⇔ = =

10025

4x x= ⇔ = .

Logo, para que os preços retornem ao patamar praticado antes da liquidação, tem-se que o reajuste de aumento deverá ser de 25%.

Um erro muito comum é o aluno avaliar que, se foi dado um desconto de 20%, para anulá-lo, bastaria dar-se um aumento também de 20%. Ou, equivalentemente, ao se conferir um aumento de 20%, para anulá-lo, bastaria conceder um desconto de também 20%. O exemplo acima ilustra que esse raciocínio é falacioso.

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Exemplo 5: No 1º semestre de 2009, Carlos teve 5% de aumento salarial. No 2º semestre desse mesmo ano Carlos teve um novo aumento salarial, agora de 10%.

a) Qual o aumento salarial de Carlos, após esses dois semestres?

b) Teria sido melhor ou pior mudar a ordem (mas não os valores) dos aumentos?

Solução:

a) Seja s o salário de Carlos, antes dos aumentos ocorridos em 2009. Após o 1º aumento seu

salário passou a ser: 5 105

1,05100 100

s s s s+ = = .

Agora o segundo aumento incidiu sobre esse último salário, ou seja, após o segundo aumento seu salário passou a ser:

()101,05 1,05 1,05 0,1 1,05 1 0,1 1,05

100s s s s s× + × × = × + × × = + × × ,

ou seja,

1,1 1,05 1,155s s× × = × .

Com isso, o salário de Carlos, que era inicialmente s, passou a ser 1,155s. Como

15,51,155 0,155

100s s s s s= + = + ,

pode-se concluir que, após esses dois semestres, o reajuste salarial de Carlos foi de 15,5%.

b) Note que, ao se calcular o novo salário de Carlos, após os dois aumentos chegou-se a

5% de aumento

10% de aumento

1,1 1,05 s× ×

.

Entretanto, caso as ordem dos aumentos viesse a ser alterada, chegar-se-ia a

5% de aumento

10% de aumento

1,05 1,1 s× ×

,

que também resultará em 1,155 s× , já que a ordem dos fatores não altera o produto.

Assim, ao final, teria sido indiferente se a ordem dos aumentos salariais, concedidos a Carlos, tivessem suas ordens alteradas.

Um erro muito comum é o aluno avaliar que, a incidência de dois percentuais de aumento (ou de desconto), concedidos consecutivamente, equivale a incidir um único percentual igual à soma (ou à diferença) desses percentuais. Chame a atenção dos alunos para esse erro, pois esse exemplo deixa claro que aumentar-se 5% e, em seguida, aumentar-se mais 10% não é o mesmo que aumentar-se 15%.

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Atividade 1: O salário mensal de um trabalhador é R$ 980,00. Ao receber um aumento salarial de 3,6%, qual passou a ser seu novo salário?

Atividade 2: O preço da entrada do cinema foi reajustado em 25% e, com isso, passou a valer R$ 11,25. Qual era o valor da entrada antes do reajuste?

Atividade 3: Numa empresa há 620 funcionários. Desse total, 341 são homens. Qual a porcentagem de funcionárias nessa empresa?

Atividade 4: Em uma liquidação, um lojista diminuiu em 20% o preço de todas as suas mercadorias. Terminado o período da liquidação, o lojista resolveu reajustar todos os preços de forma a restaurá-los aos preços praticados antes da liquidação. Qual deverá ser o percentual de reajuste?

Atividade 5: No 1º semestre de 2009, Carlos teve 5% de aumento salarial. No 2º semestre desse mesmo ano Carlos teve um novo aumento salarial, agora de 10%.

a) Qual o aumento salarial de Carlos, após esses dois semestres?

b) Teria sido melhor ou pior mudar a ordem (mas não os valores) dos aumentos?

Atividade 6: Num salão com 200 pessoas, 99% são mulheres. Mantido os homens no salão, quantas mulheres devem sair para que 96% das pessoas que fiquem no salão sejam mulheres.

Atividade 7: O tanque contém 60 litros de combustível, dos quais 30% são de álcool e o restante de gasolina. Quantos litros de gasolina devem ser acrescentados a esse tanque de modo que o combustível resultante tenha apenas 20% de álcool?

Atividade 8: A água do mar contém 2,5% de seu peso em sal. Quantos quilogramas de água do mar são necessários para obter 500g de sal?

Atividade 9: Numa promoção, uma bermuda sofreu um desconto de 15% e, no último dia da liquidação, sofreu um novo desconto de 10%. Qual foi o desconto percentual total no preço da bermuda no último dia da liquidação, em relação ao preço anterior à liquidação?

Atividade 10: Pedro realizou um trabalho pelo qual recebeu R$ 2.349,00 líquidos, após o desconto de 10% de INSS.

a) Qual foi a remuneração (bruta) paga a Pedro por esse trabalho?

b) Quanto Pedro deveria ter cobrado por esse trabalho de forma a receber (líquidos) R$ 2610,00, após a dedução do INSS?

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OFICINA 5

EQUAÇÃO DO 2º GRAUOFICINA 5

Meta:– Apresentar técnicas resolutivas de equações do 2º grau.


• resolver equação do 2º grau.• resolver problemas envolvendo equação do 2º grau.

Pré-requisito:– Módulo de um número real, equação do 1º grau.

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Consideraremos agora, equações do 2º grau, que são equações um pouco mais complexas que as de 1º grau, vistas na oficina anterior. Nesta oficina temos por objetivo instrumentalizar o aluno com as técnicas resolutivas de equação do 2º grau de forma a torná-lo hábil na resolução de problemas que envolvam modelagem matemática e que recaiam em uma equação do 2º grau. Tendo o aluno se familiarizado com os procedimentos de modelagens introduzidos anteriormente, esperamos que ele encontre, nesse estágio, alguma facilidade na modelagem dos problemas que abordaremos.

Como trataremos aqui de alguns exemplos que farão uso do cálculo da área de retângulos, que será visto no Guia 2, bem como da noção de módulo de um número real, iniciaremos essa seção revisitando esses dois temas básicos, de forma a tornar possível ao aluno acompanhar plenamente os exemplos.

Sugerimos então que você, tutor, brevemente, revise com os alunos esses dois tópicos:

A área de um retângulo de dimensões b (base) e h (altura) é dada por: S b h= × .

O módulo de um número real a é definido por

, se 0

, se 0

a aa

a a

≥= − <

.

A partir da definição de módulo temos que 3 3= e 3 3− = , ou seja, tanto o número real 3 quanto o número real 3− têm módulos iguais a 3. Assim, se quiséssemos conhecer todos os números reais que têm módulo iguais a 3, já saberíamos que tais números seriam o 3 e o 3− .

Retomando agora o estudo de equação do 2º grau, vamos considerar o exemplo a seguir.

Exemplo 1: Um terreno, que tem a forma de um quadrado, foi reduzido da maneira indicada na figura abaixo, para dar lugar a uma calçada com 2m de largura. Ao final, sua área passou a ser de 484m². Qual era a medida do lado do terreno original?

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Solução:

Seja x a medida, em metros, do lado do terreno original. Após a redução do terreno, o lado do quadrado menor passou a ser 2 2 4x x− − = − metros (note que isso só é possível nesse contexto se 4x > ). Portanto, como a área desse quadrado é dada por ()()()24 4 4x x x− × − = − , segue que ()24 484x − = . Estamos diante de uma equação que não é do 1º grau. Nesse caso, como é relativamente fácil notar que 2484 22= , a equação ()24 484x − = passa a ter uma resolução simples pois esta pode ser reescrita como ()2 24 22x − = e, daí, ao se estar diante de uma igualdade entre duas potências de mesmo expoente, sendo as duas bases, ()4x − e 22, ambas positivas, pode-se concluir que as bases são iguais e, portanto, 4 22x − = e, consequentemente, 26x = m.

Uma equação do 2º grau é uma equação redutível à forma 2 0ax bx c+ + = , na qual a, b e c são constantes, 0a ≠ e x é a incógnita da equação.

Note que o domínio da expressão 2 0ax bx c+ + = , com a, b e c constantes, 0a ≠ , é o conjunto dos números reais.

A equação que surgiu na resolução do exemplo anterior, ()24 484x − = , é uma equação do 2º grau, pois desenvolvendo o quadrado no 1º membro se obtém 2 8 16 484x x− + = ou, equivalentemente, 2 8 468 0x x− − = , que é uma equação na qual 1a = , 8b = − e 468c = − .

Para obtermos uma fórmula resolutiva para uma equação do 2º grau, observaremos inicialmente alguns exemplos.

Exemplo 2: Resolva as equações abaixo:

a) 2 4x =

b) ()22 3 25x − =

c) 2 2 15 0x x− − =

d) 22 3 1 0x x+ + =

Solução:

a) Inicialmente note que o domínio da expressão 2 4x = é o conjunto dos números reais, já que as operações indicadas podem ser efetuadas para todo valor real de x. Sendo 2 4x = , empregamos o fato de que se duas quantidades não negativas são iguais, suas raízes quadradas também são iguais. Dessa forma se obtém:

2 4

2

2

x

x

x

=

=

= ±

Logo, o conjunto solução da equação 2 4x = é o conjunto {}2,2S = − .

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b) Inicialmente note que o domínio da expressão ()22 3 25x − = é o conjunto dos números reais, já que as operações indicadas podem ser efetuadas para todo valor real de x. Sendo ()22 3 25x − = , empregamos o fato de que se duas quantidades não negativas são iguais, suas raízes quadradas também são iguais. Dessa forma se obtém:

()22 3 25

2 3 5

2 3 5 ou 2 3 5

2 3 3 5 3 ou 2 3 3 5 3

2 8 ou 2 2

2 8 2 2 ou

2 2 2 24 ou 1

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

− =

− =

− = − = −− + = + − + = − += = −

−= =

= = −

Logo o conjunto solução da equação ()22 3 25x − = é {}1,4S = − .

Observe que o procedimento empregado nesse exemplo foi o mesmo do exemplo anterior, que consistiu em eliminar o expoente que envolvia a incógnita x.

c) Inicialmente note que o domínio da expressão 2 2 15 0x x− − = é o conjunto dos números reais, já que as operações indicadas podem ser efetuadas para todo valor real de x. Sendo

2 2 15 0x x− − = , não dá para aplicarmos os mesmos procedimentos dos exemplos acima pois agora, além da expressão conter uma parcela com a incógnita elevada ao quadrado, temos ainda uma outra parcela envolvendo a incógnita. A idéia, nesse caso, é reescrever a expressão acima, deixando-a do mesmo tipo que a equação presente no exemplo (b) para, em seguida, aplicarmos o que foi feito naquele exemplo. Aqui utilizaremos a técnica chamada de completar quadrados. Para isso basta utilizarmos os seguintes produtos notáveis:

()()

2 2 2

2 2 2

2

2

x b x bx b

x b x bx b

+ = + +

− = − +

A idéia, então, é olharmos para a equação 2 2 15 0x x− − = e tentarmos reescrevê-la como ()2x b k− = recaindo, assim, no mesmo tipo de equação do exemplo (b). Para tal fazemos:

( )

()()

()

2

2

1

2

2

2

2 1 1 15 0

1 16 0

1 16

1 16

1 4

1 4 ou 1 4

1 1 4 1 ou 1 1 4 1

5 ou 3

x

x x

x

x

x

x

x x

x x

x x

−

− + − − =

− − =

− =

− =

− =

− = − = −− + = + − + = − += = −

Logo o conjunto solução da equação 2 2 15 0x x− − = é {}3,5S = − .

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d) Inicialmente note que o domínio da expressão 22 3 1 0x x+ + = é o conjunto dos números reais, já que as operações indicadas podem ser efetuadas para todo valor real de x. Em

22 3 1 0x x+ + = , iremos tentaremos proceder como no exemplo anterior.

2

2

2

2

2

2

2 22

34

2

2

2

2

2 3 1 0

3 12 0

2 2

2 3 1 02 2 2 2

3 10

2 23 1

2 04 2

3 3 3 12 0

4 4 4 2

3 9 10

4 16 2

3 9 80

4 16 16

3 10

4 16

3 1 14 16 16

x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x

x

+

+ + =

+ + = + + =

+ + =

+ + =

+ + − + =

+ − + =

+ − + =

+ − =

+ − +

2

2

10

16

3 14 16

3 14 16

3 14 43 1 3 1

ou 4 4 4 43 3 1 3 3 3 1 3

ou 4 4 4 4 4 4 4 4

2 4 1 ou ou 1

4 4 2

x

x

x

x x

x x

x x x x

= +

+ =

+ =

+ =

+ = + = −

+ − = − + − = − −

− −= = ⇒ = − = −

Logo, o conjunto solução da equação 22 3 1 0x x+ + = é o conjunto 1

1,2

S = − −

.

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No exemplo 2 que acabamos de finalizar, observe que não empregamos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau, até porque ainda não a deduzimos. Estamos aqui enfatizando os procedimentos que orientarão a obtenção da referida fórmula.

Vamos agora repetir o procedimento adotado no exemplo (d) para o caso geral, onde se tem uma equação da forma 2 0ax bx c+ + = , com 0a ≠ .

2

2

2

2

2

2

2 22

2

2 2

2

2 2

2

2 2 2

2

0

0

0

0

2 02

2 02 2 2

02 4

40

2 4

42 4

bx

a

ax bx c

b ca x x

a a

a b cx x

a a a ab c

x xa a

b cx x

a a

b b b cx x

a a a a

b b cx

a a a

b b acx

a a

b b ac bx

a a

+

+ + =

+ + = + + =

+ + =

+ + =

+ + − + =

+ − + =

+ + − =

+ + − +

2

2 2

2 2

2

2 2

2

2

2 2

2 2

2 2

4 40

4 4

42 4

42 4

42 2

4 4 ou

2 2 2 2

4 4 ou

2 2 2 2 2 2 2 2

4 4 ou

2 2

ac b aca a

b b acx

a a

b b acx

a a

b b acx

a a

b b ac b b acx x

a a a a

b b b ac b b b b ac bx x

a a a a a a a a

b b ac b b acx x

a a

+ += +

+ + =

+ + =

++ =

+ ++ = + = −

+ ++ − = − + − = − −

− + + − − += =

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Representando por ∆ a expressão 2 4b ac− , que doravante chamaremos de discriminante da equação, temos:

2b

xa

− ± ∆= , onde 2 4b ac∆ = − .

Logo, o conjunto solução da equação 2 0ax bx c+ + = é o conjunto ,2 2

b bS

a a

− − ∆ − + ∆ =

.

Note a importância de se ter 0a ≠ nos procedimentos acima. Já na segunda passagem tivemos que executar uma divisão por a, o que só é possível se tivermos a garantia de que 0a ≠ .

A fórmula acima é a fórmula resolutiva da equação 2 0ax bx c+ + = .

é importante observar que, caso o discriminante de uma equação do 2º grau seja negativo, a equação não admitirá raízes reais, pois nesse caso, surgiria na fórmula resolutiva a raiz quadrada de um número negativo, que não é um número real.

Considere agora o caso em que 0∆ ≥ . Observe que, sendo 1 2b

xa

− − ∆= e 2 2

bx

a− + ∆

= as duas raízes da equação 2 0ax bx c+ + = , tem-se que

1 2

22 2 2

b b b bx x

a a a a− − ∆ − + ∆ −

+ = + = = −

( ) ( ) ( )− − ∆ − −− − ∆ − + ∆ − ∆⋅ = ⋅ = = = = =

22 2 22

1 2 2 2 2 2

4 42 2 4 4 4 4

b b b acb b b ac cx x

a a aa a a a

ou seja, a soma e o produto das raízes da equação 2 0ax bx c+ + = , quando 0∆ ≥ , são dadas por:

= + = −

= ⋅ =

1 2

1 2

bS x x

ac

P x xa

Na resolução da equação 2 0ax bx c+ + = , ao dividirmos ambos os membros por a, chegamos à equação

2 0b c

x xa a

+ + = .

Reescrevendo adequadamente essa equação podemos obter:

2 0b c

x xa a

− − + =

,

e, daí

2 0x Sx P− + = ,

sendo S e P a soma e o produto entre as raízes da equação 2 0ax bx c+ + = .

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Comente com os alunos que, quando uma equação do 2º grau se encontra na forma x2 + bx + c = 0, ou seja, quando a = 1, é possível tentar obter suas raízes sem empregar a fórmula resolutiva, bastando procurar dois números cuja soma é -b e o produto é c. Em alguns casos fica bastante simples descobrir esses dois números. Em geral, sempre vale a pena perder alguns segundos para tentar descobri-los.

O número de raízes reais de uma equação do 2º grau é informado pelo discriminante da equação da seguinte forma:

• se 0∆ < , a equação não possui raiz real;

• se 0∆ = , a equação possui duas raízes reais iguais (ou raiz real dupla);

• se 0∆ > , a equação possui duas raízes reais distintas.

Exemplo 3: Antônio, com 20m de cerca, construiu um cercado retangular de 32m² de área, utilizando seu muro como um dos lados. Qual as medidas dos lados desse cercado retangular?

Solução:

Aqui há duas possibilidades de designar as medidas dos lados do cercado retangular.

Possibilidade 1: Designar por x a medida comum dos lados da cerca que são perpendiculares ao muro.

Possibilidade 2: Designar por x a medida do lado da cerca que é paralelo ao muro.

Resolveremos o problema para ambas as possibilidades.

Possibilidade 1: Se a medida comum dos lados da cerca que são perpendiculares ao muro é x, então o lado paralelo ao muro deverá medir 20 20 2x x x− − = − . Como a área do cercado é 32m², deve-se ter ( )20 2 32x x− = , ou seja, 22 20 32 0x x− + = que, simplificando ao dividir ambos os membros por 2, conduz a 2 10 16 0x x− + = . Observando essa equação, que é do 2º grau, é fácil perceber que suas raízes são 2 e 8, já que esse são os números cuja soma é 10 e cuja o produto é 16. Portanto, o cercado de Antônio pode ter as dimensões 2m×16m (onde

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16m é a medida do lado paralelo ao muro) ou 8m×4m (onde 4m é a medida do lado paralelo ao muro).

Possibilidade 2: Se a medida do lado da cerca que é paralelo ao muro é x, então o lado

perpendicular ao muro deverá medir 20

2x−

. Como a área do cercado é 32m², deve-se ter 20

322

xx

−= , ou seja, 2 20 64 0x x− + = . Observando essa equação, que é do 2º grau, é

fácil perceber que suas raízes são 16 e 4, já que esse são os números cuja soma é 20 e cuja o produto é 64. Portanto, o cercado de Antônio pode ter as dimensões 2m×16m (onde 16m é a medida do lado paralelo ao muro) ou 8m×4m (onde 4m é a medida do lado paralelo ao muro).

Note que, independente de qual das dimensões do cercado seja representada por x, o resultado obtido é o mesmo.

Atenção, ao resolver esse exemplo com os alunos, apresente as diversas possibilidades de modelagem e faça-os perceber que o resultado, obviamente, independerá de qual tenha sido o caminho escolhido (desde que correto, é claro!). Procure também exercitar com eles a busca mental das raízes, por tentativa e erro, sem o emprego da fórmula.

Exemplo 4: Para presentear os colegas no natal, Ana comprou alguns exemplares de um livro por R$ 540,00. Por ter obtido um desconto de R$ 15,00 no preço de cada exemplar do livro, ela conseguiu comprar 3 exemplares a mais do que previra originalmente. Com o desconto concedido, quantos exemplares desse livro Ana comprou?

Solução:

Seja p o preço inicial de cada exemplar desse livro e seja x o nº de exemplares que Ana compraria

sem o desconto. Nesse caso tem-se 540px = ou, equivalentemente, 540

px

= . Considerando

agora o desconto obtido por Ana, o preço de cada exemplar passou a ser 15p − e, com isso, ela conseguiu comprar 3x + exemplares pelo mesmo valor total. Logo ()()15 3 540p x− + = .

Como 540

px

= , tem-se que ()54015 3 540x

x − + =

. Efetuando esse produto e simplificando,

chega-se à equação 2 3 108 0x x+ − = , cujas soluções são 12− e 9. Como x representa o número de exemplares que Ana teria comprado antes do desconto, x só pode ser positivo. Assim tem-se 9x = e, portanto, Ana comprou 9 + 3 = 12 exemplares desse livro.

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Atividade 1: Um terreno, que tem a forma de um quadrado, foi reduzido da maneira indicada na figura abaixo, para dar lugar a uma calçada com 2m de largura. Ao final, sua área passou a ser de 484m². Qual era a medida do lado do terreno original?

Atividade 2: Resolva as equações abaixo:

a) 2 4x =

b) ()22 3 25x − =

c) 2 2 15 0x x− − =

d) 22 3 1 0x x+ + =

Atividade 3: Antônio, com 20m de cerca, construiu um cercado retangular de 32m² de área, utilizando seu muro como um dos lados. Quais as medidas dos lados desse cercado retangular?

Atividade 4: Para presentear os colegas no natal, Ana comprou alguns exemplares de um livro por R$ 540,00. Por ter obtido um desconto de R$ 15,00 no preço de cada exemplar do livro, ela conseguiu comprar 3 exemplares a mais do que previra originalmente. Com o desconto concedido, quantos exemplares desse livro Ana comprou?

Atividade 5: Quero fazer um cercado retangular com 22 m² de área. O material que possuo dá para erguer 18 m de cerca. Que medidas devem ter os lados do meu cercado retangular?

Atividade 6: A equação 2 9 0x x c− + = tem raízes inteiras. Qual é o maior valor possível para c?

Atividade 7: Para quais valores de m e n as equações 2 0x mx m n− + − = e ()23 6 1 0x m x n− + + − = têm as mesmas raízes?

Atividade 8: Duas torneiras juntas enchem um tanque em 12 horas. Uma delas sozinha levaria 10 horas mais do que a outra para enchê-lo. Quantas horas leva cada uma das torneiras para encher esse tanque?

Atividade 9: Dois empresários formam uma sociedade cujo capital é de 100 mil reais. Um deles trabalha na empresa três dias por semana e o outro 2. Após um certo tempo, vendem o negócio e cada um recebe 99 mil reais. Qual foi a contribuição de cada um para formar a sociedade?

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Atividade 10: Três homens, A, B e C, trabalhando juntos, realizam uma tarefa em x horas. Se trabalhassem sozinhos, A executaria a tarefa em x + 1 horas; B, em x + 6 horas; C, em 2x horas. Calcule x.

Atividade 11: Resolva a equação 4 215 16 0x x+ − = .

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Anotações

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OFICINA 6

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS EOFICINA 6

Meta:– Introduzir as noções de Progressões Aritméticas e Geométricas.

Objetivos: Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de resolver problemas envolvendo:

• o termo geral e/ou a soma dos n primeiros termos de uma PA ou de uma PG.

• a soma de infinitos termos em PG.

Pré-requisito:– Operações com números inteiros e frações.

PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS

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Nessa oficina abordaremos sequências numéricas, mais precisamente as sequências numéricas que apresentam padrões especiais, que são as Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas. Esse é um tópico curricular pertinente ao Ensino Médio e que, em geral, tem se reduzido a uma mera aplicação de formulários. O objetivo dessa oficina é apresentar esse tema explorando as ideias centrais que estruturam esses temas, em contraposição ao uso indiscriminado de fórmulas.

Uma sequência pode ser numérica ou não. Podemos trabalhar com sequências de objetos que não sejam números. Por exemplo, pessoas em uma fila formam uma sequência, onde se tem a 1ª pessoa da fila, a 2ª pessoa da fila e assim sucessivamente.

Exemplo 1: Em uma fila, a trigésima segunda pessoa ocupa o lugar central. Qual o número de pessoas nessa fila?

Solução:

Se nessa fila a 32ª pessoa ocupa o lugar central, então isso significa que antes dela, nessa fila, há 31 pessoas e que depois dela, nessa fila, há outras 31 pessoas. Com isso, nessa fila há 31 1 31 63+ + = pessoas.

Uma sequência numérica é uma coleção de números apresentados numa determinada ordem, por exemplo, os números de telefones são sequências numéricas formados pelos algarismos de 0 a 9. Se você alterar a posição dos algarismos, a sequência muda e, portanto, o número de telefone muda. Sequências numéricas são listas de números onde cada elemento tem uma posição bem definida: há o 1º elemento da sequência, o 2º elemento da sequência, o 3º e assim sucessivamente. Veja, a seguir, dois exemplos de sequências com 10 termos cada.

é, portanto, comum indicarmos uma sequência genérica por ( )1 2 3, , , , ,na a a a , onde 1a representa o 1º termo da sequência, 2a representa o 2º termo da sequência, 3a representa o 3º termo da sequência, ..., na representa o enésimo termo da sequência (também chamado de termo geral da sequência), e assim sucessivamente.

Uma sequência pode ser finita ou infinita, em função do seu número de termos.

Note que, a primeira das sequências apresentadas acima, tem uma formação aparentemente aleatória, de forma que os termos escolhidos para sua formação, não apresentam nenhum padrão perceptível. Entretanto, a segunda sequência parece ter um comportamento bem definido: seus termos aumentam de valor (sequência crescente) e parece haver alguma regularidade na escolha de seus termos. Você seria capaz de apontar essa regularidade?

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Note que essa sequência tem um padrão de formação. Cada termo, a partir do segundo, é obtido somando a seu antecessor o valor correspondente à sua posição na sequência, ou seja, o oitavo termo dessa sequência é obtido, somando-se ao termo anterior 24, que é o sétimo termo da sequência, o valor que corresponde à sua posição na sequência, que é 7. Assim o oitavo termo dessa sequência é 24 + 7 = 31.

Nem sempre é fácil descobrir um padrão de formação em sequências numéricas. Pode ocorrer de existir sim um padrão de formação mas, por ser muito complicado e não evidente, ser muito difícil percebê-lo. Dentre as sequências numéricas que apresentam padrão de formação perceptíveis, há dois tipos especiais que particularmente nos interessarão:

• Tipo I: sequências nas quais, cada termo, a partir do 2º, pode ser obtido do seu antecessor pela soma de um valor constante r;

• Tipo II: sequências nas quais, cada termo, a partir do 2º, pode ser obtido do seu antecessor pela multiplicação de um valor constante q;

Pelas características desses dois tipos de sequência temos o seguinte quadro comparativo:

Termo da sequência Sequências do tipo I Sequências do tipo II

1a 1a 1a

2a 1a r+ 1a q×

3a 1 2a r+ 21a q×

4a 1 3a r+ 31a q×

... ... ...

1na − ()1 2a n r+ − 21

na q −×

na ()1 1a n r+ − 11

na q −×

As sequências do tipo I são chamadas Progressões Aritméticas (PA) enquanto que, as sequências do tipo II são chamadas de Progressões Geométricas (PG).

Portanto, conforme o quadro anterior, tem-se que, numa progressão:

• aritmética, o seu termo geral é dado por ()1 1na a n r= + − , onde r é chamado razão da PA;

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• geométrica, o seu termo geral é dado por 11

nna a q −= × , onde q é

chamado razão da PG.

Note que essas caracterizações equivalem a:

• PA: a diferença entre cada termo da sequência e o seu antecessor é constante (e igual a r), ou seja,

1 1 2 3 2 2 1n n n na a a a a a a a r− − −− = − = = − = − = ;

• PG: o quociente entre cada termo da sequência e o seu antecessor é constante (e igual a q), ou seja,

1 3 2

1 2 2 1

n n

n n

a a a aq

a a a a−

− −

= = = = = .

Exemplo 2: Verifique se as sequências dadas abaixo são progressões aritméticas ou geométricas. Em caso positivo, identifique sua razão.

a) ( )2,5,8,11,15

b) 1 1 1 1

1, , , ,2 4 8 16

− − −

c) ( )3,3,3,3,3

d) ( ), , 3a b a b a b− + +

Solução:

a) Note que 2 1 3 2 4 3 3a a a a a a− = − = − = mas 5 4 4a a− = . Logo a sequência dada não é uma PA

e nem uma PG já que 2

1

52,5

2aa= = mas 3

2

81,6

5aa

= = .

b) Como ()2 1

1 31 1,5

2 2a a− = − − = = e 3 2

1 1 30,75

4 2 4a a− = − − = − = − segue que a sequência

não é uma PA. Agora, como 2

1

112

1 2aa= = −−

, 3

2

11 2 14

1 4 1 22

aa

−= = − × = − , 4

3

11 4 18

1 8 1 24

aa

−= = − × = −

e 5

4

11 8 116

1 16 1 28

aa

= = × − = − −

, segue que essa sequência é uma PG de razão 12

q = − .

c) Como 2 1 3 2 4 3 5 4 0a a a a a a a a− = − = − = − = , segue que essa sequência é uma PA de razão

0r = . Por outro lado, como 5 4 3 2

4 3 2 1

1a a a aa a a a

= = = = , segue que essa sequência é também uma

PG de razão 1q = .

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d) Como ()()2 1 2a a a b a b b− = + − − = e ()()3 2 3 2a a a b a b b− = + − + = , essa sequência é uma

PA de razão 2r b= . Por outro lado, como 3a b a b

a b a b+ +

≠− +

, essa sequência não é uma PG.

Um recurso muito útil nos problemas que envolvem progressões aritméticas é saber calcular a soma de seus n primeiros termos. Para essa finalidade dispomos do resultado a seguir.

Teorema 1: A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética ( )1 2 3, , , , ,na a a a

é dada por ()1

2n

n

a a nS

+ ×= .

Demonstração:

Designando por nS a soma dos n primeiros termos da PA tem-se:

1 2 3 2 1

1 2 3 2 1

n n n n

n n n n

S a a a a a a

S a a a a a a− −

− −

= + + + + + +

= + + + + + +

Somando membro a membro obtém-se:

()( )( ) ( )( )()1 2 1 3 2 2 3 1 2 12 n n n n n n nS a a a a a a a a a a a a− − − −× = + + + + + + + + + + + +

Note agora que, ao passarmos de um parêntese para o seguinte, a 1ª parcela aumenta de r e a segunda parcela diminui de r, o que não altera a soma. Portanto, todos os parênteses são iguais ao primeiro ()1 na a+ .

Com isso, tem-se:

()()

1

1

2

2

n n

nn

S a a n

a a nS

× = + ×

+ ×=

Sugerimos que, ao resolver exercícios que envolvam a necessidade de se calcular a soma de termos em PA, procure repetir os argumentos utilizados na demonstração, ao invés de empregar diretamente a fórmula.

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Exemplo 3: Uma fábrica de bijuterias, para aumentar suas vendas de pulseiras, propôs a seguinte meta mensal a seus vendedores: 1º dia útil: vender 1 pulseira, 2º dia útil: vender 3 pulseiras, 3º dia útil: vender 5 pulseiras e assim por diante, vendendo a cada dia útil duas pulseiras a mais do que havia vendido no dia útil anterior, até o 20º dia útil. O preço de um pulseira é R$ 15,00. No final do mês, os vendedores que cumprissem essa meta receberiam 20% de comissão sobre o total em reais de suas vendas.

a) Quantas pulseiras devem ser vendidas no 20º dia do mês?

b) O vendedor que cumprir a meta terá vendido quantas pulseiras no total?

c) Quanto ele receberá de comissão?

Solução:

a) Inicialmente, observe, que a sequência formada pelo número de vendas a serem realizadas formam uma PA já que, cada termo, a partir do segundo, é obtido do antecessor pela soma da constante 2. Designando por na o número de pulseiras a ser vendidas no enésimo dia, tem-se:

1

2

3

4

5

2019 parcelas

1

1 2 3

1 2 2 1 2 2 5

1 2 2 2 1 3 2 7

1 2 2 2 2 1 4 2 9

generalizando

1 2 2 2 2 2 1 19 2 39

a

a

a

a

a

a

=

= + =

= + + = + × =

= + + + = + × =

= + + + + = + × =

= + + + + + + = + × =

Logo, o total de pulseiras a ser vendidas no 20º dia útil é 39.

b) O vendedor que cumprir a meta deverá vender um total T, onde T é dado por:

1 3 5 35 37 39T = + + + + + +

Para calcular o valor de T procederemos conforme argumento presente na demonstração do teorema anterior.

20 parcelas

1 3 5 35 37 39

39 37 35 5 3 1

2 40 40 40 40 40 40

2 40 20

40 20400

2

T

T

T

T

T

= + + + + + += + + + + + += + + + + + +

= ××

= =

Logo, o vendedor que cumprir a meta mensal deverá vender 400 pulseiras.

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c) Como o preço de cada pulseira é R$ 15,00, tendo cumprido a meta de se vender 400 pulseiras, o vendedor terá acumulado um total de vendas igual a 400×R$ 15,00 = R$ 6000,00. Como sua comissão é de 20% sobre o total das vendas realizadas, sua comissão nesse mês será

de 20% de R$ 6000,00 20

6000 1200100 × =

, ou seja, R$ 1200,00.

Na resolução do exemplo acima, evitamos aplicar diretamente as fórmulas prontas. Recomendamos que você tutor proceda da mesma forma quando da resoluções dos problemas propostos.

Também no caso de progressão geométrica, é útil saber calcular a soma de seus n primeiros termos. Nesse caso temos um teorema análogo.

Teorema 2: A soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica ( )1 2 3, , , , ,na a a a , de

razão q, é dada por 1

11

n

n

qS a

q−

= ×−

.

Demonstração:

Designando por nS a soma dos n primeiros termos da PG tem-se:

4 3 21

1 2 3 2 1

1 2 3 2 1

1 4 3 2

[1]

[2]n n

n n n n

n n n n

a a aa a

n n n n

S a a a a a a

q S a q a q a q a q a q a q

q S a q a a a a a−

− −

− −

−

= + + + + + +

× = × + × + × + + × + × + ×

× = × + + + + + +

Fazendo agora [1] – [2] tem-se:

() ()1

1

1 1 1

1

1

1 1

1.

1

n

nn n n

a q

nn

n

n

S q S a a q a a q

q S a q

qS a

q

−×

− × = − × = − ×

− × = × −

−= ×

−

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Exemplo 4: O valor do faturamento anual de uma pequena empresa em 1987 foi de R$ 100.000,00, em 1988 foi de R$ 110.000,00, em 1989 foi de R$ 121.000,00 e, nos anos subsequentes, manteve um crescimento anual de 10% em seu faturamento, em relação ao faturamento do ano anterior.

a) Mantido esse crescimento, quanto essa empresa teria faturado em 1992?

b) Qual seria o faturamento total acumulado de 1987 a 1992?

Solução:

a) Inicialmente, observe que a sequência formada pelos faturamentos dessa empresa formam uma PG já que, cada termo, a partir do segundo, é obtido do antecessor pela multiplicação da constante 1,1 (crescimento de 10%). Designando por 1a o valor do faturamento da empresa em 1987, por 2a o valor do faturamento da empresa em 1988 e assim sucessivamente, até se chegar ao termo 6a que corresponderá ao valor do faturamento da empresa em 1992, tem-se:

( ) ()

()

1

2

2

3

5

6

100.000

100.000 1,1 110.000

100.000 1,1 1,1 100.000 1,1 121.000

generalizando

100.000 1,1 161.051

a

a

a

a

=

= × =

= × × = × =

= × =

Logo, o faturamento dessa empresa, em 1992, teria sido de R$ 161.051,00.

b) Designando o faturamento total dessa empresa, no período de 1987 a 1992, por T tem-se:

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

2 3 4 5 6 6

[1]

1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1 1,1

1,1 1,1 [2]

T a a a a a a

T a a a a a a

T a a a a a a

= + + + + +

× = × + × + × + × + × + ×

× = + + + + + ×

Fazendo [1] – [2]:

()1 6

1 6

1 6

1,1 1,1

1 1,1 1,1

1,1 100.000 1,1 161.0510,1 0,1

771.561

T T a a

T a a

a aT

T

− × = − ×

× − = − ×

− × − ×= =

− −=

Logo, o faturamento total dessa empresa foi de R$ 771.561,00.

Observe que, quando a razão q em uma PG é tal que 1 1q− < < , o valor de nq torna-se cada vez mais próximo de zero, a medida em que n aumenta. Em se tratando de uma PG infinita (com infinitos termos), podemos considerar o resultado a seguir.

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Teorema 3: Em uma progressão geométrica infinita, de razão q, com 1 1q− < < , a soma S de seus infinitos termos é igual a (converge para)

1

1a

Sq

=−

.

Demonstração:

Conforme dito anteriormente, quando 1 1q− < < , o valor de nq torna-se cada vez mais próximo

de zero ()0nq → , a medida em que n aumenta ( )n→∞ . Como 1

11

n

n

qS a

q−

= ×−

, a medida que

n aumenta ( )n→∞ , crescendo indefinidamente, a soma dos n primeiros termos tende a se tornar a soma dos infinitos termos nS S→ . Logo, intuitivamente, a medida que n cresce ( )n→∞ ,

11 1

1 1 01 1 1

n

n

aqS a a S

q q q− −

= × → × = =− − −

.

Uma das aplicações do teorema acima é a obtenção da geratriz de uma dízima periódica.

Exemplo 5: Calcule a geratriz da dízima periódica 3,177777...

Solução:

Note que esse número pode ser decomposto de forma a separar a parte que não se repete (não cíclica) da parte que se repete (cíclica) seguinte forma:

3,17777 3,1 0,07777= +

Como o racional 3,1 é facilmente convertido em fração, vamos nos ocupar, no momento, com a parcela 0,07777... Note que esse número pode ser decomposto como sendo o resultado da seguinte soma (com infinitas parcelas):

0,07777 0,07 0,007 0,0007 0,00007= + + + +

As parcelas do segundo membro dessa última igualdade são membros da PG infinita

( )0,07;0,007;0,0007;0,00007; ou, equivalentemente, 7 7 7 7

, , , ,100 1000 10000 100000

,

cuja razão é 0,007 10,07 10

q = = . Como a razão dessa PG é um número compreendido entre -1

e 1, segue que a parcela 0,07777... é a soma dos infinitos termos dessa PG. Ocorre que essa soma S pode ser calculada por:

1

7 77 10 7100 100

1 91 100 9 90110 10

aS

q= = = = × =

− −, ou seja,

70,07777

90= .

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Com isso, temos:

31 7 2863,17777 3,1 0,07777

10 90 90= + = + = .

Uma outra aplicação importante da soma dos termos de uma PG infinita são os exercícios que envolvem processos geométricos infinitos. Façamos um exemplo para ilustrar essa aplicação.

Exemplo 6: Uma partícula parte do ponto ()0 0,0P , desloca-se até o ponto ()1 0,1P , segue

para o ponto 2

1,1

2P

, depois para o ponto 3

1 3,

2 4P

e assim sucessivamente vai descrevendo

uma linha poligonal, no sentido horário, onde, o comprimento de cada lado dessa poligonal é igual à metade do lado anterior. Qual é o ponto de destino da partícula?

Solução:

Inicialmente listaremos as medidas dos deslocamentos executados pela partícula, na ordem de ocorrência:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11, , , , , , , , , , , , ,

2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096

Fizemos abaixo uma ilustração desses movimentos no plano cartesiano. Note que essa partícula executa 4 tipos de movimentos: vertical para cima, vertical para baixo, horizontal para a direita e horizontal para a esquerda. Considerando o movimento da partícula e observando a sequência das medidas acima, podemos identificar os movimentos:

• verticais para cima: 1 1 1

1, , , ,16 256 4096

• horizontais para a direita: 1 1 1

, , ,2 32 512

• verticais para baixo: 1 1 1

, , ,4 64 1024

• horizontais para a esquerda:

1 1 1, , ,

8 128 2048

Observe que as quatro sequências acima são PG’s infinitas, todas de razão 1

16q = . Como

10 1

16< < , vale considerar a soma dos infinitos termos de cada uma dessas PG’s.

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Assim, o total dos deslocamentos são:

• verticais para cima: 1 1 16

1 15 15116 16

cV = = =−

• horizontais para a direita:

1 11 16 82 2

1 15 2 15 15116 16

DH = = = × =−

• verticais para baixo:

1 11 16 44 4

1 15 4 15 15116 16

BV = = = × =−

• horizontais para a esquerda:

1 11 16 28 8

1 15 8 15 15116 16

EH = = = × =−

A diferença entre a soma dos deslocamentos verticais para cima e a soma dos deslocamentos verticais para baixo fornecem a altura final da partícula:

16 4 12 415 15 15 5C BV V− = − = = .

A diferença entre a soma dos deslocamentos horizontais para a direita e a soma dos deslocamentos horizontais para a esquerda fornecem a posição horizontal final da partícula:

8 2 6 215 15 15 5D EH H− = − = = .

Portanto, as coordenadas do ponto que fornece a posição final da partícula serão dadas por:

• abscissa: 25D EH H− = .

• ordenada: 45C BV V− = .

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Atividade 1: Em uma fila, a trigésima segunda pessoa ocupa o lugar central. Qual o número de pessoas nessa fila?

Atividade 2: Verifique se as sequências dadas abaixo são progressões aritméticas ou geométricas, em caso positivo, identifique sua razão.

a) ( )2,5,8,11,15

b) 1 1 1 11, , , ,

2 4 8 16 − − −

c) ( )3,3,3,3,3

d) ( ), , 3a b a b a b− + +

Atividade 3: Uma fábrica de bijuterias, para aumentar suas vendas de pulseiras, propôs a seguinte meta mensal a seus vendedores: 1º dia útil: vender 1 pulseira, 2º dia útil: vender 3 pulseiras, 3º dia útil: vender 5 pulseiras e assim por diante, vendendo a cada dia útil duas pulseiras a mais do que havia vendido no dia útil anterior, até o 20º dia útil. O preço de um pulseira é R$ 15,00. No final do mês, os vendedores que cumprissem essa meta receberiam 20% de comissão sobre o total em reais de suas vendas.

a) Quantas pulseiras devem ser vendidas no 20º dia do mês?

b) O vendedor que cumprir a meta terá vendido quantas pulseiras no total?

c) Quanto ele receberá de comissão?

Atividade 4: O valor do faturamento anual de uma pequena empresa em 1997 foi de R$ 100.000,00, em 1998 foi de R$ 110.000,00, em 1999 foi de R$ 121.000,00 e, nos anos subsequentes, manteve um crescimento anual de 10% em seu faturamento, em relação ao faturamento do ano anterior.

a) Mantido esse crescimento, quanto essa empresa teria faturado em 1992?

b) Qual seria o faturamento total acumulado de 1997 a 1992?

Atividade 5: Calcule a geratriz da dízima periódica 3,177777...

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Atividade 6: Uma partícula parte do ponto ()0 0,0P , desloca-se até o ponto

()1 0,1P , segue para o ponto 2

1,1

2P

, depois para o ponto 3

1 3,

2 4P

e assim

sucessivamente vai descrevendo uma linha poligonal, no sentido horário, onde, o comprimento de cada lado dessa poligonal é igual à metade do lado anterior. Qual é o ponto de destino da partícula?

Atividade 7: Uma pessoa obesa, pesando em um certo momento 156 kg, recolhe-se a um spa onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por semana. Suponha que isso de fato ocorra.

a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que essa pessoa poderá atingir após n semanas.

b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para sair de lá como menos de 120 kg de peso.

Atividade 8: A Festa Junina promovida por uma escola foi enfeitada com bandeirinhas coloridas. As bandeirinhas foram colocadas em linha reta na seguinte ordem: 1 bandeirinha azul, 1 vermelha, 1 verde, 2 azuis, 2 vermelhas, 2 verdes, 3 azuis, 3 vermelhas, 3 verdes, e assim por diante. Depois de colocadas 108 bandeirinhas, quantas bandeirinhas de cor vermelha foram colocadas?

Atividade 9: Uma bobina de papel tem raio interno medindo 5 cm, raio externo medindo 10 cm e a espessura do papel é 0,01 cm. Qual é o comprimento da bobina desenrolada?

Atividade 10: Os inteiros de 1 a 1000 são escritos ordenadamente em torno de um círculo. Partindo de 1, riscamos os números de 15 em 15, isto é, riscamos 1, 16, 31, .... O processo continua até se atingir um número já previamente riscado. Quantos números sobram sem serem riscados?

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OFICINA 7

MATEMÁTICA FINANCEIRAOFICINA 7

Meta:– Introduzir os temas de Matemática Financeira.

Objetivos: Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de: • reconhecer o que são juros, capital e montante;• resolver problemas envolvendo taxa de juros;• avaliar diversas opções de financiamento.

Pré-requisito:– Potenciação e PG.

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Veremos agora, um tema que se constitui numa importante aplicação de Progressões Geométricas: Matemática Financeira. Um bom conhecimento de Matemática Financeira é fundamental para uma boa formação de consumidores conscientes. Assim, os saberes associados à esse tema formam alguns dos fundamentos para a Educação Financeira.

Em Matemática Financeira, a ideia central é deslocar quantias ao longo do tempo pois o valor de uma quantia depende da época à qual ela está referida.

Para uma boa compreensão das ideias associadas a esse tema, vamos introduzir alguns conceitos. Chamaremos de capital C (ou principal) o valor a ser aplicado (ou tomado por empréstimo) por um determinado período de tempo. Após esse período, o valor aplicado (emprestado) recebe uma remuneração J pela aplicação (empréstimo). Essa remuneração recebe o nome juro. A soma C J+ é chamada de montante e será representada por M. A razão i J C= , que será sempre referida ao período da operação é chamada de taxa de juros.

Para uma melhor compressão desses conceitos, vamos considerar o seguinte cenário: Artur tomou um empréstimo de R$ 1000,00. Dois meses após, pagou R$ 1440,00. Os juros pagos por Artur são de R$ 440,00 e a taxa de juros é de 440 1000 0,44 44%= = ao bimestre. O principal, que é a dívida inicial de Artur, é igual a R$ 1000,00. O montante, que é a dívida na época do pagamento, é de R$ 1440,00.

Considere agora esse outro cenário: Márcio tomou um empréstimo de R$ 1000,00, a uma taxa de juros de 15% ao mês. Após um mês, a dívida de Márcio será acrescida de juros, que são 15

1000 0,15 1000 150100

× = × = , ou seja, R$ 150,00, passando assim ao valor de R$ 1000,00

+ R$ 150,00 = R$ 1150,00. Se Márcio e seu credor concordarem em adiar a liquidação da dívida por mais um mês, mantida a mesma taxa de juros, o empréstimo será quitado, dois meses depois de contraído, por R$ 1322,50, pois os juros relativos ao segundo mês serão

de 15

1150 0,15 1150 172,50100

× = × = , ou seja, de R$ 172,50, que somados a R$ 1150,00

resulta no montante de R$ 1322,50. Os juros calculados dessa forma, são chamados de juros compostos. Num regime de juros compostos, os juros em cada período são calculados, conforme é natural, sobre a dívida do início desse período.

Um erro muito comum é as pessoas acharem que juros de 15% ao mês dão, em dois meses, juros de 30% ao bimestre. Note, pela situação relatada acima, que juros de 15% ao mês, correspondem a uma taxa de juros bimestral de 32,35%.

O primeiro resultado dessa oficina é o seguinte:

Teorema 1: No regime de juros compostos de taxa i, um principal 0C se transforma, depois de n períodos de tempo, em um montante ()0 1

n

nC C i= × + .

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Demonstração:

Para cada k, indiquemos por kC o montante depois de k períodos. Tem-se que ()1 1k k k kC C i C i C+ = + × = + × . Daí, pode-se perceber que a sequência formada pelos montantes

( )0 1 2 3, , , , , ,nC C C C C é uma PG de razão ()1 i+ , já que cada termo é igual ao seu antecessor

multiplicado pela constante ()1 i+ . Assim sendo, o termo geral dessa PG é ()0 1n

nC C i= × + .

Na resolução do exemplo acima, evitamos aplicar diretamente as fórmulas prontas. Recomendamos que você, tutor, proceda da mesma forma quando da resoluções dos problemas propostos.

Exemplo 1: Flávia aplicou R$ 500,00 a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual será o montante de Flávia três meses depois?

Solução:

Pelo teorema: () () ()3 3 3

3 0 3 31 500 1 0,1 500 1,1C C i C C= × + ⇒ = × + ⇒ = × .

Logo 3 500 1,331 665,50C = × = , ou seja, o montante de Flávia, três meses depois da aplicação é igual a R$ 665,50.

Considere agora que eu consiga fazer com que meu dinheiro renda 5% ao mês. Nesse caso, o dinheiro vale para mim 5% ao mês. Portanto, do ponto de vista financeiro, é indiferente para eu pagar agora R$ 100,00 ou pagar, daqui a 1 mês, R$ 105,00. Na verdade, trata-se da mesma quantia, referida a períodos distintos. Entretanto, é para mim mais vantajoso pagar agora R$ 100,00 do que, daqui a 1 mês, pagar R$ 108,00, não porque 108 é maior do que 100, mas pelo fato de que, daqui a 1 mês, os R$ 100,00 desembolsados hoje corresponderiam a R$ 105,00 a serem desembolsados daqui a 1 mês. Por outro lado, é mais vantajoso pagar R$ 104,00 daqui a 1 mês do que R$ 100,00 hoje.

Note que só podemos comparar duas quantias quando elas estão referidas num mesmo instante. Na situação do parágrafo anterior, R$ 100,00 e R$ 105,00 daqui a 1 mês são quantias equivalentes. Esse é o ponto central em matemática financeira. Portanto, em matemática financeira, o que se faz, o tempo todo, é deslocar quantias no tempo.

O teorema apresentado pode ser interpretado da seguinte forma: uma quantia, cujo valor atual é A, equivalerá no futuro, depois de n períodos de tempo, a ()1

nF A i= × + , ou seja, para

se obter o valor futuro F basta multiplicar o valor atual por ()1n

i+ . Em contrapartida, para se obter o valor atual A basta dividir o valor futuro F por ()1

ni+ . Com isso, o deslocamento de

uma quantia no tempo é feito multiplicando ou dividindo essa quantia por ()1n

i+ , conforme se deseje avançar ou retroceder essa quantia no tempo.

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Verifique na plataforma um aplicativo que mostra a o valor relativo de uma quantia no tempo.

Exemplo 2: André tomou um empréstimo de R$ 600,00 a juros mensais de 5%. Dois meses após, André pagou R$ 300,00 e, um mês depois desse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?

Solução:

Considere os seguintes esquemas de pagamento:

Logo, R$ 600,00 na data inicial tem o mesmo valor de R$ 300,00 dois meses depois mais um pagamento igual a P, realizado no terceiro mês.

O importante é transferirmos todas as quantias para um mesmo período (qualquer período) para em seguida igualá-los. Vamos então deslocar todas as quantias para a data inicial. Para isso devemos retornar a quantia de R$ 300,00 por dois meses e a quantia de valor P por 3 meses. Assim teremos:

( ) ( )( )

2 3

3

300600

1 0,05 1 0,05

600 1,05 300 1,05

694,58 315 379,58

P

P

P

= ++ +

= × − ×

= − =

Logo, o valor do último pagamento é R$ 379,58.

Sugerimos que, ao se resolver problemas de matemática financeira onde se tem mais de um período envolvido, que se monte um esquema (diagrama de fluxo), como feito no exemplo anterior, para representar os valores, cada um no período respectivo. Isso ajuda a compreensão e montagem do procedimento de resolução.

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Exemplo 3: Silvio tem duas opções de pagamento na compra de uma guitarra: três prestações mensais iguais, cada uma no valor de R$ 160,00, ou sete prestações mensais de R$ 70,00 cada. Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o dinheiro vale 2% ao mês para Silvio, qual das duas opções é economicamente mais vantajosa?

Solução:

Para compararmos as duas opções, consideraremos o valor dos dois conjuntos de pagamentos num mesmo período, por exemplo, na época 2. Os esquemas de pagamentos são:

Chamando de 1V e 2V os valores dos dois conjuntos de pagamentos, reduzidos para a época 2, teremos:

( ) ( )2

1 160 1 0,02 160 1 0,02 160 489,66V = × + + × + + =

() ()()()()

2

2 2 3 4

70 70 70 7070 1,02 70 1,02 70 480,77

1,02 1,02 1,02 1,02V = × + × + + + + + =

Logo, do ponto de vista econômico, o pagamento em sete parcelas mensais iguais de R$ 70,00 cada é mais vantajoso que o pagamento em três parcelas mensais iguais de R$ 160,00.

Em geral, as pessoas acham que o pagamento em três parcelas mensais é mais vantajoso do que o pagamento em sete parcelas mensais. Esse raciocínio é incorreto pois soma várias quantias, consideradas em períodos diferentes.

Note que, na resolução do último exemplo, foi escolhido um período para o qual foram convertidos todos os demais valores, de maneira a estarem referidos a um mesmo período, de forma a podermos somá-los e compará-los. A escolha do período 2 não tem nada de especial. Foi feito apenas para diminuir as potências envolvidas e, com isso, diminuir as contas, já que, se escolhêssemos converter todos os valores para o período 0, por exemplo, teríamos que dividir a última parcela de R$ 70,00 por ()61,02 , a penúltima por ()51,02 , e assim por diante. A conclusão final seria a mesma, mas as contas ficariam um pouco dificultadas (obviamente que essa dificuldade é relativa, pois depende do tipo de calculadora que se tem à disposição).

Você deve estar estranhando estarmos falando de matemática financeira e até o momento não falamos em juros simples. Não foi esquecimento, garanto. O fato é que na vida real, o que

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existem são juros compostos. Nenhuma instituição financeira oferece empréstimos em regime de juros simples e, por outro lado, nenhuma aplicação financeira remunera o capital investido através de juros simples. Por essa razão, deliberadamente, resolvemos dar ênfase aos juros compostos.

Entretanto há sim poucas situações na vida real onde se praticam juros simples, uma delas, e a principal delas, são os juros de mora.

No regime de juros simples, os juros relativos a cada período são calculados sobre o principal e não sobre o montante do período anterior. Por exemplo, um capital de R$ 1000,00, a juros simples de 10% ao mês, evolui segundo a tabela abaixo.

Período n (em meses) 0 1 2 3 4 ...

Capital nC (em reais) 1000 1100 1200 1300 1400 ...

Assim, calcular juros simples é bastante fácil pois a taxa incide sempre sobre o capital inicial. No exemplo em tela, os juros são sempre de 10% de R$ 1000,00, ou seja, de R$ 100,00.

Note que a evolução do capital, num regime de juros simples, forma uma Progressão Aritmética, que no exemplo acima tem razão R$ 100,00.

Observe o gráfico a seguir onde estão representadas as evoluções de um capital 0C , submetido a uma mesma taxa mensal de juros igual a i, num regime de juros simples e de juros compostos.

Observe que montante a juros compostos é superior ao montante a juros simples, exceto se o prazo for menor que 1 período. é por isso que juros simples só são utilizados em cobranças de juros em prazos inferiores ao prazo ao qual se refere a taxa de juros estabelecida. Moral da história: as instituições financeiras só jogam para ganhar, sempre. As regras de contrato são sempre favoráveis a elas!

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Atividade 1: Flávia aplicou R$ 500,00 a uma taxa de juros de 10% ao mês. Qual será o montante de Flávia três meses depois?

Atividade 2: André tomou um empréstimo de R$ 600,00 a juros mensais de 5%. Dois meses após, André pagou R$ 300,00 e, um mês depois desse pagamento, liquidou seu débito. Qual o valor desse último pagamento?

Atividade 3: Silvio tem duas opções de pagamento na compra de uma guitarra: três prestações mensais iguais, cada uma no valor de R$ 160,00, ou sete prestações mensais de R$ 70,00 cada. Em ambos os casos, a primeira prestação é paga no ato da compra. Se o dinheiro vale 2% ao mês para Silvio, qual das duas opções é economicamente a mais vantajosa?

Atividade 4: Pedro comprou um rádio, pagando R$ 180,00, um mês após a compra e R$ 200,00, dois meses após a compra. Se os juros são de 25% sobre o saldo devedor, qual é o preço do rádio à vista?

Atividade 5: ângela tomou um empréstimo de R$ 400,00, por dez meses. Os juros foram de 3% ao mês durante os quatro primeiros meses, de 5% ao mês durante os cinco meses seguintes e de 9% ao mês no último mês. Qual o montante pago?

Atividade 6: Uma lanterna de Gol, original, custa R$ 280,00 e tem vida útil de 5 anos. Uma lanterna alternativa custa R$ 70,00 e tem vida útil de 1 ano. Gilmar precisa trocar a lanterna de seu Gol. Considerando que o dinheiro vale 12% ao ano, do ponto de vista econômico, qual lanterna ele deve preferir?

Atividade 7: Uma geladeira custa R$ 1.000,00 à vista e pode ser paga em três prestações iguais. Se são cobrados juros de 6% ao mês sobre o saldo devedor, determine o valor da prestação, supondo que a primeira prestação é paga:

a) no ato da compra;

b) um mês após a compra;

c) dois meses após a compra.

Atividade 8: Uma conta de R$ 700,00 vencia no dia 25 de outubro de 1996 e foi paga em 5 de novembro de 1996. Quanto se pagou de juros, se os juros de mora são de 12% ao mês?

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Atividade 9: As cadernetas de poupança renderam 100% em 10 anos e, a inflação nesse período foi de 72%. Qual foi a rentabilidade real da cardeneta de poupança nesse período?

Atividade 10: Um equipamento pode ser alugado por R$ 75,00 mensais ou comprado por R$ 2.000,00. A vida útil do equipamento é de 30 meses e o valor residual ao fim desse período é de R$ 300,00. Se o equipamento for comprado, há um custo mensal de R$ 5,00 de manutenção. Considerando o valor do dinheiro de 1% ao mês, qual deve ser a decisão: comprar ou alugar?

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OFICINA 8

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS EOFICINA 8

Meta:– Introduzir a noção de semelhança de triângulos e o Teorema de Tales.

Objetivos:– Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de resolver

problemas envolvendo: • o Teorema de Tales;• a semelhança de triângulos.

Pré-requisito:– Grandezas proporcionais.

O TEOREMA DE TALES

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Nessa oficina trataremos de semelhança de triângulos e do Teorema de Tales que são dois alicerces da Geometria Euclidiana. A semelhança entre figuras planas é uma importante ferramenta em várias áreas, como Arquitetura e Engenharia, por exemplo. Plantas, mapas e maquetes são exemplos de aplicações das ideias de semelhança.

Trataremos particularmente da noção de semelhança entre triângulos, traçando um paralelo com o conceito de congruência, pois por serem conceitos que guardam alguma semelhança entre si, geram alguma confusão.

1. Teorema de Tales

Quando duas retas são transversais a um conjunto de retas paralelas, essas paralelas determinam sobre as transversais vários segmentos.

Teorema (Tales): A razão entre os comprimentos de dois quaisquer desses segmentos sobre uma das transversais é igual à razão entre os comprimentos dos segmentos correspondentes na outra transversal.

1 1 2 2 1 1 2 21 2 3

1 1 2 2 1 1 2 2

e AB A B AB A B

r r rBC B C AC A C

⇒ = =// // .

A demonstração do Teorema de Tales se baseia no Teorema Fundamental da Proporcionalidade.

Teorema (Fundamental da Proporcionalidade): Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo corta os outros dois lados, então ela os divide na mesma razão.

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r // ';BC

ABAD

ACAE

DBAD

ECAE e

ABDB

ACEC= = =&

Uma aplicação importante do Teorema Fundamental da Proporcionalidade é o Teorema da Bissetriz:

Teorema: Se ABC é um triângulo e AD

é a bissetriz do ângulo A, com D pertencente ao lado

BC então DB DCAB AC

= .

AD é bicetriz de BACABDB

ACDC=&S .

As demonstrações desses três teoremas encontram-se na plataforma. Consulte!

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Exemplo 1: Este mapa mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias transversais. Algumas das distâncias entre os cruzamentos dessas vias e estradas estão indicadas no mapa (em km), mas as outras precisam ser calculadas. Quais os valores de x, y e z?

Solução:

Esse exemplo é uma aplicação direta do Teorema de Tales. Temos que:

15 12 4522,5

18 2z

z= ⇒ = = km.

20 20 45030

15 15 15y z

yz

×= ⇒ = = = km

12 12 1510

15 18 18x

x×

= ⇒ = = km.

2. Sobre semelhança e congruência

é comum os alunos fazerem confusão com esses dois conceitos por não perceberem a diferença entre eles.

Na tentativa de esclarecer esses conceitos, fixar suas diferenças e dirimir eventuais dúvidas, passemos à análise de ambos.

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Definição de congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes se houver uma correspondência entre seus vértices, de modo que:

• os ângulos correspondentes sejam congruentes;

• os lados correspondentes sejam congruentes.

Definição de semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se houver uma correspondência entre seus vértices, de modo que:

• os ângulos correspondentes sejam congruentes;

• os lados correspondentes sejam proporcionais.

Observando essas duas definições, que de fato são bastante parecidas, vamos destacar as similaridades e as diferenças.

O que elas têm em comum:

•Ambas exigem existir uma correspondência entre os vértices dos dois triângulos, segundo a qual os ângulos em correspondência sejam congruentes.

O que as diferenciam:

•Na congruência, os lados em correspondência devem ser congruentes;

•Na semelhança, os lados em correspondência devem ser proporcionais.

Assim, marcadamente, a diferença é relativa aos lados em correspondência. No caso da congruência de triângulos exige-se que a congruência entre esses lados e, no caso da semelhança de triângulos, a proporcionalidade entre eles.

Aí está a diferença entre esses dois conceitos. Mas para melhor compreendê-los, façamos algumas reflexões sobre o tema.

Quando dois triângulos são congruentes, eles são “iguaizinhos” pois se assemelham pela forma (pois possuem os ângulos correspondentes congruentes) e também pelo tamanho (pois possuem os lados correspondentes congruentes). Assim, triângulos congruentes são tais que seria possível “colocarmos” um sobre o outro de maneira a coincidirem totalmente, por meio de um movimento rígido.

Já quando dois triângulos são semelhantes, eles não são “iguaizinhos”. Eles têm sim a mesma forma (já que possuem os ângulos correspondentes congruentes) mas não possuem necessariamente o mesmo tamanho (pois nesse caso exige-se somente que os lados correspondentes sejam proporcionais). Assim, triângulos semelhantes são iguais na forma, não necessariamente no tamanho.

Passemos a uma discussão mais técnica:

Dados dois triângulos ABC e DEF, se existir uma correspondência entre seus vértices, digamos

• A D↔

• B E↔

• C F↔

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tal que os ângulos em correspondência sejam congruentes, ou seja:

• A D/S S

• B E≡

• C F/S S

os triângulos ABC e DEF têm a chance de serem congruentes ou semelhantes. Por definição, o que determinará se serão congruentes ou semelhantes é se os lados em correspondência serão congruentes ou proporcionais, isto é,

ABC DEF9 9/ se:

• AB/DE

• BC/EF

• CA/FD

ABC9 + DEF9 se:

• DEAB

EFBC

FDCA= =

Você deve estar se perguntando:

“Mas se AB DE≡ , BC EF≡ e CA FD≡ então, nesse caso teríamos 1ABDE

= , 1BCEF

= , 1CAFD

= , ou

seja, 1AB BC CADE EF FD

= = = . Então não é a mesma coisa?”

Pois é, a argumentação está correta. O que não está correto é a conclusão ao final quando se estabelece a pergunta.

De fato se AB DE≡ , BC EF≡ e CA FD≡ então, nesse caso teríamos 1ABDE

= , 1BCEF

= , 1CAFD

= , ou seja,

1AB BC CADE EF FD

= = = .

Daí podemos concluir que se dois triângulos são congruentes, então são também semelhantes. Intuitivamente falando, se dois triângulos são “iguaizinhos” eles têm que ter a mesma forma.

Entretanto a recíproca não é verdadeira, ou seja, se AB BC CADE EF FD

= = não podemos concluir que AB DE≡ , BC EF≡ e CA FD≡ .

Por exemplo, considere dois triângulos equiláteros ABC e DEF onde os lados do primeiro tenham medidas iguais a 2 cm e os lados do segundo tenham medidas iguais a 4 cm. Intuitivamente já se pode perceber que esses dois triângulos não são “iguaizinhos” pois não terão o mesmo “tamanho”. Entretanto eles possuem a mesma forma. Perceba que ao estabelecermos a correspondência

A D↔ , B E↔ e C F↔

teremos os três pares de ângulos correspondentes congruentes entre si (nesse caso todos medem 60º), mas não teremos os três pares da lados correspondentes congruentes entre si, pois os lados de um dos triângulos têm medidas diferentes dos lados do outro triângulo.

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Entretanto, podemos afirmar que

2 14 2

ABDE

= = , = =2 14 2

BCEF

, 2 14 2

CAFD

= =

ou seja,

12

AB BC CADE EF FD

= = = .

Daí podemos concluir que os triângulos ABC e DEF são semelhantes.

Intuitivamente: dois triângulos podem ser completamente diferentes na forma e no tamanho. Porém, se forem iguais na forma (são as medidas dos ângulos que caracterizam a forma do triângulo) eles são ditos triângulos semelhantes. Se além de iguais na forma forem também iguais no tamanho eles são ditos congruentes.

Se você atentar para essas duas definições, perceberá que em ambas se fala na existência de uma correspondência entre os vértices que cumpra certas propriedades. Mas dados dois triângulos ABC e DEF, há seis correspondências possíveis entre seus vértices. Listemos todas elas:

A D)

B E)

C F)

A D)

B F)

C E)

A E)

B D)

C F)

A E)

B F)

C D)

A F)

B E)

C D)

A F)

B D)

C E)

A questão então é verificar se alguma dessas seis correspondências tem as propriedades apresentadas nas definições que são:

• possuir os ângulos em correspondência congruentes;

• possuir os lados em correspondência:

- congruentes [triângulos congruentes]

- proporcionais [triângulos semelhantes]

Portanto, dados dois triângulos, deveríamos verificar, dentre as seis possíveis correspondências entre seus vértices, se alguma delas se enquadra em uma das definições. Para tal, deveríamos verificar a ocorrência de três congruências, entre os três pares de ângulos e, também, três congruências entre os três pares de lados (caso em que teríamos a congruência entre os dois triângulos), ou ainda, a proporcionalidade entre os pares de lados dos dois triângulos (caso em que teríamos a semelhança entre os dois triângulos). Assim verificar congruência ou semelhança entre dois triângulos pela definição é algo bastante trabalhoso. é aí que entram os casos de congruência e de semelhança para nos socorrer.

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Casos de congruência entre triângulos.

1º Caso L.A.L.: Se dois triângulos ABC e DEF são tais que AB DE≡ , B E≡ e BC EF≡ , então ABC DEF∆ ≡ ∆ . [Axioma]

(Aqui é necessário e suficiente que se tenha dois pares de lados congruentes e os dois ângulos, formados por esses dois pares de lados congruentes nos dois triângulos, também sejam congruentes).

2º Caso A.L.A.: Se dois triângulos ABC e DEF são tais que A D/S S, AB DE≡ e B E≡ , então ABC DEF∆ ≡ ∆ . [Demonstrável]

(Aqui é necessário e suficiente que se tenha dois pares de ângulos congruentes e os dois lados, adjacentes aos dois pares de ângulos congruentes nos dois triângulos, também sejam congruentes).

3º Caso L.L.L.: Se dois triângulos ABC e DEF são tais que AB DE≡ , BC EF≡ e AC DF≡ , então ABC DEF∆ ≡ ∆ . [Demonstrável]

(Aqui é necessário e suficiente que se tenha os três pares de lados congruentes nos dois triângulos).

4º Caso L.A.Ao.: Se dois triângulos ABC e DEF são tais que AB DE≡ , B E≡ e C F/S S, então ABC DEF∆ ≡ ∆ . [Demonstrável]

(Aqui é necessário e suficiente que se tenha um par de lados congruentes, um par de ângulos, adjacentes a esses lados congruentes também congruentes e o par de ângulos opostos a esse par de lados congruentes, sejam congruentes).

5º Caso L.L.A.(exclusivo para triângulos retângulos): Se dois triângulos ABC e DEF são retângulos e têm um par de catetos congruentes e suas hipotenusas também congruentes, então ABC DEF∆ ≡ ∆ . [Demonstrável](Aqui é necessário e suficiente que os dois triângulos sejam retângulos, que se tenha um par de catetos congruentes e o par de hipotenusas também congruentes).

Perceba que utilizar os casos de congruência entre triângulos é bem mais simples e mais rápido que aplicar a definição de congruência. Assim os casos de congruências servem para facilitar o nosso trabalho. Em qualquer um dos casos basta verificarmos somente 3 congruências, ao passo que pela definição, devemos explicitar uma correspondência entre os vértices que cumpre 6 congruências (entre os 3 pares de ângulos e os 3 pares de lados). Não é mais econômico?

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Casos de semelhança entre triângulos.

1º Caso (AA): Se dois triângulos ABC e DEF são tais que A D/S S e B E≡ então ABC DEF+9 9 . [Demonstrável](Aqui é necessário e suficiente que se tenha dois pares de ângulos congruentes).

2º Caso (LAL): Se dois triângulos ABC e DEF são tais que B E≡ e AB BCDE EF

= , então ABC DEF∆ ∼ ∆ . [Demonstrável]

(Aqui é necessário e suficiente que se tenha um par de ângulos congruentes e os dois pares de lados, adjacentes a esse par de ângulos congruentes, proporcionais).

3º Caso (LLL): Se dois triângulos ABC e DEF são tais que AB BC CADE EF FD

= = , então ABC DEF+9 9 . [Demonstrável](Aqui é necessário e suficiente que se tenha os três pares de lados proporcionais).

Perceba que utilizar os casos de semelhança entre triângulos é bem mais simples e mais rápido que aplicar a definição de semelhança. Assim os casos de semelhança também servem para facilitar o nosso trabalho. Em qualquer um dos casos basta verificarmos uma quantidade menor de condições do que as descritas na definição de semelhança. é bem mais econômico, não acha?

Observação: No caso dos triângulos ABC e DEF serem semelhantes e a correspondência entre

os vértices for A D↔ , B E↔ e C F↔ , teremos, consequentemente, AB BC CADE EF FD

= = . Nesse

caso, seja k o valor comum dessas três razões, ou seja,

AB BC CAk

DE EF FD= = = .

Dizemos que k é a razão de semelhança do triângulo ABC para o triângulo DEF. Perceba, por

consequência, que 1k

será a razão de semelhança do triângulo DEF para o triângulo ABC pois

1DE EF ADAB BC DF K

= = = .

Em geral o aluno só consegue visualizar a semelhança entre dois triângulos quando a posição relativa entre eles é bastante favorável. Por isso deve-se explorar exercícios onde os triângulos seja apresentados em posições diferenciadas. Mesmo quando o aluno visualiza a semelhança, é frequente cometer-se erros ao estabelecer a proporcionalidade entre os lados.

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Exemplo 2: Consideremos um triângulo ABC de lados 10BC = cm. Seja um segmento CD interno ao triângulo tal que D seja um ponto do lado AB. Sabendo que 4BD = cm e os ângulos BACS e BCDS são congruentes determine a medida de AD.

Solução:

Deve-se inicialmente orientar o aluno a fazer um desenho representando todas as informações contidas no enunciado. Em geral uma ilustração ajuda muito em problemas de geometria.

Representando em uma figura os dados do problema e indicando por x a medida do segmento AD desejado obtém-se:

Vale registrar que é comum, a essa altura, o aluno tentar considerar um triângulo que tenha por um dos lados a medida solicitada e tentar mostrar que esse triângulo é semelhante a algum outro triângulo da figura. Importante comentar que esse imediatismo nem sempre conduz a um caminho de solução, pois nesse caso, inclusive, o triângulo ADC, que contém AD como um de seus lados, não é semelhante a nenhum outro triângulo da figura.

O ângulo CBD é o mesmo que o ângulo CBA . Logo os triângulos ABC e CBD possuem dois pares de ângulos congruentes e, portanto, ABC CBD9 9+ , sendo a correspondência entre os vértices dada por: A C↔ , B B↔ e C D↔ .

Consequentemente, os lados em correspondência nesses dois triângulos são proporcionais. Os lados em correspondência nos triângulos semelhantes ABC e CBD são: BC BD↔ , AC CD↔ e AB CB↔ .

Então pode-se afirmar que: BC AC ABBD CD CB

= = e, particularmente, que: BC ABBD CB

= .

Observe que somente essas duas proporções nos interessam nesse caso, pois é somente sobre esses segmentos que temos informações.

Dessa última proporção temos: 10 44 10

x+= , donde 21x = cm.

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Atividade 1: Este mapa mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por três vias transversais. Algumas das distâncias entre os cruzamentos dessas vias e estradas estão indicadas no mapa (em km), mas as outras precisam ser calculadas. Calcule as distâncias x, y e z.

Atividade 2: Consideremos um triângulo ABC de lados 10BC = cm. Seja um segmento CD interno ao triângulo tal que D seja um ponto do lado AB. Sabendo que 4BD = cm e os ângulos BACS e BCDS são congruentes, determine a medida de AD.

Atividade 3: Um terreno, em forma de triângulo, está repartido em dois lotes, por meio de um muro paralelo a um dos lados do terreno, conforme indicado na figura abaixo. Qual a extensão desse muro?

Atividade 4: Para a realização de uma experiência, uma rampa reta e plana de 2m de comprimento, de plástico transparente, foi colocada sobre um terreno plano e horizontal. Quando os raios de sol eram perpendiculares ao terreno, fez-se rolar uma bola desde o ponto mais alto da rampa até o solo, observando-se que a sombra da bola sobre o terreno percorreu uma distância de 1,6 m. Que distância percorreu essa sombra, quando a bola se deslocou 50 cm sobre a rampa?

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Atividade 5: Para medir a altura de uma árvore, foi usada uma vassoura de 1,5 m, verificando-se que, no momento em que ambas estavam em posição vertical em relação ao terreno, a vassoura projetava uma sombra de 2 m e a árvore, de 16 m. Qual a altura da árvore?

Atividade 6: Os lados de um triângulo medem 8 cm, 10 cm e 12 cm. De quanto precisamos prolongar o menor lado para que ele encontre a bissetriz do ângulo externo oposto a este lado?

Atividade 7: No triângulo ABC da figura abaixo, AS é bissetriz interna do ângulo A e AP é bissetriz externa. Calcule a medida do segmento SP (todas as medidas estão dadas em cm).

Atividade 8: Na figura abaixo, o quadrado está inscrito no triângulo ABC. Qual a medida do lado desse quadrado?

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Atividade 9: Determine o valor de x no triângulo abaixo.

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OFICINA 9

ALGUMAS CONSEQUÊNCIAS OFICINA 9

Meta:– Introduzir alguns resultados decorrentes do axioma das paralelas.

Objetivos:– Ao término dessa oficina o aluno deverá ser capaz de resolver

problemas envolvendo: • a soma dos ângulos internos de um triângulo;• o Teorema de Pitágoras;• relações métricas num triângulo retângulo.

Pré-requisito:– semelhança de triângulos

DO AXIOMA DAS PARALELAS

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Consideraremos, agora, alguns resultados que são consequência do Axioma das Paralelas, portanto são propriedades específicas da Geometria Euclidiana. Na plataforma você encontrará material relativo ao Axioma das Paralelas.

Vale registrar que semelhança de triângulos e o Teorema de Tales também são decorrentes do Axioma das Paralelas.

Teorema: A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.

Demonstração:

Dado o triângulo ABC, seja r a reta paralela ao lado BC e que passa pelo vértice A. Considere as medidas a , b e c dos ângulos, conforme indicados na figura.

Temos que 180+ + = cb a cl l .

Por outro lado, as retas AB

e AC

são ambas transversais às retas paralelas r e BC

. Como os ângulos b e bl, bem como c e cl, são alternos internos determinados por duas paralelas, segue que bl = b e cl = c.

Ao substituir bl = b por cl = c em 180+ + = cb a cl l , obtém-se: 180+ + = cb a c .

Vários resultados importantes são decorrentes de semelhança entre triângulos. São as chamadas relações métricas em um triângulo retângulo. O mais importante desses resultados é o Teorema de Pitágoras. Existem diversas demonstrações para esse teorema. Algumas delas apresentaremos na oficina sobre áreas. Aqui apresentaremos uma demonstração simples, comum nos livros didáticos, cuja argumentação se vale de semelhança de triângulos.

Porém, precisamos introduzir resultados prévios que serão úteis na demonstração do Teorema de Pitágoras.

Teorema: Em um triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-o em dois triângulos que são semelhantes um ao outro e também semelhantes ao triângulo original.

Demonstração:

Considere um triângulo ABC, retângulo em A. Seja AH a altura desse triângulo, relativa à hipotenusa. Mostraremos que ABC HBA HAC9 9 9+ + .

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Como o ângulo em A é reto, tem-se que 90+ = ca bl .

Como c é reto, tem-se que 90+ = ca bl .

Das duas igualdades acima segue que bl = b.

Como b é um ângulo comum os triângulos ABC e HBA, segue que ABC HBA9 9+ , pois possuem um par de ângulos congruentes.

De maneira análoga se demonstra que =a al e, consequentemente, se concluiu que ABC HAC9 9+ .

São muito frequentes exercícios envolvendo triângulos retângulos. Portanto é útil que o aluno tenha a consciência de que, ao se traçar a altura relativa à hipotenusa, em um triângulo retângulo, divide-se o triângulo em dois triângulos retângulos menores, semelhantes entre si e ambos semelhantes ao triângulo original. Sugerimos, nesse ponto, recortar um grande triângulo retângulo em uma folha de jornal (aberta), traçar a altura relativa à hipotenusa e recortar o triângulo original em dois menores. Em seguida, com um transferidor, meça os ângulos dos triângulos resultantes e constate as semelhanças existentes.

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Corolário: Num triângulo retângulo:

(I) o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos determinados pelo pé da altura sobre a hipotenusa (sinteticamente: a altura relativa à hipotenusa é a média geométrica entre os segmentos determinados pelo pé da altura sobre a hipotenusa);

(II) o quadrado da medida de cada cateto é igual ao produto da medida da altura relativa à hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa (sinteticamente: cada cateto é a média geométrica entre a hipotenusa e o segmento da hipotenusa que é a projeção desse cateto sobre ela).

Demonstração:

Seja ABC um triângulo retângulo em A e H o pé da altura relativa à hipotenusa. Verifique na figura a seguir as especificações das medidas desse triângulo.

(I) Pelo teorema anterior, tem-se que HBA HAC9 9+ . Portanto, pela proporcionalidade entre

seus lados conclui-se que: BH AHAH HC

= , ou seja, m hh n= , o que equivale a 2h m n= × .

(II) Também pelo teorema anterior, tem-se que ABC HBA9 9+ . Portanto, pela proporcionalidade

entre seus lados conclui-se que: BH ABAB BC

= , ou seja, m cc a= , o que equivale a 2c a m= × .

Analogamente, utilizando do teorema anterior o fato de que ABC HAC9 9+ , conclui-se que 2b a n= × .

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Teorema: Num triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

Demonstração:

Seja ABC um triângulo retângulo em A e H o pé da altura relativa à hipotenusa. Verifique na figura a seguir as especificações das medidas desse triângulo.

Do corolário anterior, tem-se que 2c a m= × e 2b a n= × . Somando membro a membro essas duas igualdades:

( ) ( )

{

2 2

2 2

a

b c a n a m

b c a n m=

+ = × + ×

+ = × +

2 2

2 2 2

b c a a

b c a

+ = ×

+ =

é importante chamar a atenção dos alunos para a existência de uma hipótese para a validade do Teorema de Pitágoras. Esse teorema só tem validade para triângulos retângulos. Portanto, antes de aplicá-lo, é necessário se certificar que o triângulo em questão é, de fato, retângulo. é muito comum os alunos saírem aplicando o “Teorema de Pitágoras” a qualquer triângulo que veem pela frente.

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é comum em livros didáticos encontrar exercícios nos quais se pede para decidir se um triângulo, cujas dimensões são fornecidas, é ou não retângulo. Para resolver esse tipo de exercício, toma-se o quadrado da medida do maior dos lados desse triângulo e compara-se com a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados. Quando esses resultados são iguais, conclui-se que o triângulo é retângulo.

A pergunta é: o que legitima esse procedimento? Seria o Teorema de Pitágoras?

Uma leitura cuidadosa do teorema revela que este é tão somente uma implicação, ou seja, afirma que se um triângulo é retângulo, então o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos. Note que o Teorema de Pitágoras, da forma como anunciado, não é uma equivalência, isto é, não estabelece que “ser um triângulo retângulo” equivalha a “ter o quadrado do comprimento de maior lado igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos outros dois”.

A essa altura, então, uma pergunta pertinente seria: “Vale a recíproca do Teorema de Pitágoras?”

A resposta a essa pergunta é: sim, vale a recíproca!

Teorema (Recíproca do Teorema de Pitágoras): Se o quadrado da medida do maior lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, então o triângulo é retângulo, tendo o ângulo reto oposto ao maior lado.

Demonstração:

Seja ABC um triângulo no qual 2 2 2a b c= + , sendo a, b e c as medidas de seus lados, conforme indicado na figura 1.

Construa um triângulo retângulo A’B’C’, com catetos medindo b e c, e hipotenusa medindo d. Pelo Teorema de Pitágoras, aplicado ao triângulo A’B’C’, conclui-se que 2 2 2d b c= + . Comparando essa igualdade com a igualdade 2 2 2a b c= + , podemos concluir que 2 2d a= , donde d a= . Com isso estamos diante de dois triângulos que possuem os três pares de lados congruentes, logo estamos diante do caso LLL de congruência de triângulos. Com isso, os três pares de ângulos são também congruentes e, particularmente, o ângulo Â do triângulo ABC é um ângulo reto. Portanto o triângulo ABC é retângulo.

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Consideraremos agora uma interessante aplicação do Teorema de Pitágoras. Apresentaremos aqui uma adaptação do artigo de Daniel Teodoro e Robinson Nelson dos Santos, publicado na Revista do Professor de Matemática Nº 70.

Você talvez já deva ter observado que, quando se coloca uma TV de tubo de 20 polegadas ao lado de uma TV wide screen, de tela larga, com 32 polegadas, fica-se com a impressão de que a imagem desta última é menor. Pois é, há uma razão para isso. A TV de tubo tem maior altura de imagem que a TV de tela larga e, portanto, a percepção da área da tela será mesmo menor.

Mas o número de polegadas de uma TV não indica o tamanho da tela? Não! O número de polegadas de uma TV representa o tamanho de sua diagonal (considerando a tela de imagem um retângulo). Mas se uma TV tem diagonal maior do que outra, não deveria então a de maior diagonal ter maior área? Não necessariamente! O problema está nas proporções da tela, pois esses dois tipos de TV seguem diferentes proporções entre largura e altura: as telas de tubo apresentam a proporção largura/altura igual a 4/3 e as telas largas, 16/9. Na análise que faremos trabalharemos com medidas aproximadas.

Indicaremos por a, b, Td e TA e por x, y, Ld e LA as medidas da largura, altura, diagonal e área das telas de uma TV de tubo convencional (4/3) e de uma TV de tela larga (16/9), respectivamente.

Tem-se então:

4 4 16 16 ou ou x

3 3 9 9a x

a b yb y= = = = .

Pelo Teorema de Pitágoras tem-se:

22 2 2 2 2 2 24 25 9

ou e 3 9 25T Td a b b b b b d = + = + = =

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ≤2 2 24 4 9 12

3 3 25 25T T TA a b b d d

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E ainda:2

2 2 2 2 2 2 216 337 81 ou y e

9 81 337L Ld x y y y y d = + = + = =

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =2 2 216 16 81 1449 9 337 337L L LA x y y d d

Para que as áreas sejam iguais, devemos ter:

L TA A=

⋅ = ⋅2 2144 12337 25L Td d

= ⋅2 2337

300L Td d

= ⋅

337300L Td d

≅ ⋅1,06L Td d

Essa é portanto a relação (aproximada) que deve existir entre as diagonais de uma TV de tela larga (16/9) e de uma TV de tubo convencional (4/3) para que a tela de ambas tenham a mesma área.

Assim, por exemplo, ao se considerar uma TV de tubo convencional, de 29 polegadas, uma TV de tela larga terá a tela de mesma área que a primeira se sua diagonal for aproximadamente igual a 1,06 29 30,74× = polegadas. Dentre os tamanhos de TV de tela larga disponíveis no mercado, o modelo que tem diagonal mais próxima a esse valor é a TV de tela larga de 32 polegadas.

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Atividade 1: O triângulo retângulo ABC é retângulo em B. Qual a medida h da altura relativa à hipotenusa?

Atividade 2: No trapézio dado na figura abaixo, qual é a medida da base maior?

Atividade 3: Três lotes quadrados delimitam um lago em forma de um triângulo retângulo, conforme indicado na figura abaixo.

Sabe-se que as medidas das áreas desses três lotes somam 800 m². Qual a medida do maior lado do lago?

Atividade 4: Um motorista, partindo de um ponto A, corre 10 km em direção ao sul. Depois, 6 km em direção a leste e finalmente, 2 km em direção ao norte, parando em um ponto B. Em cada etapa, ele sempre corre em linha reta. Qual a distância do ponto B ao ponto A?

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Atividade 5: O ponto P é interior ao retângulo ABCD e tal que 3PA = cm, 4PB = cm e 5PC = cm. Qual a medida de PD?

Atividade 6: Dado o triângulo ABC, constrói-se a poligonal 1 1 2 2 3 3L BCBC B C B C=

Qual o comprimento da poligonal L?

n

C3

C2

C1

B3 B2 B1A B

C

p

m

60º

60º

60º

60º

Atividade 7: De um ponto A exterior a uma circunferência de raio 6 cm conduz-se uma tangente AT à mesma, medindo 8 cm. Calcule a distância de A ao centro da circunferência.

Atividade 8: Na figura abaixo as quatro circunferências tangenciam-se mutuamente e O é o centro da maior, cujo raio mede 30 cm. Calcule o raio da circunferência menor.

Atividade 9: Uma escada de 5,50 m de comprimento está apoiada em uma parede, sendo que seu pé está distante 1,50 m dela. Um pintor quer que a extremidade superior da escada alcance 30 cm mais alto. Que distância ele precisa deslocar o pé da escada em direção à parede?

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Atividade 10: Um helicóptero sai de um ponto P do solo e faz os seguintes movimentos sucessivos: 500m verticalmente para cima, 900m horizontalmente na direção norte, 200m verticalmente para cima, 700m horizontalmente na direção oeste e 100m verticalmente para baixo, pousando no ponto M de uma montanha próxima. Determine um valor aproximado para a distância entre os pontos P e M.

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Anotações

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OFICINA 10

FUNÇÃO DO 1º GRAUOFICINA 10

Meta:– Introduzir função do 1º grau.


• reconhecer uma função do 1º grau, seja por sua expressão analítica, seja por seu gráfico;

• resolver problemas que envolvam inequação do 1º grau;

• resolver problemas que envolvam função do 1º grau.

Pré-requisito:– Equação do 1º grau.

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Estarão disponíveis na plataforma diversos aplicativos úteis para a realização dessa oficina. Esperamos que acesse-a e confira os recursos que ficarão à sua disposição. Essa oficina particularmente estará sendo complementada como o material da plataforma. Portanto não deixe de consultá-la.

1. Funções

Considere uma partícula, que parte do repouso, e segue se movimentando, de forma acelerada. Medimos os espaços percorridos em intervalos de tempo iguais. Suponhamos que as medições tenham sido feitas, segundo a segundo, e que os resultados encontrados tenham sido os seguintes:

Tempo (s) 0 1 2 3 4 5 ...

Espaço (m) 0 4,9 19,6 44,1 78,4 122,5 ...

Obviamente, essa simples tabela não é capaz de descrever completamente a regularidade do evento em estudo, entretanto, ela é fornece uma primeira idéia da regularidade envolvida.

Essa tabela consiste em duas sucessões de números: a dos tempos, cujos valores pertencem ao conjunto dos tempos possíveis a serem considerados, que representaremos por t, e a dos espaços, cujos valores pertencem ao conjunto dos possíveis espaços percorridos, que representaremos por s. Temos então duas grandezas postas em correspondência uma com a outra, tempo e espaço, correspondência essa da qual podemos afirmar que é unívoca, no sentido de t para s ()t s→ , visto que não podemos conceber um deslocamento retilíneo que, no fim de um certo tempo, a mesma partícula tenha percorrido dois espaços diferentes. Qual é a relação entre essas duas grandezas? Há alguma lei que as relaciona? Se queremos estudar leis quantitativas, temos que criar um instrumento matemático cuja essência seja a correspondência de duas grandezas (de dois conjuntos).

Esse instrumento consiste na correspondência de dois conjuntos de números. Vamos buscar uma representação simbólica para os dois conjuntos de números, de forma a torná-los facilmente manipuláveis; do contrário teríamos sempre que estar utilizando tabelas de resultados particulares e não obteríamos a generalidade conveniente.

Para essa representação simbólica introduziremos o conceito de variável, o que se faz da seguinte forma: Seja M um conjunto qualquer de números. Convencionaremos representar qualquer de seus elementos por um símbolo, por exemplo: x. A este símbolo, representativo de qualquer dos elementos do conjunto M, chamamos variável. Assim a variável associada a um conjunto, sem coincidir individualmente com nenhum dos números que constituem esse conjunto, é suscetível de os representar a todos. Enfim, a variável de um conjunto é a essência coletiva do conjunto, essência essa que se baseia na essência de cada elemento específico do conjunto, mas não se reduz a ela.

Retomemos nosso exemplo da partícula em movimento. Seja t a variável do conjunto dos tempos e s a variável do conjunto dos espaços. A lei que procuramos consiste na existência de uma correspondência entre t e s, que já sabemos ser unívoca no sentido de t para s. Diremos que a variável s é função da variável t, e escreveremos simbolicamente ()s f t= ; à variável t, antecedente da correspondência, chamaremos variável independente; à variável s chamaremos de variável dependente.

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Note que quando dizemos que ()s f t= , dizemos mais do que está contido na tabela acima. Naquela estão registrados alguns pares de valores da correspondência, ao passo que na afirmação ()s f t= , está implicado que a qualquer valor de t corresponde um (e somente um) valor de s.

Definição: Sejam x e y duas variáveis representativas de dois conjuntos de números; diz-se que y é função de x e escreve-se ()y f x= se entre as duas variáveis existe uma correspondência unívoca no sentido x y→ . À x denomina-se variável independente e à y, variável dependente.

Como se estabelece a correspondência da variável independente com a variável dependente? Há basicamente duas maneiras de estabelecer essa correspondência: através da definição analítica e da definição gráfica.

A definição analítica consiste em fornecer um conjunto de operações a serem executadas sobre cada valor a da variável independente x, de modo a fazer corresponder um valor b da variável dependente y.

Por exemplo, considere a igualdade 24,9y x= . Efetuando as operações efetuadas no segundo membro, vemos que esta igualdade faz corresponder, a cada valor de x, um valor de y, por exemplo: a 1 4,9x y= → = , a 2 19,6x y= → = , a 3 44,1x y= → = , a 0,5 1,225x y= → = , etc. Portanto a expressão analítica fornecida pela igualdade dada acima define uma função ()y f x= .

Como se pode observar, essa expressão analítica permite construir a tabela fornecida acima e, além disso, dá a possibilidade de obter o valor de y correspondente a qualquer outro valor real de x. Assim a expressão analítica nos permite extrapolar as informações obtidas na tabela.

A definição gráfica de uma função consiste em fornecer um conjunto de pontos, num plano cartesiano ortogonal, da forma ()(),x f x , para todos os valores possíveis da variável independente x.

Por exemplo, para a função cuja a expressão analítica é 24,9y x= seu gráfico é dado por:

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2. Função do 1º grau

Funções do 1º grau são, dentre as funções básicas, as mais simples. Servem para modelar fenômenos de variação linear.

Uma função f é dita uma função do 1º grau quando for da forma

f:

():

f

x y f x ax b

→

= = +

onde a e b são constantes reais e 0a ≠ .

Note que, quando 0a = , a expressão analítica da função acima se reduz a:

f:

():

f

x y f x b

→

= =

que é o que chamamos de função constante. Este tipo de função associa a todos os valores da variável x, um único valor: b.

As constantes a e b presentes na definição de uma função do 1º grau são os coeficientes da função e recebem denominações específicas:

• a é chamado de coeficiente angular, inclinação ou declividade da reta que é gráfico da função;

• b é chamado de coeficiente linear ou intercepto vertical da reta que é gráfico da função.

Uma função do 1º grau pode ser classificada como:

• função linear: é uma função do 1º grau na qual 0b = . Portanto é

da forma ( ) =f x ax, com 0a ≠ .

• função afim: é uma função do 1º grau na qual 0b ≠ . Portanto é da

forma ( ) = +f x ax b , com 0a ≠ e 0b ≠ .

Na plataforma você encontrará aplicativos que ilustrarão essas idéias. Consulte na plataforma os recursos disponíveis que tratam de função do 1º grau.

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O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta no plano cartesiano. Mesmo a função constante tem por gráfico uma reta. Porém, no caso da função constante, essa reta será sempre horizontal, paralela ao eixo das abscissas.

Graficamente falando, funções lineares são funções do 1º grau cujo gráfico, que é uma reta, passa pela origem do sistema de coordenadas e, funções afins são funções do 1º grau cujos gráficos, que também são retas, não passa pela origem do sistema de coordenadas.

As raízes de uma função f são os valores 0x para os quais ()0 0f x = . No caso de uma função do 1º grau, só há um valor para o qual ()0 0f x = , que é a solução da equação do 1º grau

0ax b+ = que, conforme já foi visto na Oficina 3, é 0

bx

a= − . Assim, o ponto de coordenadas

,0ba

−

é um ponto do gráfico da função do 1º grau e, por ter ordenada nula, esse ponto é

onde o gráfico da função intercepta o eixo das abscissas.

Em função do sinal do coeficiente angular de uma função do 1º grau, temos duas possibilidades:

Note que, conhecendo-se a raiz de uma função do 1º grau é possível conhecer o sinal da função:

Sinal do coeficiente angular

Valores para os quais a função é positiva

Valores para os quais a função é negativa

0a <b

xa

< −b

xa

> −

0a >b

xa

> −b

xa

< −

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Exemplo 1: Resolva a inequação 2

11

xx

≥+

.

Solução:

Sempre que for resolver uma inequação (desigualdade), é necessário deixar um dos membros igual a zero pois, comparar alguma coisa com zero é o mesmo que estudar o seu sinal. Assim, nossa primeira preocupação será transformar essa desigualdade numa desigualdade correspondente a essa, só que com o segundo membro nulo:

2 2 2 1 11 1 0 0 0

1 1 1 1x x x x x

x x x x− − −

≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥+ + + +

Resolver essa última desigualdade é o mesmo que informar quais valores de x tornam a

expressão 11

xx−+

positiva ou nula. Como essa expressa é uma fração, para conhecer o seu sinal

basta conhecermos o sinal do numerador e do denominador.

Mas o numerador e o denominador são formados por expressões do 1º grau. Então é fácil, vamos estudar o sinal de cada expressão separadamente:

Numerador: 1x − . Raiz: 1 0 1x x− = ⇒ = . Coeficiente angular: 1 0a = > .

Denominador: 1x + . Raiz: 1 0 1x x+ = ⇒ = − . Coeficiente angular: 1 0a = > .

Nesse ponto observe que a raiz da expressão que forma o denominador da expressão jamais pode ser incluído, pois não se pode permitir que o denominador de uma fração se anule já que não há divisão por zero. Daí a “bola aberta” em 1− , no esquema acima. Já a raiz do denominador será ou não incluída dependendo se a desigualdade é estrita ou não. No exemplo em questão temos uma desigualdade do tipo ≥ , logo nos interessa o caso em que a expressão se anula. Como uma fração é nula quando seu numerador é nulo, segue que nesse exemplo nos interessa a raiz do numerador, no caso o 1(daí a “bola fechada” em 1, no esquema acima).

Logo, a solução da inequação fornecida é o conjunto de todos os valores reais de x, tais que 1x < − ou 1x ≥ . Em forma de intervalo ficaria: ()[), 1 1,−∞ − +∞ .

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é muito comum o aluno “resolver” esse tipo de inequação da seguinte forma:

12 1 2 1 1xx x x x+ +& &$ $ $ .

Chame a atenção do aluno para a impossibilidade de se proceder dessa maneira pois, ao multiplicar ambos os membros por x + 1, que é uma expressão cujo sinal depende do valor de x, fica impossível se saber como ficará a desigualdade.

Exemplo 2: Determine a expressão analítica de cada uma das funções cujos gráficos são as retas que se encontram representadas no plano cartesiano abaixo.

Solução:

A reta u é uma reta paralela ao eixo das abscissas. Com isso a reta u representa uma função constante. Como essa reta intercepta o eixo das ordenadas na altura -3, segue que a expressão analítica da função que tem por gráfico a reta u é: 3y = − .

A reta r passa pelos pontos (0, 0) e (5, 3). Trata-se então de uma função linear, cuja expressão analítica é da forma y ax= . Como passa pelo ponto (5, 3) tem-se que, ao fazermos 5x =

deveremos ter y=3. Assim: 3 5a= × , donde 35

a = . Com isso a expressão analítica da função

que tem por gráfico a reta r é: 35

y x= .

A reta s passa intercepta os eixos coordenados nos pontos pelos pontos (6, 0) e (0, 2). Trata-se então de uma função afim, cuja expressão analítica é da forma y ax b= + . Como passa pelo ponto (6, 0) tem-se que, ao fazermos 6x = deveremos ter 0y = e, como passa pelo ponto (0, 2) tem-se que, ao fazermos 0x = deveremos ter 2y = .

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Assim:

()()

0 6 6 0

2 0 2

a b a b

a b b

= + ⇒ + =

= + ⇒ =

Substituindo 2b = em 6 0a b+ = obtém-se: 6 2 0a + = , ou seja, 13

a = − .

Com isso a expressão analítica da função que tem por gráfico a reta s é: 1

23

y x= − + .

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Atividade 1: Resolva a inequação 2

11

xx

≥+

.

Atividade 2: Determine a expressão analítica de cada uma das funções cujos gráficos encontram-se representados no plano cartesiano abaixo.

Atividade 3: O custo C, em reais, para José produzir picolés é dado por ( ) 300 1,2C x x= + , onde x representa o número de unidades produzidas. A receita,

em reais, que ele obtém com a venda desses picolés, em função do número x de unidades vendidas, é dada por ( ) 2R x x= . Considere que José vende tudo que produz. Quantos picolés devem ser vendidos para se obter um lucro de R$ 1300,00?

Atividade 4: Resolva a inequação 1 1

2 1 1x x<

+ −.

Atividade 5: Na cidade de João e Maria, haverá shows em uma boate. Pensando em todos, a boate propôs pacotes para que os fregueses escolhessem o que seria melhor para si.

Pacote 1: taxa de R$ 40,00 por show.Pacote 2: taxa de R$ 80,00 mais R$ 10,00 por show.Pacote 3: taxa de R$ 60,00 para 4 shows e R$ 15,00 por cada show a mais.

João assistirá a 7 shows e Maria, a 4. Quais são as melhores opções para João e Maria?

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Atividade 6: Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água e medir o nível da água nesse copo. O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

Número x de bolas Nível y da água

5 6,35 cm

10 6,70 cm

15 7,05 cm

Qual é a expressão da função que fornece a grandeza y em função da grandeza x?

Atividade 7: O cálculo do Imposto de Renda na Fonte (IRF) é feito de acordo com a tabela seguinte (fevereiro/2008)

Base de Cálculo Alíquota (%) Parcela a deduzir

Até R$ 1.372,81 Isento ----

De R$ 1.372,81 até R$ 2.743,25 15% R$ 205,92

Acima de R$ 2.743,25 27,5% R$ 548,82

Baseado na tabela acima, construa o gráfico do imposto a pagar em função do rendimento e dê a expressão analítica da função imposto a pagar.

Atividade 8: Um veículo de transporte de passageiros tem seu valor comercial depreciado linearmente, isto é, seu valor comercial sobre desvalorização constante por ano. Veja o gráfico abaixo.

Esse veículo foi vendido pelo seu primeiro dono, após 5 anos de uso, por R$ 24.000,00. Sabendo-se que o valor comercial do veículo atinge seu valor mínimo após 20 anos de uso e que esse valor mínimo corresponde a 20% do valor que tinha quando era novo, então qual é esse valor mínimo?

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Atividade 9: Os gráficos das funções de 1º grau cujas expressões analíticas são dadas por 5y x= − + e 3y x= − se interceptam no ponto A. Os pontos onde essas retas interceptam o eixo das abscissas são B e C. Qual a medida da área do triângulo ABC?

Atividade 10: Um supermercado está fazendo uma promoção na venda de alcatra: um desconto de 10% é dado nos quilos que excederem a 3. Sabendo que o preço do quilo de alcatra é de R$ 10,00, pede-se:

a) o gráfico do total pago em função da quantidade comprada.

b) o gráfico do preço médio por quilo em função da quantidade comprada.

c) a determinação de quantos quilos foram comprados por um consumidor que pagou R$ 45,00 na compra de alcatra.

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Anotações

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MATRIZ DE REFERÊNCIA DE

MATEMÁTICA DO SAEB PARA A

MATRIZ DE REFERÊNCIA DE

3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

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MATRIZ DE REFERÊNCIA*MATEMÁTICA - 3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO

TEMAS E SEUS DESCRITORES

I. Espaço e Forma

D1 Identificar figuras semelhantes mediante o reconhecimento de relações de proporcionalidade.

D2Reconhecer aplicações das relações métricas do triângulo retângulo em um problema que envolva figuras planas ou espaciais.

D3 Relacionar diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas.

D4 Identificar a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema.

D5 Resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente).

D6 Identificar a localização de pontos no plano cartesiano.

D7 Interpretar geometricamente os coeficientes da equação de uma reta.

D8 Identificar a equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação.

D9Relacionar a determinação do ponto de intersecção de duas ou mais retas com a resolução de um sistema de equações com duas incógnitas.

D10 Reconhecer, dentre as equações do 2o grau com duas incógnitas, as que representam circunferência.

II. Grandezas e Medidas

D11 Resolver problema envolvendo o cálculo de perímetro de figuras planas.

D12 Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas.

D13 Resolver problema envolvendo a área total e/ou volume de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera).

III. Números e Operações/álgebra e Funções

D14 Identificar a localização de número reais na reta numérica.

D15 Resolver problema que envolva variação proporcional, direta ou inversa, entre grandezas.

D16 Resolver problema que envolva porcentagem.

D17 Resolver problema envolvendo equação do 2º grau.

D18 Reconhecer expressão algébrica que representa uma função a partir de uma tabela.

D19 Resolver problema envolvendo uma função do 1º grau.

D20 Analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos.

D21 Identificar o gráfico que representa uma situação descrita em um texto.

D22 Resolver problema envolvendo P.A./P.G. dada a fórmula do termo geral.

D23 Reconhecer o gráfico de uma função polinomial de 1º grau por meio de seus coeficientes.

D24 Reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º grau dado o seu gráfico.

D25Resolver problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo no gráfico de uma função polinomial do 2º grau.

D26 Relacionar as raízes de um polinômio com sua decomposição em fatores do 1º grau.

D27 Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função exponencial.

D28Identificar a representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função exponencial.

D29 Resolver problema que envolva função exponencial.

D30 Identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) reconhecendo suas propriedades.

D31 Determinar a solução de um sistema linear associando-o a uma matriz.

D32Resolver problema de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples.

D33 Calcular a probabilidade de um evento.

IV. Tratamento da Informação

D34 Resolver problemas envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos.

D35 Associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam e vice-versa.* Foi utilizado a Matriz de Referência do SAEB para Matemática - 3º ano do Ensino Médio.

REFERÊNCIAS

BIBLIOGRÁFICASREFERÊNCIAS

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203

BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. 3ª edição. Coleção Professor de Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 2006.

BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.

CARAÇA, B. J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora, 1984.

IEZZI, G et al. Fundamentos de Matemática Elementar. Vol 1. São Paulo: Atual, 2005.

LIMA, Elon Lages et al. A Matemática do Ensino Médio. Vol 1. Coleção Professor de Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 1996.

LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas Elementares. 2ª edição. Coleção Professor de Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 2006.

LIMA, Elon Lages et al. Temas e Problemas. 2ª edição. Coleção Professor de Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 2003.

MORGADO, A. C. et al. Progressões e Matemática Financeira. Coleção Professor de Matemática. SBM, Rio de Janeiro, 1993.

POLYA, G. A Arte de Resolver Problemas. Tradução: Heitor Lisboa de Araújo. Rio de Janeiro: Interciência, 1978.

REZENDE, E. Q. F et al. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas. São Paulo: Editora da UNICAMP, 2000.

RESPOSTAS

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Oficina 1: Resolução de ProblemasAtividade Resposta

01 5 m

02 R$ 30,00

03 55km/h

04 3 e 2. R$ 5,11

05 1024

06 312

07Filhos I e II: 3 cheios + 1 metade + 3 vazios

Filho III: 1 cheio + 5 metade + 1 vazio

08 11,2 m

09 Cavalo: 5 Mula: 7

10 22

Oficina 2: ProporcionalidadeAtividade Resposta

01 28 dias

02 A de 900g

03 62,5 m

04 2h 30min

05 57 dias

06 3h e 45 min

07 21 dias

08 1720 kg

09 2h do dia seguinte

10 a) 2,45 litros b) em 21 dias ou menos

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Oficina 3: Equação do 1º grauAtividade Resposta

01 61 anos

02 a) 5/2 b) IR c) ∅

03 19

04A abaixo de 500 km

B acima de 500 km

05 R$ 32,00

06 2x = e 3y =

07 30 anos

08 166 convites

09 R$ 200.000,00

10 2,5 kg e 2 kg

Oficina 4: PorcentagemAtividade Resposta

01 R$ 1015,28

02 R$ 9,00

03 45%

04 25%

05 15,5% indiferente

06 150 mulheres

07 30 litros

08 20 kg

09 23,5%

10 a) R$ 2.610,00 b) R$ 2.900

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Oficina 5: Equação do 2º grauAtividade Resposta

01 26 m

02 a) {}2,2− b) {}1,4− c) {}3,5− d) {}1, 1 2− −

03 2m ×16m ou 8m ×4m

04 12 exemplares

05 Não existe tal retângulo

06 20

07 4m = e 3n =

08 20h e 30h

09 55 mil e 45 mil

1023

11 1x = − e 1x =

Oficina 6: Progressões Aritméticas e Progressões GeométricasAtividade Resposta

01 63 pessoas

02a) não é PA, PG, 1,6q = b) não é PA, PG, 0,5q = −

c) PA, 0r = e PG 1q = d) PA, 2r b= , não é PG

03 a) 39 b) 400 c)R$1200,00

04 a) R$ 161.051,00 b) R$ 771.561,00

0528690

062 4

,5 5

07 a) ()2,5 158,5P n n= − + b) 16 semanas

08 36

09 Aproximadamente 236m

10 800

210

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Oficina 7: Matemática FinanceiraAtividade Resposta

01 R$ 665,50

02 R$ 379,58

03 3× R$ 160,00

04 R$ 272,00

05 R$ 626,30

06 A original

07 a) R$ 352,93 b) R$ 374,11 c) R$ 396,56

08 R$ 30,80

09 16,28%

10 Comprar

Oficina 8: Semelhança de triângulos e Teorema de TalesAtividade Resposta

01 10x = km, 30y = km, 22,5z = km

02 21 cm

03 15 m

04 40 cm

05 12 m

06 40 cm

07 40 cm

08 4 cm

09 14

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211

Oficina 9: Algumas consequências do Axioma da ParalelaAtividade Resposta

01 2,4 cm

02 36 cm

03 20 m

04 10 km

05 3 2

06 2p

07 10 cm

08 10 cm

09 Não é possível

10 1300 m

Oficina 10: Função do 1º grauAtividade Resposta

01 1x < − ou 1x ≥

02

: 3

3:

51

23

u y

r y x

s x

= −

=

= − +

03 R$ 2000.00

04 1 2x < − ou 0 1x≤ <

05 Pacote 3

06 0,07 6y x= +

07 ()0, 1372,81

0,15 205,92;1372,82 2743,25

0,275 548,82; 2743,25

x

f x x x

x x

≤= − ≤ ≤ − >

08 R$ 6.000,00

09 1 unidade de área

10 4,666kg

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