Introdução às Grandezas esCalares e VetorIaIs ... · simples, pois apela para aspectos...

Licenciatura em cincias USP/ Univesp

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Gil da Costa Marques

1Introduo s Grandezas esCalares e VetorIaIs

1.1 Grandezas escalares e Vetoriais1.2 representando vetores1.3 operaes com vetores

1.3.1 Multiplicao por um escalar (por um nmero)1.3.2 soma de vetores1.3.3 subtrao de vetores

1.4 extenso para muitos vetores1.4.1 Produtos de vetores1.4.2 Produto escalar de dois vetores1.4.3 Produto vetorial de dois vetores

1.5 Vetores como referenciais1.6 referenciais mais gerais1.7 Vetores em coordenadas polares

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15

Fundamentos de Matemtica II

Licenciatura em Cincias USP/Univesp Mdulo 2

1.1 Grandezas Escalares e VetoriaisAs grandezas fsicas podem ser classificadas, em funo de certas caractersticas, em trs

grandes categorias: grandezas escalares, vetoriais e tensoriais. A distino entre elas reside na

questo do nmero de atributos, ou dados, necessrios para caracteriz-las.

Grandezas que requerem para sua inteira caracterizao um conjunto de trs informaes,

ou atributos (as coordenadas, ou, no caso geral, suas componentes) so denominadas grandezas

vetoriais. A velocidade de uma partcula um exemplo tpico dessa situao, pois no basta

dizer que o veculo tem uma velocidade de, por exemplo, 40 km/h. Esse dado apenas um dos

trs necessrios e ele recebe o nome de intensidade ou mdulo da grandeza velocidade. Para

especificar inteiramente tal grandeza devemos fornecer ainda a direo e o sentido dela.

Por outro lado, existem grandezas fsicas que requerem apenas um atributo seguido de uma

unidade de medida. Tais grandezas fsicas so denominadas grandezas escalares. Por exemplo,

quando especificamos a temperatura de um objeto, basta um nmero seguido de uma unidade

de medida. Assim, se dissermos que um corpo tem uma temperatura de 37 C, isso tudo que

precisamos saber sobre tal grandeza.

Grandezas tensoriais como o stress aplicado a um corpo, ou o momento de inrcia, requerem

um nmero maior do que 3 para sua inteira caracterizao. Por exemplo, o momento de inrcia

em geral requer um conjunto de 6 atributos.

Podemos utilizar dois conjuntos de atributos para especificar vetores. O primeiro deles mais

simples, pois apela para aspectos geomtricos ou grficos das grandezas vetoriais. O segundo

deles faz uso do conceito, mais abstrato, de componentes de um vetor. Este o conjunto de

atributos mais utilizado em cursos avanados. Apesar de no ser muito bvio primeira vista, os

dois so equivalentes. As duas formas so usualmente referidas como representaes de vetores:

a representao grfica ou geomtrica e a representao analtica.

Para distingui-las das demais, as grandezas vetoriais, como posio, velocidade, fora, acelerao

etc. sero representadas por meio de uma letra com uma flecha acima dela. Assim, temos:

1.1 r (o vetor posio), v (o vetor velocidade), a (o vetor acelerao),

F (o vetor fora)

16

1 Introduo s Grandezas escalares e Vetoriais


Como sempre, as grandezas escalares sero representadas apenas por letras, sem a referida flecha.

1.2

1.2 Representando vetoresUm vetor pode ser representado graficamente atravs de um segmento orientado (uma

flecha). A vantagem dessa representao que ela permite especificar a direo (e esta dada

pela reta que contm a flecha) e o sentido (especificado pela flecha). Alm disso, o seu mdulo (v) ser especificado pelo tamanho da flecha, a partir de alguma conveno para a escala da figura.

Mdulo o atributo que caracteriza a intensidade da grandeza fsica. Requer, alm de um certo nmero de dgitos, uma unidade adequada de medida.

Direo o atributo que existe de comum num feixe de retas paralelas. As retas r, s e t so paralelas e, assim, tm a mesma direo. As

retas t e w no so paralelas e, portanto, no tm a mesma direo.

Sentido: podemos percorrer uma direo em dois sentidos. Por exemplo, sobre a reta y temos dois sentidos de percurso: de A para B e de C para D.

Portanto, para cada direo existem dois sentidos.

Alm da representao geomtrica (ou grfica) definida anteriormente, podemos fazer

uso da representao analtica do vetor. Nessa representao tambm utilizamos um conjunto

de trs atributos de um vetor. Esses atributos so conhecidos como componentes do vetor.

Em geral, para a definio das componentes, a melhor alternativa e a mais fcil usar um

conjunto de coordenadas cartesianas.

Dado um sistema de coordenadas cartesianas (composto de um conjunto de trs eixos

ortogonais), podemos definir as componentes de um vetor nesse sistema de eixos tomando-se

as projees do vetor ao longo desses eixos.

E (energia), T (temperatura), d (distncia), M (massa)

a

Figura 1.1: a) Direo aquilo que comum a um feixe de retas. b) Dois vetores com sentidos opostos.

b

17



No plano, as componentes vx e vy so definidas pelos produtos:

1.3

onde o ngulo formado pelo vetor v e o eixo x. Vide Figura 1.2.

Consideremos agora o vetor v no espao tridimen-

sional. As componentes vx, vy e vz so dadas a seguir:

1.4

onde q o ngulo formado pelo vetor v e o eixo z,

e o ngulo o ngulo formado pela projeo do vetor

v no plano x-y e o eixo x. Vide Figura 1.3.

1.3 Operaes com vetoresLidar, operacionalmente, com grandezas escalares muito fcil. Fazer adio de duas gran-

dezas escalares simples. Por exemplo, 3 kg acrescidos de 2 kg resulta 5 kg.

Trabalhar com grandezas vetoriais j no to simples. Considere o caso da adio de duas

grandezas vetoriais.

Figura 1.2: Componentes de um vetor no plano.

x

y

=

=

cos

sen

Figura 1.3: Componentes de um vetor em 3D.

x

y

z

= ( )( )

= ( )

= ( )

sen

sen sen

cos

( )

cos

Como possvel adicionar grandezas que, alm do mdulo, tm direes e sentidos diferentes? Ou ainda efetuar subtraes e multiplicaes de grandezas vetoriais?

18



Somar grandezas vetoriais, bem como realizar as demais operaes, fundamental em Fsica.

Se aplicarmos duas foras a um corpo, qual ser o resultado de sua adio?

Certamente, no podemos simplesmente somar os mdulos.

Adio e subtrao no so as nicas operaes que realizamos com vetores. Introduzimos ainda

diferentes tipos de produtos. A seguir, definiremos essas operaes fazendo uso das duas representaes.

1.3.1 Multiplicao por um escalar (por um nmero)

Podemos multiplicar um vetor v por um nmero x. Dessa operao

resulta um novo vetor (o vetor resultante

R):

1.5i

O vetor resultante tem os seguintes atributos:

O mdulo do novo vetor o que resulta da multiplicao do mdulo do nmero real x pelo mdulo de

v, que |v|:

1.6

A direo do novo vetor a mesma. O sentido de

R o mesmo que o de v se o nmero x for positivo e o sentido oposto se x < 0.

Utilizando agora a representao analtica, o vetor resultante tem as seguintes componentes:

1.7

O vetor v igual ao vetor v multiplicado por -1. Vide Figura 1.5.

Figura 1.4: Multiplicando um vetor por dois.

R x=

R x=

R x R x R xx x y y z z= = = , e

Figura 1.5: O vetor v igual ao vetor v

multiplicado por 1.

19



1.3.2 Soma de vetores

Sejam v1 e

v2 dois vetores. A soma desses vetores um terceiro vetor, o vetor resultante

v:

1.8

Para determinarmos o mdulo, a direo e o sentido

desse vetor resultante, utilizamos a regra do paralelo-

gramo. Primeiramente, desenhamos o paralelogramo definido a partir dos vetores

v1 e v2. Vide Figura 1.6.

O mdulo v do vetor resultante tal que:

1.9i

onde v v1 1=

e v v2 2=

. Assim, o mdulo do vetor resultante dado pela medida da diagonal

do paralelogramo formado, e o ngulo entre os dois vetores. Direo: aquela da reta que contm a diagonal que passa pela origem comum. Sentido: a partir da origem dos dois vetores

v1 e v2.

O uso das componentes de um vetor facilita especialmente na adio e subtrao de vetores.

Por exemplo, na soma de vetores, o vetor resultante v tal que suas componentes so dadas pela

soma das componentes de v1 e

v2. Isto :

1.10

1.3.3 Subtrao de vetores

Consideremos os vetores v1 e

v2. A subtrao de vetores resulta em um terceiro vetor v

chamado diferena, cujas propriedades so inferidas a partir da soma dos vetores v1 e (

v2).O vetor

v2 tem mdulo e direo iguais ao do vetor v2, mas tem o sentido oposto. Reduzimos

o problema da subtrao de dois vetores ao problema da soma de v1 e

v2.

Figura 1.6: Regra do paralelogramo (clique no cone para visualizar a animao).

v v v= +1 2

v v v v v v v v v v2 2 12

22

1 2 12

22

1 22 2= = + + = + + cos cos

v v vv v vx x x

y y y

= += +

1 2

1 2

20



No caso da subtrao, o vetor diferena tem suas componentes dadas pela subtrao das

componentes de v1 e

v2. Isto :

1.11

1.4 Extenso para muitos vetoresA extenso das regras de adio e subtrao para muitos vetores bem simples. Se tivermos,

por exemplo, quatro vetores, o vetor resultante v ser dado, utilizando-se a representao grfica

pelo lado do polgono que necessrio para fech-lo, uma vez colocados os vetores v1,v2...

vn num plano, um vetor depois do outro, comeando sempre, a partir do segundo vetor, pela

extremidade da flecha (Regra do Polgono).

Utilizando-se a representao em termos de componentes, escrevemos para a componente

do vetor resultante, no caso de n = 4:

1.12

isto , a componente do vetor resultante a soma das componentes dos vetores que o compem.

v v vv v vx x x

y y y

= =

1 2

1 2

Figura 1.7: Diferenas podem ser tratadas como somas de vetores (clique no cone para visualizar a animao).

v v v v vv v v v vx x x x x

y y y y y

= + + += + + +

1 2 3 4

1 2 3 4

Figura 1.8: Posicionando-se os vetores, um em seguida ao outro, o vetor soma aquele que fecha o polgono (clique no cone para visualizar a animao).

21



1.4.1 Produtos de vetores

Podemos introduzir dois tipos de produtos entre duas grandezas vetoriais.

O primeiro produto conhecido como produto escalar de dois vetores (no confundir com

produto de um vetor por um escalar). Esse nome produto escalar de dois vetores decorre do

fato de que o resultado desse produto uma grandeza escalar, isto , um nmero real.

O segundo produto denominado produto vetorial. O resultado do produto vetorial

um outro vetor.

1.4.2 Produto escalar de dois vetores

Sejam dois vetores a e

b. O produto escalar dos vetores a e

b, que representamos por a

b, definido como sendo dado pelo produto dos mdulos de cada um dos vetores multiplicado

pelo cosseno do ngulo formado:

1.13

onde a a=

e b b=

. (Lemos: a escalar

b igual ao mdulo de a vezes o mdulo de

b, vezes o cosseno do ngulo formado entre os vetores a e

b).Uma outra definio, inteiramente equivalente, em termos das componentes dos vetores:

1.14

Por exemplo, o mdulo ao quadrado de um vetor v definido atravs do produto escalar v v.

1.15

1.4.3 Produto vetorial de dois vetores

O produto vetorial v de dois vetores a e

b um vetor indicado como

a

b. Ou seja: 1.16i

a b a b = . .cos

a b a b a b a bx x y y z z

= + +

v v v v v vx y z2 2 2 2= = + +

Figura 1.9: Dois vetores definem um plano que os contm.

v a b=

22



As caractersticas desse vetor, na representao geomtrica, so as seguintes:

Direo: O vetor resultante desse produto tem a direo do eixo perpendicular ao plano formado pelos vetores

a e

b. Sentido: Para determinar o sentido do vetor resultante, use

sua mo direita (essa regra conhecida como regra da mo

direita). Com os dedos da mo procure levar o vetor a at o

vetor

b. O sentido do vetor resultante ser dado pelo polegar da mo direita (vide Figura 1.10).

Mdulo: O mdulo de v dado pela expresso:

1.17

onde a a=

e b b=

, ou seja, o mdulo de v dado pelo produto dos mdulos de

a e de

b vezes o seno do ngulo entre os dois vetores.

Dentro do contexto da representao analtica, na qual os vetores so caracterizados pelas

suas componentes, o vetor v que resulta do produto vetorial de dois vetores, tem componentes

vx, vy, e vz dadas pelas expresses:

1.18

1.5 Vetores como referenciaisUm ponto de origem e um conjunto de trs vetores formam um

referencial no espao tridimensional. Essa ideia, de estender o concei-

to de referencial de Weyl, expressa em seu livro Espao, Tempo

e Matria. De acordo com Weyl, um referencial constitudo por

um ponto O e um conjunto de trs vetores denominados vetores da

base do referencial. , como se v uma definio formal, baseada no

conceito de vetores.

Figura 1.10: Regra da mo direita.

v v a b= = . .sen

v a b a bv a b a bv a b a b

x y z z y

y z x x z

z x y y x

=

=

=

Figura 1.11: O referencial cartesiano generalizado.

23



Vamos introduzir primeiramente o referencial cartesiano. De acordo com Weyl, o

referencial cartesiano consitituido por um ponto O e trs vetores mui especiais denominados

1.19i

Tais vetores tm a mesma orientao dos eixos x, y e z respectivamente. Eles tm mdulo 1 e, tendo em vista que os eixos so ortogonais, so ortogonais entre si. Ou seja:

1.20i

Observe-se que nesse contexto simples estamos apenas trocando o conceito de trs eixos

orientados por trs vetores que tm a direo e o sentido dos eixos.

Nesse referencial, um vetor qualquer (

V ) pode ser escrito como uma combinao linear dos vetores

i ,

j e

k :

1.21

Por exemplo, sendo a posio uma grandeza vetorial, o vetor posio no referencial carte-

siano considerado dado por:

1.22

estabelecendo assim um novo sentido, o de projeo do vetor posio ao longo dos eixos, para

as coordenadas x, y e z. As grandezas Vx, Vy e Vz so denominadas componentes do vetor

V no referencial cartesiano. Nesse referencial definimos as componentes de um vetor como os produtos escalares dele pelos

vetores da base:

1.23

A definio 1.23 mostra que, pela definio de produto escalar de vetores, as componentes

de

V so as projees dos vetores nos respectivos eixos.

i j k, e

i j k i j i k j k= = = = = =1 0

V V i V j V kx y z= + +

r xi yj zk= + +

V i V V j V V k Vx y z= = =

24



Utilizando esse referencial, fica muito fcil lidar com vetores, uma vez que as operaes

com tais grandezas se simplificam muito. Por exemplo, a soma (ou diferena) de dois vetores se

escreve como:

1.24

Para o produto escalar de dois vetores temos:

1.25

Efetuando o produto escalar dos vetores acima, de acordo com as propriedades dos vetores

da base, obtemos:

1.26

o que ilustra a enorme utilidade do uso de um referencial baseado em vetores com as proprie-

dades apresentadas em 1.23.

Da propriedade 1.26 segue que o mdulo de um vetor definido como:

1.27

Utilizando a base de vetores 1.19, podemos introduzir uma nova definio de produto

vetorial de dois vetores. Ou seja, o produto vetorial dos vetores

A e

B um terceiro vetor,

C , denotado por:

1.28

definido a partir do determinante formal:

1.29

V V V i V j V k V i V j V k

Vx y z x y z

x

1 2 1 1 1 2 2 2

1

+ = + + + + +

= + VV i V V j V V kx y y z z2 1 2 1 2( ) + +( ) + +( )

V V V i V j V k V i V j V kx y z x y z1 2 1 1 1 2 2 2 = + +( ) + +( )

V V V V V V V Vx x y y z z1 2 1 2 1 2 1 2 = + +( )

V V V V V Vx y z= = + +2 2 2

C A B=

Ci j kA A AB B Bx y z

x y z

=

det

25



A concluso que por meio da introduo de referenciais baseados em um conjunto de

vetores temos um mtodo formal de representar, e efetuar operaes envolvendo grandezas

vetoriais, alm da posio de um objeto puntiforme.

1.6 Referenciais mais geraisO referencial cartesiano definido em termos de trs vetores

da base no nico. Um referencial arbitrrio, nessa nova

definio de referencial, consiste em um ponto de origem

O e trs vetores da base no necessariamente ortogonais entre si. Isso nos levar a estender a definio de componentes

do vetor posio, fora, velocidade e acelerao e outros

vetores, em novos referenciais.

O que dita a escolha desses novos referenciais tem a ver

com a escolha de novas coordenadas, definidas a partir das

coordenadas cartesianas. Para cada escolha de coordenadas

podemos introduzir uma base de vetores e1, e2 e

e3.Designando assim os vetores da base de um referencial arbitrrio por

e1, e2 e

e3, podemos agora definir um vetor arbitrrio nessa nova base por meio da combinao linear entre os

vetores da base:

1.30i

onde agora V1, V2 e V3 so as componentes do vetor nesse novo referencial.No sentido mais geral apresentado acima, utilizar coordenadas diferentes das coordenadas

cartesianas, coordenadas representadas agora por Q1, Q2 e Q3, leva a uma nova escolha de refe-rencial. Ou seja, pressupe o uso de uma nova base de vetores. Esses vetores da base dependem

das coordenadas. Assim, escrevemos com base em argumentos gerais:

1.31

Figura 1.12: Uma base arbitrria.

V V e V e V e= + +1 1 2 2 3 3

e e Q Q Q e e Q Q Q e1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3= ( ) ( ) =, , , , , = e e Q Q Q3 1 2 3, ,( )

26



Existem mtodos matemticos que nos permitem, dadas as

coordenadas, determinar os vetores da base para os referenciais

correspondentes.

O vetor posio se escreve, num referencial arbitrrio, como:

1.32i

onde x1, x2 e x3 so as coordenadas do vetor posio nesse referencial.A seguir isso ser ilustrado no caso do referencial polar.

1.7 Vetores em coordenadas polares As coordenadas polares so definidas a partir das coordenadas cartesianas de acordo com

as expresses:

1.33

Ou, analogamente,

1.34

No caso das coordenadas polares os vetores da base (ve-

tores de mdulo 1, versores, portanto) sero denominados e

e e, os quais so definidos como:

1.35i

Figura 1.13: Um vetor e suas componentes numa base arbitrria (clique no cone para visualizar a animao).

r x e x e x e= + +1 1 2 2 3 3

xy==

cossen

= +

=

x yyx

2 2

arctan

Figura 1.14: Coordenadas polares.

e i j

e i j

= +

= +

cos

cos

sen

sen

27



Note-se que tais vetores indicam, em cada ponto de uma circun-

ferncia, a direo perpendicular a ela por aquele ponto e a direo

tangencial circunferncia, por um tal ponto.

Assim, um vetor

V ser escrito, em coordenadas polares, como

1.36i

onde V e V so as componentes polares do vetor.Figura 1.15: Vetores da base do referencial polar (clique no cone para visualizar a animao).

V V e V e= +

Agora a sua vez...Continue explorando os recursos de aprendizagem disponveis no Ambiente Virtual de Aprendizagem e realize a(s) atividade(s) proposta(s).
1.1 Grandezas Escalares e Vetoriais1.2 Representando vetores1.3 Operaes com vetores1.3.1 Multiplicao por um escalar (por um nmero)1.3.2 Soma de vetores1.3.3 Subtrao de vetores1.4 Extenso para muitos vetores1.4.1 Produtos de vetores1.4.2 Produto escalar de dois vetores1.4.3 Produto vetorial de dois vetores1.5 Vetores como referenciais1.6 Referenciais mais gerais1.7 Vetores em coordenadas polares

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