L A T I G I D O Escola Superior de Tecnologia de Viseu T N ... 13- PPT... · Processamento Digital...

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Departamento de Informática

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Instituto Superior Politécnico de ViseuEscola Superior de Tecnologia de ViseuCurso de Engenharia de Sistemas e Informática

Manuel A. E. Baptista, Eng.º

Processamento Digital de SinalAula 134.º Ano – 2.º Semestre

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Programa:

1. Introdução ao Processamento Digital de Sinal

2. Representação e Análise de Sinais

3. Estruturas e Projecto de Filtros FIR e IIR

4. Processamento de Imagem

5. Processadores Digitais de Sinal

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Bibliografia:Processamento Digital de Sinal:•Sanjit K. Mitra, “Digital Signal Processing – A computer based approach”, McGraw Hill, 1998 Cota: 621.391 MIT DIG•Roman Kuc, “Introduction to Digital Signal Processing”, McGraw Hill, 1988.Cota: 621.391 KUC INT•Johnny R. Johnson, “Introduction to Digital Signal Processing”, Prentice-Hall, 1989.Cota: 621.391 JOH INTG. Proakis, G. Manolakis, “Digital Signal Processing – Principles, Algorithms Applications”, 3ª Ed, P-Hall, 1996.Cota: 621.391 PRO DIG•James V. Candy, “Signal Processing – The modern Approach”, McGraw-Hill, 1988Cota: 621.391 CAN SIG•Mark J. T., Russel M., “Introduction to DSP – A computer Laboratory Textbook”, John Wiley & Sons, 1992.Cota: 621.391 SMI INT•James H. McClellan e outros, “Computer-Based Exercises - Signal Proc. Using Matlab 5”, Prentice-Hall, 1998.Cota: 621.391 MCC COM

Processamento Digital de Imagem:•Rafael C. Gonzalez & Richard E. Woods, “Digital Image Processing ”, Prentice Hall, 2ª Ed., 2002.Cota: 681.5 GON DIG. •I. Pittas H. McClellan e outros, “Digital Image Processing Algorithms and Applications”, John Wiley & Sons, 2000. Cota: 621.391 PIT. •William K. Pratt, “Digital image processing”, John Wiley, 2ª Ed, 1991. Cota: 681.5 PRA DIG •Bernd Jãhne, “Digital image processing : concepts, algorithms, and scientific applications”, Springer, 1997. Cota: 681.5 JAH

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Avaliação:A avaliação é composta pela componente teórica e componente prática

ponderadas da seguinte forma:

Classificação Final = 80% * Frequência ou exame + 20% * Prática

O acesso ao exame não está condicionado embora não tenha função de melhoria, ou seja, se o aluno entregar a prova de exame, será essa a classificação a utilizar no cálculo da média final independentemente da nota da prova de frequência obtida.

A avaliação prática é constituída por trabalhos laboratoriais a executar em MATLAB

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Filtros FIR e IIR

• Projecto de Filtros IIR– Especificações de Projecto de Filtros– Projecto de Filtros Analógicos– Filtros Digitais a partir de protótipos Analógicos

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Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto

• O processo de projecto dum Filtro

Projecto ImplementaçãoAnáliseProb

lema

Solução

G(z)função de

transferência

desempenholimitações

• resposta em módulo• resposta em fase• custo/complexidade

• FIR/IIR• subtipo• ordem

• plataforma• estrutura• ...

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Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto – Limitações de desempenho

• .. em termos de resposta em módulo:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 π-40

-30

-20

-10

0

frequency ω

gain

/ dB

passbandedge

frequency

Passband

Stopband

passbandripple

minimumstopband

attenuation

optimalfilter

will touchhere

stopbandedge

frequency

trans

ition

ban

d

|G(ejω)|

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• O “Melhor” filtro:

– Melhorando uma, normalmente pioram-se as restantes…

• Mas: aumentando a ordem do filtro (i.e. custo)melhoram-se as três medições

Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto – Limitações de desempenho

o menorRipple Banda Passante

a maiorAtenuação Mínima na SB

a mais estreitaBanda Transição

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Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto – Ripple na Banda Passante

• Assume-se um ganho máximo na banda passante = 1

então o valor mínimo do ganho na banda passante =

• Ou, ripple

1

|G(ejω)|

freq ω

Passbanddetail

11 + ε2

ωp

2

11

dBmax log 21020 1

parâmetrode ripple BP

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Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto – Ripple na Banda de Corte (SB)

• O ganho máximo na banda passante é A maior que o ganho máximo na banda de corte

• Assim, a atenuação mínima na banda de corte

0freq ωωs

Stopbanddetail

1A

parâmetrode ripple SB

dBlog logs A A110 1020 20

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Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto – Escolha do tipo de Filtro: FIR vs IIR

FIR– Sem feedback

(apenas zeros)– Sempre estável– Pode ter

fase linear

– Ordem mais alta(20-2000)

– Sem relação com a filtragem no domínio do tempo contínuo

IIR– Feedback

(pólos & zeros)– Pode ser instável– Difícil controlar a fase

– Tipo < 1/10 da ordem doFIR (4-20)

– Deriva dum protótipo analógico

Mas

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Projecto de Filtros IIR – Especificações de Projecto – Escolha do tipo de Filtro: FIR vs IIR

• Se se preocupar com o custo computacional use um IIR de baixa complexidade

(custo da computação sem importância FIR Fase Linear)• Se se preocupar com a resposta em fase

use um FIR de fase linear(fase sem importância prossiga com um IIR simples)

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Projecto de Filtros IIR – Projecto

• Os filtros IIR estão relacionados directamente com os filtros analógicos (tempo continuo)– através do mapeamento de H(s) (CT) em H(z) (DT), que preserva

muitas propriedades

• O projecto dum filtro analógico é sofisticado– Investigação em processamento de sinal desde a década de 1940

Projecto de filtros IIR a partir dum protótipo analógico– assim, é necessário aprender como fazer o projecto dum filtro contínuo

no tempo (CT)

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico

• Décadas de análise de filtros baseados em transístores –sofisticado, bem conhecido

• Escolhas Básicas:– ondulação vs. planura na banda de corte e/ou passante– mais ondulação mais estreita a banda de transição

ondulaçãoondulaçãoElípticosondulaçãoplanaChebyshev II

planaondulaçãoChebyshev IplanaplanaButterworth

Banda de CorteBanda PassanteFamília

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Função de Transferência Analógica

• Sistemas Analógicos: transformada s - (Laplace)Contínuo no tempo Discreto no tempo

Ha s ha t estdt Hd z hd n z

nTransformada

Respostaem

frequência

diagramapólo/zero

Ha j Hd ej

plano - s

Res

Ims

j

pólosestáveis

pólosestáveis

plano - z

Rez

Imz

ej

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Máxima planura nas bandas passante e de corte• Resposta em

Módulo (PB):

<< c,Ha(j 2 1

= c,Ha(j 2 = 1/2

Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros de Butterworth

Ha j2 1

1c

2N

ordemfiltroN

0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

|Ha(

jΩ)|

Ω/Ωc

N = 4

N = 10

ponto a 3dB

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>> c, Ha(j 2 ( c/

plano

@ = 0 for n = 1 .. 2N-1

d n

d n Ha j2 0

respostaem

móduloLog-log

declive a 6N dB/oitava

rolloff

10-1

100

101

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

|Ha(

jΩ)|

/ dB

Ω/Ωc

N = 4

N = 10

slope → -6N dB/oct

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros de Butterworth• Como encontrar as especificações de projecto?

–

|Ha(jΩ)|

ΩΩp Ωs

11 + ε2

1A

1

1 p

c

2N1

1 2

1

1 p

c

2N1A2

N 12

log10A 2 1

2

log10s

p

Equação deProjecto

k1 A2 1=“ discriminação ”, <<1

k p

s=“ selectividade”, < 1

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• mas o que é Ha(s)?

• Tradicionalmente, retira-se duma tabela– calcule N filtro normalizado com c = 1– escale todos os coeficientes para a cdesejada

• De facto,

onde

Ha j2 1

1 (c)2N

Ha s1s pii

pi cej N 2 i 1

2N i 1..Nplano - s

Res

Ims

c

sc

2N

1

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Ω1kHz= Ωp

5kHz= Ωs

11 + ε2

1A

0 dB= -1 dB

= -40 dB

Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Exemplo dum filtro de Butterworth

dB log10 2

11 201

.2 0 259

dB log A1

1040 20 A 100

Projecte um filtro de Butterworthcom uma freq. corte a 1 dB de 1kHz e uma atenuação mínima de 40 dB a 5 kHz

sp

5

N 12

log1099990.259

log10 5N 4 3.28

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Exemplo dum filtro de Butterworth

• A ordem N = 4 irá satisfazer as limitações;Qual é c e os coeficientes do filtro?– a partir da tabela, -1dB = 0.845 quando c = 1

c = 1000/0.845 = 1.184 kHz– a partir da tabela, obtêm-se os coeficientes

normalizados para N = 4, escala de 1184• Ou, utiliza-se o Matlab:[b,a] = butter(N,Wc,’s’);

0 2000 4000 6000-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

freq / Hzga

in /

dB

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros Chebyshev I• Equiripple na banda passante (plano na banda de corte)

minimizar o erro máximo

0 0.5 1 1.5 2-40

-30

-20

-10

0

Ω

gain

/ dB

N = 4

N = 10

rippledepth

( )p

aN

H jT

2

2 21

1

cos cos

cosh coshN

NT

N

1

1

1

1

Polinómiode Chebyshev

de ordem N

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros Chebyshev I

• Procedimento de projecto:– oscilação na banda de passagem pretendida – min. stopband atten., p, s N :

( ) cosh coshs

sp

pNA T N

22 2 22 1

1 1 11 1

cosh

cosh s

p

A

N21 1

1

1/k1, discriminação

1/k, selectividade

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros Chebyshev I

• O que é Ha(s)?– complicado, obtido a partir duma tabela– .. ou a partir do Matlab cheby1(N,r,Wp,’s’)– all-pole; pode ser inspeccionado:

..como em Butterworth

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Res

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros Chebyshev II

• Plano na banda passante, ondulatório na bandade corte

• O filtro tem pólos e zeros (alguns )• Padrão pólo/zero complicado

0 0.5 1 1.5 2-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Ω

gain

/ dB

N = 4

N = 10

peak ofstopband

ripples

Ha j2 1

1 2TN ( s

p)

TN ( s)

2

zeros no eixo imaginário

constante

~1/TN(1/ )

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Filtros Elípticos (Caeur)• Ondulação tanto na banda passante como na banda de

corte

• Complicado; não é ainda uma forma fechada para

0 0.5 1 1.5 2-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Ω

gain

/ dB

N = 4N = 10 peakSB

ripples

PBrippledepth

Banda de transição muito estreita

Ha j2 1

1 2RN2 (

p)

função; satisfazRN( -1) = RN( )-1

zeros para >1 pólos para <1

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Tipos de Filtros Analógicos

0 0.5 1 1.5 2-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 0.5 1 1.5 2-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 0.5 1 1.5 2-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 0.5 1 1.5 2-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

ΩΩc

gain

/ dB

Ω

gain

/ dB

Ω

gain

/ dB

Ω

gain

/ dB

Butterworth Chebyshev I

Chebyshev II Elliptical

Ωs

Ωp

r

r

A A

Ωp

N = 6

r = 3 dB

A = 40 dB

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico –Transformações dos Filtros Analógicos

• Todos os filtros mostrados são passa-baixo;outros tipos (passa-alto, passa-banda..)derivados através de transformações

• i.e.

• Mapeamento geral do plano-sMAS mantendo j j ;resposta em frequência apenas ‘misturada’

HLP ss F 1 s

HD s

Resposta desejadaalternada; ainda umpolinómio racional

protótipoPassa baixo

^

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Passa-Baixo para Passa-Alto

• Exemplo da transformação:

– toma-se o polinómio protótipo HLP(s)– troca-se s por

– Simplifica-se e re-arranja-senovo polinómio HHP(s)

HHP s HLP s s p ˆ ps

p ˆ ps

^

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Passa-Baixo para Passa-Alto

• O que acontece à resposta em frequência?

•

• Os eixos da frequência são invertidos

ˆ ˆˆ p p p p

js j s j

ˆ p ˆ p

p ˆ ˆ pp ˆ ˆ p

PB banda passante PA banda passante

p ˆ ˆ pPB banda de corte PA banda de corte

ΩΩp

Ω

−Ωp^

LPF

HPF

Os eixos imagináriosmantém-se...

...freq. freq.

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Projecto de Filtros IIR - Projecto dum Filtro Analógico – Exemplo de transformação

sp ˆ pˆ s

4

N 12

log10A 2 1

2

log10s

p

N 5

p@ 0.1dB 11 ( p

c)10

100.110

c p /0.6866 1.4564

Projecte um filtro passa-alto de Butterworthcom transição de PB de -0.1dB @ 4 kHz ( p)e transição de SB de -40 dB @ 1 kHz ( s)

• Protótipo do Passa-Baixo: faz-se p = 1

• Butterworth -0.1dB @ p=1, -40dB @ s=4

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• O protót. do FPB é

• Mapeamento para FPA:

p cej N 2 1

2N

Res

Ims

c

Nc

PB Nii

H ss p

1

ˆ

ˆˆ p pPA PB s

sH s H s

HHP s cN

p ˆ ps p

1

NcN sN

p ˆ p p s1

N

N zeros@ s = 0^

Novos pólos @ s = p p/pl^ ^

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fons

o


• No Matlab:[N,Wc]=buttord(1,4,0.1,40,'s');[B,A] = butter(N, Wc, 's');[n,d] = lp2hp(B,A,2*pi*4000);

p s Rp Rs

-2 -1 0 1x 104

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x 104

Res

Ims

0 1000 2000 3000 4000 5000-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

Ω / Hzga

in /

dB

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. E. B

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nest

o R

. Afo

nso

Projecto de Filtros IIR - Protót. Analógicos Filtros IIR

• Podemos mapear um filtro de alto desempenho no domínio CT para o domínio DT?

• Aproximação: transformação Ha(s) G(z) i.e.onde s = F(z) mapeia-se o plano-s plano-z:

G z Ha s s F z

plano-s

Res

Ims

plano-z

Rez

ImzHa(s0) G(z0)Qualquer valor de G(z)

é um valor de Ha(s)Algures sobre o Plane - s & vice-versa

s = F(z)

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Erne

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o

Projecto de Filtros IIR - Transformação de CT para DT

• Propriedades desejadas para s = F(z):– plano-s - eixo j plano-z – círculo unitário

preserva os valores da resposta em frequência– plano-s - LHP plano-z - interior do circulo unitário

preserva a estabilidade dos pólos

plano-s

Res

Ims

j

plano-z

Rez

Imzej

LHP UCI

Im u.c.

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Projecto de Filtros IIR - Transformação Bilinear

• Solução:

• Assim o inverso:

• Eixo da Freq.?

• Pólos?

s 1 z 1

1 z 1Transformação

Bilinear

z 1 s1 s

único,mapeamento1:1

s j z 1 j1 j

z = 1 i.e.no circulo unitário

s j z 1 j1 j

z 2 1 2 2 2

1 2 2 2< 0 z < 1

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o

Projecto de Filtros IIR - Transformação Bilinear• Como é que toda LHP de s, cabe dentro do circulo

unitário?

• Highly nonuniform warping!

-4 -2 0 2 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

plano-s plano-z

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Projecto de Filtros IIR - Transformação Bilinear

• Qual é a relação na freq.CT DT, ?

• i.e.

• gama infinita de frequencia CT mapeia-se numa gama finita de freq. DT.

• Não - linear; as

z e j s 1 e j

1 e j2 j sin /22 cos /2 j tan 2circulo uni. eixo im.

tan 2

2 tan 1

dd

Junte tudo!

-5 0 5-π

-0.5π

0

0.5π

π

Ω

ω

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Projecto de Filtros IIR - Transformação Bilinear - Frequency Warping

• A transformação Bilinearpara todos G e j Ha j 2 tan 1

Alguns ganhos & fase ( , A...),na mesma ‘ordem’, mas com o warpingeixo da frequência

0 1 2 3 4 5 6-60

-40

-20

0

-60 -40 -20 00

0.2

0.4

0.6

0.8

π

Ω

Ω

|Ha(jΩ)|

|G(ejω)|

ω = 2tan−1(Ω)

ωω

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Projecto de Filtros IIR - Procedimento de Projecto

• Obtém-se as especificaçõs dos filtros DT:– Forma geral (PB, PA...),

• Faz-se o ‘Warp’ das frequencias para CT:–

• Projecta-se o filtro analógico para– Ha(s), polinómio do filtro CT

• Converte-se para do domínio DT:– G(z), polinómio racional em z

• Implementa-se o filtro digital!

p , s, 11 2 , 1

A

p tan p

2 s tan s2

p , s, 11 2 , 1

A

G z Ha s s 1 z 1

1 z 1

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o

Projecto de Filtros IIR - Transformação Bilinear - Exemplo

0.4 0. 15ω/π

-40

-10

|G(e

jω)|

/ dB

Oscilações na SB,PB monotonica

Chebyshev I

• Requisitos no domínio DT:Passa Baixo, 1 dB de oscilação na PB, p = 0.4 ,atenuação em SB 40 dB @ s= 0.5 ,a atenuação aumenta com a frequência

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• Warp para o domínio CT:

• Especificações de Módulo:1 dB de oscilação na PB

40 dB de atenuação na SB.

p tan p

2 tan 0.2 0.7265 rad/sec

s tan s2 tan 0.25 1.0 rad/sec

11 2 10 1/20 0.8913 0.5087

1A 10 40 /20 0.01 A 100

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o


• Critério de projecto Chebyshev I:

• Verificação, projecto do filtro analógico, mapeamento para DT:

Ncosh 1 A 2 1

cosh 1 s

p

7.09 i.e. é necessário N = 8

0 0.5 1 1.5 2-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

|Ha(

jΩ)|

/ dB

Ω ω/π

|G(e

jω)|

/ dB

CT DT

>> N=8;>> wp=0.7265;>> [B,A]=cheby1(N,1,wp,'s');>> [b,a] = bilinear(B,A,.5);

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Projecto de Filtros IIR - Outras formas de Filtros

• O exemplo foi de um IIR FPB a partir dum protótipo PB• Para outras formas (FPA, Passa-Banda,...):

• Transformação LP X em CT ou domínio DT...

DTspecs

CTspecs

HLP(s)

HD(s)

GLP(z)

GD(z)

WarpBilinear

ProjectoAnalógico

CTtrans

DTtrans

Transform.Bilinear

Transform.Bilinear

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o

Projecto de Filtros IIR – Transformações espectrais em DT

• A mesma ideia como o mapeamento CT LPF HPF, mas no domínio z:

• Para se comportar bem, deveria:– mapear u.c. u.c. (preservar os valores de G(ej ))– Mapear o interior de u.c. u.c. interior (estabilidade)

• i.e.– De facto, está de acordo com a definição dum filtro

allpass... substitua os atrasos com

z F zGD z GL z z F z GL F z

F z 1 z 1

F z 1 z 1

F z

F z 1

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Projecto de Filtros IIR - Warping na Frequência em DT

• O mapeamento mais simplestem o efeito de fazer o warping das frequências do eixo:

z F z z1 z

z e j ˆ z e j e j ˆ

1 ae j ˆ

tan 211 tan ˆ

2

> 0 :expansão HF

< 0 :expansão LF

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Projecto de Filtros IIR – Outro exemplo de projecto

• Especificações:– Passa-Banda, de 800-1600 Hz (SR = 8kHz)– Ondulação = 1dB, Atenua. Mín. na banda de corte = 60 dB– Ordem 8, melhor banda de transição

• Utilize uma implementação eliptica, para o melhor desempenho

• Caminho completo de projecto:– Projecto do protótipo analógico do FPB– FPB analógico Filtro Passa-Banda– CT F. Passa-Banda DT F. Passa-Banda (Bilinear)

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Projecto de Filtros IIR – Outro exemplo de projecto

• Ou, num passo apenas, com o Matlab:[b,a] = ellip(8,1,60,

[800 1600]/(8000/2));

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000

-500

0

500

1000

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Pha

se (d

egre

es)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-80

-60

-40

-20

0

Normalized Frequency (×π rad/sample)

Mag

nitu

de (d

B)

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