ME623APlanejamento e Pesquisa

Blocagem em Experimentos FatoriaisEm algumas ocasiões, pode não ser

possível aleatorizar completamente todas as rodadas de um experimento fatorial

Por exemplo, a presença de um fator ruído pode sugerir que o experimento seja realizado em blocos

Uma variedade de fenômenos podem causar restrições na aleatorização (blocos): operador, lote de material, tempo, dia

Um experimentador pode conseguir uma replicação completa no dia 1, uma segunda replicação no dia 2, e assim por diante. Nesse caso, cada dia é considerado um bloco

Blocagem em Experimentos FatoriaisConsidere um fatorial com dois fatores (A e B) e n replicações

O modelo estatístico para esse delineamento é:

onde τi, βj e (τβ)ij representam os efeitos dos fatores A, B e da interação AB, respecitvamente

Suponha que precisemos de uma certa matéria-prima e esta é disponibilidade em lotes. Se o lote não for grande o suficiente para executar as abn rodadas, mas este for suficiente para ab observações, então faremos o experimento em blocos

Blocagem em Experimentos FatoriaisO modelo estatístico para para um fatorial com dois fatores e blocos é dado por:

onde δk representa o efeitos do k-ésimo bloco

Cada bloco contém uma replicação do fatorial completo (todos os tratamentos)

A ordem com que os tratamentos são aplicados é completamente aleatória dentro de cada bloco

Blocagem em Experimentos FatoriaisO modelo assume que a interação entre blocos e tratamentos são desprezíveis.

Isto também foi assumido no experimento de blocos completos aleatorizados.

Se estas interações existirem, elas não podem ser distinguidas do componente de erro.

Na verdade, o erro deste modelo consiste realmente das interações

Blocagem em Experimentos FatoriaisTabela ANOVA para um fatorial com dois fatores e blocos

Exemplo – RadarUm engenheiro está estudando métodos

para melhorar a habilidade de detectar alvos num radar

Dois fatores são considerados: ruído de fundo (3 níveis) e tipo de filtro colocado na tela (2 tipos)

O experimento consiste em aumentar a intensidade de um sinal até que este seja detectado. A variável resposta é então esta intensidade do sinal emitido quando o operador consegue detectá-lo

Diferentes operadores participarão do experimento, e como eles têm habilidades diferentes, é razoável considerar cada operador como um bloco

Exemplo – Radar

Operador

1 2 3 4

Filtro 1 2 1 2 1 2 1 2RuídoBaixo 90 8

696 8

410092

92 81

Médio 10287

10690

10597

96 80

Alto 114 93

112 91

10895

98 83

Dados observados:

Vamos analisar os dados acima e verificar se o nível de ruído e o tipo de filtro influenciam na detecção do sinal

Também veremos se existe interação

Exemplo – RadarO modelo linear para esse experimento é:

em que τi representa o efeito do nível de ruído, βj representa o tipo de filtro, (τβ)ij é a interação e δk é o efeito do operador (bloco)

As SS dos efeitos principais e da interação são calculadas da maneira usual. E a SSBloco:

Exemplo – RadarTabela ANOVA:

aov(formula = dados ~ filtro * ruido + Error(oper))

Ambos efeitos principais (nível de ruído e tipo de filtro) são significantes

A interação é significante a um nível de significância de 10%

Experimentos Fatoriais em Quadrados Latinos Suponha que existem duas restrições na

aleatorização, ou seja, dois fatores ruído e cada um tem p níveis

Se além disso, o número de tratamentos no experimento com k fatores é exatamente p

Então o experimento fatorial pode ser realizado num quadrado latino p x p

Experimentos Fatoriais em Quadrados Latinos Suponha a seguinte modificação para o

exemplo do radar:

Suponha que apenas 6 rodadas podem ser feitas por dia.

Assim, “dias” se torna uma segunda restrição na aleatorização, resultando em um quadrado latino 6x6

Experimentos Fatoriais em Quadrados Latinos

Operador

Dia 1 2 3 4 5 6

1 A(90) B(106) C(108) D(81) F(90) E(88)

2 C(114) A(96) B(105) F(83) E(86) D(84)

3 B(102) E(90) F(95) A(92) D(85) C(104)

4 E(87) D(84) A(100) B(96) C(110) F(91)

5 F(93) C(112) D(92) E(80) A(90) B(98)

6 D(86) F(91) E(97) C(98) B(100) A(92)

A = f1g1, B = f1g2, C = f1g3, D = f2g1, E = f2g2, F = f2g3 onde f = filtro, e g =

ruído

Experimentos Fatoriais em Quadrados Latinos

O Modelo é:

Onde

São os efeitos dos dias e operadores, que indicam a restrição na aleatorização.

Experimentos Fatoriais em Quadrados Latinos

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisÉ comum encontrar situações

onde a número de observações nas células é diferente.

Isso pode acontecer por várias razões:

O pesquisador pode ter planejado um experimento balanceado, mas problemas surgiram no meio do caminho a algumas UE foram perdidas

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisAs vezes experimentos não

balanceados são planejados para serem assim

Alguns tratamentos podem ser muito caros ou mais difíceis de se aplicar, então poucas observações são feitas nestas células

Ou algumas combinações podem ser de maior interesse

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisSuponha um experimento

fatorial(2)

Número de observações em cada célula é

Seja o número de obs. na i-ésima linha e

o número de obs. na j-ésima coluna

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados proporcionais(+fácil)

O número de observações em quaisquer duas linhas ou colunas são proporcionais

Neste caso, a análise de variância é a mesma, apenas com algumas modificações nas somas de quadrados:

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados

proporcionais(+fácil)

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados

proporcionais(+fácil)

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados

proporcionais(+fácil)Exemplo:

Mostre que é balanceado!

Temperatura

Material 15 70 125

1 130 155 34 40 70 58

74 180 80 75

2 159 126 136 115 45

3 138 160 150 139 96

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados

proporcionais(+fácil)Exemplo:

Exercício: verificar o resultado do R e comparar com o livro

Temperatura

Material 15 70 125

1 130 155 34 40 70 58

74 180 80 75

2 159 126 136 115 45

3 138 160 150 139 96

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados

proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: Quando os dados não estão

“longe” de serem balanceados.

Faz o problema ficar bem mais fácil, dada a dificuldade de lidar com dados muito desbalanceados

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: a) Estimar observações faltantes

Se apenas algumas observações faltam

Para um modelo com interação, o estimador da célula faltante que minimiza a soma dos quadrados dos erros é

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados

proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: a) Estimar observações faltantes

Então estimamos aquele valor por

A análise procede como usual, exceto que tiramos graus de liberdade do erro

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: b) Deixar dados de lado

Suponha que em um experimento fatorial com dois fatores (3 niveis cada), temos 4 observações para cada tratamento, mas um só tratamento tem 5 observações

Não compensa estimar todas as outras observações (18% dos dados)

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados

proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: b) Deixar dados de lado

Deixa esta observação de lado e fique com dados balanceados de n = 4

Escolha uma observação deste tratamento aleatoriamente

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados

proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: b) Médias PonderadasYates(1934)Tratar as médias das células

como os dados e fazer a análise usual.

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 1: Dados proporcionais(+fácil)Métodos de aproximação: b) Médias PonderadasMas MSE estima a variância de 1

observacao y e estamos tratando das médias de cada célula, então usamos

Com n.. – ab graus de liberdadeGrande vantagem computacional

Dados não balanceados em Modelos FatoriaisCaso 2: Método exato

Ver artigos citados no livro do Montgomery

Usar SAS

ExercícioConsidere o modelo fatorial de 3

fatores

i = 1…aj = 1…bk = 1…cNote que só há uma replicação. Se

todos os fatores forem fixos, escreva a tabela ANOVA, incluindo as esperanças dos erros quadráticos médios.