Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · SJBV • Lei de Ohm na forma Pontual vs....
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SJBV
• Lei de Ohm na forma Pontual vs. Macroscópica
• Tempo de Relaxação
Eletromagnetismo I - Eletrostática
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Condutividade Elétrica e Lei de Ohm na Forma Pontual (Capítulo 5 – Páginas 114 a 118)
SJBV
• Se aplicarmos uma diferença de potencial nos terminais de um fio condutor, a força
exercida sobre os elétrons livres dentro do condutor é:
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Condutividade
!F = −e
!E
carga do elétron = 1,602x10-19C
_ !F
!E
V• Devido às colisões com os átomos do condutor, os elétrons não são acelerados
continuamente.
• Os elétrons atingem uma velocidade constante (velocidade de deriva, vd): !vd = −µe
!E
• A mobilidade do elétron (µe) é um parâmetro que depende do material e tem unidades
de m2V-1s-1.
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• A densidade de corrente J é dada pela densidade volumétrica de cargas livres
multiplicada pela velocidade das cargas livres.
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Condutividade
_
!E
V• Em semicondutores, as lacunas também contribuem para a densidade de corrente.
• Se em um dado semicondutor, a densidade de lacunas for ρh, a densidade de corrente
é dada por:
!vd!J = −ρeµe
!E
Densidade vol. de elétrons livres
!J = −ρeµe
!E + ρhµh
!E
• Note que a densidade de corrente é proporcional ao campo elétrico.
SJBV
• No caso de materiais semicondutores, a mobilidade das lacunas também tem que ser
levada em conta.
• Lei de Ohm na forma pontual: a densidade de corrente em um ponto é
proporcional ao campo elétrico naquele ponto. A condutividade do material é a
constante de proporcionalidade.
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Condutividade
_
!E
• A condutividade pode ser expressada em termos da mobilidade. No caso dos
condutores a mobilidade dos elétrons é usada.
!J =σ
!E __
!J
σ = −ρeµe
σ = −ρeµe + ρhµh
SJBV
• A diferença de potencial aplicada no condutor pode ser relacionada ao campo elétrico.
• Já conhecemos a forma pontual da Lei de Ohm e agora podemos relaciona-la com a
forma macroscópica, que conhecemos de circuitos elétricos:
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Lei de Ohm: Forma Pontual vs. Forma Macroscópica
• Para um condutor com seção transversal de área ‘S’, a relação entre a corrente e a
densidade de corrente é:
R = VI
I
VABS
I =!J ⋅d!S
S∫ = !E σS
A B !LAB
VAB = −!E ⋅d!l =
B
A
∫!E ⋅!LAB =
!E L
SJBV
• Substituindo as duas últimas expressões na Lei de Ohm (macroscópica), chegamos
na equação que relaciona a resistência elétrica com a condutividade.
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Lei de Ohm: Forma Pontual vs. Forma Macroscópica
R = 1σLS I
VABS
A B !LAB
SJBV
• Pergunta: O que acontece se, de alguma forma, ‘inserirmos’ uma quantidade de
cargas no interior de um dado meio material?
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Tempo de relaxação
• Se as cargas tiverem o mesmo sinal as cargas se
repelem. • As cargas vão se concentrar na superfície do
material.
• Tempo de relaxação é tempo que uma carga no interior de um material leva para
decair a e-1 (36,8%) de seu valor inicial.
SJBV
• Podemos encontrar a equação que descreve a evolução da quantidade de carga
dentro do material ao longo do tempo.
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Tempo de relaxação
• A equação da continuidade de carga também pode ser expressa em termos de E
através da lei de Ohm na forma pontual ( ).
∇⋅!D = ρv ∇⋅
!E = ρv
ε
• Para materiais homogêneos a Lei de Gauss pode ser expressa em termos de E.
!J =σ
!E
∇⋅!J = −∂ρv
∂tσ∇⋅
!E = −∂ρv
∂t
1ρv
∂ρv∂t
= −σε
• Substituindo obtido da L.G. na equação acima: ∇⋅!E
σ ρvε= −
∂ρv∂t
SJBV
• A solução da Eq. Diferencial acima é:
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Tempo de relaxação
• O tempo de de relaxação τ é dado por:
• Qual é o tempo de relaxação para o cobre (σ = 5,8x107 S/m, ε = ε0)?
τ = 1,53x10-19 s
ρv = ρv0e− t τ
τ =εσ
• Qual é o tempo de relaxação para o quartzo (σ = 1x10-17 S/m, ε = 5ε0)?
τ = 4,43x106 s (51 dias)
• A densidade volumétrica no ponto cai exponencialmente com o tempo.
SJBV
Calcule a intensidade da densidade de corrente para uma amostra de prata
para a qual e , se:
(a) A velocidade de deriva é 1,5 µm/s;
(b) A intensidade de campo elétrico é 1mV/m;
(c) A amostra é um cubo de 2,5 mm de lado e por ela passa uma corrente total
de 0,5A.
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Exemplo
σ = 6,17×107 [S /m] µe = 0,0056 m2 /V.s⎡⎣ ⎤⎦
SJBV
Um condutor de cobre (σ = 5,8x107 [S/m]) tem diâmetro de 15,24 mm e
comprimento de 365,7m. Suponha que por ele circule uma corrente total de 50A.
(a) Calcule a resistência total do condutor.
(b) Que valor densidade de corrente existe no condutor.
(c) Qual é a diferença de potencial entre as extremidades do condutor?
(d) Quanta potência é dissipada no fio.
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Exemplo