Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Eletromagnetismo I · • Tendo o potencial elétrico, é...
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SJBV
• Eq. de Poisson
• Solução da Eq de Poisson em uma dimensão.
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Equação de Poisson (Capítulo 6 – Páginas 160 a 172)
SJBV
• A equação de Poisson permite solucionar problemas onde o potencial ‘V’ é
desconhecido em parte das regiões do problema.
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Equação de Poisson
• Normalmente, o potencial é conhecido nas fronteiras do problema.
• Exemplo: Capacitor de placas paralelas e problemas envolvendo meios com ρv na
presença de condutores em potenciais ‘V’ conhecidos.
ρv
60V
1D
30V -10V
50V
ρv
2D
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Equação de Poisson
• O potencial conhecido nos limites do problema é usado como Condição de Contorno
para encontrar o potencial em todas as regiões.
ρv
60V
1D
30V -10V
50V
ρv
2D
• Tendo o potencial elétrico, é possível calcular E, D e J outras grandezas.
• A equação de Poisson pode ser derivada a partir de Lei de Gauss, e é válida
quando se tem distribuições continuas de carga (densidades de carga).
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Equação de Poisson
• A equação de Poisson pode ser derivada a partir de Lei de Gauss (Pontual).
∇⋅!D = ρv
• A Densidade de Fluxo D pode ser expressa em termos do potencial V. !D = ε
!E = −ε∇V
• Desta forma, lado esquerdo da L.G. pode ser escrito em função do potencial V.
∇⋅!D = −∇⋅ ε∇V( )
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Equação de Poisson
• Caso o meio considerado no problema seja homogêneo, ε é uniforme e:
• O Divergente do gradiente de um escalar é o operador Laplaciano. Em Coord.
Cartesianas:
∇⋅!D = −ε∇⋅ ∇V( )
∇⋅∇V =∇⋅∂V∂x
ax +∂V∂y
ay +∂V∂z
az⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=∂∂x
∂V∂x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+
∂∂y
∂V∂y
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+
∂∂z
∂V∂z
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
V
Δ
⇒∇⋅∇V =∇2V
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Equação de Poisson
• O lado esquerdo da L.G. fica
• Igualando com o lado direito chegamos à Eq. de Poisson.
∇⋅!D = −ε∇2V
• Eq. de Poisson: o Laplaciano do potencial elétrico, num meio com densidade de
carga, é igual ao negativo da densidade de carga sobre a constante dielétrica do meio.
• Para um dado problema, a Eq. de Poisson em conjunto com as C.C. permitem
encontrar a distribuição de potencial elétrico em todas as regiões.
∇2V = −ρvε
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Equação de Poisson
• A Eq. de Poisson pode ser expressa em outros Sistemas de Coordenadas usando o
operador Laplaciano no sistema em questão.
• Em Coordenadas Cilíndricas, o operador Laplaciano fica:
∇2V =1ρ∂∂ρ
ρ∂V∂ρ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+
1ρ2
∂2V∂φ 2
+∂2V∂z2
• Em Coordenadas Esféricas, o operador Laplaciano fica:
∇2V =1r2
∂∂r
r2 ∂V∂r
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+
1r2senθ
∂∂θ
senθ ∂V∂θ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟+
1r2sen2θ
∂2V∂φ 2
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① Resolver a equação de Poisson por integração direta (1D) ou separação de
variáveis (2D). A solução geral é expressa através de constantes de integração.
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Procedimento para solução da Eq. de Poisson
ρv
60V
30V -10V
50V
ρv
1D 2D
② Aplicar as condições de contorno nas ‘superfícies’ onde V é conhecido e
encontrar a solução particular.
1D ( se V só é função de x) ∇2V =∂2V (x)∂x2
= −ρv (x)ε
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Procedimento para solução da Eq. de Poisson
③ Tendo o potencial em todos os campos, calcular E, D e J.
④ Tendo Dn nos condutores determinar ρs, Q e C = Q/V, etc.
!E = −∇V
ρS =!D ⋅ an S
= Dn
Nas superfícies dos condutores
ρv
60V
30V -10V
50V
ρv
1D 2D
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Dada a densidade volumétrica de carga:
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Exemplo
ρv = −2×107ε0 x [C /m3]
no espaço livre e seja V = 0V em x = 0 e V =2V em x = 2,5mm, calcule:
(a) V em x = 1mm.
(b) E no mesmo ponto.
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Considere que a região entre os eletrodos mostrados abaixo contém uma
densidade de carga uniforme ρ0 = 25 mC/m3, que ε = ε0 e o potencial no
eletrodo da esquerda é V0 = 22kV. Se a condutividade na região entre os eletrodos é σ = 1x10-4 S/m e d = 20mm, calcule:
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Exemplo
(a) E entre as placas.
(b) D entre as placas.
(c) J entre as placas.
(d) ρS na placa da direita.