Escola Marcelino Champagnat

2ª Série do Ensino Normal Médio

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Resumo e Lista de Exercícios de Matemática Professor: Anselmo Guerra Júnior Aluno: _________________________________________________ 2º Ano ____

Relações Binárias Sobre os Reais (Conceitos Fundamentais)

Par ordenado: Chamamos de par ordenado um par de números cuja ordem importa. Um par ordenado formado pelos números reais x e y é representado por (x , y), onde x é a abscissa e y é a ordenada.

Igualdade de pares ordenados: Os pares ordenados (a , b) e (c , d) são iguais se e somente se a = c e b= d, isto é, abscissas iguais e ordenadas iguais.

Ex: Se ZbeZa ∈∈ , determine a e b para que se

tenha: a) ( 2a+b , 5a- 3b )=( 3 , 2) b) ( a+2b , 17 )=( 6 , a+b )

Produto cartesiano (binário): Dados dois subconjuntos dos reais não vazios A e B, define-se o

produto cartesiano BA× como o conjunto de todos os pares ordenados cujas abscissas são elementos de A e as ordenadas são elementos de B. Ex: Para A = {1,3,5} e B = {2, 3, 4}, temos: AxB =

Relação Binária Determinar uma relação binária de A em B, BAR →: ,

é obter um subconjunto de BA× , que obedece uma lei de formação dada. Ex: A={1,2,3,4,5} e B={1,2,3,4,5,6}, identificar uma relação de A em B expressa por:

}2|),{( +=×∈= xyBAyxR

Temos que a relação R é composta pelos seguintes pares ordenados: R =

Plano Cartesiano

Tomando, a relação R do exemplo anterior, temos que seus pontos podem ser representados no plano cartesi-ano como podemos ver abaixo: Por meio de diagramas, temos:

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Domínio, Contradomínio e Imagem Dada uma relação R: A-> B, ao conjunto formado pe-los elementos de A que estão associados a elemen-tos de B por meio da relação R, denominamos domí-nio da relação. O Conjunto B é chamado de contradomínio da relação R. Ao conjunto formado pelos elementos de B que es-tão associados a elementos de A por meio de R, da-mos o nome de imagem da relação R.

Em outras palavras, dada uma relação BAR →: ,

temos:

} algum para )(/{)Im(

)(

} algum para )(/{)(

AxxRyByR

BRCD

ByxRyAxRDom

∈=∈=

=

∈=∈=

Exemplo: Para A = { -3, -2, -1, 0} e B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e

}/),{( 2xyAXByxR =∈= , temos:

Dom(R) = {-3,-2,-1,0} = A CD(R) = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} = B Im(R) = {0, 1, 4, 9}

Observação: Note que )()Im( RCDR ⊆ para qual-

quer relação R. Voltaremos a falar sobre isso em breve para um caso

particular, onde )()Im( RCDR =

Relação Inversa

Chamamos de relação inversa de R (notação: 1−

R ) ao

subconjunto de BXA em que cada elemento é da forma (y,x), sempre que (x,y) pertença a R, logo:

}),(|),{(1 RyxABxyR ∈×∈=−

Observações:

a) )()Im()Im()( 11 −− == RDomReRRDom

b) RR =−− 11 )(

c) O gráfico composto pelo gráfico de uma relação e o de sua inversa é simétrico em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Pensando no que aprendeu 1. Determinar a e b para que os pares ordenados (a + b, 8) e (7, 2a – b) sejam iguais 2. Assinale V ou F: ( ) Os conjuntos A={3,2} e B={2,3} são iguais ( ) Os pares ordenados (2,5) e (5,2) são diferentes ( ) Se A e B são conjuntos tais que n(AxB) = 12 e n(B)=4, podemos afirmar que n(A) = 8

( ) Uma relação BAR →: pode conter pares orde-

nados que não pertencem ao produto cartesiano AxB. 3. Dados os conjuntos A={1,3,5}, B={1,2,3}, C={2,3,4,5}, determine: a) AxB = b) BxA = c) AxC = d) CxA = e) BxC = f) CxB = 3. Marque no plano cartesiano os pontos do produto AxB, com os conjuntos A e B da questão anterior:

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4. Dados os conjuntos A={0,1,2,3,4,5} e B={0,1,3,8,25} e

a relação }1/),{( 2 −=∈= xyAxByxR , determine:

a) Os pares ordenados da relação R b) A representação cartesiana de R: c) A representação por diagramas de R: d) Dom(R) = e) CD(R) = f) Im(R) =

Questões de Vestibulares

1.(Santa Casa-SP) Sejam A e B conjuntos não vazios. Se BA× tem 12 elementos, então BA ∪ pode ter, no má-ximo, quantos elementos? a)7 b)8 c)11 d)12 e)13 2. (UFMT) Sejam os conjuntos A e B tais que

)}3,1(),3,2(),2,2(),2,1(),0,2(),0,1{( −−−=× BA .

O número de elementos do conjunto BA ∩ é: a)0 b)1 c)2 d)3 e)4 3. (F.C.Chagas-BA) Dados os conjuntos A={0,1}, B={1,2} e C={0,2}, então )()( CBBA ×−× é o conjunto:

a)φ

b){(1,1),(1,2)} c){(0,1),(2,0),(2,2)} d){(1,1),(0,2),(2,2)} e){(0,1),(0,2),(1,1)} 4. (UFPA) Dados os conjuntos A={a,b,c} e B={a,b}, qual dos conjuntos a seguir é uma relação de A em B? a){(a,a),(b,b),(c,c)} b){(a,a),(b,b),(b,c)} c){(a,a),(b,b),(a,c)} d){(a,a),(b,b),(c,a)} e){(c,b),(b,c)} 5. (Mack-SP) Sejam A={0,1,2,3}, B={1,2,4,5} e a relação

}12|),{( −=×∈= xyBAyxR . O domínio e a imagem

dessa relação são: a){1,3} e {1,5} b){0,1,2} e {2,4} c){0,1,2,3} e {1} d)A e B e){0,2} e {4,5} 6. (UFAL) No produto IRIR × os pares ordenados (3x + y;1) e (7;2x – 3y) são iguais. Os valores de x e y são, respectivamente: a)-2 e –1 b)2 e 1 c)3 e 4 d)5 e 3 e)4 e 6