Sobre uma abordagem do número de estabilidade de um grafo baseada em técnicas de optimização...

Sobre uma abordagem do número de estabilidade de um grafo baseada em técnicas de optimização quadrática

Carlos J. Luz

Instituto Politécnico de Setúbal

& CEOC / Universidade de Aveiro

Tardes de Trabalho SPM/CIM - Optimização

Complexo do Observatório Astronómico – Coimbra – 6 de Maio de 2006

2

G

S 1,3,4,5 Conjunto independente de G

C 1,2,6

Clique de G

(G)= Cardinal of the Largest Independent Set of G

(G)= Cardinal of the Largest Clique Set of G





G Cardinal do maior conj.independente de G

G Cardinal da maior clique de G

Para o grafo G, tem-se G 4 e G 3

G

S 1,3,4,5 Conjunto independente de G

C 1,2,6

Clique de G

















Para o grafo G, tem-se G 4 e G 3

3

Propriedade

G G

G 4 # 1, 3, 4, 5 G

G G

G G

G 4 # 1, 3, 4, 5 G G 4 # 1, 3, 4, 5 G

G G

4

G V, E

AG a ij é uma matriz simétrica tal que

a ij 1, se ij E

0, se i j ou ij E

e vector c/ coordenadas iguaisa1 AG matrizdeadjacência E minAG 1 AG

minAG I semidefinidapositiva

Onúmero G

5

1

2 6

3 4

5

1

2 6

3 4

5 AG

0 1 0 0 0 1

1 0 1 0 0 1

0 1 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 1

1 1 1 1 1 0

G G

Exemplo:

minAG 2

G G 4

6

Propriedadesde G

(L, 1995) SeGéumgraforegular deordemn,

G n minAG maxAG minAG

(L,1995) Existeumasoluçãoóptimax de

max 2eTx xT AG

minAG I x : x 0

tal quexi 0, paraumcertovértice i deG.

7

(L, 1995) G G sseparaqualquer estável

máximoSdeG,

minA min|Ni S| : i S

1

23

4

5 6

1

23

4

5 6

min 2

S 3, 6

G 2. 4

min |Ni S | : i S min 2, 1, 2, 1 1

8

(Cardoso2001) x éumasoluçãoóptimade

x0max 2eTx xT AG

minAG I x sse

xi max 0,1 ai

Tx

minAG

(LeCardoso1998) Paraa b 1eb 0, seja

G max aeTx bxT AG

minAG I x : x 0 ;

Então,

G G e G mina,bG

9

(LeCardoso1998) Sendox1 ex2

duassoluçõesóptimasdoproblema

max 2eTx xT AG

minAG I x : x 0 ,

adiferençax1 x2

pertenceaosubespaçopróprioassociadoa minAG.

(LeCardoso1998) Se G G e i pertenceatodososestáveismáximosdeG, então

G NGi G NGi

10

G i G i

(LeCardoso1998) Se G G e i nãopertenceatodososestáveismáximosdeG, então

(LeCardoso1998) SejaG V,E e i V. Então,

G i G

minAG i minAG G G

11

(LeCardoso, 2001) G generaliza-seagrafosponderadosGV,E,w:

wG wG max 2wTx xT AG W x : x 0

W diagw1, ,wn

minW1/2AW1/2

12

G G x0max 2eTx xT AG

minAG I x

Oqueacontece

substituindopor

outramatriz?

Oqueacontece

substituindopor 0 ?

GrafoscomN.E.Q.C.

Comparaçãoc/

thetadeLovász

Paraquegrafos

sedáa igualdade?

Ligaçõescomprograma

deMotzkin-Strause

melhoramentode G

13

(Cardoso2001) SeGéconexo,

G temumemparelhamentoperfeitosseLG Q

(Cardoso2001) SeG V,E éumgrafoconexo

com |E|par, LLG Q

Aclasse Q–grafoscomN.E.Q.C.

14

Aclasse Qeosconjuntosk,-regulares

DadoG V,E, S Vé k,-regular se induzemGumsubgrafok-regular |NGi S| , qualquer queseja i V\S

S 1,4,7,8 é 0,2-regular

1

2

34

56

7

89

10

1

2

34

56

7

89

10

15

(Cardoso2003) SejaG V,E umgraforegular.

EntãoG QseesóseexisteumconjuntoS V

queé 0,-regular, emque minAG.

(CardosoeRama2005) SejaGumgrafocompelo

menosumaarestaeSumconjuntoestável deGqueé 0,-regular.

EntãoG Qseesóse minAG.

16

Reconhecimentodegrafosde Q

(Cardoso2001) SejaG V,E umgrafo.1. SuponhamosqueexisteU V tal que G G U eque

minAG minAGU. Então G G.

2. Seexiste i V tal que G maxG i,G NGi,entãoG Q.

3. Considere-sequeexiste i V tal que G i G NGi.(a) Se G G i, entãoG QseesóseG i Q.(b) Se G G NGi, entãoG QseesóseG NGi Q.

17

1

2

34

5

6

7

8 9

10

1

2

34

5

6

7

8 9

10

GrafosAdversos

minAG 2

G 4 G

1. Gnãotemvértices isolados2. G e minAG são inteiros3. i V, G G NGi4. i V, minAG minAGNGi

G V,E éumgrafoadversose:

18

(Cardoso, 2003) SejaG V,E umgrafoadverso.

EntãoG QsseS V, 0,-regular.

(LeCardoso, 1998) SejaGumgrafoadverso.Então, G Qsse

G max xTx : AG

minAG I x e x 0

19

• Barbosa e Cardoso, 2004, On regular-stable graphs, Ars-Combinatoria, 70, 149-159• Cardoso, 2003, On graphs with stability number equal to the optimal value of a convex quadratic programming, Matemática Contemporânea, 25, 9-24.• Cardoso e Rama, 2004, Equitable bipartitions of graphs and related results, Journal of Math. Sciences, 120, 869-880.• Lozin e Cardoso, 1999, On hereditary properties of the class of graphs with convex quadratic stability number, Cadernos de Matemática, Universidade de Aveiro, CM/I-50.• Rama, 2005, Propriedades Combinatórias e Espectrais de Grafos com Restrições de Regularidade, dissertação de Doutoramento, Universidade de Aveiro, 2005.

OutrosResultados

20


minAG I x

Oqueacontece

substituindopor

outramatriz?

Oqueacontece

substituindopor 0 ?

GrafoscomN.E.Q.C.

Comparaçãoc/

thetadeLovász

Paraquegrafos

sedáa igualdade?


deMotzkin-Strause

melhoramentode G

21

LigaçõescomprogramadeMotzkin-Straus

0, G, x0max 2eTx xT 1

AG Ix

(CardosoeL, 2001) Considere-se

0, G, z0min zT 1

AG Iz : eTz 1 .

Então,

MotzkineStraus, 1965:

1G minxTAG Ix : eTx 1 x 0

G, 1G,

22

Ummelhoramentode G

G x0max 2eTx xT 1

minQ minAG AG I x

com1 minQ 0

(L, 2005) SendoGumgrafocompelomenosumaaresta,

G G minQ minQ2

onde éovalor óptimodeumprograma

quadráticoconvexo.

23

(L, 2005) SendoGumgrafocompelomenosumaaresta,

minQ minAG min|Ni S| : i S

1. G G2. G G sseS, estável máximoG, tal que

G G 5 G 5.2771

24

• Cardoso, 2003, On graphs with stability number equal to the optimal value of a convex quadratic programming, Matemática Contemporânea, 25, 9-24.• Cardoso e L, 2001, Extensions of the Motzkin-Straus result on the stability number of graphs, Cadernos de Matemática, Universidade de Aveiro, CM01/I-17.• L, 2005, Improving an upper bound on the stability number of a graph, Journal of Global Optimization, 31/1 (2005), 61 – 84.

OutrosResultados

25


minAG I x

Oqueacontece

substituindopor

outramatriz?

GrafoscomN.E.Q.C.

Comparaçãoc/

thetadeLovász

Paraquegrafos

sedáa igualdade?


deMotzkin-Strause

melhoramentode G

26

G V,E

C matriz de adjacência ponderada E trC 0 minC 0

C minC I semidefinidapositiva

C c ij é uma matriz simétrica não nula tal que

c ij qq nº real, se ij E

0, se i j ou ij E

Onúmero G,C

G,C x0

max 2eTx xT C minC I x

27

Exemplo:

1

23

4

5 6

AG

0 1 1 0 0 1

1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0

0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 1 0

C

0 2 2 0 0 0.5

2 0 2 0 0.5 0

2 2 0 0.5 0 0

0 0 0.5 0 2 2

0 0.5 0 2 0 2

0. 5 0 0 2 2 0

minAG 2

minC 2.5

G G,AG 2.4

G,C 2.1428

28

Onúmero G deLovász

G V, E com |V| n e E

Algumas propriedades:

G G G Se G é perfeito, G G Se G é regular, G n minAG

maxAG minAG

ondeQéumamatrizdeadjacênciaponderadadeG

G Q

min maxeeT Q

29

min t

s.a tI eeT Q

G max eeT, X TreeTX eTXe

s.a X ij 0, ij E

Tr X 1

X 0

G Q

min maxeeT Q

30

Caracterizaçãode G baseadaemprog.quad. convexa

G C

min G,C

(LeSchrijver, 2005) SejaCumamatrizde

G,C x0max 2eTx xT C

minC I x

com

Então,

adjacênciaponderadadeG V,E.

31

Exemplo:

1

23

4

5 6

AG

0 1 1 0 0 1

1 0 1 0 1 0

1 1 0 1 0 0

0 0 1 0 1 1

0 1 0 1 0 1

1 0 0 1 1 0

G,AG 2.4

G maxeeT Q 2

G, Q 2

Q

0 2 2 0 0 0

2 0 2 0 0 0

2 2 0 0 0 0

0 0 0 0 2 2

0 0 0 2 0 2

0 0 0 2 2 0

32

Onúmero G deSchrijver edeMcEliece,Rodemich,Rumsey

G V, E com |V| n e E


0, se i j

qq nº real 0, se ij E

C c ij é uma matriz simétrica não nula tal que

G G C

min maxeeT C G

C matriz de adjacência ponderada estendida de G, isto é,

33

min t

s.a tI eeT Q

q ij 0, ij E

G G C

min maxeeT C G

G max eeT, X

s.a X ij 0, ij E

Tr X 1

X 0, X 0

34

Caracterizaçãode G baseadaemprog.quad. convexa

G G,C x0


e

G C

min G,C

deG V,E,

(L, 2006) Cmatrizdeadjacênciaponderadaestendida

35


0, se i j ou ij E


0, se i j

qq nº real 0, se ij E

c ij 1, se ij E

0, se i j ou ij E

G, C x 0


G, C G

→

→

→

Cmin G, C G

Cmin G, C G

Resumo

36

• L e Schrijver, 2005, A convex quadratic characterization of the Lovász theta number, SIAM Journal on Disc. Math, 19(2), 382-387.• L, 2006, A convex quadratic characterization of the Schrijver and McEliece-Rodemich-Rumsey upper bound on the stability number of a graph, Cadernos de Matemática, Universidade de Aveiro, CM/I-14 • L, 2006, A characterization of Delsarte's bound as a ratio bound, Cadernos de Matemática, Universidade de Aveiro, CM/I-15

OutrosResultados

37

Questõesemaberto

• Reconhecimento dos grafos adversos em tempo polinomial

• Utilização destas caracterizações para obter theta e theta-linha sem recorrer à programação semidefinida

• Utilização destas caracterizações para obter melhores majorantes para o número de estabilidade

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