TRABALHO 1

5/8/2018 TRABALHO 1 - slidepdf.com

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

ENGENHARIA MECÂNICA

Teoria de Controle

PRIMEIRA AVALIAÇÃO PARCIAL

Aluno: Rômulo da Silva Carvalho

BELO HORIZONTE2010

Considere o sistema cuja Função de Transferência é dada por:



Utilizando o Programa MATLAB :

1) Plote a resposta a um Impulso do sistema (comando “impulse”).2) Plote a resposta a um degrau do sistema (comando “step”).3) Determine o ganho estático Ks do sistema em malha aberta (MA)utilizando o comando “dcgain”.4) Determine o valor de pico e o tempo de pico da resposta utilizando ocomando “max”.5) Determine os pólos do sistema em MA utilizando os comandos “pole”ou “roots”.

6) Plote a resposta em freqüência do sistema (comando “bode”).7) Determine o amortecimento e a freqüência natural do sistema em MAutilizando o comando “damp” do MatLab.8) Determine a magnitude e freqüência do(s) modo(s) de vibração dosistema.9) Determine uma representação de estados para o sistema (utilize ocomando “ssdata”).10) Escolha um valor apropriado para o período de amostragem, Ts.Explique e justifique a sua escolha.11) Com o valor para Ts escolhido no item anterior, determine a função de

transferência do sistema, Gd(z) (no domínio de “Z”) (utilize o comando“c2d”).12) Plote o modelo discreto Gd(z) obtido no item anterior para uma entradaem degrau (utilize o comando “step”).

Resolução

De acordo com os códigos do software MatLab, resolvemos aseguinte forma:

num=[8.4];

den=[0.125 0.7625 0.1325 1.6 2];



Gs=tf(num,den);

figure;

impulse(Gs)

figure;step(Gs)

ganho=dcgain(Gs)

[mag,tempo]=step(Gs);

PicoMag=max(mag)

PicoTempo=max(tempo)

vetorPolos=pole(Gs)

figure;bode(Gs)

[vetorFrequenciaN,vetorAmortecimento]=damp(Gs)

[A,B,C,D]=ssdata(Gs)

Ts=0.05

Gz=c2d(Gs,Ts)

figure;

step(Gz)

1) Gráfico de Resposta ao Impulso



0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5x 10

7 Impulse Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

3) Utilizando o comando “dcgain” no programa MatLab, encontra-se oganho estático Ks.

ganho = 4.2000

Ficando na forma da função transferência abaixo, este ganho podeser calculado de maneira rápida.

Segue –se para a forma:

Sendo assim este ganho é evidenciado .

4) Escolhendo-se a resposta em degrau e utilizando a declaração diferennte



da função ste, usou se vetores “mag” e “tempo”.

Assim, utilizou-se a função max para reconhecer o máximo damagnitude, no qual foi atribuído à PicoMag, e foi reconhecido seurespectivo valor no vetor Pico Tempo.

Os valores encontrados:

PicoMag = 2.8998e+006

PicoTempo =

27.1 segundos

Confirmamos valor aproximado de acordo com o gráfico abaixo:

Step Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

0 5 10 15 20 25 30-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10

6

System: Gs

Time (sec): 27.1

Amplitude: 2.9e+006

5) Foi utilizada a função pole e atribuído seu valor a variável “vetorPolos”, eos resultados encontrados foram:

vetorPolos =



-6.1951

0.5305 + 1.5468i

0.5305 - 1.5468i

-0.9659

Ou seja, foram encontrados, naturalmente, 4 pólos (pois a ordem dodenominador é 4), sendo 2 deles reais, e 2 deles complexos.

6) O diagrama de bode da função transferência foi obtido utilizando afunção bode do Matlab, a qual retorna os gráficos de magnitude, em dB, eo ângulo em graus, como mostrados abaixo:



-150

-100

-50

0

50

M a g n i t u d e ( d B )

10-2

10-1

100

101

102

-405

-360

-315

-270

P h a s e

( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

7) Utilizando a função damp do MatLab, a freqüência natural do

sistema e o amortecimento foram atribuídos às variáveis vetor Frequência N e vetor Amortecimento respectivamente, e os resultados encontradosforam:

vetorFrequenciaN =

0.9659

1.6352

1.6352

6.1951

vetorAmortecimento =

1.0000

-0.3244

-0.3244

1.0000

8) As freqüências dos modos de vibração do sistema, como calculado no

item 7, são:

0.9659



1.6352

6.1951

Para tais freqüências, pode-se determinar suas magnitudes varrendoo vetor de magnitude do diagrama de bode, ou pode-se obtê-los

diretamente do diagrama, como mostrado na figura abaixo:

10-0.01511

10-0.0151

10-0.01509

10-0.01508

10-0.01507

10-0.01506

10-0.01505

10-0.01504

10-0.01503

-383.036

-383.035

-383.034

-383.033

-383.032

-383.031

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

9

10

11

12

13

Sys tem: Gs

Frequency (rad/sec): 0.966

Magnitude (dB): 11.8


100.21355

100.21356

100.21357

100.21358

100.21359

-344.5

-344.45

-344.4

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-150

-100

-50

0

50

System: Gs

Frequency (rad/sec): 1.64

Magnitude (dB): 9.96




100.792042

100.792044

100.792046

100.792048

100.79205

100.792052

100.792054

-316.553

-316.5525

-316.552

P h a s e ( d e g )

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-150

-100

-50

0

50

M a g n i t u d

e ( d B )

System: GsFrequency (rad/sec): 6.2

Magnitude (dB): -29.5

9) A representação do estado do sistema foi calculada utilizando a funçãossdata, e os vetores utilizados foram A, B, C e D, com os seguintesresultados:

>> AA =

-6.1000 -0.2650 -1.6000 -1.0000

4.0000 0 0 00 2.0000 0 00 0 2.0000 0

>> B

B =200

0>> C

C =0 0 0 2.1000

>> DD =

0

10) De acordo com a função "damp", temos as freqüências naturais



variando de 0.97Hz a 6.2Hz. Analisando o pior caso, ou seja, 6.2Hz, eutilizando o teorema de Nyquist, no qual a freqüência mínima deamostragem de um sinal é 2 vezes a freqüência do sinal, é razoávelescolher um valor acima de 13hz de amostragem, o que nos daria um Ts

próximo a 0.075s.O valor escolhido será de 0.05s, que é um valor um pouco menor que0.075s calculado, e que nos dará uma melhor resolução, sem sobrecarregar o programa com uma taxa de amostragem muito alta.

11) Escolhido o valor de Ts=0.05, foi utilizado o comando Gz=c2d(Gs,Ts) para obter a função transferência em Z mostrada abaixo:

Gz = 1.648e-005 z^3 + 0.0001709 z^2 + 0.0001608 z + 1.373e-005______________________________________________________

z^4 - 3.734 z^3 + 5.207 z^2 - 3.21 z + 0.7371

12) Finalmente, foi plotada a resposta ao degrau da função transferência Gzcalculada no item anterior:

0 5 10 15 20 25 30-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4x 10

6 Step Response

Time (sec)

A m p l i t u d e

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