Post on 17-Jan-2016
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Calculo NumericoSeries de Taylor
Joao Paulo Gois
Universidade Federal do ABC
1
1Apresentacao baseada no Livro Numerical Analysis, Kincaid & Cheney
Teorema de Taylor
O Teorema de Taylor determina um resultado muitoimportante para funcoes Cn[a, b]
Aplicado diversas vezes em Analise Numerica e no estudo dealgoritmos em Computacao Cientıfica
Teorema de Taylor
O Teorema de Taylor determina um resultado muitoimportante para funcoes Cn[a, b]
Aplicado diversas vezes em Analise Numerica e no estudo dealgoritmos em Computacao Cientıfica
Teorema de Taylor
O Teorema de Taylor determina um resultado muitoimportante para funcoes Cn[a, b]
Aplicado diversas vezes em Analise Numerica e no estudo dealgoritmos em Computacao Cientıfica
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor com Resto de Lagrange
Se f ∈ Cn[a, b] e se f (n+1) existe no intervalo aberto (a, b), entaopara quaisquer pontos c e x no intervalo fechado [a, b]
f(x) =
n∑k=0
1
k!f (k)(c)(x− c)k + En(x) (1)
onde para algum ponto ξ entre c e x, o termo do erro e:
En(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξx)(x− c)n+1
Teorema de Taylor
Teorema de Taylor com Resto de Lagrange
Se f ∈ Cn[a, b] e se f (n+1) existe no intervalo aberto (a, b), entaopara quaisquer pontos c e x no intervalo fechado [a, b]
f(x) =
n∑k=0
1
k!f (k)(c)(x− c)k + En(x) (1)
onde para algum ponto ξ entre c e x, o termo do erro e:
En(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξx)(x− c)n+1
Teorema de Taylor
Dizer ξ entre x e c significa que ou c < ξ < x ou x < ξ < c,dependendo dos valores de x e c envolvidos.
Um caso particular da serie de Taylor surge quando c = 0.Neste caso a Eq. 1 se torna a Serie de Maclaurin:
f(x) =n∑
k=0
1
k!f (k)(0)(x)k + En(x) (2)
onde
En(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)(x)n+1
Teorema de Taylor
Dizer ξ entre x e c significa que ou c < ξ < x ou x < ξ < c,dependendo dos valores de x e c envolvidos.
Um caso particular da serie de Taylor surge quando c = 0.Neste caso a Eq. 1 se torna a Serie de Maclaurin:
f(x) =n∑
k=0
1
k!f (k)(0)(x)k + En(x) (2)
onde
En(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)(x)n+1
Teorema de Taylor
Dizer ξ entre x e c significa que ou c < ξ < x ou x < ξ < c,dependendo dos valores de x e c envolvidos.
Um caso particular da serie de Taylor surge quando c = 0.Neste caso a Eq. 1 se torna a Serie de Maclaurin:
f(x) =
n∑k=0
1
k!f (k)(0)(x)k + En(x) (2)
onde
En(x) =1
(n+ 1)!f (n+1)(ξ)(x)n+1
Exemplos de Series de TaylorPodemos obter series de Taylor para muitas funcoes importantestais como:
sinx =
∞∑k=0
(−1)k x2k+1
(2k + 1)!(−∞ < x <∞)
cosx =
∞∑k=0
(−1)k x2k
(2k)!(−∞ < x <∞)
ex =
∞∑k=0
xk
k!(−∞ < x <∞)
ln(1 + x) =
∞∑k=1
(−1)k−1
kxk (−1 < |x| <∞)
1
1 + x=
∞∑k=1
(−1)kxk (−1 < x < 1)
Observacoes
As series anteriores sao denominadas Series de Potencias
A serie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada comoum mecanismo de aproximacao
Primeiramente tem que se garantir que uma funcao possui“muitas” derivadas
Usando o Teorema de Taylor junto com a analise do erroEn(x) quando n→∞, podemos garantir que as formulaspossuem valores de x para os quais elas convergem.
Observacoes
As series anteriores sao denominadas Series de Potencias
A serie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada comoum mecanismo de aproximacao
Primeiramente tem que se garantir que uma funcao possui“muitas” derivadas
Usando o Teorema de Taylor junto com a analise do erroEn(x) quando n→∞, podemos garantir que as formulaspossuem valores de x para os quais elas convergem.
Observacoes
As series anteriores sao denominadas Series de Potencias
A serie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada comoum mecanismo de aproximacao
Primeiramente tem que se garantir que uma funcao possui“muitas” derivadas
Usando o Teorema de Taylor junto com a analise do erroEn(x) quando n→∞, podemos garantir que as formulaspossuem valores de x para os quais elas convergem.
Observacoes
As series anteriores sao denominadas Series de Potencias
A serie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada comoum mecanismo de aproximacao
Primeiramente tem que se garantir que uma funcao possui“muitas” derivadas
Usando o Teorema de Taylor junto com a analise do erroEn(x) quando n→∞, podemos garantir que as formulaspossuem valores de x para os quais elas convergem.
Observacoes
As series anteriores sao denominadas Series de Potencias
A serie de Taylor (em alguns casos) pode ser utilizada comoum mecanismo de aproximacao
Primeiramente tem que se garantir que uma funcao possui“muitas” derivadas
Usando o Teorema de Taylor junto com a analise do erroEn(x) quando n→∞, podemos garantir que as formulaspossuem valores de x para os quais elas convergem.
Exercıcio
Determine a Serie de Taylor para a seguinte funcao
f(x) = cosx
em c = 0.
Como f ∈ C∞, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para n ≥ 0.Assim sendo,
f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x);
f ′′′(x) = sin(x); f (4)(x) = cos(x); · · ·
Aplicando em c = 0, temos:
f(0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1; f ′′′(0) = 0; f (4)(0) = 1; · · · ;
f (2n)(0) = (−1)n; f (2n+1)(0) = 0; · · ·
Exercıcio
Determine a Serie de Taylor para a seguinte funcao
f(x) = cosx
em c = 0.Como f ∈ C∞, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para n ≥ 0.Assim sendo,
f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x);
f ′′′(x) = sin(x); f (4)(x) = cos(x); · · ·
Aplicando em c = 0, temos:
f(0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1; f ′′′(0) = 0; f (4)(0) = 1; · · · ;
f (2n)(0) = (−1)n; f (2n+1)(0) = 0; · · ·
Exercıcio
Determine a Serie de Taylor para a seguinte funcao
f(x) = cosx
em c = 0.Como f ∈ C∞, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para n ≥ 0.Assim sendo,
f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x);
f ′′′(x) = sin(x); f (4)(x) = cos(x); · · ·
Aplicando em c = 0, temos:
f(0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1; f ′′′(0) = 0; f (4)(0) = 1; · · · ;
f (2n)(0) = (−1)n; f (2n+1)(0) = 0; · · ·
Exercıcio
Determine a Serie de Taylor para a seguinte funcao
f(x) = cosx
em c = 0.Como f ∈ C∞, o Teorema de Taylor pode ser aplicado para n ≥ 0.Assim sendo,
f ′(x) = − sin(x); f ′′(x) = − cos(x);
f ′′′(x) = sin(x); f (4)(x) = cos(x); · · ·
Aplicando em c = 0, temos:
f(0) = 1; f ′(0) = 0; f ′′(0) = −1; f ′′′(0) = 0; f (4)(0) = 1; · · · ;
f (2n)(0) = (−1)n; f (2n+1)(0) = 0; · · ·
Exercıcio
cosx = f(0) + f ′(0)(x− 0) +f ′′(0)
2(x− 0)2 + · · ·+
+f (2n)
(2n)!(x− 0)2n +
f (2n+1)
(2n+ 1)!(x− 0)2n+1 + · · ·
cosx = 1− 1
2x2 + · · ·+ (−1)n x2n
(2n)!
cosx =∞∑k=0
(−1)k x2k
(2k)!
Exercıcio
cosx = f(0) + f ′(0)(x− 0) +f ′′(0)
2(x− 0)2 + · · ·+
+f (2n)
(2n)!(x− 0)2n +
f (2n+1)
(2n+ 1)!(x− 0)2n+1 + · · ·
cosx = 1− 1
2x2 + · · ·+ (−1)n x2n
(2n)!
cosx =∞∑k=0
(−1)k x2k
(2k)!
Exercıcio
cosx = f(0) + f ′(0)(x− 0) +f ′′(0)
2(x− 0)2 + · · ·+
+f (2n)
(2n)!(x− 0)2n +
f (2n+1)
(2n+ 1)!(x− 0)2n+1 + · · ·
cosx = 1− 1
2x2 + · · ·+ (−1)n x2n
(2n)!
cosx =
∞∑k=0
(−1)k x2k
(2k)!
Exercıcio
Determine a Serie de Taylor para f(x) = lnx, considerandoa = 1, b = 2, c = 1, .
Note que f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = 2x−3,f (4)(x) = −6x−4.Generalizando temos:
f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k
Em x = 1 temos:
f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!
Colocando tudo junto, temos:
lnx =n∑
k=1
(−1)k−1 1k(x− 1)k + En(x) (1 ≤ x ≤ 2) (3)
Exercıcio
Determine a Serie de Taylor para f(x) = lnx, considerandoa = 1, b = 2, c = 1, .Note que f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = 2x−3,f (4)(x) = −6x−4.
Generalizando temos:
f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k
Em x = 1 temos:
f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!
Colocando tudo junto, temos:
lnx =n∑
k=1
(−1)k−1 1k(x− 1)k + En(x) (1 ≤ x ≤ 2) (3)
Exercıcio
Determine a Serie de Taylor para f(x) = lnx, considerandoa = 1, b = 2, c = 1, .Note que f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = 2x−3,f (4)(x) = −6x−4.Generalizando temos:
f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k
Em x = 1 temos:
f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!
Colocando tudo junto, temos:
lnx =n∑
k=1
(−1)k−1 1k(x− 1)k + En(x) (1 ≤ x ≤ 2) (3)
Exercıcio
Determine a Serie de Taylor para f(x) = lnx, considerandoa = 1, b = 2, c = 1, .Note que f ′(x) = x−1, f ′′(x) = −x−2, f ′′′(x) = 2x−3,f (4)(x) = −6x−4.Generalizando temos:
f (k)(x) = (−1)k−1(k − 1)!x−k
Em x = 1 temos:
f (k)(1) = (−1)k−1(k − 1)!
Colocando tudo junto, temos:
lnx =
n∑k=1
(−1)k−1 1k(x− 1)k + En(x) (1 ≤ x ≤ 2) (3)
Exercıcio
onde
En(x) = (−1)n 1
n+ 1ξ−(n+1)(x− 1)n+1 (1 ≤ ξ ≤ x)
lembrando que f (n+1)(ξ) = (−1)nn!ξ−(n+1).
No lado direto da soma na Eq. 3 temos uma equacaopolinomial;
O ultimo termo pode ser considerado como o erro;
Note que podemos ter a seguinte estimativa, considerando 1 < ξ
|En(x)| =1
n+ 1ξ−(n+1)(x− 1)n+1 <
1
n+ 1(x− 1)n+1
Exercıcio
onde
En(x) = (−1)n 1
n+ 1ξ−(n+1)(x− 1)n+1 (1 ≤ ξ ≤ x)
lembrando que f (n+1)(ξ) = (−1)nn!ξ−(n+1).
No lado direto da soma na Eq. 3 temos uma equacaopolinomial;
O ultimo termo pode ser considerado como o erro;
Note que podemos ter a seguinte estimativa, considerando 1 < ξ
|En(x)| =1
n+ 1ξ−(n+1)(x− 1)n+1 <
1
n+ 1(x− 1)n+1
Exercıcio
onde
En(x) = (−1)n 1
n+ 1ξ−(n+1)(x− 1)n+1 (1 ≤ ξ ≤ x)
lembrando que f (n+1)(ξ) = (−1)nn!ξ−(n+1).
No lado direto da soma na Eq. 3 temos uma equacaopolinomial;
O ultimo termo pode ser considerado como o erro;
Note que podemos ter a seguinte estimativa, considerando 1 < ξ
|En(x)| =1
n+ 1ξ−(n+1)(x− 1)n+1 <
1
n+ 1(x− 1)n+1
Exercıcio
Quantos termos da serie sao necessarios para garantir uma precisaode 10−8 para calcular ln 2?
Fazendo x = 2, temos
ln 2 = 1 =1
2+
1
3− 1
4+ · · ·+ (−1)n−1
n+ En(2)
com |En(2)| < 1n+1 .
Precisamos entao garantir que En(1) < 10−8. Isto significa queprecisamos n+ 1 ≥ 108. Isto e, no mınimo 100 milhoes de termos.
Exercıcio
Quantos termos da serie sao necessarios para garantir uma precisaode 10−8 para calcular ln 2?Fazendo x = 2, temos
ln 2 = 1 =1
2+
1
3− 1
4+ · · ·+ (−1)n−1
n+ En(2)
com |En(2)| < 1n+1 .
Precisamos entao garantir que En(1) < 10−8. Isto significa queprecisamos n+ 1 ≥ 108. Isto e, no mınimo 100 milhoes de termos.
Exercıcio
Quantos termos da serie sao necessarios para garantir uma precisaode 10−8 para calcular ln 2?Fazendo x = 2, temos
ln 2 = 1 =1
2+
1
3− 1
4+ · · ·+ (−1)n−1
n+ En(2)
com |En(2)| < 1n+1 .
Precisamos entao garantir que En(1) < 10−8. Isto significa queprecisamos n+ 1 ≥ 108. Isto e, no mınimo 100 milhoes de termos.