Ensino Superior

9. Integrais DuplasCoordenadas Polares

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 3

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

Através de uma mudança de variáveis

x = x(u, v) e y = y(u, v)

uma integral dupla sobre uma região D do plano xy pode ser transformada numa integral dupla sobre uma região D ’ do plano uv.

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

A correspondência entre as regiões D’ e D é BIJETORA, e podemos retornar de D para D’ através da transformação inversa

u = u(x, y) e v = v(x, y).

Considerando que as funções em (1) e (2) são contínuas, com derivadas parciais contínuas em D ’ e D, respectivamente, temos

(3)

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

Onde é o determinante jacobiano de x e y em

relação a u e v, dado por

Mudança de Variáveis em Integrais Duplas

A transformação que leva pontos (r, ) do plano r a pontos (x, y) do plano xy é dada por

e seu jacobiano é dado por

(4)

Portanto, a fórmula (3) pode ser expressa por:

(5)

Coordenadas Polares

Obtenção da Fórmula

Para que (4) seja bijetora, considera-se r para os quais r e satisfazem:

Coordenadas Polares

Área A’ do retângulo em D’

Área A do retângulo polar em D

Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

dA = dxdy = rdrd

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

),(.),(.)(r

r

x

x

x

x

y

y

rdrdrfdydxyxfdxxAV

Coordenadas Polares

Integral Dupla em D’

Assim, obtemos o jacobiano rk da fórmula (5).

Enumerando os retângulos polares e 1 a n, tome um ponto arbitrário (xk , yk) no k-ésimo retângulo. Este ponto pode ser representado por

(rk cosk , rk sink)

é equivalente a

onde A'k = rkk é a área do k-ésimo retângulo em D’.

que tem representação (rk , k) referente à região correspondente em

D’. Assim, a soma de Riemann

Coordenadas Polares

Assim, se tomarmos limite com n com o máximo das diagonais dos n retângulos tendendo a zero, temos

dada pela fórmula (5).

que equivale a integral

Coordenadas Polares

x

y

P(x,y) = P(r,)

r

x

y Relações:r2 = x2 + y2

= arctg(y/x)x = r.cosy = r.senz = z

Coordenadas Polares

Coordenadas Polares

y

r

x x

yPP

y = r sen x = r cos

sen = y/rcos = x/r

r2 = x2 + y2

= arctg y/x

retang. polares

polares retang.

Curvas em Coordenadas Polares

y

2

x1

1 2

r = f ()

PP r

Regiões em Coordenadas Polares

y

2

x1

11 22

ff11 ( () ) r r f f22

(())

r = f2 ()

r = f1 ()

RR

Integrais Duplas em Coordenadas Polares

y

x

RRRk = (r1

2 - r22)( - )/2

r1

r2

Rk

= [(r1 + r2)/2] (r)

unidade de área: Rk

Integrais Duplas em Coordenadas Polares

Cálculo de Integrais Duplas em Coordenadas Polares

R

)(r

)(r

2

1

rdrd),r(fdA),r(f

R: r1 () r r2 ()

Exercícios

Exemplo: Calcular

R

yx dydxe22

R é a região semicircular, x2 + y2 = 1, onde y é positivo.

R = 1

Área de uma superfície

R yx dydxffÁrea 122

Exemplo:

Achar a área do parabolóide z = f(x,y) = x2 + y2

abaixo do plano z = 4. (sugestão: usar coordenadas polares).

Exercícios

Exercícios

Cálculo de Volumes - Aplicações

Para f (x, y) 0, a integral

nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.

Cálculo de Volumes - Aplicações

A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)

Teorema de Fubini

b

a

b

a

d

c

dxdyyxfdxxAdxdyyxf ]).,([)(),(

Teorema de Fubini

d

c

d

c

b

a

dydxyxfdyyAdxdyyxf ]).,([)(),(

Exercícios

Cálculo Áreas de Regiões Planas

Fazendo f (x, y) = 1, a área da região de integração D é dada por:

Exercícios