Pré-Cálculo

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Parte 2

Parte 2 Pré-Cálculo 1

Funções

Parte 2 Pré-Cálculo 2

O que é uma função?

Parte 2 Pré-Cálculo 3

O que é uma função?

Uma função f é uma lei a qual para todo elemento x emum conjunto D faz corresponder exatamente um elementochamado f (x) em um conjunto C.

D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Parte 2 Pré-Cálculo 4

O que é uma função?

Uma função f é uma lei a qual para todo elemento x emum conjunto D faz corresponder exatamente um elementochamado f (x) em um conjunto C.

D é denominado de domínio e C de contradomínio da função f .

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Parte 2 Pré-Cálculo 5

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 6

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 7

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 8

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 9

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 10

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 11

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 12

Exemplo: avaliando funções

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

f (0) = 0, f (2) = 4, f (a + b) = 2 (a + b), f (�) = 2�.

f (p + h)− f (p)h

=2 (p + h)− 2 p

h=

2 p + 2 h − 2 ph

= 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 13

Lembram-se dos diagramas de Venn?

CD

Parte 2 Pré-Cálculo 14

Lembram-se dos diagramas de Venn?

CD

Parte 2 Pré-Cálculo 15

Lembram-se dos diagramas de Venn?

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 16

Uma outra representação para funções

(entrada) (saída)

Parte 2 Pré-Cálculo 17

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 18

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 19

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 20

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 21

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 22

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 23

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 24

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 25

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 26

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 27

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 28

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 29

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 30

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 31

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 32

Cuidado!

f : D → Cx 7→ y = f (x)

Aqui x é um número real no domínio D!

Aqui f (x) é um número real no contradomínio C! f (x) ∈ Cchama-se o valor assumido pela função f no ponto x ∈ D.

Aqui f é uma função real que a todo número real xno domínio D associa um único número real f (x) nocontradomínio C!O correto é dizer “a função f ” e não “a função f (x)” (ou“a função y = f (x)”). Contudo, por simplicidade, livros epessoas costumam usar as formas incorretas. Exemplo: dizer“a função y = 2 x” ao invés de “a função f : R → R tal quey = f (x) = 2 x”.

Parte 2 Pré-Cálculo 33

A Imagem de Uma Função

Parte 2 Pré-Cálculo 34

O que é a imagem de uma função?

Parte 2 Pré-Cálculo 35

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Parte 2 Pré-Cálculo 36

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Parte 2 Pré-Cálculo 37

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Parte 2 Pré-Cálculo 38

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Parte 2 Pré-Cálculo 39

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) = 1!

Parte 2 Pré-Cálculo 40

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

1 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1/2) = 1!

Parte 2 Pré-Cálculo 41

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) = 2!

Parte 2 Pré-Cálculo 42

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (1) = 2!

Parte 2 Pré-Cálculo 43

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

√3 pertence a imagem de f? Sim, pois f (

√3/2) =

√3!

Parte 2 Pré-Cálculo 44

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

√3 pertence a imagem de f? Sim, pois f (

√3/2) =

√3!

Parte 2 Pré-Cálculo 45

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

b ∈ R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) = b!

Parte 2 Pré-Cálculo 46

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

b ∈ R pertence a imagem de f? Sim, pois f (b/2) = b!

Parte 2 Pré-Cálculo 47

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x

Moral: Imagem de f = R!

Parte 2 Pré-Cálculo 48

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√

2) = 2!

Parte 2 Pré-Cálculo 49

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

2 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√

2) = 2!

Parte 2 Pré-Cálculo 50

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

Temos que f (√

2) = 2. Note, também, que f (−√

2) = 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 51

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

Temos que f (√

2) = 2. Note, também, que f (−√

2) = 2.

Parte 2 Pré-Cálculo 52

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

Para que y ∈ Imagem de f basta um x ∈ D tal que f (x) = y !

Parte 2 Pré-Cálculo 53

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) = 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 54

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (0) = 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 55

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 56

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 57

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 58

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

−1 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e −1 < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 59

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

b ≥ 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√

b) = b!

Parte 2 Pré-Cálculo 60

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

b ≥ 0 pertence a imagem de f? Sim, pois f (√

b) = b!

Parte 2 Pré-Cálculo 61

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 62

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 63

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 64

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

b < 0 pertence a imagem de f? Não, pois ∀x ∈ R, f (x) = x2 ≥ 0 e b < 0!

Parte 2 Pré-Cálculo 65

O que é a imagem de uma função?

A imagem de uma função é o conjunto de todos os valoresque ela pode assumir. Mais precisamente, a imagem de umafunção real f : D → C é o subconjunto de pontos y ∈ C para osquais existe pelo menos um x ∈ D tal que f (x) = y :

Imagem de f = {y ∈ C | existe x ∈ D com f (x) = y}.

Definição

Exemplo

f : R → Rx 7→ f (x) = x2

Moral: Imagem de f = [0,+∞)!

Parte 2 Pré-Cálculo 66

Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!

Qual é a imagem da função f abaixo?

f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Imagem de f =

1695 + (−135 + 20√

6) 3√

135 + 60√

6 + (−49 + 24√

6) 3√

(135 + 60√

6)2

2304,+∞

= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 67

Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!

Qual é a imagem da função f abaixo?

f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Imagem de f =

1695 + (−135 + 20√

6) 3√

135 + 60√

6 + (−49 + 24√

6) 3√

(135 + 60√

6)2

2304,+∞

= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 68

Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!

Qual é a imagem da função f abaixo?

f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Imagem de f =

1695 + (−135 + 20√

6) 3√

135 + 60√

6 + (−49 + 24√

6) 3√

(135 + 60√

6)2

2304,+∞

= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 69

Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!

Qual é a imagem da função f abaixo?

f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Imagem de f =

1695 + (−135 + 20√

6) 3√

135 + 60√

6 + (−49 + 24√

6) 3√

(135 + 60√

6)2

2304,+∞

= [ 0.6735532234764100089 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 70

Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!

Qual é a imagem da função f abaixo?

f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Imagem de f =

1695 + (−135 + 20√

6) 3√

135 + 60√

6 + (−49 + 24√

6) 3√

(135 + 60√

6)2

2304,+∞

= [0.6735532234764100089 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 71

Determinar a imagem de uma função pode ser difícil!

Qual é a imagem da função f abaixo?

f : R → Rx 7→ f (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1

Imagem de f =

1695 + (−135 + 20√

6) 3√

135 + 60√

6 + (−49 + 24√

6) 3√

(135 + 60√

6)2

2304,+∞

= [0.6735532234764100089 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 72

Gráfico de Uma Função Real

Parte 2 Pré-Cálculo 73

O que é o gráfico de uma função real?

Parte 2 Pré-Cálculo 74

O que é o gráfico de uma função real?

O gráfico de uma função real f : D → C é o subconjunto depontos (x , y) ∈ R2 tais que x ∈ D e y = f (x):

Gráfico de f = {(x , y) ∈ R2 | x ∈ D e y = f (x)}.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 75

O que é o gráfico de uma função real?

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 76

Como construir o gráfico de uma função real?

Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!

Parte 2 Pré-Cálculo 77

Como construir o gráfico de uma função real?

Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!

Parte 2 Pré-Cálculo 78

Como construir o gráfico de uma função real?

Cuidado: usar tabelas pode não ser suficiente!para se construir gráficos de funções!

Parte 2 Pré-Cálculo 79

Como construir o gráfico de uma função real?

A disciplina de Cálculo ensinará ferramentas mais adequadaspara se construir gráficos de funções!

Parte 2 Pré-Cálculo 80

Toda curva é gráfico de uma função real?

A resposta é não!

Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!

Parte 2 Pré-Cálculo 81

Toda curva é gráfico de uma função real?

A resposta é não!

Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!

Parte 2 Pré-Cálculo 82

Toda curva é gráfico de uma função real?

A resposta é não!

Toda reta vertical corta o gráfico de uma função no máximo em 1 ponto!

Parte 2 Pré-Cálculo 83

Exemplo

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Qual é o domínio da função?Qual é a imagem da função?

40 pertence à imagem da função? E −20? E 0?

Parte 2 Pré-Cálculo 84

Exemplo

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Qual é o domínio da função?Qual é a imagem da função?

40 pertence à imagem da função? E −20? E 0?

Parte 2 Pré-Cálculo 85

Exemplo

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Qual é o domínio da função?Qual é a imagem da função?

40 pertence à imagem da função? E −20? E 0?

Parte 2 Pré-Cálculo 86

Exemplo

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Qual é o domínio da função?Qual é a imagem da função?

40 pertence à imagem da função? E −20? E 0?

Parte 2 Pré-Cálculo 87

Exercícios da Lista 02

[06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes comdomínio [1,2] e imagem [

√2,√

3].

[07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [1,2] eimagem [−2,−1] ∪ [3,4].

[08] Considere a função f (x) = 1/x cujo domínio é o intervalo ]1,2[.Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de fe as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f .

Parte 2 Pré-Cálculo 88

Exercícios da Lista 02

[06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes comdomínio [1,2] e imagem [

√2,√

3].

[07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [1,2] eimagem [−2,−1] ∪ [3,4].

[08] Considere a função f (x) = 1/x cujo domínio é o intervalo ]1,2[.Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de fe as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f .

Parte 2 Pré-Cálculo 89

Exercícios da Lista 02

[06] Desenhe o gráfico de duas funções f e g diferentes comdomínio [1,2] e imagem [

√2,√

3].

[07] Desenhe o gráfico de uma função f com domínio [1,2] eimagem [−2,−1] ∪ [3,4].

[08] Considere a função f (x) = 1/x cujo domínio é o intervalo ]1,2[.Indique as coordenadas de 5 pontos que pertencem ao gráfico de fe as coordenadas de 5 pontos que não pertencem ao gráfico de f .

Parte 2 Pré-Cálculo 90

Domínio e Contradomínio Naturais(Efetivos) de Uma Função

Parte 2 Pré-Cálculo 91

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio natural de f é D = R− {0}.

Parte 2 Pré-Cálculo 92

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio natural de f é D = R− {0}.

Parte 2 Pré-Cálculo 93

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio natural de f é D = R− {0}.

Parte 2 Pré-Cálculo 94

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio natural de f é D = R− {0}.

Parte 2 Pré-Cálculo 95

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio natural de f é D = R− {0}.

Parte 2 Pré-Cálculo 96

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Exemplo: f (x) =1x

.

O domínio natural de f é D = R− {0}.

Parte 2 Pré-Cálculo 97

Domínio e contradomínio naturais de uma função

Quando uma função real é definida apenas pela sua lei deassociação, convenciona-se que o seu domínio é o maiorsubconjunto de R para o qual é possível avaliar a função e queo seu contradomínio é R.

Convenção

Atenção: aqui, o termo “domínio natural” não significa

que o domínio da função seja o conjunto N dos números naturais!

Parte 2 Pré-Cálculo 98

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 99

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 100

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 101

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 102

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 103

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 104

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 105

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 106

Domínio natural de uma função

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

2 x − 4?

2 x − 4 > 0 ⇔ 2 x > 4 ⇔ x >42⇔ x > 2.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x > 2} = ]2,+∞[ = (2,+∞).

0 1 2

2

Parte 2 Pré-Cálculo 107

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 108

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 109

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 110

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 111

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 112

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 113

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 114

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1

x3 − x?

x3−x 6= 0 ⇔ x(x2−1) 6= 0 ⇔ x(x−1)(x+1) 6= 0 ⇔ x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1.

Resposta: o domínio natural de f é

D = {x ∈ R | x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1} = R− {−1,0,1}.

−1

−1

0

0

1

1

Parte 2 Pré-Cálculo 115

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 116

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 117

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 118

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 119

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 120

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 121

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 122

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 123

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 124

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 125

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 126

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 127

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 128

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 129

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 130

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 131

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 132

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 133

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 134

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 135

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 136

Exercício

Qual é o domínio natural de f (x) =1√

1− 2 x − 6x − 1

?

1−2 x − 6x − 1

> 0 ⇔ 2 x − 6x − 1

−1 < 0 ⇔ 2 x − 6− (x − 1)x − 1

< 0 ⇔ x − 5x − 1

< 0

Sinal dex − 5

Sinal dex − 1

Sinal de(x − 5)/(x − 1)

5

5

5

1

1

1

D = {x ∈ R | 1 < x < 5} = (1,5).

Parte 2 Pré-Cálculo 137

Funções monótonas

Parte 2 Pré-Cálculo 138

Função crescente

Dizemos que uma função f : D → C é crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 139

Função crescente

Dizemos que uma função f : D → C é crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 140

Função crescente

Dizemos que uma função f : D → C é crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 141

Funções decrescente

Dizemos que uma função f : D → C é decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 142

Funções decrescente

Dizemos que uma função f : D → C é decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 143

Funções decrescente

Dizemos que uma função f : D → C é decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 144

Funções monótonas não-decrescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 145

Funções monótonas não-decrescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 146

Funções monótonas não-decrescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 147

Funções monótonas não-decrescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-decrescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 148

Funções monótonas não-crescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 149

Funções monótonas não-crescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 150

Funções monótonas não-crescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 151

Funções monótonas não-crescentes

Dizemos que uma função f : D → C é monótona não-crescente emum subconjunto S de D se

∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2).

x

y

x1 x2

f (x1)

f (x2)

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 152

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 153

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 154

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 155

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 156

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 157

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 158

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 159

Observações

Uma função monótona em um conjunto S é uma função que é crescente,decrescente, monótona não-decrescente ou monótona não-crescenteneste conjunto.

Note que toda função crescente em um conjunto S também é monótonanão-decrescente neste conjunto e que toda função decrescente em umconjunto S também é monótona não-crescente neste conjunto.

Alguns autores chamam funções monótonas não-decrescentessimplesmente de funções não-decrescentes e funções monótonas não-crescentes simplesmente de funções não-crescentes. Note, contudo, quenegar (por exemplo) que uma função seja decrescente em um conjunto Snão implica necessariamente que ela seja monótona não-decrescenteneste conjunto.

Uma função é estritamente monótona em um conjunto S se ou ela écrescente ou ela é decrescente neste conjunto.

Parte 2 Pré-Cálculo 160

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 161

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 162

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 163

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 164

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 165

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 166

Observações

Existem funções que não são monótonas. Por exemplo, a função descritana figura abaixo não é monótona no conjunto S = [−1,4]. Contudo, ela émonótona em [−1,0], em [0,1], em [1,3] e em [3,4].

−2 −1 1 2 3 4 5

x

−20

20

40y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 167

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 168

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 169

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 170

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 171

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 172

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 173

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 174

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 175

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 176

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 177

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 178

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 179

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 180

Exemplo

Mostre que a função y = f (x) = x2 é crescente no intervalo S = [0,+∞).

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ S = [0,+∞), com x1 < x2. Com estas condições, valeque x2 > 0 e

x2 − x1 > 0.

Como x1 ≥ 0 e x2 > 0, segue-se que

x2 + x1 > 0.

Como o produto de dois números reais positivos é ainda um número real positivo, temosque

(x2 − x1)(x2 + x1) > 0.

Sendo assim,x2

2 − x21 > 0

e, consequentemente,x2

2 > x21 ,

isto é, f (x2) > f (x1). Mostramos então que ∀x1, x2 ∈ S, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2). Logo, fé uma função crescente em S.

Parte 2 Pré-Cálculo 181

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

f é crescente nos intervalos(−∞,

1−√

1−(ln(2))2

ln(2)

]= (−∞,0.402806113 . . .] e

[1+√

1−(ln(2))2

ln(2) ,+∞)

= [2.482583968 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 182

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

f é crescente nos intervalos(−∞,

1−√

1−(ln(2))2

ln(2)

]= (−∞,0.402806113 . . .] e

[1+√

1−(ln(2))2

ln(2) ,+∞)

= [2.482583968 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 183

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

f é crescente nos intervalos(−∞,

1−√

1−(ln(2))2

ln(2)

]= (−∞,0.402806113 . . .] e

[1+√

1−(ln(2))2

ln(2) ,+∞)

= [2.482583968 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 184

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

f é crescente nos intervalos(−∞,

1−√

1−(ln(2))2

ln(2)

]= (−∞,0.402806113 . . .] e

[1+√

1−(ln(2))2

ln(2) ,+∞)

= [2.482583968 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 185

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

f é crescente nos intervalos(−∞,

1−√

1−(ln(2))2

ln(2)

]= (−∞,0.402806113 . . .] e

[1+√

1−(ln(2))2

ln(2) ,+∞)

= [2.482583968 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 186

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

Em quais intervalos a função f abaixo é crescente?

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

f é crescente nos intervalos(−∞,

1−√

1−(ln(2))2

ln(2)

]= (−∞,0.402806113 . . .] e

[1+√

1−(ln(2))2

ln(2) ,+∞)

= [2.482583968 . . . ,+∞).

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para se resolverquestões deste tipo!

Parte 2 Pré-Cálculo 187

Estudar o crescimento de funções pode ser difícil!

f : R → R

x 7→ f (x) =2x

x2 + 1

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 x

−1

1

2

3

4

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 188

Funções injetivas, sobrejetivas ebijetivas

Parte 2 Pré-Cálculo 189

Funções injetivas

Dizemos que f : D → C é injetiva se elementos diferentes de Dsão transformados por f em elementos diferentes em C, isto é,se ∀x1, x2 ∈ D, com x1 6= x2, tem-se f (x1) 6= f (x2).

Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D → C éinjetiva se ∀x1, x2 ∈ D, com f (x1) = f (x2), tem-se x1 = x2.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 190

Funções injetivas

Dizemos que f : D → C é injetiva se elementos diferentes de Dsão transformados por f em elementos diferentes em C, isto é,se ∀x1, x2 ∈ D, com x1 6= x2, tem-se f (x1) 6= f (x2).

Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D → C éinjetiva se ∀x1, x2 ∈ D, com f (x1) = f (x2), tem-se x1 = x2.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 191

Funções injetivas

Dizemos que f : D → C é injetiva se elementos diferentes de Dsão transformados por f em elementos diferentes em C, isto é,se ∀x1, x2 ∈ D, com x1 6= x2, tem-se f (x1) 6= f (x2).

Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D → C éinjetiva se ∀x1, x2 ∈ D, com f (x1) = f (x2), tem-se x1 = x2.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 192

Funções injetivas

Dizemos que f : D → C é injetiva se elementos diferentes de Dsão transformados por f em elementos diferentes em C, isto é,se ∀x1, x2 ∈ D, com x1 6= x2, tem-se f (x1) 6= f (x2).

Forma equivalente (usando a contrapositiva): f : D → C éinjetiva se ∀x1, x2 ∈ D, com f (x1) = f (x2), tem-se x1 = x2.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 193

Funções injetivas

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 194

Funções injetivas

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 195

Funções injetivas

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 196

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 197

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 198

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 199

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 200

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 201

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 202

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 203

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ 2 x1 + 1 = 2 x2 + 1 ⇒ 2 x1 = 2 x2 ⇒ x1 = x2.

Parte 2 Pré-Cálculo 204

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 205

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 206

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 207

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 208

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 209

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 210

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 211

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 212

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 213

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 214

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 215

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 216

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 217

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 218

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 219

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 220

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 221

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 222

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 223

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 224

Exercício

Mostre que a função f : [0,+∞)→ R definida por y = f (x) = x2 é injetiva.

Demonstração. Sejam x1, x2 ∈ R tais que

f (x1) = f (x2).

Temos que

f (x1) = f (x2) ⇒ x21 = x2

2 ⇒ x21 − x2

2 = 0 ⇒ (x1 − x2)(x1 + x2) = 0.

Assim, x1 − x2 = 0 ou x1 + x2 = 0, isto é, x1 = x2 ou x1 = −x2. No caso em quex1 = −x2, como x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, concluímos que obrigatoriamente x1 = 0 e x2 = 0. Emparticular, x1 = x2.

Outra demonstração. sejam x1, x2 ∈ [0,+∞), com x1 6= x2. Então x1 < x2 ou x2 < x1.Como f é crescente em [0,+∞), segue-se que f (x1) < f (x2) ou f (x2) < f (x1). Nos dois casos,f (x1) 6= f (x2).

Parte 2 Pré-Cálculo 225

Funções sobrejetivas

Dizemos que f : D → C é sobrejetiva se sua imagem é igualao seu contradomínio, isto é, se para todo y ∈ C, pode-seencontrar (pelo menos) um elemento x ∈ D tal que f (x) = y .

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 226

Funções sobrejetivas

Dizemos que f : D → C é sobrejetiva se sua imagem é igualao seu contradomínio, isto é, se para todo y ∈ C, pode-seencontrar (pelo menos) um elemento x ∈ D tal que f (x) = y .

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 227

Funções sobrejetivas

Dizemos que f : D → C é sobrejetiva se sua imagem é igualao seu contradomínio, isto é, se para todo y ∈ C, pode-seencontrar (pelo menos) um elemento x ∈ D tal que f (x) = y .

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 228

Funções sobrejetivas

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 229

Funções sobrejetivas

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 230

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 231

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 232

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 233

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 234

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 235

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 236

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 237

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 238

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 239

Exemplo

Mostre que a função f : R→ R definida por y = f (x) = 2 x + 1 é sobrejetiva.

Demonstração. Seja y ∈ R. Observe que

f (x) = y ⇔ 2 x + 1 = y ⇔ 2 x = y − 1 ⇔ x =y − 1

2.

Assim, x = (y − 1)/2 ∈ R é tal que f (x) = y . Isto mostra que f é sobrejetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 240

Atenção!

Mostrar que a função f : [0,+∞)→ [0,+∞) definida por y = f (x) = x2 é sobrejetiva

é bem mais complicado!

Para fazer isto, precisaríamos do conceito de continuidade,que será visto em Cálculo I -A-.

Parte 2 Pré-Cálculo 241

Atenção!

Mostrar que a função f : [0,+∞)→ [0,+∞) definida por y = f (x) = x2 é sobrejetiva

é bem mais complicado!

Para fazer isto, precisaríamos do conceito de continuidade,que será visto em Cálculo I -A-.

Parte 2 Pré-Cálculo 242

Atenção!

Mostrar que a função f : [0,+∞)→ [0,+∞) definida por y = f (x) = x2 é sobrejetiva

é bem mais complicado!

Para fazer isto, precisaríamos do conceito de continuidade,que será visto em Cálculo I -A-.

Parte 2 Pré-Cálculo 243

Funções bijetivas

Dizemos que f : D → C é bijetiva se ela é injetiva e sobrejetiva.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 244

Funções bijetivas

Dizemos que f : D → C é bijetiva se ela é injetiva e sobrejetiva.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 245

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x + 1

é bijetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 246

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x + 1

é bijetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 247

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = 2 x + 1

é bijetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 248

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 249

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 250

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 251

Funções bijetivas

f : R → Rx 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva e nem sobrejetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 252

Funções bijetivas

f : R → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva).

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 253

Funções bijetivas

f : R → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva).

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 254

Funções bijetivas

f : R → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva).

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 255

Funções bijetivas

f : R → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 não é bijetiva, pois não é injetiva (mas é sobrejetiva).

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 256

Funções bijetivas

f : [0,+∞) → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 é bijetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 257

Funções bijetivas

f : [0,+∞) → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 é bijetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 258

Funções bijetivas

f : [0,+∞) → [0,+∞)x 7→ f (x) = x2 é bijetiva.

x

y

0

Parte 2 Pré-Cálculo 259

Composição de funções

Parte 2 Pré-Cálculo 260

Composição de funções

Sejam f : Df → Cf e g : Dg → Cg duas funções reais tais que Cg ⊂ Df .A composição de f e g é a função f ◦ g : Dg → Cf definida por:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)).

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 261

Composição de funções

Sejam f : Df → Cf e g : Dg → Cg duas funções reais tais que Cg ⊂ Df .A composição de f e g é a função f ◦ g : Dg → Cf definida por:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)).

Definição

(entrada) (saída)

Parte 2 Pré-Cálculo 262

Composição de funções

Sejam f : Df → Cf e g : Dg → Cg duas funções reais tais que Cg ⊂ Df .A composição de f e g é a função f ◦ g : Dg → Cf definida por:

(f ◦ g)(x) = f (g(x)).

Definição

(entrada) (saída)

Parte 2 Pré-Cálculo 263

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = (√

x)2 + 3 = x + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 264

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = (√

x)2 + 3 = x + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 265

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = (√

x)2 + 3 = x + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 266

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = (√

x)2 + 3 = x + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 267

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = (√

x)2 + 3 = x + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 268

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (√

x) = (√

x)2 + 3 = x + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 269

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 3) =√

x2 + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 270

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 3) =√

x2 + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 271

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 3) =√

x2 + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 272

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x2 + 3) =√

x2 + 3.

Parte 2 Pré-Cálculo 273

Exemplo

f (x) = x2 + 3, g(x) =√

x .

(f ◦ g)(x) = x + 3, (g ◦ f )(x) =√

x2 + 3.

Moral: (em geral) f ◦ g 6= g ◦ f .A operação de composição de funções não é comutativa!

Parte 2 Pré-Cálculo 274

Identificando composições

h(x) = (x2 + 1)10 = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = x10 e g(x) = x2 + 1.

Parte 2 Pré-Cálculo 275

Identificando composições

h(x) = (x2 + 1)10 = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = x10 e g(x) = x2 + 1.

Parte 2 Pré-Cálculo 276

Identificando composições

h(x) = tg(x5) = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = tg(x) e g(x) = x5.

Parte 2 Pré-Cálculo 277

Identificando composições

h(x) = tg(x5) = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = tg(x) e g(x) = x5.

Parte 2 Pré-Cálculo 278

Identificando composições

h(x) =√

4− 3 x = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) =√

x e g(x) = 4− 3 x .

Parte 2 Pré-Cálculo 279

Identificando composições

h(x) =√

4− 3 x = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) =√

x e g(x) = 4− 3 x .

Parte 2 Pré-Cálculo 280

Identificando composições

h(x) = 8 +√

x = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = 8 + x e g(x) =√

x .

Parte 2 Pré-Cálculo 281

Identificando composições

h(x) = 8 +√

x = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = 8 + x e g(x) =√

x .

Parte 2 Pré-Cálculo 282

Identificando composições

h(x) = 1/(x + 1) = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = 1/x e g(x) = x + 1.

Parte 2 Pré-Cálculo 283

Identificando composições

h(x) = 1/(x + 1) = (f ◦ g)(x)

onde

f (x) = 1/x e g(x) = x + 1.

Parte 2 Pré-Cálculo 284

Funções inversíveis

Parte 2 Pré-Cálculo 285

Funções inversíveis

Dizemos que uma função f : D → C é inversível se existefunção g : C → D tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x , para todo x ∈ D

e(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x , para todo x ∈ C.

Neste caso, dizemos que g é a inversa de f e escreveremos:

g = f−1.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 286

Funções inversíveis

Dizemos que uma função f : D → C é inversível se existefunção g : C → D tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x , para todo x ∈ D

e(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x , para todo x ∈ C.

Neste caso, dizemos que g é a inversa de f e escreveremos:

g = f−1.

Definição

Parte 2 Pré-Cálculo 287

Exemplo

Parte 2 Pré-Cálculo 288

Exemplo

Parte 2 Pré-Cálculo 289

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 290

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 291

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 292

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 293

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 294

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 295

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 296

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 297

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 298

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 299

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 300

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 301

Exemplo

A função

f : D = R → C = Rx 7→ y = f (x) = 2 x + 1

é inversível, pois

g : C = R → D = Rx 7→ y = g(x) = (x − 1)/2

é tal que

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2 x + 1) = ((2 x + 1)− 1)/2 = x , ∀x ∈ D = R

e

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f ((x − 1)/2) = 2((x − 1)/2) + 1 = x , ∀x ∈ C = R.

Podemos então escrever que f−1(x) = g(x) = (x − 1)/2.

Parte 2 Pré-Cálculo 302

Cuidado

Cuidado!

f−1(x) e (f (x))−1

denotam objetos diferentes!

f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .

(f (x))−1 é igual a 1/f (x).

No exemplo anterior,

f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).

Parte 2 Pré-Cálculo 303

Cuidado

Cuidado!

f−1(x) e (f (x))−1

denotam objetos diferentes!

f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .

(f (x))−1 é igual a 1/f (x).

No exemplo anterior,

f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).

Parte 2 Pré-Cálculo 304

Cuidado

Cuidado!

f−1(x) e (f (x))−1

denotam objetos diferentes!

f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .

(f (x))−1 é igual a 1/f (x).

No exemplo anterior,

f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).

Parte 2 Pré-Cálculo 305

Cuidado

Cuidado!

f−1(x) e (f (x))−1

denotam objetos diferentes!

f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .

(f (x))−1 é igual a 1/f (x).

No exemplo anterior,

f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).

Parte 2 Pré-Cálculo 306

Cuidado

Cuidado!

f−1(x) e (f (x))−1

denotam objetos diferentes!

f−1(x) é a função inversa de f calculada em x .

(f (x))−1 é igual a 1/f (x).

No exemplo anterior,

f−1(x) = (x − 1)/2, enquanto que (f (x))−1 = (2 x + 1)−1 = 1/(2 x + 1).

Parte 2 Pré-Cálculo 307

Proposição

f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,

1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,

2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .

Proposição

Parte 2 Pré-Cálculo 308

Proposição

f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,

1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,

2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .

Proposição

Parte 2 Pré-Cálculo 309

Proposição

f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,

1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,

2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .

Proposição

Parte 2 Pré-Cálculo 310

Proposição

f : D → C é uma função inversível se, e somente se, f é bijetiva,isto é, se, e somente se,

1. f é injetiva: se x1 ∈ D, x2 ∈ D e x1 6= x2, então f (x1) 6= f (x2)e, ao mesmo tempo,

2. f é sobrejetiva: para todo y ∈ C, existe pelo menos umx ∈ D tal que f (x) = y .

Proposição

Parte 2 Pré-Cálculo 311

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 312

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 313

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 314

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 315

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 316

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 317

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 318

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 319

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 320

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 321

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 322

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 323

Demonstração: (⇒)

Se f : D → C é inversível, então existe uma função g : C → D tal que∀x ∈ D, (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = x e ∀x ∈ C, (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = x .

Suponha, por absurdo, que f não seja injetiva. Então existem x1, x2 ∈D tais que x1 6= x2 e f (x1) = f (x2). Mas, se f (x1) = f (x2), entãog(f (x1)) = g(f (x2)), isto é, x1 = x2, uma contradição. Assim f : D → Cé injetiva.

Seja y ∈ C. Se x = g(y), então f (x) = f (g(y)) = y . Isso mostra quef : D → C é sobrejetiva.

Como f : D → C é injetiva e sobrejetiva, segue-se que f : D → C ébijetiva.

Parte 2 Pré-Cálculo 324

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 325

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 326

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 327

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 328

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 329

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 330

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 331

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 332

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 333

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 334

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 335

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 336

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 337

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 338

Demonstração: (⇐)

Como f : D → C é sobrejetiva, para todo y ∈ C, existe x ∈D tal que f (x) = y . Mais ainda: como f é injetiva, esse x éúnico. Considere então a função g : C → D definida por g(y) =x = o único elemento de D tal que f (x) = y . Observe que g(f (x)) =g(y) = x ,∀x ∈ D e f (g(y)) = f (x) = y ,∀y ∈ C. Sendo assim, f éinversível e sua inversa é f−1 = g.

Parte 2 Pré-Cálculo 339

Observações

Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar seuma função é inversível (localmente).

Parte 2 Pré-Cálculo 340

Observações

Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar seuma função é inversível (localmente).

Parte 2 Pré-Cálculo 341

Observações

Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar seuma função é inversível (localmente).

Parte 2 Pré-Cálculo 342

Observações

Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar seuma função é inversível (localmente).

Parte 2 Pré-Cálculo 343

Observações

Provar que uma função é inversível pode não ser uma tarefa fácilseja com a definição, seja com a proposição anterior.

A disciplina de Cálculo ensinará novas ferramentas para estudar seuma função é inversível (localmente).

Parte 2 Pré-Cálculo 344

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 345

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 346

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 347

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 348

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 349

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 350

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 351

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 352

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 353

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 354

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 355

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 356

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 357

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 358

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 359

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 360

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 361

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 362

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 363

O gráfico da função inversa

Seja f uma função real inversível.

Se f (1) = 2, então f−1(2) = 1.Assim, o ponto (1,2) pertence ao gráfico de f e (2,1) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (2) = 3, então f−1(3) = 2.Assim, o ponto (2,3) pertence ao gráfico de f e (3,2) pertence ao gráfico de f−1.

Se f (x) = y , então f−1(y) = x .Assim, o ponto (x , y) pertence ao gráfico de f e (y , x) pertence ao gráfico de f−1.

Parte 2 Pré-Cálculo 364

O gráfico da função inversa

(Ir para o GeoGebra)

Parte 2 Pré-Cálculo 365

O gráfico da função inversa

Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido

fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .

Parte 2 Pré-Cálculo 366

O gráfico da função inversa

Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido

fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .

Parte 2 Pré-Cálculo 367

O gráfico da função inversa

Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido

fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .

Parte 2 Pré-Cálculo 368

O gráfico da função inversa

Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido

fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .

Parte 2 Pré-Cálculo 369

O gráfico da função inversa

Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido

fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .

Parte 2 Pré-Cálculo 370

O gráfico da função inversa

Qual é a relação entre o gráfico de uma função e sua inversa?

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,os gráficos de f e f−1 são simétricos com relação a reta y = x .

Se uma mesma escala foi usada para os eixos x e y ,o gráfico da inversa f−1 é obtido

fazendo-se uma reflexão do gráfico de f com relação a reta y = x .

Parte 2 Pré-Cálculo 371