03 calculo diferencial-parte2

AM2/C2

AnaliseMatematica2/ Calculo 2

Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples

Extremos emregioes limitadas

Metodo dosMultiplicadoresde Lagrange

Calculo Diferencial -parte2

Analise Matematica 2/ Calculo 2

2013/14 - Semestre de Verao

1/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Funcao composta (camposescalares)

Definicao

Sejam g : Dg ⊆ Rn −→ R e f : Df ⊆ R −→ R duas funcoesescalares. Define-se a funcao composta de f com g como

f ~x 7−→ (f ◦ g) (~x) = f (g(~x)))

sendoD = {~x ∈ Rn : ~x ∈ Dg ∧ g(~x) ∈ Df }

2/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios

1 Seja f (t) =√t e g(x , y) = x2 + y2 + 2. Calcule

(f ◦ g)(1, 3), (f ◦ g)(1, 1) e (f ◦ g)(x , y).

2 Seja f (t) = t3 e g(x , y) = x − 4y . Calcule (f ◦ g)(1, 3),(f ◦ g)(1, 1) e (f ◦ g)(x , y).

3/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Funcao composta (camposvetoriais)

Definicao

Sejam ~g : D~g ⊆ Rn −→ Rp e ~f : D~f ⊆ Rp −→ Rm duas

funcoes vetoriais. Define-se a funcao composta de ~f com ~gcomo

~f ◦ g : D ⊆ Rn −→ Rm

~x 7−→ ( ~f ◦ g)(~x) = ~f (~g(~x))

sendoD =

{~x ∈ Rn : ~x ∈ D~g ∧ ~g (~x) ∈ D~f

}

4/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios

1 Seja ~f (u, v) = (eu, ev ) e ~g(x , y , z) = (x2 + 2y2 + z2, xyz).Calcule, se existir, ( ~f ◦ g)(1, 2, 3), ( ~f ◦ g)(1, 1, 1),( ~f ◦ g)(x , y , z) e ( ~g ◦ f )(x , y).

2 Seja ~f (u, v) = (u + v , u − v , uv) e ~g(x , y , z) = (xy , yz).Calcule, se existir, ( ~f ◦ g)(1, 2, 3), ( ~f ◦ g)(1, 1, 1),( ~f ◦ g)(x , y , z) e ( ~g ◦ f )(x , y).

5/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Revisao (Derivada da funcaocomposta em R)

[sen(x2)]′ = cos(x2).2x

pois[f (g(x))]′ = f ′(g(x)).g ′(x)

ou seja, num ponto a

[f (g(x))]′(a) = f ′(g(a)).g ′(a)

desde que f seja diferenciavel em g(a) e g em a.

6/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Regra da cadeia

Suponhamos que f (x , y) e uma funcao diferenciavel e quex = x(u, v) e y = y(u, v) sao duas funcoes diferenciaveis,entao g(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) e uma funcao diferenciavelde u e v , tendo-se

∂g

∂u=∂f

∂x(x(u, v), y(u, v)).

∂x

∂u(u, v)+

∂f

∂y(x(u, v), y(u, v)).

∂y

∂u(u, v)

∂g

∂v=∂f

∂x(x(u, v), y(u, v)).

∂x

∂v(u, v)+

∂f

∂y(x(u, v), y(u, v)).

∂y

∂v(u, v)

7/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios: I

1 Sejam f (u, v) = u3 + uvcom u(x , y) = xy2 e v(x , y) = x sin(y),calcule ∂f

∂x (1, 0) e ∂f∂y (1, 0) .

2 u(x , y , z) = x + 2y + 3z comx(t) = t2 − 2t, y(t) = cos(1− t) e z(t) = 1

t2 .

Calcule ∂u∂t para t = 1.

3 Sejam f (u, v) = u2v3

com u(x , y) = x + y e v(x , y) = x2 − y2,calcule ∂f

∂x (x , y) e ∂f∂y (x , y).

8/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios: II4 Seja f uma funcao diferenciavel. Verifique que a funcao

z = xy + xf

(x

y

)satisfaz a equacao

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= xy + z

5 Seja f uma funcao diferenciavel. Prove que

z = xy + f (x2 + y2)

satisfaz a equacao

y∂z

∂x− x

∂z

∂y= y2 − x2

9/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios: III6 Seja h : IR2 −→ R uma funcao de classe C 1(R2) e

g(s, t) = h(s2 − t2, t2 − s2).

1 Mostre que

t∂g

∂s+ s

∂g

∂t= 0

7 Seja f uma funcao real de variavel real continuamentediferenciavel ate pelo menos a 2a ordem e seja

u = xy + f (z)

com z = yx2 e x 6= 0. Mostre que

∂2u

∂y2=

1

x4

∂2f

∂z2.

10/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios: IV

8 Sabendo que

ϕ(x , y) =y2

2+ θ

(1

x+ ln(y)

)onde ϕ e θ sao funcoes de classe C 2, no respectivodomınio, mostrar que:

1

x2

∂2ϕ

∂y∂x+

1

y

∂2ϕ

∂x2+

2

xy

∂ϕ

∂x= 0

11/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios: V9 A capacidade, C , de um canal de comunicacao, como a

linha telefonica, para transportar informacao depende doracio entre a forca do sinal, S , e o ruıdo, R. Para umadada constante positiva k ,

C = k ln

(1 +

S

R

)Suponha que o sinal e o ruıdo sao dados, em funcao dotempo, t em segundos, por

S(t) = 4 + cos(4πt)

eN(t) = 2 + sin(2πt).

Quanto e ∂C∂t um segundo apos o inıcio da transmissao? A

capacidade esta a aumentar ou diminuir nesse instante?

12/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Teorema da Funcao Implıcita (TFI)Consideremos ~x ∈ Rn, u ∈ R, a equacao F (~x , u) = 0 e A umconjunto aberto que contem (~x0, u0). Se

F (~x0, u0) = 0

F ∈ C 1(A)[as der. parciais de F sao contınuas em A]∂F∂u (~x0, u0) 6= 0

Entao, numa vizinhanca V de ~x0, u = u(~x), u ∈ C 1(V ) tal queu0 = u(~x0) e F (~x , u(~x)) = 0.Alem disso,

∂u

∂xi(~x0) = −

∂F∂xi

(~x0, u0)∂F∂u (~x0, u0)

13/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios

1 Considere a esfera de raio 3 centrada no ponto (0, 0, 0):

x2 + y2 + z2 = 9

Sera que esta equacao define implicitamente z = φ(x , y)numa vizinhanca do ponto (0, 3, 0)? E do ponto (0, 0, 3)?Calcule ∂z

∂x (0, 0).

14/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios

1 Mostre que a equacao x2z + 3xz2 = 4xy definex = φ(y , z) numa vizinhanca do ponto (0, 1, 0). Calcule∂x∂y (1, 0).

2 Determine para que valores de k a equacaox2 + yz + z2 + xz = 7 define z = φ(x , y) numa vizinhancado ponto (2, 0, k). Calcule ∂z

∂y (2, 0).

3 Mostre que a equacao(x2 + y2

)exy = 1 define

implicitamente y como funcao de x , y = φ(x), navizinhanca do ponto (0, 1).

4 Seja h(x , y) = xy + cos(x). Mostre que a equacaoh(x , y) = π

2 define localmente y = φ(x) numa vizinhanca

do ponto(π2 , 1). Determine ∂y

∂x

(π2

).

15/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Vimos atras que para uma funcao z = f (x , y) diferenciavel em(a, b) existe um plano tangente definido pela equacao

z − f (a, b) =∂f

∂x(a, b)(x − a) +

∂f

∂y(a, b)(y − b)

Consideremos que se tem uma equacao

F (x , y , z) = 0

que define implicitamente z como funcao de x e y navizinhanca de um ponto (a, b, c) entao,

∂f

∂x(a, b) = −

∂F∂x (a, b, c)∂F∂z (a, b, c)

e∂f

∂y(a, b) = −

∂F∂y (a, b, c)

∂F∂z (a, b, c)

.

16/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Substituindo na equacao do plano tangente:

z − f (a, b) = −∂F∂x (a, b, c)∂F∂z (a, b, c)

(x − a)−∂F∂y (a, b, c)

∂F∂z (a, b, c)

(y − b)

∂F∂x (a, b, c)∂F∂z (a, b, c)

(x − a) +

∂F∂y (a, b, c)

∂F∂z (a, b, c)

(y − b) + z − c = 0

∂F

∂x(a, b, c)(x−a)+

∂F

∂y(a, b, c)(y−b)+

∂F

∂z(a, b, c)(z−c) = 0

(∂F

∂x(a, b, c),

∂F

∂y(a, b, c),

∂F

∂z(a, b, c)

)|(x−a, y−b, z−c) = 0

∇F (a, b, c)|(P − P0) = 0,

com P = (x , y , z) e P0 = (a, b, c).

17/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Portanto o plano tangente e o conjunto dos pontosP = (x , y , z) que definem com P0 = (a, b, c) vetores P − P0

perpendiculares ao vetor gradiente.

Nota: O vetor gradiente e perpendicular ao plano tangente aografico.

18/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



A recta normal a superfıcie de equacao F (x , y , x) = 0 noponto P0 = (a, b, c) tem, portanto a direcao do vetorgradiente, pelo que e definida pelas seguintes equacoes:

x − a = λ∂F∂x (a, b, c)

y − b = λ∂F∂y (a, b, c), λ ∈ R

z − c = λ∂F∂z (a, b, c)

(equacao parametrica da recta normal a superfıcie)

19/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios1 Considere a superfıcie esferica x2 + y2 + z2 = 9 e o ponto

P = (0, 3, 0).

1 Determine a equacao do plano tangente a superfıcie em P.2 Determine a equacao da recta normal a superfıcie em P.

2 Considere a superfıcie de equacao x2 + y2 − z2 = 6 e oponto P = (3,−1, 2).

1 Determine a equacao do plano tangente a superfıcie em P.2 Determine a equacao da recta normal a superfıcie em P.

3 Considere a equacao xyz sin(xyz)− π2 = 0.

1 Verifique que a equacao dada define implicitamente umafuncao z = φ(x , y) numa vizinhanca de P = (1, 1, π2 ).

2 Determine a equacao do plano tangente a superfıcie noponto P.

3 Determine a equacao da recta normal a superfıcie noponto P.

4 Calcule um valor aproximado de z = φ(1.2, 0.9)considerando π

2 ≈ 1.57.

20/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



ExtremosDefinicao:Seja f : Df ⊆ Rn −→ R e ~a ∈ Df

f (~a) e um maximo relativo ou local de f se existe umavizinhanca Vε(~a) tal que

f (~a) ≥ f (~x) ∀~x ∈ Df ∩ Vε(~a).

f (~a) e um mınimo relativo ou local de f se existe umavizinhanca Vε(~a) tal que

f (~a) ≤ f (~x) ∀~x ∈ Df ∩ Vε(~a).

O maior dos maximos relativos e o maximo absoluto.O menor dos mınimos relativos e o mınimo absoluto.Chamam-se extremos aos maximos e aos mınimos de f .A ~a chama-se ponto maximizante (minimizante)de f .

21/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Chamam-se pontos crıticos ou pontos de estacionaridadeaos pontos que verificam o sistema:

∂f∂x1

= 0...

∂f∂xn

= 0

Os extremos encontram-se entre os pontos crıticos.Os pontos crıticos que nao sao extremos sao pontos de sela.

22/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



A matriz Hesseana de f e:

Hf =

[∂2f∂x2

∂2f∂x∂y

∂2f∂y∂x

∂2f∂y2

]

Sejam ∆1 = ∂2f∂x2 ,∆2 = det(Hf ) , entao:

∆2 > 0,∆1 > 0,→ Mınimo local.

∆2 > 0,∆1 < 0,→ Maximo local.

∆2 < 0 → Ponto de sela.

∆2 = 0 → Nada se conclui.

Nota: Repare que ∆2 > 0 e ∆1 = 0 nunca acontece devido a igualdade das derivadas cruzadas.

23/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios I

Calcule e classifique os extremos de

1 f (x , y) = y2 − x2.

2 f (x , y) = y3

3 + 12y − 4x + x3

3 −72y

2 + 4.

3 f (x , y) = x2 + y2 + x2y + 4.

4 f (x , y) = 4xy − 2x2 − y4.

5 f (x , y) = xy2 + x2 + y2.

6 f (x , y) = x3 + 3x2 − 9x + y3 + 3y2.

7 f (x , y) = e−x2+4y2

.

8 f (x , y) = (x2 + y2)ey2

9 f (x , y) = y + x sin y (difıcil).

10 f (x , y) = 3x2 − y2.

24/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios II11 Uma empresa produz dois produtos que sao vendidos em

dois mercados diferentes. As quantidades q1 e q2 pedidaspelos consumidores de cada produto estao relacionadas. Olucro total da producao e dado por

L = −16 + 598.8q1 − 0.3q21 + 498.5q2 − 0.2q2

2 − 0.2q1q2.

Determine a quantidade a produzir de cada produto demodo a maximizar o lucro.

12 Um mıssil tem um controlo remoto que e sensıvel atemperatura e a humidade. O alcance sobre o qual omıssil pode ser controlado e dado, em km, por:

A(h, t) = 27800− 5t2 − 6ht − 3h2 + 400t + 300h

Quais sao as condicoes atmosfericas optimais paracontrolar o mıssil?

25/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios III

13 Dois produtos sao fabricados em quantidades q1 e q2 evendidos aos precos p1 e p2, respetivamente. O custo deos produzir e dado por

C = 2q21 + 2q2

2 + 10.

1 Determine o lucro maximo que pode ser feito, assumindoque os precos sao fixos.

2 Determine a taxa de variacao do lucro maximo quando p1

aumenta.

14 Determine A e B de modo que f (x , y) = x2 +Ax + y2 +Btenha um mınimo local de valor 10 no ponto (0.5, 0).

26/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Extremos em regioes limitadas I

1 Considere funcoes de classe C 2 que tem as seguinteslinhas de nıvel nas regioes indicadas. Quais parecem ser osmaximos e mınimos das funcoes nas regioes estudadas?

2 Quais os extremos da funcao f (x , y) = 2x2 + xy noquadrado em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.

3 Quais os extremos da funcao f (x , y) = 3x2 − y2 notriangulo limitado pelas retas y = 0, x = 2 e y = x .

27/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Extremos em regioes limitadas II

4 Quais os extremos da funcao f (x , y) = x2 + y2 + x nocırculo em que x2 + y2 ≤ 4.

5 Quais os extremos da funcao f (x , y) = x2y2 no quadradoem que −1 ≤ x ≤ 1 e −1 ≤ y ≤ 1.

6 Quais os extremos da funcao f (x , y) = −x2 − y2 noquadrado em que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1.

28/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Metodo dos Multiplicadores deLagrange

Para encontrar o maximo ou o mınimo de uma funcaof (x , y , x) nao considerando todos os pontos do seu domıniomas apenas os que respeitam algumas condicoes, por exemplo:g1(x , y , z) = 0 e g2(x , y , x) = 0.

Considere a funcao de Lagrange:

L(x , y , z , λ1, λ2) = f (x , y , z) + λ1g1(x , y , z) + λ2g2(x , y , z)

O maximo e mınimo pretendidos encontram-se entre os pontosem que

~∇L = ~0

29/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exemplo: (voltando ao exercıcio 4 anterior...)Para determinar os extremos da funcao f (x , y) = x2 + y2 + xna linha da circunferencia x2 + y2 = 4 podemos utilizar oMetodo dos Multiplicadores de Lagrange...

Identifique os candidatos a extremos das seguintes funcoes nospontos que verificam as condicoes indicadas:

1 f (x , y) = x + y , x2 + y2 = 1

2 f (x , y) = x + 3y + 2, x2 + y2 = 10

3 f (x , y) = x3 + y , 3x2 + y2 = 4

4 f (x , y , z) = x + 3y + 5z , x2 + y2 + z2 = 1

5 f (x , y , z) = xyz , x2 + y2 + 4z2 = 12

6 f (x , y , z) = x + 3xy + z , x + y = 1, y + z = 2

30/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios I

Encontre a funcao de Lagrange que lhe permite resolver osseguintes problemas:

1 Determine os valores extremos da funcaof (x , y , x) = x − 2y + 2z2 sobre a esfera x2 + y2 + z2 = 1.

2 Determine a distancia maxima e mınima do ponto (1, 1) aparabola y = x2 + 1.

3 Determine a distancia maxima e mınima da origem a curva5x2 + 6xy + 5y2 = 8.

4 Determine a distancia maxima e mınima da origem a curva2x2 + 3y2 = 1.

5 Qual o retangulo de maior area inscrito na elipse2x2 + 3y2 = 1.

6 Dado um paralelepıpedo de lados x,y e z, determine o quetem maior volume entre os que x+y+z=10.

31/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios II

7 Uma caixa em forma de paralelepıpedo tem um volume de30cm2, qual o melhor comprimento, largura e altura demodo a minimizar a area dos lados.

8 Para criar um contentor cilındrico com capacidade para100cm3 que seja o mais economico possıvel de construir,ou seja, que tenha a menor area de superfıcie. Quedimensoes deve ter?

9 Pretendemos construir uma caixa de cartao (em forma deparalelepıpedo) para transportar 1000cm3 de pastilhaselasticas. Dado que o fundo tem que ser reforcado, ofundo da caixa sai a 0.20 euros por cm2 e os lados e otopo a 0.10 euros por cm2. Quais as dimensoes queminimizam o custo da caixa?

32/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios III

10 Suponha que pretende transportar 20m3 de parafusos emcaixas como a da figura, com largura l, comprimento c ealtura fixa 0.5m. Suponha que os lados da caixa custam a10 euros por m2 e o fundo a 20 euros por m2. O custo detransportar uma caixa e de 3 euros. Qual a largura e ocomprimento das caixas a comprar de modo a minimizaros custos?

33/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios IV

11 Uma empresa comanda duas fabricas que produzem omesmo produto e cujas funcoes custo sao:

C1 = 8.5 + 0.03q21 e C2 = 5.2 + 0.04q2

2

onde q1 e q2 sao as quantidades produzidas por cadafabrica. A empresa tem o monopolio. A quantidade totalencomendada q = q1 + q2 relaciona-se com o preco, p, por

p = 60− 0.04q

Quanto deve produzir cada fabrica de modo a maximizar olucro da empresa?

34/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios V

12 Uma empresa tem uma funcao producao com tres inputsx, y e z dada por

f (x , y , z) = 50x2/5y1/5z1/5.

O orcamento da empresa e de 24 000 euros e a empresacompra x, y e z a, respetivamente, 80, 12 e 10 euros porunidade. Que combinacao de inputs maximiza aproducao?

13 Uma empresa produz x unidades de um item e y unidadesde outro. O custo total em euros, C, de produzir essesdois itens e aproximado pela funcao:

C = 5x2 + 2xy + 3y2 + 800.

35/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios VI

Se a quota de producao para o numero total de itens(ambos combinados) e 39, determine o custo de producaomınimo.

14 Uma organizacao internacional tem que decidir ondegastar 2000 euros que foram recolhidos para combater afome numa zona remota. O dinheiro vais ser gasto nacompra de arroz a 5 euros o saco e de feijao a 10 euros osaco. O numero de pessoas, P, que serao alimentadas secomprarem x sacos de arroz e y sacos de feijao e dado por

P = x + 2y +x2y2

2× 108.

Qual o numero maximo de pessoas que podem seralimentadas e como deve a organizacao alocar o dinheiro?

36/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios VII

15 O Antonio quer transportar material para uma obra numcarrinho de mao. A andar em alcatrao ele percorre 6 kmpor hora e em terra batida ele percorre 4.5 km por hora.Qual o trajeto que o Antonio vai escolher para fazer opercurso no menor tempo?

37/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios VIII

16 Um arquiteto paisagista pretende vedar uma zonarectangular de 30m2 num jardim botanico. Vai usararbustos que custam 25 euros por metro em tres dos ladose no outro arbustos a 10 euros por metro. Calcule o menorcusto total.

38/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios IX

17 A figura seguinte mostra as linhas y =√x , x = 9, y = 0 e

um retangulo paralelo aos eixos e a extremidade esquerdaem x = a. Determine as dimensoes do retangulo tendo amaior area possıvel.

39/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios X

18 Pretende-se construir uma caixa em forma deparalelepıpedo, sem topo, com base quadrada, com umvolume fixo V, determine as dimensoes que minimizam aarea.

40/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios XI

19 A seccao transversal de um tunel e um retangulo de alturah ao qual e sobreposto um semi-cırculo de raio r paraformar o teto (ver figura). Se a area da seccao transversale A, determine as dimensoes da seccao transversal queminimizam o perımetro.

41/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Exercıcios XII

20 Qual e o ponto da parabola y = x2 que esta mais proximodo ponto (1, 0)?Sugestao: Minimize o quadrado da distancia para evitarraızes quadradas.

21 Qual e o ponto da linha y = x3 que esta mais proximo doponto (3, 0)?Sugestao: Minimize o quadrado da distancia para evitarraızes quadradas.

22 De todos os retangulos com uma dada area, A, qual o quetem menor diagonal?

23 De todos os retangulos com uma dado perımetro, P, qualo que tem maior area?

42/43

AM2/C2


Composta

Implıcita

Otimizacao

Extremossimples



Autora:Sandra Gaspar Martins

Com base no trabalho de:Nuno David Lopes

eCristina Januario

Com base no livro:Hughes-Hallett, et al. (2013) Calculus: Single and

Multivariable, John Willey and Sons.

43/43

03 calculo diferencial-parte2

Education

Transcript of 03 calculo diferencial-parte2