5 Gráfico da função quadrática · 2020. 4. 4. · Quais das funções do exercício anterior...

113Capítulo 4 • Função quadrática

5 Gráfico da função quadráticaConsideremos um ponto F e uma reta d que não o contém. Cha-

mamos parábola de foco F e diretriz d o conjunto dos pontos do

plano que distam igualmente de F e de d.

A reta perpendicular à diretriz que contém o foco chama-se

eixo da parábola. O ponto da parábola mais próximo da diretriz

chama-se vértice dessa parábola. O vértice (V) é o ponto médio do

segmento cujos extremos são o foco (F) e a intersecção do eixo com

a diretriz (D).

Os matemáticos já provaram que o gráfico de uma função quadrá-

tica é uma parábola. Veja alguns exemplos:

Gráfico da função definida por f (x) � x 2

Como já sabemos que é uma parábola, para construir o gráfico,

fazemos uma tabela com um número suficiente de valores que permita

visualizar a parábola.

x �2 �1,5 �1 0 1 1,5 2

f(x) � x2 4 2,25 1 0 1 2,25 4

Marcamos esses pontos e desenhamos uma linha contínua pas-

sando por eles, pois estamos trabalhando com números reais.

Note que f(�x) � (�x)2 � x2 � f(x).

Assim,

• f(�1) � (�1)2 � 1 � 12 � f(1)

• f(�2) � (�2)2 � 4 � 22 � f(2)

A curva é simétrica em relação ao eixo y, ou seja, se (a, b) per-

tence à curva, o mesmo ocorre com (�a, b). Isso decorre do fato de

que f(x) � x2 é uma função par, isto é, é uma função que tem a

propriedade f(�x) � f(x) para qualquer x do domínio.

O domínio dessa função é todo o eixo real e a imagem dessa função é o conjunto dos números reais y,

tal que y � 0.

Observe que os pontos (0,5; 0,25) e (�1,5; 2,25), por exemplo, também pertencem à parábola.

eixo da parábola

d

D Q

PPF � PQ

V

F

f(x)

x

0�2�3 �1

(�1, 1) (1, 1)

(2, 4)(�2, 4)

(�1,5; 2,25) (1,5; 2,25)

1 2 3

1

2

3

4

5

6

29. Trace o gráfico de f(x) � x2 e determine os valores f(x) para x igual a:

a) �1

2b)

5

2c) �

3

2

Verifique esses valores no gráfico.

f � �1

2

1

4( ) f

5

2

25

4( ) �

f � �3

2

9

4( )

30. Como seria o gráfico de f(x) � x2 se considerássemos:a) somente os pontos cujas coordenadas são números

inteiros?b) somente os pontos cujas coordenadas são números

racionais? Veja os gráficos dos exercícios 29 e 30

no Manual do Professor.

Você sabia?

A distância de um ponto a uma reta é

a medida do segmento perpendicular

baixado do ponto sobre essa reta.

A distância de P a r é igual à medida

de PA.

P

A

r

Exercícios

Para refletir

Encontre outro ponto que

pertença à parábola acima.

Resposta pessoal.

Unidade 2 • Função afim e função quadrática114

a � 0 a � 0

y

x

y � 5x2

y � 2x2

y � x2

0

y � x21

2

y � x21

10

x

0

y � �x2

y � �2x2

y � �5x2

y

y � � x21

10

y � � x21

2

Observe que:

• quando a � 0, a concavidade está voltada para cima, o menor valor

assumido por f(x) � ax2 é zero, não assume valor máximo, ou seja, é

ilimitada superiormente;

• quando a � 0, a concavidade está voltada para baixo, o maior valor

assumido por f(x) � ax2 é zero, não assume valor mínimo, ou seja, é

ilimitada inferiormente;

• todas as parábolas têm o mesmo vértice (0, 0) e o mesmo eixo de

simetria x � 0;

• quanto menor o valor absoluto de a, maior será a abertura da

parábola;

• quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da

parábola;

• os gráficos das funções quadráticas f(x) � ax2 e g(x) � a�x2, em que a

e a� são números opostos, são simétricos em relação ao eixo x. Há uma

reflexão em torno do eixo horizontal, ou seja, uma transformação que

leva (x, y) em (x, �y). Veja ao lado, por exemplo, os gráficos de

f(x) � 4x2 e g(x) � �4x2.

y

x

0

[� , 1]1

2

(x, y)

(�x, �y)

(1, 4)

(�1, �4)

f(x) � 4x2

g(x) � �4x2

[� , �1]1

2

31. Trace o gráfico de cada uma das seguintes funções quadráticas em um mesmo sistema de eixos:

a) f(x) � 2x2

b) f(x) � �2x2

c) f x x( )1

22

�

d) f x x( )1

22

� �

Veja os gráficos no Manual do Professor.

Gráfico da função definida por f (x) � ax2, a � 0

Examine os gráficos da função definida por f(x) � ax2, para a a1

10,

1

2,� �

a � 1, a � 2 e a � 5, e para a � �5, a � �2, a � �1, a a1

2

1

10.� � � �e

Para refletir

Como são as abscissas e as

ordenadas de dois pontos, um

em cada parábola e simétricos

em relação ao eixo x?

Abscissas iguais, ordenadas opostas.

No final do capítulo, na seção Um pouco mais...,

apresentamos assuntos para aprofundar e

complementar esta abordagem.

Exercício


Gráfico da função definida por f(x) � ax2 � k, com a � 0Examine os gráficos das funções quadráticas definidas por:

• f(x) � x2 � 2

• g(x) � x2 � 1

• h(x) � x2 � 1

• �(x) � x2 � 2

Compare-os com o gráfico da função f(x) � x2 que está tracejado. O eixo de todas as parábolas é x � 0. O ponto mínimo de f(x) � x2 � 2 é (0, 2); o de g(x) � x2 � 1 é (0, 1); o de h(x) � x2 � 1 é (0, �1) e o de �(x) � x2 � 2 é (0, �2).

De modo geral, para a � 0, o ponto mínimo de f(x) � ax2 � k é (0, k).

Observe agora os gráficos das funções quadráticas definidas por:

• f(x) � �x2 � 2

• g(x) � �x2 � 1

• h(x) � �x2 � 1

• �(x) � �x2 � 2

Compare-os com o gráfico de f(x) � �x2 que está tracejado. O ponto

máximo de f(x) � �x2 � 2 é (0, 2); o de g(x) � �x2 � 1 é (0, 1); o de h(x) � �x2 � 1 é (0, �1) e o de �(x) � �x2 � 2 é (0, �2).

De modo geral, para a � 0, o ponto máximo de f(x) � ax2 � k é (0, k).

Repare que o gráfico de f(x) � ax2 � k é congruente ao gráfico de f(x) � ax2, porém sua posição é, em valores absolutos, k unidades acima ou abaixo, conforme k seja positivo ou negativo. Dizemos que o gráfico de f(x) � ax2 � k é o gráfico de f(x) � ax2 transladado de k unidades para cima ou para baixo. É uma translação vertical que leva (x, y) em (x, y � k), segundo o eixo y. A parábola intersecta o eixo y no ponto (0, k).

y

x

0

y � x2 � 2

y � x2 � 1

y � x2 � 2

y � x2 � 1

y � x2

1

2

3

4

5

6

�2

1 2 3�2�3 �1

�1

y

x

0

y � �x2 � 2

y � �x2 � 1

y � �x2 � 2

y � �x2 � 1

y � �x2

�5

�3

�2

�1

�4

1

2

�6

1 2 3�2�3 �1

32. Escreva as coordenadas do vértice e o eixo da parábo-la para cada uma das funções quadráticas:

a) f(x) � 3x2 � 1 c) h x x( )1

31;2� �

b) g(x) � �3x2 � 2 d) �(x) � 3x2 � 1

V(0, 1); x � 0 V(0, �1); x � 0

V(0, 2); x � 0 V(0, �1); x � 0

33. Quais das funções do exercício anterior possuem um valor mínimo e quais têm um valor máximo? Quais são esses valores?

34. Esboce o gráfico de uma parábola dada por f(x) � ax2 � m, com a e m positivos.

Valor mínimo: f(x) → 1, h(x) → �1, �(x) → �1;

valor máximo: g(x) → 2.

Veja o gráfico no Manual do Professor.

Exercícios


Gráfico da função definida por f (x) � a(x � m)2, com a � 0

Observe a tabela e os gráficos das funções definidas por f(x) � 2x2 e g(x) � 2(x � 3)2 traçados em um mesmo sistema de eixos:

x ... �2 �1 0 1 2 3 4 5 ...

f(x) � 2x2 ... 8 2 0 2 8 18 ... ... ...

g(x) � 2(x � 3)2 ... ... ... 18 8 2 0 2 8 ...

y

x

(0, 0) (3, 0)

(�1, 2) (4, 2)(2, 2)(1, 2)

(�2, 8) (5, 8)

g (x) � 2(x � 3)2f (x) � 2x2

(2, 8)

(1, 8)

O eixo da parábola f(x) � 2x2 é x � 0 e o eixo da parábola g(x) � 2(x � 3)2 é x � 3. A parábola é simétri-ca em relação a esse eixo. A parábola g(x) � 2(x � 3)2 é congruente à parábola f(x) � 2x2, mas sua posição é 3 unidades à direita do gráfico de f(x) � 2x2.

De modo geral:

• o gráfico de f(x) � a(x � m)2 é congruente ao gráfico de g(x) � ax2, porém sua posição, em valores absolutos, é m unidades à di-reita ou à esquerda do gráfico de g(x) � ax2, conforme m seja positivo (m � 0) ou negativo (m � 0), respectivamente. Dize-mos que o gráfico de f(x) � a(x � m)2 é o gráfico de f(x) � ax2 transladado m unidades à esquerda ou à direita, conforme m seja negativo ou positivo. É uma translação horizontal que leva (x, y) em (x � m, y).

• se a � 0, a concavidade da parábola é para cima e ela tem um ponto mínimo (m, 0); se a � 0, a concavida-de é para baixo e a parábola tem um ponto máximo (m, 0).

• o gráfico é simétrico em relação à reta x � m e essa reta é o eixo da parábola.

• é possível provar que o gráfico da função quadrática f(x) � a(x � m)2, a � 0 e m � R é uma parábola cujo

foco é o ponto F ma

,1

4( ) e cuja diretriz é a reta horizontal ya

1

4.� �

x

d

y � ax2 y � a(x � m)2

(x, a(x � m)2)

y � �1

4a

m

F

y

35. Determine o eixo, o vértice, o foco e a diretriz de cada uma das parábolas dadas pelas funções quadráticas:

a) f(x) � (x � 2)2 d) f x x( )1

3( 2)2� � �

b) f(x) � �2(x � 1)2 e) f(x) � 3(x � 2)2

c) f x x( )1

2( 1)2� � f) f(x) � �5(x � 1)2

35.

a) Eixo: x � 2; V(2, 0); F 2,1

4;( ) d y:

1

4� �

b) Eixo: x � �1; V(�1, 0); F � �1,1

8;( ) d y:

1

8�

c) Eixo: x � 1; V(1, 0); F 1,1

2;( ) d y:

1

2� �

d) Eixo: x � �2; V(�2, 0); F � �2,3

4;( ) d y:

3

4�

e) Eixo: x � 2; V(2, 0); F 2,1

12;( ) d y:

1

12� �

f) Eixo: x � 1; V(1, 0); F 1,1

20;�( ) d y:

1

20�

36. Observando as funções quadráticas do exercício anterior, responda quais delas:a) possuem um ponto máximo?

b) têm um ponto mínimo?

c) Quais são esses pontos?

a) Ponto máximo: b(�1, 0); d(�2, 0); f(1, 0); b) Ponto mínimo: a(2, 0); c(1, 0); e(2, 0). c) Esses pontos são os vértices das parábolas.

Exercícios


Gráfico da função definida porf (x) � a(x � m)2 � k, com a � 0

O gráfico de f(x) � a(x � m)2 � k é congruente ao gráfico de f(x) � ax2, tendo x uma posição que

está, em valores absolutos, m unidades à direita (m � 0) ou à esquerda (m � 0) do gráfico de f(x) � ax2

e k unidades acima (k � 0) ou abaixo (k � 0) do gráfico de f(x) � ax2. O eixo de simetria da parábola dada

por f(x) � (x � m)2 � k é x � m.

Observe, por exemplo, os gráficos das funções quadráticas f(x) � 2x2,

g(x) � 2(x � 3)2 � 1 e h(x) � 2(x � 3)2 � 1.

A parábola dada por g(x) � 2(x � 3)2 � 1 está 3 unidades à direita

e 1 unidade acima da parábola dada por f(x) � 2x2 e é simétrica em

relação ao eixo x � 3.

A parábola dada por h(x) � 2(x � 3)2 � 1 está 3 unidades à esquerda

e 1 unidade acima da parábola dada por f(x) � 2x2 e é simétrica ao eixo

x � �3. O vértice da parábola g(x) � 2(x � 3)2 � 1 é V(3, 1) e o vértice da

parábola h(x) � 2(x � 3)2 � 1 é V(�3, 1).

Observação: A função f(x) � a(x � m)2 � k, com a � 0, é equivalente à função f(x) � ax2 � bx � c (a � 0),

em que mb

a2� � e k

a4.� �

� Essa forma, chamada de canônica, é particularmente interessante por

evidenciar o vértice da parábola e a concavidade, facilitando o traçado do gráfico. Como o vértice da pará-

bola dada por f(x) � a(x � m)2 � k é V(m, k) e sabendo que as coordenadas do vértice são (xv, yv), então

também podemos reescrevê-la como f(x) � a(x � xv)2 � yv .

y

x

x � �3

(�3, 1) (3, 1)

x � 3

h(x

) �

2(x

� 3

)2 �

1

f(x

) �

2x

2

g(x

) �

2(x

� 3

)2 �

1

37. Observe os gráficos das funções quadráticas f(x) � x2, f(x) � (x � 2)2 e f(x) � (x � 2)2 e responda:

y

x

�2 0 2

f(x) � (x � 2)2 �

� x2 � 4x � 4f(x) � (x � 2)2

�

� x2 � 4x � 4

f(x) � x2

a) Como é o gráfico da função f(x) � (x � 2)2 em rela-ção ao gráfico de f(x) � x2?

b) E o da função f(x) � (x � 2)2 em relação ao gráfico de f(x) � x2?

c) Quais são as coordenadas dos vértices das parábolas y � x2, y � (x � 2)2 e y � (x � 2)2?

d) E as do vértice da parábola y � (x � m)2? E a parábola y � (x � m)2?

Ele é deslocado duas unidades para a direita.

Ele é deslocado duas unidades para a esquerda.

(0, 0), (2, 0) e (�2, 0)

(m, 0); (�m, 0)

38. Observe os gráficos das funções a seguir:y

x

�1�1 1

1

2

3

4

2 3 4 5�2�3�4

�2

�3

�4f(x) � (x � 2)2 � 3

f(x) � (x � 2)2 � 3

f(x) � x2

a) Indique as coordenadas do vértice de cada parábola.

b) Como é o gráfico da função f(x) � (x � 2)2 � 3 em relação ao gráfico de f(x) � x2?

c) E o de f(x) � (x � 2)2 � 3 em relação ao gráfico de f(x) � x2?

d) E o de f(x) � (x � m)2 � k em relação ao gráfico de f(x) � x2?

e) Quais são as coordenadas dos vértices da parábola y � (x � m)2 � k?

y � x2 (0, 0)

y � (x � 2)3 � 3 (2, 3)

y � (x � 2)2 � 3 (�2, �3)

Ele é deslocado três unidades para cima e duas unidades para a direita.

Ele é deslocado três unidades para baixo e duas para a esquerda.

Ele é deslocado k unidades para baixo e m unidades para a direita, se k � 0 e m � 0.

(m, k)

Exercícios


Gráfico da função definida por f(x) � ax 2 � bx � c

Vamos estudar os efeitos dos parâmetros a, b e c na parábola que

é gráfico da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c.

Parâmetro a

Responsável pela concavidade e abertura da parábola.

• Se a � 0, a concavidade é para cima. • Se a � 0, a concavidade é para baixo.y

x

y

x

Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais

“fechada”), independentemente da concavidade.

a � 0 a � 0

y

x

y � 5x2

y � 2x2

y � x2

0

y � x21

2

y � x21

10

x

0

y � �x2

y � �2x2

y � �5x2

y

y � � x21

2

y � � x21

10

Parâmetro b

Indica se a parábola intersecta o eixo y no ramo crescente ou decrescente da parábola.

• Se b � 0, a parábola intersecta

o eixo y no ramo crescente.

• Se b � 0, a parábola intersecta o

eixo y no ramo decrescente.

x

y

x

y

x

y

x

y

• Se b � 0, a parábola intersecta o eixo y no vértice.

x

y

x

y

y

x

O

x1

Vvértice

parábola

eixo de simetria

x2

c


Parâmetro c

Indica o ponto onde a parábola

intersecta o eixo y.

A parábola intersecta o eixo y no ponto (0, c), ou seja, f(0) � c.

x

y

c

39. Escreva na forma f(x) � ax2 � bx � c correspondente a cada gráfico dado. (Dica: Comece usando a forma canônica e/ou fatorada.)a) c)

b) d)

Fique atento!Forma canônica: f(x) � a(x � xv)

2 � yvForma fatorada: f(x) � a(x � x’) (x � x”)

f(x) � x2 � 2x � 3

y

x

1

2

3

0

y

x

1

2

3

0

f(x) � x2 � 2

y

x

4

�1 40

f(x) � �x2 � 3x � 4y

x

4

�1 2 40

f(x) � �x2 � 4x

40. Indique quais são os sinais de a, b e c nos gráficos da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c dados abaixo.a) y

x

0

b) y

x

0

c) y

x

0

a � 0, b � 0, c � 0

a � 0, b � 0, c � 0

a � 0, b � 0, c � 0

11. Quais são os sinais de a, b e c no gráfico da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c dado abaixo?

y

x

0

Resolução:

• a � 0, pois a concavidade está para baixo.

• c � 0, pois f(0) � c e a parábola corta o eixo ver-tical em sua parte positiva.

• A abscissa do vértice é dada por �

2

b

a. Portanto, a

e b têm sinais iguais quando a abscissa do vérti-ce é negativa e têm sinais diferentes quando a abscissa do vértice é positiva.

Logo, neste exemplo, a e b têm sinais contrários, pois a abscissa do vértice é positiva. Como a � 0, então b � 0.

Exercício resolvido

Exercícios


6 Determinação algébrica das intersecções da parábola com os eixos

Nos gráficos seguintes, de funções quadráticas, estão indicados os pontos de intersecção da parábola

com os eixos.

Veja como são determinados algebricamente esses pontos de intersecção a partir da lei da função.

a) f(x) � x2 � 2x � 1

y

x

(0, 1)

(1, 0)

Intersecção com o eixo y:

x � 0 ⇒ f(0) � 02 � 2 � 0 � 1 � 1

A parábola intersecta o eixo y em (0, 1).

Intersecção com o eixo x:

f(x) � 0 ⇒ x2 � 2x � 1 � 0

� � 4 � 4 � 0 ⇒ � � 0 (a equação admite uma raiz dupla)

x2 0

21�

��

A parábola intersecta o eixo x em um só ponto: (1, 0). Isso significa que

a função possui um zero duplo: 1.

b) f(x) � �4x2 � 1y

x[� , 0]1

2

[ , 0]1

2

(0, 1)


x � 0 ⇒ f(0) � �4 � 02 � 1 � 1



f(x) � 0 ⇒ �4x2 � 1 � 0 ⇒ �4x2 � �1 ⇒ 4x2 � 1 ⇒

⇒ x x2 1

4

1

2� � � ⇒ (a equação admite duas raízes distintas)

Observe que, nesse caso, � � 0 � 16 � 16, ou seja, � � 0.

A parábola intersecta o eixo x em dois pontos: 1

2, 0

1

2, 0 .( ) ( )e �

Isso significa que os zeros da função f(x) � �4x2 � 1 são �1

2

1

2.e

c) f(x) � x2 � 2x � 3

y

x

(0, 3)


x � 0 ⇒ f(0) � 02 � 2 � 0 � 3 � 3



f(x) � 0 ⇒ x2 � 2x � 3 � 0

� � 4 � 12 � �8 ou � � 0 (a equação não tem raízes reais)

A parábola não intersecta o eixo x.

A função f(x) � x2 � 2x � 3 não admite zeros reais.


Conclusões:

• A parábola, gráfico da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c, intersecta o eixo y

sempre no ponto (0, c), pois f(0) � a � 02 � b � 0 � c � c.

• Essa parábola pode intersectar o eixo x em um ou dois pontos ou pode não

intersectar o eixo x, dependendo do valor de � � b2 � 4ac da equação corres-

pondente. Veja:

f(x) � 0 ⇒ ax2 � bx � c � 0

� � 0 (uma raiz real dupla a parábola intersectta o eixo em um só ponto

duas raízes r

)

0

x

� � eeais distintas a parábola intersecta o eixo( x )

0

em dois pontos

nenhuma raiz real dupla� � (( )a parábola não intersecta o eixo x

Graficamente, temos:

y

x

� � 0

� � 0

� � 0

y

x

� � 0

� � 0

� � 0

Para refletir

Por que a parábola

sempre intersecta o eixo y

em um só ponto?

Porque é o valor da função quando x vale 0.

a � 0 a � 0

41. Esboce o gráfico da função quadrática f cuja parábola passa pelos pontos (3, �2) e (0, 4) e tem vértice no ponto (2, �4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças corresponde a essa função:a) f(x) � �2x2 � 8x � 4

b) f(x) � 2x2 � 8x � 4

c) f(x) � 2x2 � 8x � 4

42. Verifique quais dos seguintes pontos pertencem à parábola que representa graficamente a função f(x) � x2 � 5x � 6:a) A(2, 0)

b) B(4, 2)

c) C(�1, 10)

43. Determine o valor de m para que o ponto A(2, 1) perten-ça à parábola que representa graficamente a função dada por f(x) � (m � 1)x2 � 1.

44. Determine os zeros das seguintes funções quadráticas:a) f(x) � x2 � 11x � 30

b) f(x) � x2 � 4x � 21

c) f(x) � x2 � 36

d) f(x) � 6x2 � 5x � 1

45. Em que pontos a parábola de cada função do exercício anterior intersecta os eixos x e y?

x


x

x

m1

2� �

x� � 6 e x� � 5

x� � 3 e x� � �7

x� � 6 e x� � �6x x'

1

2"

1

3� �e

45.a) Eixo x: (5, 0) e (6, 0); eixo y: (0, 30). b) Eixo x: (3, 0) e (�7, 0); eixo y: (0, �21). c) Eixo x: (6, 0) e (�6, 0); eixo y: (0, �36).

d) Eixo x: 1

3, 0( ) e

1

2, 0 ;( ) eixo y: (0, 1).

46. Em cada gráfico da função quadrática f(x) � ax2 � bx � c, com � � b2 � 4ac, descubra se a � 0 ou a � 0 e se � � 0, � � 0 ou � � 0.a) y

x

d) y

x

b) y

x

e) y

x

c) y

x

f) y

x

47. O gráfico abaixo representa uma função do tipo y � ax2 � bx � c, a � 0:Então, podemos afirmar que:a) a � 0, b2 � 4ac, c � 0 e b � 0.

b) a � 0, b2 � 4ac, c � 0 e b � 0.

c) a � 0, b2 � 4ac, c � 0 e b � 0.

d) a � 0, b2 � 4ac, c � 0 e b � 0.

e) a � 0, b2 � 4ac, c � 0 e b � 0.

a � 0, � � 0 a � 0, � � 0

a � 0, � � 0 a � 0, � � 0

a � 0, � � 0 a � 0, � � 0

y

x0

x

Exercícios


7 Vértice da parábola, imagem e valor máximo ou mínimo da função quadrática

A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem

da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.

a � 0

a � 0

y

x

ponto demáximo

xv

yv

valormáximo

Im( f )

y

x

ponto dem’nimo

xv

yv

valorm’nimo

Im( f )

Uma das maneiras de determinar o vértice é lembrar que a parábola, que representa uma função qua-drática, é simétrica em relação a um eixo vertical. Determinando a posição desse eixo, encontraremos a abscissa do vértice, e com a abscissa do vértice obteremos a ordenada. Opcionalmente, podemos usar fór-mulas para obter o vértice.

Examine os exemplos:

a) f(x) � 2x2 � 8x

1o modo:

Obtendo as raízes, teremos x� � 0 e x� � 4. Dada a simetria das parábolas,

o eixo de simetria terá abscissa xx x

v’ ”

2

0 4

22.�

��

��

Substituindo x � 2 na função, obtemos a ordenada do vértice f(2) � 2 � 22 � 8 � 2 � �8.Então, o vértice é o ponto (2, �8).

2o modo:

Escrevendo na forma canônica, ou seja, determinando f(x) � a(x � xv)2 � yv,

temos: f(x) � 2(x2 � 4x) � 2(x2 � 4x � 4 � 4) � 2(x2 � 2)2 � 8Assim, xv � 2 e yv � �8.A função assume valor mínimo �8 quando x � 2.

Observação: Se o valor mínimo é y � �8, então Im( f ) � � y � R � y � �8�.

Valor mínimo da função: �8

Im( f ) � � y � R � y � �8�

Essa função não tem valor máximo. É ilimitada superiormente.

Fique atento!Se 2 é a abscissa do vértice, os

pontos de abscissas 1 e 3 são

simétricos na parábola. Os de

abscissas 0 e 4 também.

y

x

�8

�6

(2, �8)

0 1 2 3 4

Im( f )


b) f(x) � �4x2 � 4x � 5

Lembramos que na forma canônica chamamos: xb

av

2� � e y

ac b

a av

4

4 4,

2

��

� ��

então o vértice

de uma parábola dada por f(x) � ax2 � bx � c, a � 0, também pode ser calculado assim: Vb

a a� �

�

2,

4.( )

Nesse caso, temos:f x x x

xb

av

( ) 4 4 5

2

4

8

1

2

2� � � �

��

��

��

ya

V

v4

(16 80)

16

96

166

1

��

��

��

�

��

Então,22, 6 .( )

A função assume valor máximo 6 quando x1

2.�

Logo, Im( f ) � �y � R � y � 6�.Valor máximo da função: 6 Im( f) � �y � R � y � 6� Essa função não tem valor mínimo. É ilimitada inferiormente.

De modo geral, dada a função f: R → R tal que f(x) � ax2 � bx � c, com a � 0, se V(xv, yv) é o vértice da parábola correspondente, temos então:

a � 0 ⇔ yv é o valor mínimo de f ⇔ Im( f) � {y � R � y � yv}a � 0 ⇔ yv é o valor máximo de f ⇔ Im( f ) � {y � R � y � yv}

Para refletir

xv é a média aritmética dos zeros da função quadrática (se estes existirem). Comprove!

y

x

6

5

�3

f(x) � �4x2 � 4x � 5

�1 0 1 21

2

Im( f )

[ , 6]1

2

12. Determine a Im( f ) e o valor máximo ou mínimo da função quadrática f(x) � x2 � 4x � 2.

Resolução:

f(x) � x2 � 4x � 2

ya

v4

(16 8)

46�

��

� �(16 86 8� �

a � 0, então a concavidade é para cima.Im( f ) � �y � R � y � �6�Valor mínimo de f: �6

13. Determine m de modo que a função f(x) � (3m � 1)x2 � 5x � 2 admita valor máximo.

Resolução:

Para que a função f(x) � (3m � 1)x2 � 5x � 2 admi-ta valor máximo, devemos ter a � 0 (concavidade para baixo).Condição: a � 0 ⇔ 3m � 1 � 0

3m � 1 � 0 ⇒ 3m � 1 ⇒ m1

3.�

Logo, m pode ser qualquer número real menor

do que 1

3.

14. Física

A trajetória da bola, em um chute a gol, descre-ve uma parábola. Supondo que sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada por h � �t2 � 6t, responda:a) Em que instante a bola atinge a altura máxima?

b) Qual é a altura máxima atingida pela bola?

Resolução:

h � �t2 � 6t

Ponto de máximo: V(tV, hV)a) A bola atinge a sua altura máxima quando:

tb

av

2

6

2( 1)

6

23 s.� � �

�

��

�

��

Logo, a bola atinge a altura máxima 3 segundos após o chute.

b) A altura máxima atingida pela bola é:

ha

v4

36

4( 1)

36

49� �

��

��

�� ou

h(3) � �32 � 6 � 3 � �9 � 18 � 9 A altura máxima atingida pela bola é 9 metros.

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« passo a passo: exercício 15

Exercícios resolvidos


« Resolvido passo a passo

15. (Enem) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em ge-ral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que co-nhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a ra-pidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) � k � x � (P � x), onde k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44 mil pessoas, então a má-xima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a:a) 11 000.

b) 22 000.

c) 33 000.

d) 38 000.

e) 44 000.

1. Lendo e compreendendo

a) O que é dado no problema? É dada uma fórmula que relaciona a rapidez de propagação do boato com o número de pessoas que o conhecem, para determinado público-alvo.

b) O que se pede? Um boato se espalha de forma devagar quan-do poucos o conhecem, e a velocidade de pro-pagação do boato vai aumentando conforme mais gente o conheça e passe a propagá-lo. Entretanto, se muitas pessoas já sabem do bo-ato, a sua velocidade de propagação também vai ser baixa, pois tanta gente sabe dele que fica mais raro encontrar quem não saiba. As-sim, existe determinado número de pessoas que torna a velocidade de propagação máxima. Queremos determinar qual é esse número de pessoas.

2. Planejando a solução

Observando a fórmula dada, verificamos que ela é uma função quadrática:R(x) � k � x � (P � x) ⇒ R(x) � �kx2 � kPx

Sabemos que, em funções quadráticas, o máximo (ou o mínimo) valor ocorre no vértice. Assim, para obter o valor que maximiza a rapidez de propaga-ção do boato, basta obter o valor da abscissa do vértice, ou seja, de xv.

3. Executando o que foi planejado

Para um público-alvo de 44 000 pessoas, a função quadrática será:R(x) � kx(44 000 � x) � �kx2 � 44 000kx

Então, temos a � �k e b � 44 000k.

O xv é dado por xb

av

2.� � Assim:

xk

kv

44000

2( )22 000�

��

Portanto, a quantidade de pessoas que maximiza a propagação de boato, neste caso, é 22 000.

4. Verificando

Substituindo x � 22 000 na equação dada, com P � 44 000, temos:R(22 000) � k � 22 000 � (44 000 � 22 000) �

� 484 000 000k

Para verificar se ele é o máximo, vamos calcular também R(21 999) e R(22 001) e comparar com R(22 000).Observe que propositalmente escolhemos o ante-cessor e o sucessor de x � 22 000:R(21 999) � k � 21 999 � (44 000 � 21 999) � � 483 999 999k � 484 000 000k

R(22 001) � k � 21 001 � (44 000 � 22 001) �

� 483 999 999k � 484 000 000k

Ambos são menores que R(22 000). Como R(x) é uma função quadrática cujo gráfico é uma pará-bola (e possui apenas um valor máximo), então x � 22 000 é o valor que maximiza R(x). Isso bas-ta para verificar a resposta.

5. Emitindo a resposta

A resposta é a alternativa b.

6. Ampliando o problema

a) Para este modelo de propagação de boato, generalize o resultado para um público-alvo P, obtendo o número de pessoas, em função de P, que deve conhecer um boato para que tenhamos a máxima rapidez de propagação.

b) Discussão em equipe Troque ideias com seus colegas sobre o que seria essa constante k presente no modelo de propagação de boatos apresentada. Em que situação o valor de k será maior ou menor: um boato sobre a morte de um artista famoso (que faltou no show da noite anterior e cujo para-deiro ninguém sabe), ou um boato sobre a mor-te do seu Zé que mora na esquina (e que não abre a janela há dois dias)?

p

2.pessoas

Boato sobre a morte do artista famoso.


Exercícios

48. Determine o vértice V da parábola que representa a função quadrática:a) f(x) � x2 � 2x � 3 d) y � x2

b) f(x) � �x2 � 3x � 5 e) y � (x � 2)2 � 3

c) f(x) � x2 � 4x � 3

49. Determine o valor de k para que a função f(x) � (2 � k)x2 � 5x � 3 admita valor máximo.

50. Qual o valor de m para que a função f(x) � (4m � 1)x2 � x � 6 admita valor mínimo?

51. Faça o esboço do gráfico das seguintes funções quadrá-ticas e determine o conjunto imagem de cada uma delas:a) f(x) � x2 � 4x � 3

b) f(x) � �x2 � 6x � 9

52. DESAFIO A reta, gráfico da função f(x) � 3x � 1, e a parábola, gráfico da função g(x) � x2 � x � 2, têm pontos comuns? Se tiverem, descubra quais são.

Para refletir

Quantos pontos comuns

podem ter uma reta e

uma parábola?

Dois pontos, um ponto ou nenhum ponto.

53. Dada a função quadrática f(x) � 2x2 � x � 3, determine:a) se a concavidade da parábola definida pela função

está voltada para cima ou para baixo;

b) os zeros da função;

c) o vértice da parábola definida pela função;

d) a intersecção com o eixo x;

e) a intersecção com o eixo y;

f) o eixo de simetria;

g) Im( f );

h) o esboço do gráfico.

54. ATIVIDADE

EM DUPLA Sabe-se que o custo C para produzir x unida-des de certo produto é dado por C � x2 � 80x � 3 000. Nessas condições, calculem:a) a quantidade de unidades produzidas para que o

custo seja mínimo;

b) o valor mínimo do custo.

55. ATIVIDADE

EM DUPLA Uma bola é lançada ao ar. Suponham que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h � �t2 � 4t � 6. Determinem:a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima;

b) a altura máxima atingida pela bola;

c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo.

V(1, �4)V(0, 0)

b) V3

2,

11

4�( )

V(2, 3)

V(2, �1)

k � 2

m1

4��

Veja os gráficos no Manual do Professor.

Im( f ) � � y � R | y � �1�

Im( f ) � � y � R | y � 0�

Sim, (1, 2) e (3, 8).

Para cima.

x x'3

2" 1� � �e V

1

4,

25

8�( )

( 1, 0)3

2,0� e ( )

(0, �3)

x1

4�

Im f y y( ) |25

8� �� R �{ }


40 unidades.

1 400

2 s10 m

310 s

56. DESAFIO Determine o conjunto A para que a função f: A → [3, 7], definida por f(x) � x2 � 4x � 7, seja bijetiva e crescente.

57. ATIVIDADE

EM DUPLA Um ônibus de 40 lugares foi fretado para uma excursão. A empresa exigiu de cada passageiro R$ 20,00 mais R$ 2,00 por lugar vago. Qual o número de passageiros para que a rentabilidade da empresa seja máxima?

58. ATIVIDADE

EM DUPLA (Faap-SP) Suponham que no dia 5 de dezem-bro de 1995 o Serviço de Meteorologia do Estado de São Paulo tenha informado que a temperatura na cidade de São Paulo atingiu o seu valor máximo às 14h, e que nesse dia a temperatura f(t) em graus é uma função do tempo t medido em horas, dada por f(t) � �t2 � bt � 156, quando 8 � t � 20. Obtenham o valor de b.a) 14 c) 28 e) 42

b) 21 d) 35

59. ATIVIDADE

EM DUPLA (UFPE) Num voo com capacidade para 100 pessoas, uma companhia aérea cobra R$ 200,00 por pessoa quando todos os lugares são ocupados. Se existirem lugares não ocupados, ao preço de cada passagem será acrescida a importância de R$ 4,00 por cada lugar não ocupado (por exemplo, se existirem 10 lugares não ocupados o preço de cada passagem será R$ 240,00). Quantos devem ser os lugares não ocupados para que a companhia obtenha o fatura-mento máximo?

60. ATIVIDADE

EM DUPLA (Vunesp) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) � 3t � 3t2, em que h é a altura atingida em metros.

A � �2, 4�

15 passageiros.

x

25 lugares.

Dr.

Jo

hn

Bra

cken

bu

ry/S

PL

/La

tin

sto

ck

a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?

b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?

1 s

0,75 m


Gráfico da função quadrática no computador

Agora, vamos aprender a construir gráficos de funções quadráticas usando outro software

livre, o Geogebra.Este é um software matemático, criado por

Markus Hohenwarter, que reúne Álgebra e Geo-metria. Ele pode ser utilizado em todos os níveis de ensino e já recebeu diversos prêmios na Euro-pa e nos Estados Unidos.

A instalação desse software é simples:• Acesse o site <www.geogebra.org/cms/pt_BR>

e clique em “Download”.

Veja a reprodução da tela a seguir:

• Clique em “Webstart”, faça o download e siga

os passos automáticos de instalação do

programa.

Depois disso, você já pode usá-lo.

Ao abrir o software você verá a seguinte tela:

Observe que destacamos acima o nome das

partes que compõe a tela inicial do software.

Agora, faça as atividades a seguir.1. Construa o gráfico da função quadrática

f(x) � x2 � 6x � 5 e destaque alguns pontos

importantes. Para isso, siga os passos abaixo.

1o passo: No campo Entrada (situado na

parte inferior da tela) escreva a função

f(x) � x^2 � 6x � 5 e tecle “Enter”. Observe

que “^” indica a operação de potenciação.

2o passo: Para obter as raízes da função f, ain-

da no campo de entrada, digite raiz [ f ] e tecle

“Enter”. Veja que foram criados os pontos

A � (1, 0) e B � (5, 0), que são as raízes da função.

3o passo: Para obter o vértice da parábola,

digite Extremo[ f ] e tecle “Enter”. Assim, foi

criado o ponto C � (3, �4), que corresponde

ao vértice da parábola.

4o passo: Agora, vamos determinar o ponto em

que a parábola intersecta o eixo das ordenadas

(eixo y). Para isso, digite no campo de entrada

Interseção[ f, x � 0] e tecle “Enter”. Observe que

o ponto de intersecção com o eixo y, ponto

D � (0, 5), tem como ordenada o valor do termo

independente (c) da função quadrática.

barra de menu

zona gráficazona algébrica

barra de

ferramentas

entrada de comando

Fo

tos:

Re

pro

du

çã

o/<

ww

w.g

eo

ge

bra

.org

>

Matemáticatecnologiae


Fique atento!Você pode mover, ampliar ou reduzir a sua imagem utilizando da barra de tarefas. Outra opção para aumentar ou diminuir o zoom

é utilizar o scroll do mouse (aquela “bolinha” que fica na parte superior da maioria dos mouses).Clique em “Arquivo” e grave a sua construção.

Agora, determine as raízes e o vértice da fun-

ção utilizando as fórmulas que você já co-

nhece e em seguida compare os resultados

obtidos no Geogebra.

2. Clique em “Arquivo”, depois em “Novo” e si-

ga os passos abaixo.

1o passo: Na barra de ferramentas, clique

com o botão esquerdo do mouse, inicial-

mente na opção controle deslizante e em

seguida clique em qualquer ponto da jane-

la de visualização (zona gráfica); automati-

camente abrirá uma janela; clique em “Apli-

car”. Nesse instante, aparecerá o parâmetro

a (com valor inicial igual a 1). Veja:

a = 1

Repita a operação e insira novos parâmetros

(b e c).

2o passo: No campo Entrada escreva a função:

f(x) � a�x^2 � b�x � c

e tecle “Enter”. Observe que “�” significa a

operação de multiplicação. Dessa forma, vo-

cê terá o gráfico da função:

f(x) � x2 � x � 1

3o passo: Para melhorar a visualização, cli-

que com o botão direito do mouse na pará-

bola e abrirá uma aba com a opção “Proprie-

dades...”; clique sobre ela. Assim, abrirá uma

janela com várias opções; clique na aba “Cor”

e escolha uma nova cor para o seu gráfico.

Em seguida, clique na aba “Estilo” e coloque

a espessura da linha igual a 5. Feche a jane-

la e observe que o gráfico ficou destacado.

4o passo: Na barra de ferramentas clique em

“Exibir” e depois em “Malha”.

Você agora deverá ter uma imagem (com

exceção da cor escolhida) igual à apresenta-

da abaixo.

5o passo: Agora você poderá observar signi-

ficados importantes para os coeficientes a,

b e c. Clique na bolinha do controle deslizan-

te de a e altere lentamente o seu valor (bas-

ta arrastar a bolinha para um dos lados).

Observe o que acontece com o gráfico da pa-

rábola. Repita a operação para os controles

deslizantes de b e c (utilize um controle des-

lizante por vez).

Agora, responda:

a) Qual o efeito do parâmetro a no gráfico da

função?

b) Qual o efeito do parâmetro b no gráfico da

função?

c) Qual o efeito do parâmetro c no gráfico da

função?

Os resultados são os mesmos.

Fo

tos:

Re

pro

du

çã

o/<

ww

w.g

eo

ge

bra

.org

>

Altera a abertura e a concavidade da parábola.

Altera a posição do vértice.

Altera o ponto onde a parábola cruza o eixo y.

5 Gráfico da função quadrática · 2020. 4. 4. · Quais das funções do exercício anterior...

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