FUNÇÃO QUADRÁTICAFUNÇÃO QUADRÁTICA

O que você deve saber sobre

Estudaremos as funções de 2o grau, que também são chamadas de funções quadráticas.

I. Forma geral

FUNÇÃO QUADRÁTICA

1) Canônica: y = a (x - xV)2 + yV, sendo xV e yV as coordenadas do

vértice.

2) Fatorada: y = a(x - x1) . (x - x2), sendo x1 e x2 os zeros

da função (f(x) = 0), quando existirem.

II. Outras formas da função quadrática

FUNÇÃO QUADRÁTICA

III. A equação de 2o grau e os zeros da função

FUNÇÃO QUADRÁTICA

A curva que representa uma função quadrática é denominadaparábola e apresenta algumas características muito particulares:

IV. O gráfico de uma função quadrática

FUNÇÃO QUADRÁTICA

2) O sentido da concavidade da paráboladepende do sinal do coeficiente a:

IV. O gráfico de uma função quadrática

1) A parábola tem simetria em relação a um eixo vertical, que passa

pelo seu vértice V(xV, yV), cujas

coordenadas são dadas por:

FUNÇÃO QUADRÁTICA

XV = – e yV = –ba

a

V. Esboço do gráfico de uma função quadrática

Para elaborar o gráfico, é necessário determinar:

1) a concavidade da parábola (a > 0 ou a < 0);

2) as raízes (x1 e x2) da função, quando elas existirem;

3) o ponto (0, c) em que a parábola corta o eixo y;

4) as coordenadas do vértice (xV, yV).

FUNÇÃO QUADRÁTICA

V. Esboço do gráfico de uma função quadrática

FUNÇÃO QUADRÁTICA

1.

2.

V. Esboço do gráfico de uma função quadrática

Conclusão:

FUNÇÃO QUADRÁTICA

3.

Simulador: funções Clique na imagem para ver o simulador.

FUNÇÃO QUADRÁTICA

VI. Estudo do sinal da função quadrática

O sinal depende do valor

de e do coeficiente a:

1) a > 0

a função é crescente

no intervalo x > xV.

a função é decrescente

no intervalo x < xV.

FUNÇÃO QUADRÁTICA

VI. Estudo do sinal da função quadrática

O sinal depende do valor

de e do coeficiente a:

2) a < 0

a função é crescente no

intervalo x < xV.

a função é decrescente

no intervalo x > xV.

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Basta igualar as equações associadas a essas curvas:

reta: y = mx + p

parábola: y = ax2 + bx + c

Igualando os y, temos:

mx + p = ax2 + bx + c ax2 + (b - m)x + (c - p) = 0

VII. Determinação dos pontos de encontro de uma reta e da parábola

FUNÇÃO QUADRÁTICA

VII. Determinação dos pontos de encontro de uma reta e da parábola

Resolvendo a equação de 2o grau obtida, achamos no máximo duas

raízes (x1 e x2) reais. Substituindo esses valores na equação da reta,

obtemos as coordenadas dos pontos comuns.

FUNÇÃO QUADRÁTICA

A reta é secante à parábola.

VII. Determinação dos pontos de encontro de uma reta e da parábola

FUNÇÃO QUADRÁTICA

(UFF-RJ) A parábola abaixo representa o lucro mensal L (em reais) obtido em função do número de peças vendidas de um certo produto.

Determine:a) o número de peças que torna o lucro nulo;b) o(s) valor(es) de x que torna(m) o lucro negativo;c) o número de peças que devem ser vendidas para que o lucro seja de R$ 350,00.

1

FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR

EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

(UFJF-MG) Um pesticida foi ministrado a uma população de insetos para testar sua eficiência. Ao proceder ao controle da variação em função do tempo, em semanas, concluiu-se que o tamanho da população é dado por f(t) = -10t2 + 20t + 100.

a) Determine o intervalo de tempo em que a população de insetos ainda cresce.b) Na ação do pesticida, existe algum momento em que a população de insetos é igual à população inicial? Quando?c) Entre quais semanas a população de insetos seria exterminada?

2EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR

RESPOSTA:

(UFPA)O vértice da parábola y = ax2 + bx + c é o ponto (-2, 3). Sabendo que 5 é a ordenada onde a curva corta o eixo vertical, podemos afirmar que:

a) a > 1, b < 1 e c < 4.b) a > 2, b > 3 e c > 4.c) a < 1, b < 1 e c > 4.d) a < 1, b > 1 e c > 4.e) a < 1, b < 1 e c < 4.

3EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA: D

FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR

(Unesp)

O conjunto solução da inequação (x – 2)2 < 2x – 1, considerando como universo o conjunto , está definido por:a) 1 < x < 5.b) 3 < x < 5.c) 2 < x < 4.d) 1 < x < 4.e) 2 < x < 5.

4EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA: A

FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR

(Unifesp)De um cartão retangular de base 14 cm e altura 12 cm, deseja-se recortar um quadrado de lado x e um trapézio isósceles, conforme a figura, onde a parte hachurada será retirada.

O valor de x em centímetros, para que a área total removida seja mínima, é:a) 3. b) 2. c) 1,5. d) 1.e) 0,5.

5EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA: D

FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR

(Fuvest-SP)Para cada número real m, considere a função quadrática f(x) = x2 + mx + 2. Nessas condições:

a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y = f(x).

b) Determine os valores de m para os quais a imagem de f

contém o conjunto {y | y > 1}.c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao

conjunto {y | y > 1} e, além disso, f é crescente no conjunto

{x | x 0}.d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item (c) e para cada y > 2, oúnico valor de x > 0 tal quef(x) = y.

6EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS

RESPOSTA:

>−

FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR

(Unifesp)A tabela mostra a distância s em centímetros que uma bola percorre descendo por um plano inclinado em t segundos.

A distância s é função de t dada pela expressãos(t) = at2 + bt + c, onde a, b, c são constantes. A distância s em centímetros, quando t = 2,5 segundos, é igual a:a) 248. b) 228. c) 208. d) 200.e) 190.

1EX

ER

CÍC

IOS

ES

SEN

CIA

IS15

RESPOSTA: D

FUNÇÃO QUADRÁTICA – NO VESTIBULAR