MÓDULO III – PARTE 20

Geometria

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CIRCUNFERÊNCIA Dado um ponto C=(x0,y0) e um número real positivo r, chamamos de circunferência o conjunto de pontos do plano cartesiano que tenham distância igual a r do ponto C onde, C é o centro da circunferência e r seu raio.

rdP CP ,

Pelo teorema de Pitágoras teremos:

(xx0)2 + (yy0)2 = r2 (Equação reduzida da Circunferência)

Desenvolvendo teremos:

x2 2x0x + x0

2 + y

2 2y0y + y0

2 = r

2

x2 + y

2 2x0x 2y0y + x0

2 + y0

2 r

2 = 0

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 (Equação Geral da Circunferência)

Obs: A=B Regiões do Plano Círculo ou Disco Dado um ponto C=(x0,y0) e um número real positivo r, chamamos de círculo ou disco o conjunto de pontos do plano cartesiano que tenham distância menor ou igual a r do ponto C onde, C é o centro da circunferência e r seu raio.

rdP CPi ,

(xx0)2 + (yy0)

2 ≤ r

2

Exemplos: Represente no plano cartesiano as equações abaixo:

a) x2 + y

2 = 4 b) (x2)

2 + (y + 1)

2 = 1

c) x2 + (y5)

2 ≤ 9 d) y ≤ x + 3

e)

4

1

0

xy

xy

y

f)

4

1622

xy

yx

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CÔNICAS (Parte I)

1) ELIPSE Dados dois pontos distintos F1 e F2 , pertencentes a um plano α, seja 2c a distância entre eles. ELIPSE é o conjunto dos pontos de α cuja soma das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a (sendo 2a > 2c).

Elipse = aPFPFP 2/ 21

Elementos: Tomemos uma elipse com centro na origem e focos sobre o eixo das abscissas. Teremos: Centro: O = (0,0) Focos: F1 = (c,0) e F2 = (–c,0) A1A2 (eixo maior) B1B2 (eixo menor)

2a = medida do eixo maior 2b = medida do eixo menor

2c = distância focal a

c = e (excentricidade)

Fazendo P=B1 temos que o triângulo F1B1F2 é isósceles de altura b e base 2c. Daí temos a relação:

a2 = b2 + c2

)(

)()(

22

)()(

)(

44)(4

2)(442

)()(44)(

)(2)(

2)0()()0()(

2

22222222

22222222

224222222

22242222222

22222

222

222

222222222

2222222

2222

2222

21

babayaxb

caayaxca

caayaxcxa

xccxaayacacxaxa

cxaycxa

cxaycxa

cxaycxa

yccxxycxaayccxx

ycxycxaaycx

ycxaycx

aycxycx

aPFPF

12

2

2

2

b

y

a

x

{Equação reduzida da elipse de centro (0,0)}

12

2

2

2

a

y

b

x 1

)()(2

2

0

2

2

0

b

yy

a

xx

1)()(

2

2

0

2

2

0

a

yy

b

xx

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EXERCÍCIOS 01) (EFOMM-92) – A distância da reta x – 2y – 4 = 0 à origem é:

(A) 4 5 (B) 5

54 (C) 5 (D) 2 5 (E) 8 5

02)(AFA –99) No plano cartesiano, a distância da origem à reta que passa pelos pontos A(0,4) e B(6,0) é

(A)13

139 (B) 13

1310 (C) 13

1311 (D) 13

1312

03) (EFOMM-91) – O raio da circunferência de equação (x – 3)

2 + (y – 4)

2 = 36 é:

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

04) (Unifor-00) A circunferência de equação

x2 y2 6x 8y 24 0 tem

(A) centro no ponto (3;4). (B) raio 1. (C) centro no ponto (4;3). (D) raio 2. (E) centro no ponto (3;0).

05) (EFOMM-92) Calcule o centro da circunferência cuja equação é x

2 + y

2 – 6x + 4y – 2 = 0

(A) (3,-2) (B) (-3,2) (C) (3,-4) (D) (-3,-2) (E) (3,2)

06) (EEAR-1/02) - A distância do centro da circunferência

021y8x6yx 22 à bissetriz do II.º e IV.º quadrantes,

vale:

(A)2

2 (B)

2

3 (C)

2

7 (D)

2

27

07)(AFA –98) Os pontos A(-5,2) e B(1,6) são extremos de um dos diâmetros da circunferência de equação (A) x

2 + y

2 - 2y - 25 = 0. (B) x

2 + y

2 + 4x - 8y + 7 = 0.

(C) x2 + y

2 - 4x + 4y - 57 = 0. (D) x

2 + y

2 + 8x - 14y + 39 = 0.

08) (Cesgranrio – 88) Uma equação da circunferência de centro (-3,4) e que tangencia o eixo Ox é: (A) (x – 3)

2 + (y – 4)

2 = 16

(B) (x – 3)2 + (y + 4)

2 = 9

(C) (x + 3)2 + (y + 4)

2 = 16

(D) (x + 3)2 + (y – 4)

2 = 9

(E) (x + 3)2 + (y – 4)

2 = 16

09) (EFOMM-94) – As circunferências C1 e C2 de equações x2 –

6x + y2 – 8y = 0 e x

2 – 4x + y

2 – 6y + 12 = 0 são tais que:

(A) C2 é tangente interior de C1

(B) C1 e C2 são tangentes exteriores (C) C1 e C2 são concêntricas (D) C1 e C2 são secantes (E) C2 é interior a C1

10) (EFOMM-92) – A circunferência de círculo de centro em (1,-2) e de raio r é tangente à reta x = y + 1, logo r é igual a:

(A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 (E) 3

11) (AFA –99) Se P(1, y) pertencente ao primeiro quadrante, é o único ponto de intersecção da curva C: x

2 + y

2 + 2x – 2y – 6 = 0

com a reta r, então a equação reduzida de r é (A) y = – x (B) y = – x + 4 (C) y = – 2x + 7 (D) y = – 2x + 1

12) (AFA-00)- A circunferência x

2 + y

2 = 5 possui duas retas

tangentes t1 e t2 que são paralelas à reta r: y = –2x + 3. As equações gerais das retas t1 e t2, respectivamente, são (A) 2x + y – 5 = 0 e 2x + y + 5 = 0 (B) 2x + y – 15 = 0 e 2x + y + 15 = 0

(C) 2x + y – 55 = 0 e 2x + y + 55 = 0

(D) 2x + y – 5

54 = 0 e 2x + y + 5

54 = 0

13) (FGV-2009) No plano cartesiano, considere a região P, cujos pontos satisfazem as inequações simultâneas

Considere o feixe de retas paralelas x + y = c , c ϵ R . O maior valor de c para o qual uma reta do feixe intercepta a região P é: (A) 7 (B) 7,5 (C) 8 (D) 8,5 (E) 9

14) (FGV-2009) No plano cartesiano, a área da região determinada pelas inequações simultâneas

1122 yxeyx é igual a

(A)4

1

2

(B)2

1

2

(C)4

3

2

(D) 12

(E)4

5

2

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15) (FGV-2010) No plano cartesiano, o ponto C(2,3) é o centro de uma circunferência que passa pelo ponto médio do segmento CP , em que P é o ponto de coordenadas (5,7). A equação da circunferência é: (A) 4x

2 + 4y

2 – 16x – 24y + 27 = 0

(B) x2 + y

2 – 4x – 6y + 7 = 0

(C) 4x2 + 4y

2 – 16x – 24y + 29 = 0

(D) x2 + y

2 – 4x – 6y + 8 = 0

(E) 4x2 + 4y

2 – 16x – 24y + 31 = 0

16) (FGV-2011) No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é:

(A) 010)102()102(22 yxyx

(B) 08)82()82(22 yxyx

(C) 010)102()102(22 yxyx

(D) 08)82()82(22 yxyx

(E) 044422 yxyx

17) (FGV-2011) No plano cartesiano, a reta tangente à circunferência de equação x

2 + y

2 = 8 , no ponto P de

coordenadas (2, 2), intercepta a reta de equação y = 2x no ponto:

(A)

6

14,

6

7 (B)

5

12,

5

6 (C)

4

10,

4

5

(D)

3

8,

3

4 (E)

3,

2

3

18) (UFF-98-2F) -O triângulo equilátero ABC está inscrito na circunferência de equação x

2 + y

2 = 16, conforme a figura

abaixo. Determine as coordenadas dos pontos A, B e C.

19) (AFA-00)- A reta s: y = –x + 4 intercepta a circunferência C: x

2

+ y2 + 2x – 4y – 4 = 0 nos pontos P e Q. Se O é o centro de C,

então a área do triângulo OPQ, em unidades de área, é (A) 4 (B) 5 (C) 4,5 (D) 5,5

20)(UFF-96-2ªF) Na figura abaixo a circunferência C tem equação

x y x y2 2 4 8 0 .

Determine: a) a equação da reta s b) a equação da reta r que é perpendicular à reta s e passa

pelo centro da circunferência

21) (UFF-01-2ªf) Considere a circunferência C, de equação (x – 1)

2 + (y – 1)

2 = 1, e a reta r que contém a origem e o centro

desta circunferência. Encontre a equação de uma reta que seja perpendicular a r e tangente a C.

22) A equação geral da reta tangente à circunferência x

2 + y

2 =

25 , no ponto (3,4) é: (A) 3x + 4y – 7 = 0 (B) 3x + 4y + 25 = 0 (C) 4x – 3y + 7 = 0 (D) 3x + 4y – 25 = 0 (E) 4x – 3y + 7 = 0

23) (UERJ-93/2ªF) - Considere a circunferência cuja equação é x

2 + y

2 - 2x + 4y -5 = 0.

a) Calcule o raio da circunferência e o centro. b) determine a equação da tangente à circunferência no ponto (2,1).

24) (UERJ-95/2ªF) - O ponto de coordenadas (0,0) pertence às retas r e s, que são tangentes à circunferência de equação: x

2 + y

2 - 12x - 16y + 75 = 0

a) Determine as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência. b) Calcule a medida do menor ângulo formado entre r e s.

25) (UFF-99-2f)-A reta y – 2x + 5 = 0 tangencia, no ponto M, a circunferência C de equação x

2 + y

2 = 5. A reta y = – x + p

intercepta C nos pontos M e Q. Determine: a) o valor de p; b) as coordenadas dos pontos M e Q.

y

A

B C x

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26) (UFF-99-2f)-A circunferência C1, de raio 1, é tangente aos eixos coordenados, conforme representação abaixo.

Determine a equação da circunferência C2, tangente simultaneamente aos eixos coordenados e à C1.

27) (UFRJ-2001-PE) – Determine a área da região R definida por

R = R1 R2 R3, sendo:

0;,

034;,

01654;,

23

22

21

yRyxR

yxRyxR

yxRyxR

28)A equação que melhor representa a cônica :

(A) 11625

22

yx (B)

1259

5 22

yx (C)

19

)5(

25

1 22

yx

(D) 1259

22

yx (E)

1925

5 22

yx

29) O valor da excentricidade da cônica

19

)3(

4

)1( 22

yx

é

(A) 2 (B)13

2 (C)

3

5 (D) 3

30) (AFA –98) A equação reduzida da cônica, representada no gráfico abaixo, é

(A) ( ) ( )x y

4

9

3

161

2 2.

(B) ( ) ( )x y

5

9

1

161

2 2.

(C) ( ) ( )x y

1

16

5

91

2 2.

(D) ( ) ( )x y

1

9

5

161

2 2.

31) (RURAL-2000) - Se a área de uma figura é representada pela solução do sistema:

x y

x y

2 2 9

3 0

, pode-se afirmar que esta área corresponde a:

(A) 9

4

(B) 9 2

4

(C) 3 3

2

(D) 3 3

4

(E) 3

3

32) (UFRJ) Um satélite é colocado em órbita elíptica em torno da terra (supostamente esférica), tendo seus polos como focos. Em um certo sistema de medidas, o raio da Terra mede três unidades. Ao passar pelo equador (eixo x), o satélite está, no mesmo sistema de medidas, a uma unidade acima da superfície terrestre.

Determine a que altura h o satélite estará quando passar diretamente sobre o pólo Norte.

33) (UFRJ-2001-PE) Sejam F1 e F2 os pontos do plano cartesiano

de coordenadas 0,31 F e 0,32 F . Determine as

coordenadas dos pontos da reta r de equação x – y = 1 cujas somas das distâncias a F1 e F2 sejam iguais a 4 (isto é: determine as coordenadas dos pontos P sobre a reta r que

satisfazem 421 PFPF ).

x -1

9

2

1

y

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34) (UFRJ-2009-PE) Os pontos ( 6, 2), ( 3, 1), e (5, 5) pertencem a uma circunferência. Determine o raio dessa circunferência.

35) (UFRJ-2007-PE) Sejam a um número real positivo e S a região do plano cartesiano dada por

.,,/),( 2 xyayaxRyxS

Considere, como de costume, que o quadrado

10,10/),( 2 yxRyxU tem área de medida 1.

Determine o valor de a para que a medida da área da região S seja igual a 18.

36) (UFF-2ªFASE(I,J)-2009) Considere a circunferência C definida por (x – 2)

2 + (y – 1)

2 = 25. Determine:

a) as coordenadas do centro de C e a área da região delimitada por C; b) uma equação para a reta que passa pelo centro de C e pelo ponto (-1,5); c) uma equação para a reta tangente à circunferência C no ponto (-1,5).

37) As inequações x + y ≥ 2 e x

2 + 4x + y

2 – 4y + 4 ≤ 0

representam regiões no plano cartesiano. O perímetro da figura formada pela interseção dessas regiões é:

(A) 22 (B) 2 (C)2

2

(D) 2

38) (UFF-2011-2ª F – IJ) Considere os subconjuntos A, B e C do R

2 definidos por

;16)1(;),(

;32;),(

;1;),(

222

222

222

yxRyxC

yyxRyxB

yxRyxA

Determine: a) os respectivos centros e raios das circunferências de

equações x2 + y

2 = 1 ; x

2 + y

2 2y= 3 ; x

2 + (y+1)

2 = 16 ;

b) a área da região S = C – (A U B).

39) (UERJ-2008-2ªF) Em cada ponto (x, y) do plano cartesiano, o valor de T é definido pela seguinte equação:

Sabe-se que T assume seu valor máximo, 50, no ponto (2, 0). Calcule a área da região que corresponde ao conjunto dos pontos do plano cartesiano para os quais T ≥ 20.

40)(UNICAMP–2003) As equações (x + 1)2 + y

2 = 1 e

(x - 2)2 + y

2 = 4 representam duas circunferências cujos centros

estão sobre o eixo das abscissas. A) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção daquelas

circunferências. B) Encontre o valor de a R, a 0, de modo que duas retas

que passam pelo ponto (a, 0) sejam tangentes às duas circunferências.

41) (UNICAMP -2010) No desenho abaixo, a reta y = ax (a>0) e a reta que passa por B e C são perpendiculares, interceptando-se em A. Supondo que B é o ponto (2,0) resolva as questões abaixo. a) Determine as coordenadas do ponto C em função de a. b) Supondo agora, que a = 3, determine as coordenadas do ponto A e a equação da circunferência com centro em A e tangente ao eixo x.

Desafios 42)(ITA-2010) Considere as circunferências C1: (x–4)

2 + (y–3)

2 = 4

e C2: (x–10)2 + (y–11)

2 = 9. Seja r uma reta tangente interna a C1

e C2, isto é, r tangencia C1 e C2 e intercepta o segmento de reta

21OO definido pelos centros O1 de C1 e O2 de C2. Os pontos de

tangência definem um segmento sobre r que mede

(A) 35 (B) 54 (C) 63

(D) 3

25 (E) 9

43) (ITA-2010) Um triângulo eqüilátero tem vértices nos pontos A, B e C do plano xOy, sendo B=(2,1) e C=(5,5). Das seguintes afirmações:

I. A se encontra sobre a reta 2

11

4

3 xy .

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II. A está na intersecção da reta 8

45

4

3 xy com a

circunferência 251222 yx .

III. A pertence às circunferências 255522 yx e

4

753

2

7 2

2

yx

é (são) verdadeira(s) apenas (A) I. (B) II. (C) III. (D) I e II. (E) II e III.

44) (ITA-2010) Determine uma equação da circunferência inscrita no triângulo cujos vértices são A=(1,1), B=(1,7) e C=(5,4) no plano xOy.

45) (ITA-2011) Se m e n inteiros tais que 3

2

n

m e a equação

0233636 22 nymxyx representa uma circunferência

de raio r = 1 cm e o centro C localizado no segundo quadrante. Se A e B são os pontos onde a crcunferência cruza o eixo Oy, a área do triângulo ABC, em cm

2, é igual a

(A) 3

28 (B) 3

24 (C) 3

22

(D) 9

22 (E) 9

2

GABARITO 01) A 02) D 03) E 04) B 05) A 06) D 07) B 08) E 09) E 10) A 11) B 12) A 13) C 14) D 15) A 16) B 17) D 18) )2,32(;)2,32(;)4,0( CBA

19) C 20) a) s: y = 2x + 8 b) r: y =x/2 + 3

21) s1 = y = - x + (2 + 2 ) e s2 = y = -x + (2 - 2 )

22) D 23) a) r= 10 e C=(1, 2) b) x + 3y 5 = 0

24) a) r = 5 e C=(6,8) b) 60º

25)a) p = 1 b) M (2, – 1) e Q(–1, 2)

26) 27) AR = 4 28) E 29) C 30) B 31) B

32) h = 2 33) (0,1) e (8/5, 3/5). 34) r=5 35) a=3 36) a) 25π b) 4x + 3y – 11=0 c) 3x – 4y + 23=0 37) D 38) a) CA=(0,0) e rA = 1 ; CB=(0,1) e rB = 2 ; CC=(0, –1) e rC = 4

b) 12π 3 9) 6π 40)a) O(0, 0). B) a = – 4 41) a)C = (0 , 2/a). b) A = (1/5 , 3/5) e a circunferência procurada é gerada por (x – 1/5)

2 + (y – 3/5)

2 = 9/25.

42) A 43) E 44) 45) D

Questões Resolvidas Questão 13) Resposta:C A região P é dada pelo trapézio ABCD junto com sua região interior:

Os vértices são: A(0,0); B(6,0); C(6,2) e D(0,5). Em relação às retas do feixe de paralelas x + y = c , quanto maior o valor de c , ``mais para cima´´ se encontra a reta. A que passa por B é tal que 6 + 0 = c → c = 6 A que passa por C é tal que 6 + 2 = c → c = 8 A que passa por D é tal que 0 + 5 =c → c = 5 Assim, a de maior valor de c de modo que a reta do feixe ainda intersecte a região P é aquela para a qual c = 8.

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Questão 14) A região pedida é constituída pelos segmentos circulares dados abaixo:

Questão 15)

Questão 16) Resposta: B

Questão 17) RESPOSTA: D → Como o centro da circunferência é C(0, 0) e o ponto P pertence à circunferência, o coeficiente angular da reta CP é

102

02

→ A reta t tangente à circunferência é perpendicular à reta CP,

portanto seu coeficiente angular m é tal que m.1 = 1.

Logo m = 1.

→ Assim, a equação da reta t é: y 2= 1(x 2) , ou seja,

y = x + 4 . → O ponto em que a reta t intercepta a reta y = 2x é obtido a partir de:

Questão 21)

Equação de r: y = x

Mas s1 r, logo ms1 . mr = -1 ms1 = -1

Assim, a equação de s1(ou s2) é y = - x + n.

Também, CP = 1 A - 1 = 2 A = 1 + 2

2

Logo, P(1 + 2

2, 1 +

2

2) e P’(1-

2

2, 1-

2

2)

Assim,

1 + 2

2 = -(1 +

2

2) + n n = 2 + 2 ou

1 - 2

2 = - (1 -

2

2) + n n = 2 - 2

Equação de s1 = y = - x + (2 + 2 )

Equação de s2 = y = -x + (2 - 2 )

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Geometria

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MATEMÁTICA

2011

9

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Projeto

Vestibular

Questão 27)

Questão 33)

Questão 34)

Questão 35)

Questão 36)

Questão 38)

Questão 39)

Questão 40) A) Do enunciado temos a figura, onde C1 e C2 são os centros

das circunferências:

As duas circunferências interceptam-se na origem O(0, 0).

B) Sendo a R e a < 0, temos a figura a seguir, onde T1, T2, E1 e E2 são pontos de tangência, as retas t1 e t2 são as tangentes, cujo ponto de intersecção é A(a, 0).

MÓDULO III – PARTE 20

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Como os triângulos AC1T1 e AC2T2 são semelhantes, temos que:

22

11

2

1

TC

TC

AC

AC

2

1

a2

a1

a = -4

Questão 41) a) Uma vez que as retas são perpendiculares, o coeficiente angular da reta que passa por B e C é –1/a. Como essa reta passa pelo ponto (2,0), temos: 0 = (–1/a) . 2 + b, de modo que b = 2/a e a reta y = –x/a + 2/a. Logo C = (0 , 2/a). b) Se a = 3, o ponto A é a interseçõa das retas y = 3x e y=–x/3 + 2/3. Logo 3x = –x/3 + 2/3, ou seja, x = 1/5. Assim y = 3/5. A circunferência de centro em A e tangente ao eixo x é dada por (x – 1/5)

2 + (y – 3/5)

2 = 9/25.

Portanto o ponto A = (1/5 , 3/5) e a circunferência procurada é gerada por (x – 1/5)

2 + (y – 3/5)

2 = 9/25.

Questão 42) Gab : A

Questão 43) GAB: E

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Questão 44)

Questão 45) GAB: D