Cálculo Diferencial em R

Cálculo Diferencial em R

Séries Numéricas e de Potências— Caderno 1 —

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� 2011-2012 / 1o Semestre

� EI / ETI / ETI-PL––––––––––––––––––––––––––––––––-

� Elaborado por Rosário LaureanoDMQ — Dpto de Métodos Quantitativos

1

1 Cálculo Diferencial em R

1.1 Limites e continuidade

Sejam f : Df ⊆ R → R uma função real (escalar) de variável real ea ∈ R um ponto de acumulação1 de Df .

Definição 1 O número real L é o limite de f no ponto a, e escreve-sef (x) −→ L quando x −→ a ou L = limx→a f (x), se

∀δ > 0 ∃ε = ε (δ) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x− a| < ε =⇒ |f(x)− L| < δ

(para todo o δ > 0 existe ε > 0, dependente do δ tomado, tal que a distânciade f(x) a L é inferior a δ sempre que a distância de x a a é inferior a ε,para x ∈ Df \ {a}).

A condição 0 < |x− a| < ε significa que x ∈ ]a− ε, a+ ε[ e x = a. Aexistência de limite traduz-se intuitivamente por "os valores f (x) e L serãoarbitrariamente próximos (ou seja, a distância |f(x)− L| será tão pequenaquanto se queira) sempre que nos limitemos a considerar valores de x su-ficientemente próximos de a (isto é, desde que |x− a| seja suficientementepequeno)". Contudo, a existência do limite de f no ponto a nada informa2

acerca do valor da função f no ponto a. O limite de f no ponto a, quandoexiste, é único.

A definição de limite exige que existam e tenham o mesmo valor oslimites da função f restringida a qualquer subconjunto do seu domínio, ou

1Considerando definida em R a distância euclidiana, um ponto a ∈ R é um ponto deacumulação de D ⊆ R se a todo o intervalo aberto centrado em a pertence pelo menosum ponto de D distinto de a, ou seja,

∀ε > 0 ∃x ∈ D \ {a} | x ∈ ]a− ε, a+ ε[ .

Na verdade, tal implica que em qualquer vizinhança de a existem infinitos pontos de D,ou seja,

∀ε > 0, ]a− ε, a+ ε[ ∩D é um conjunto infinito.

O intervalo ]a− ε, a+ ε[ pode designar-se por bola aberta de centro em a e raio ε. Umponto que não é de acumulação de D diz-se um ponto isolado. O conjunto de todos ospontos de acumulação do conjunto D designa-se por derivado de D e denota-se por D′.

2Tal valor f(a) pode nem existir e, mesmo no caso em que a ∈ D, podemos ter

limx→a

f (x) = L �= f(a).

2

seja, que sejam iguais todos os limites relativos da função f . Na recta real, aaproximação a um ponto a faz-se através de uma única direcção. No entanto,podemos considerar nessa direcção a aproximação pela esquerda, x → a−,ou pela direita, x → a+, sempre que tal faça sentido face ao domínio dafunção f . Trata-se de considerar os limites relativos

limx→a−

f (x) = limx→a ∧ x<a

f (x) e limx→a+

f (x) = limx→a ∧ x>a

f (x) ,

que se designam por limites laterais de f no ponto a. Sendo estes osúnicos limites relativos possíveis, é condição necessária para que exista olimite de f no ponto a que eles existam e tenham o mesmo valor,

limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x) = L = limx→a

f (x) .

Como tal, a não-existência de limite no ponto a decorre simplesmente dadetecção de valores diferentes nos dois limites laterais,

limx→a−

f (x) = limx→a+

f (x) .

Quando, face ao domínio da função f , apenas faz sentido uma das aproxi-mações laterais, o valor do limite corresponde a esse limite lateral.

Proposition 2 Sejam f : Df ⊆ R→ R e g : Dg ⊆ R→ R funções reais devariável real e a ∈ R um ponto de acumulação de Df e de Dg. Se existiremos limites limx→a f (x) e limx→a g (x) então também existem nesse ponto aos limites

P1. da soma e da diferença das funções

limx→a

(f ± g) (x) = limx→a

f (x)± limx→a

g (x) ,

P2. do produto das funções

limx→a

(f × g) (x) = limx→a

f (x)× limx→a

g (x) ,

P3. do produto da função por uma constante c ∈ R

limx→a

(c× f) (x) = c× limx→a

f (x) ,

P4. e, sempre que limx→a g (x) = 0, do quociente das funções

limx→a

(f

g

)(x) =

limx→a f (x)

limx→a g (x).

3

A função f tende para +∞ quando x −→ a (escreve-se limx→a f (x) =+∞) se3

∀K > 0 ∃ε = ε (K) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x− a| < ε =⇒ f(x) > K.

A função f tende para −∞ quando x −→ a (escreve-se limx→a f (x) =−∞) se a função (−f) tende para +∞ quando x −→ a.

SejaDf um subconjunto não majorado de R. O número real L é o limitede f quando x −→ +∞ (escreve-se L = limx→+∞ f (x)) se4

∀δ > 0 ∃x0 = x0 (δ) ∈ R | ∀x ∈ Df ∧ x > x0 =⇒ |f(x)− L| < δ.

Se L = limx→+∞ f (x) ou L = limx→−∞ f (x) então o gráfico de f temy = L como assimptota horizontal. A função f tende para +∞ quandox −→ +∞ (escreve-se limx→+∞ f (x) = +∞) se5

∀K > 0 ∃x0 = x0 (K) ∈ R | ∀x ∈ Df ∧ x > x0 =⇒ f(x) > K.

São válidas as seguintes operações, no sentido de limite (L ∈ R),

(+∞) + (+∞) = +∞ , (+∞) + L = +∞

(−∞) + (−∞) = −∞ , (−∞) + L = −∞

(±∞) · (±∞) = +∞ , (±∞) · (L positivo) = ±∞

(±∞) · (∓∞) = −∞ , (±∞) · (L negativo) = ∓∞

(±∞)

L positivo= ±∞ ,

L positivo(±∞)

= 0± ,(±∞)

0±= +∞ ,

0±

(±∞)= 0+

(±∞)

L negativo= ∓∞ ,

L negativo(±∞)

= 0∓ ,(±∞)

0∓= −∞,

0∓

(±∞)= 0−

3para todo K > 0 existe ε > 0, dependente do K tomado, tal que as imagens f(x)superam o valor de K sempre que a distância de x a a é inferior a ε, para x ∈ Df \ {a} .

4para todo δ > 0 existe x0, dependente do δ tomado, tal que a distância de f(x) a L

é inferior a δ sempre que x é maior do que x0, para x ∈ Df .5para todo K > 0 existe x0, dependente do K tomado, tal que as imagens f(x) superam

o valor de K sempre que os objectos x superam o valor de x0, para x ∈ Df .

4

enquanto

(±∞)− (±∞) =? , 0 · (±∞) =? ,0

0=? e

(±∞)

(±∞)=?

são indeterminações.

Consideremos que f(x) > 0 para todo x ∈ Df . Temos

limx→a

[f (x)g(x)

]=[limx→a

f (x)]limx→a g(x)

sempre que não ocorra uma das indeterminações

00 =? , 1(±∞) =? e (+∞)0 =? .

No entanto, dada a igualdade

f (x)g(x) = exp [g (x) · ln f (x)] ,

(exp denota a exponencial de Neper e ln o logarítmo respectivo) estas inde-terminações podem ser resolvidas através da indeterminação 0 · (±∞).

Limites de referência:

limx→0

sinx

x= 1, lim

x→0

tanx

x= 1, lim

x→0

ln (x+ 1)

x= 1

limx→+∞

ax

xp= +∞ (a > 1, p ∈ R), lim

x→+∞

loga x

xp= 0 (a > 1, p ∈ R+)

limx→0

expx− 1

x= 1, lim

x→+∞

(1 +

k

x

)x= exp k

Definição 3 Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real ea ∈ R. A função f diz-se contínua no ponto a se e só se são verificadasas três condições seguintes: (i) existe a imagem f (a), ou seja, a ∈ Df ; (ii)existe o limite limx→a f (x); (iii) são iguais os elementos garantidos em (i)e (ii), ou seja6,

limx→a

f (x) = f (a) .

A função f diz-se contínua se for contínua em todos os pontos do seudomínio.

6Temos então

∀δ > 0 ∃ε = ε (δ) > 0 | ∀x ∈ Df ∧ 0 < |x− a| < ε =⇒ |f(x)− f(a)| < δ.

5

A continuidade de f no ponto a traduz-se intuitivamente por "os valoresf (x) e f (a) serão arbitrariamente próximos (isto é, a distância |f(x)− f(a)|será tão pequena quanto se queira) sempre que limitemos a considerar valoresde x suficientemente próximos de a (isto é, desde que |x− a| seja suficien-temente pequeno)".

1.2 Funções trigonométricas

Sabemos que as funções trigonométricas seno, coseno e tangente sãoperiódicas, não sendo portanto injectivas nos domínios Dsin = Dcos = R

e Dtan = R \ {kπ/2}k∈Z. No entanto, podemos considerar as restriçõesprincipais:

para y = sinx apenas x ∈[−π

2,π

2

]

para y = cosx apenas x ∈ [0, π]

para y = tanx apenas x ∈]−π

2,π

2

[

dessas funções, as restrições que permitem garantir a injectividade (cadaimagem ser "exclusiva" de um objecto) e manter todos os valores dos res-pectivos contradomínios. Para estes domínios mais restrictos, existem asfunções inversas:

x = arcsin y (arco-seno de y) com y ∈ [−1, 1]x = arccos y (arco-coseno de y) com y ∈ [−1, 1]x = arctan y (arco-tangente de y) com y ∈ R.

Por exemplo, sabendo que cos (π/3) = 1/2, podemos escrever que

π

3= arccos

(1

2

).

Trata-se de inverter os papeis das variáveis x e y, não os seus valores. Por-tanto, arccos (1/2) designa o ângulo (em radianos) cujo coseno é 1/2, ouseja, o ângulo π/3. Por outro lado, o valor inverso de cos (π/3), que é 2, édesignado por secante de π/3,

sec(π3

)=

1

cos(π3

) =1

1/2= 2.

6

Sabendo que sin (π/3) =√3/2, podemos escrever que π/3 = arcsin

(√3/2)

e obter também a cosecante de π/3,

csc(π3

)=

1

sin(π3

) =1√3/2

=2√3.

Sabendo que tan (π/3) =√3, podemos escrever que π/3 = arctan

√3 e obter

também a cotangente de π/3,

cot(π3

)=

1

tan(π3

) =1√3.

função trigonom. função trigonom. inversa valor inverso

y = sinx x = arcsin y w =1

sinx= cscx

y = cosx x = arccos y w =1

cosx= secx

y = tanx =sinx

cosxx = arctan y w =

1

tanx= cotx

Também se designa por arco-cotangente de y o valor do ângulo (medido emradianos) cuja cotangente é y.

Da fórmula fundamental da trigonometria (f.f.t),

sin2 x+ cos2 x = 1

obtemos (dividindo por cos2 x = 0)

tan2 x+ 1 =1

cos2 x,

assim como (dividindo por sin2 x = 0)

1 + cot2 x =1

sin2 x.

Da fórmula de duplicação de ângulo para o coseno

cos (2x) = cos2 x− sin2 x

7

obtemos (usando cos2 x = 1− sin2 x)

sin2 x =1− cos(2x)

2,

assim como (usando sin2 x = 1− cos2 x)

cos2 x =1+ cos(2x)

2.

A fórmula de duplicação de ângulo para o seno é

sin (2x) = 2 sin (x) cos (x) .

1.3 Derivação e Fórmula de Taylor

Derivada (de ordem 1) de uma função f num ponto a do seudomínio:

f ′(a) = limx→a

f (x)− f (a)

x− a= limh→0

f (a+ h)− f (a)

h

O número real f ′(a) é o declive da recta tangente ao gráfico de f no ponto(a, f(a)), cuja equação é

y − f(a) = f ′(a) (x− a) .

A recta normal ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) tem por declive − 1

f ′(a)e

a sua equação é

y − f(a) = − 1

f ′(a)(x− a) .

Uma função é crescente nos pontos em que a derivada é positiva e de-crescente nos pontos em que a derivada é negativa. Os valores de x nosquais a derivada é nula, designados por pontos críticos, são os "candidatos"a extremos (máximos ou mínimos) relativos da função.

Se a função f define a trajectória de uma partícula em movimento nodecurso do tempo, a derivada f ′(a) é a velocidade instantânea da partículano instante de tempo t = a.

Definem-se as derivadas de ordem superior a 1:

8

de ordem 2 : f ′′(x) = f ′[f ′ (x)

], também denotada por f (2)(x)

de ordem 3 : f ′′′(x) = f ′[f ′′ (x)

], também denotada por f (3)(x)

· · ·de ordem n : f (n)(x) = f ′

[f (n−1) (x)

].

Também se pode escrever f (1)(x) em vez de f ′ (x) e f (0)(x) em vez de f (x).

Regra de derivação da função composta:

(f ◦ u)′ (x) = f ′ (u(x)) · u′(x). (1)

Regra de derivação da função inversa:

(f−1

)′(y) =

1

f ′(x)em que y = f(x). (2)

Consideremos u = u(x) e v = v(x). Em consequência de (1), são válidasas regras operacionais de derivação

(u± v)′ = u′ ± v′ e (k · u)′ = k · u′ (para k ∈ R)

(u · v)′ = u′ · v + u · v′ e(uv

)′=

u′ · v − u · v′v2

(up)′ = p · up−1 · u′ (para p ∈ Q),a regra de derivação da exponencial (para a > 0, a = 1)

(au)′ = u′ · au · ln a (em particular (expu)′ = u′ · expu ),

e as regras de derivação das funções trigonométricas

(sinu)′ = u′ · cosu e (cosu)′ = −u′ · sinu

(tanu)′ =u′

cos2 u= u′ · sec2 u e (cotu)′ = − u′

sin2 u= −u′ · csc2 u .

Usando (1) e (2), obtemos as regras de derivação para as funções inversas(para a > 0, a = 1)

(loga u)′ =

u′

u · lna(em particular, (lnu)′ =

u′

u)

9

(arctanu)′ =u′

1 + u2e (arccotu)′ = − u′

1 + u2

(arcsinu)′ =u′√

1− u2e (arccosu)′ = − u′√

1− u2.

Por exemplo, de y = arcsinx obtem-se x = sin y e, por (2),

(arcsinx)′ =1

(sin y)′=

1

cos y.

Como cos y =√1− sin2 y =

√1− x2, temos

(arcsinx)′ =1√

1− x2.

Por (1) concluímos então que

(arcsinu)′ =1√

1− u2· u′ = u′√

1− u2.

Analogamente, de y = arctanx obtem-se x = tan y e, por (2),

(arctanx)′ =1

(tan y)′=

11

cos2 y

Como1

cos2 y= 1 + tan2 y = 1+ x2, temos

(arctanx)′ =1

1 + x2.

Por (1) concluímos então que

(arctanu)′ =1

1 + u2· u′ = u′

1 + u2.

Definição 4 Sejam f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real ea ∈ Df um ponto interior a Df . Se existem com valor real as derivadas detodas as ordens da função f no ponto a define-se o desenvolvimento (ousérie) de Taylor de f no ponto x = a como sendo

f(x) = f(a) + f ′(a) · (x− a) +f ′′(a)

2· (x− a)2 +

f (3)(a)

3!· (x− a)3 + · · ·

10

ou seja,

f(x) =∑

n≥1

f (n−1)(a)

(n− 1)!· (x− a)n−1 .

Quando a = 0, o desenvolvimento

f(x) = f(0)+f ′(0) ·x+ f ′′(a)

2·x2+ f (3)(a)

3!·x3+ · · · =

∑

n≥1

f (n−1)(0)

(n− 1)!·xn−1

diz-se o desenvolvimento (ou série) de MacLaurin de f .

Assume-se que f (0)(a) = f(a). O factorial de n ≥ 1, que é denotado porn!, é definido como

n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · · · 3 · 2 · 1.

Por convenção, o factorial de 0 é 1, 0! = 1.O desenvolvimento de Taylor (e de MacLaurin) é válido no domínio de

convergências da série de Taylor (e de MacLaurin) que lhe corresponde. Adeterminação do domínio de convergência é tratado no âmbito das séries depotências.

Sempre que consideramos apenas um número finito n de termos no de-senvolvimento de Taylor (ou de MacLaurin), obtemos uma aproximação(polinomial) de Taylor (ou de MacLaurin) da função com erro deordem n+ 1.

1.4 Exercícios propostos

1. Represente graficamente as funções:

(a) f(x) = −x2, g(x) = x2 − 3 e h(x) = (x− 3)2

(b) f(x) =√x, g(x) =

√1 + x e h(x) =

√1− x

(c) f(x) = 1/x, g(x) = 1/x2 e h(x) = 1/√x

(d) f(x) = 1/ (x− 2), g(x) = 1/x− 2 e h(x) = 1/ |x− 2|

(e) f(x) = expx, g(x) = 1/ expx e h(x) = lnx.

2. Mostre que a parábola de equação y = x2+x+1 tem vértice no ponto(−1/2, 3/4) .

11

3. Considere a função

f(x) =x3 − 1

x− 1.

(a) Mostre que f(x) = x2 + x+ 1 para x = 1.

(b) Esboce o gráfico da função f .

(c) Mostre que

limx→1

f(x) = 3 e limx→−∞

f(x) = +∞.

4. Considere a funçãof(x) =

x√x+ 1− 1

.

(a) Mostre que f(x) =√x+ 1 + 1 para x ≥ −1 ∧ x = 0.

(b) Esboce o gráfico da função f .

(c) Mostre que

limx→0

f(x) = 2 e limx→+∞

f(x) = +∞


f(x) =

1 se x = 3

0 se x = 3.

(a) Esboce o gráfico da função f .

(b) Mostre que

limx→3

f(x) = 1 e limx→+∞

f(x) = 1.

(c) Justifique que a função f não é contínua.


f(x) =|x|x

.

(a) Esboce o gráfico da função f .

(b) Mostre que não existe limx→0 f(x) e que limx→−∞ f(x) = −1.(c) Mostre que a função f é contínua.

12

7. Mostre que não existe o limite

limx→5

x+ 5

x− 5.

8. Resolva as seguintes indeterminações

(a) limx→−1 (x+ 1) /f(x), limx→−∞ f(x) e limx→+∞ 1/f(x) com

f(x) = x3 + x2.

(b) limx→−1 g(x) e limx→−∞ g(x) com

g(x) =x2 + 1

x+ 1.

9. Considere a função f(x) = 1/x. Resolva as seguintes indeterminações:

(a) limx→+∞

[x3 · f(x)

], limx→+∞ [x · f(x)] e limx→+∞ [

√x · f(x)]

(b) limx→0

[x3 · f(x)

], limx→0 [x · f(x)] e limx→0+ [

√x · f(x)] .

10. Escreva a expressão da primeira derivada de cada uma das seguintesfunções:

(a) f(x) = 4x3 + 3x+1

x+ 5√x

(b) f(x) = 2(5 + expx2

)(3

x+

x

3

)

(c) f(x) = (2x− 3)4 − ln(2x3)+ cosx

(d) f(x) = cos3 x− 6 cos(x3)− tan(4x) + 5 sin (3x)

(e) f(x) =3x+ x2

5+ 4arcsin (2x)− cot

(x2)

(f) f(x) = sec (−3x) + csc (5x)− 4 arctan(x3).

11. Considere a função f(x) = 4x2 + 2x.

13

(a) Determine a equação da recta tangente ao gráfico de f no pontode abcissa 1.

(b) Obtenha a equação da recta normal ao gráfico de f no ponto deordenada 12 e abcissa negativa.

(c) Determine as equações das rectas tangente e normal no vérticeda parábola de equação y = f(x).

12. Considere f(x) = (x+ 3)2. Utilize o desenvolvimento de MacLaurinpara escrever a função f como potências de x,

f(x) = x2 + 6x+ 9.

13. Utilize o desenvolvimento de MacLaurin para obter um polinómio deordem 3 que aproxime a função y = expx.

14. Utilize o desenvolvimento de MacLaurin para obter um polinómio

(a) de ordem 5 que aproxime a função y = sinx

(b) de ordem 4 que aproxime a função y = cosx.

1.5 Soluções5. (c) f não é contínua em x = 3.

8. (a) limx→−1x+ 1

f(x)= 1, limx→−∞ f(x) = −∞, limx→+∞

1

f(x)= 0

8. (b) limx→−1 g(x) não existe,

limx→−∞ g(x) = limx→−∞

(x− 1 +

2

x+ 1

)= −∞

9. (a) limx→+∞

[x3 · f(x)

]= +∞, limx→+∞ [x · f(x)] = 1,

limx→+∞ [√x · f(x)] = 0

9. (b) limx→0

[x3 · f(x)

]= 0, limx→0 [x · f(x)] = 1,

limx→0+ [√x · f(x)] = +∞

10. (a) f ′(x) = 12x2 + 3− 1

x2+

5

2√x

14

10. (b) f ′(x) = 2

[(2x expx2

)(3

x+

x

3

)+(5 + expx2

)(− 3

x2+

1

3

)]

10. (c) f ′(x) = 8 (2x− 3)3 − 3

x− sinx

10. (d) f ′(x) = −3 cos2 (x) sin (x) + 18x2 sin(x3)− 4

cos2 (4x)+ 15 cos (3x)

10. (e) f ′(x) =3 + 2x

5+

8√1− 4x2

+2x

sin2 (x2)

10. (f) f ′(x) = −3 sin (−3x)cos2 (−3x) −

5 cos (5x)

sin2 (5x)− 12x2

1 + x6

11. (a) y − 6 = 10 (x− 1)

11. (b) y − 12 =1

14(x+ 2)

11. (c) A parábola tem por zeros 0 e −1/2 logo a abcissa do vértice é−1/4. A ordenada do vértice é f (−1/4) = −1/4. A recta tangente éy = −1/4 e a recta normal é x = −1/4.

12. f ′(x) = 2 (x+ 3) , f ′′(x) = 2 e f (n)(x) = 0 para n ≥ 3. Temos então

f(x) = f(0) + f ′(0) · x+f ′′(0)

2· x2 + f (3)(0)

3!· x3 + · · ·

= 9+ 6 · x+2

2· x2 + 0

3!· x3 + · · · = 9 + 6x+ x2.

13. Dado que (expx)′ = expx, temos

expx � 1 + x+1

2x2 +

1

6x3.

14. (a) Temos f ′(x) = f (5)(x) = cosx, f ′′(x) = − sinx, f ′′′(x) = − cosx,e f (4)(x) = sinx. O polinómio pedido é

x− 1

6x3 +

1

120x5.

14. (b) Dado que cosx = (sinx)′ obtemos da alínea anterior que

cosx � 1− 1

2x2 +

1

24x4.

15

2 Séries numéricas e séries funcionaisDada uma sucessão (un)n∈N de números reais,

(un) : u1, u2, u3, · · · un, un+1, · · · ,

(a cada número natural n está associado o termo un de ordem n) podemosconsiderar a adição de todos os seus termos, uma infinidade de parcelas. Éo que se pretende com o conceito de série numérica.

Definição 5 A série numérica de termo geral un, que se denota por∑

n≥1un (

∞∑

n=1un,

∑

n∈N

un ou simplesmente∑

n

un), é a soma infinita dos termos

da sucessão real (un)n∈N,

∑

n≥1

un = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un−1 + un + un+1 + · · · .

Embora o termo geral da série seja o termo geral da sucessão (un)n∈N, asérie

∑

n≥1un é distinta da sucessão (un)n∈N que lhe está associada. Enquanto

na primeira os termos estão adicionados entre si, na segunda estão "soltos"como sequência ordenada7.

2.1 Convergência e soma de uma sérieDada uma série numérica

∑

n≥1un, pode acontecer que o limite

limn

(u1 + u2 + u3 + · · ·+ un−1 + un)

exista como número real (i.e., seja finito). Neste caso a série diz-se conver-gente e o valor S desse limite diz-se a soma da série. No caso contrário,se não existe esse limite ou se é +∞ ou −∞, a série numérica diz-se di-vergente. Classificar uma série numérica como convergente ou divergenteé identificar a sua natureza. Temos a seguinte definição rigorosa.

7Uma série numérica pode estar definida apenas para valores de n a partir de umacerta ordem k. Nesse caso, escreve-se

∑

n≥k

un = uk + uk+1 + uk+2 + · · ·+ uk + uk+1 + uk+2 + · · · .

Também se podem considerar séries numéricas com início em n = 0,∑

n≥0

un.

16

Definição 6 Dada uma série numérica∑

n≥1un, define-se a sua sucessão

das somas parciais por Sn =n∑

i=1ui, ou seja,

(Sn)n∈N : u1, u1 + u2, u1 + u2 + u3, . . .

se a sucessão das somas parciais (Sn)n∈N for convergente com limite S,

limn

Sn = limn

(u1 + u2 + u3 + · · ·+ un−1 + un) = S,

a série diz-se convergente e o valor S diz-se a soma da série; se asucessão das somas parciais (Sn)n∈N for divergente (caso em que tende para+∞, tende para −∞ ou não tem limite), a série diz-se divergente.

Deste modo, a sucessão das somas parciais (Sn)n∈N determina a naturezada série numérica. Note que a sucessão (Sn)n∈N de somas parciais é distintada sucessão (un)n∈N que define a série. À primeira corresponde a sequência

S1 = u1, S2 = u1+u2, S3 = u1+u2+u3, . . . Sn = u1+u2+· · ·+un, . . .

enquanto à segunda corresponde a sequência

u1, u2, u3, . . . un, . . . .

A convergência de uma série traduz-se no essencial por: "a soma de todos(portanto, em número infinito) os termos da série acumula/não-excede umdeterminado valor; esse valor, conforme é intuitivo, é a soma da série".Podemos dizer que a série converge para essa soma.

Existem séries numéricas que têm designações bem especificas dada aestrutura do seu termo geral. A série numérica

∑

n≥1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+

1

4+ · · ·+ 1

10+ · · · ,

é designada por série harmónica. Relativamente à sucessão (Sn)n∈N dassomas parciais, prova-se que

S2n ≥ 1 + n · 12.

Temos

limn

S2n ≥ limn

(1 + n · 1

2

)= 1 +

(+∞ · 1

2

)= 1+∞ = +∞,

17

o que mostra que a sucessão das somas parciais, da qual os termos S2n

constituem uma subsucessão, não converge para um valor finito. Concluímosentão que a série é divergente. Uma série numérica com a forma geral

∑

n≥1

un =∑

n≥1

1

nα,

para certo α ∈ R, é designada por série de Dirichlet. São convergentesse α > 1 e divergentes se α ≤ 1. Note que a série harmónica é um casoparticular de série de Dirichlet (com α = 1).

Uma série numérica que tem como termo geral uma progressão ge-ométrica (significa que cada termo resulta da multiplicação do termo an-terior por um valor constante) é designada por série geométrica. Asséries geométricas têm a forma geral∑

n≥1

un =∑

n≥1

(a · rn−1

)= a+a · r+a · r2+ a · r3+ · · ·+a · rn−1+a · rn+ · · ·

com a, r ∈ R e a = 0. O número real r é a razão da série numérica e a é ovalor do seu primeiro termo. O termo geral da sucessão de somas parciais édado por

Sn = (n+ 1)a

quando r = 1 (trata-se da série de termo geral constante igual a a), e é dadopor

Sn =a (1− rn)

1− r

quando r = 1. Concluímos então que a série é convergente se |r| < 1 (ouseja, se −1 < r < 1) com soma S igual a

S = limn

a (1− rn)

1− r=

a

1− r

(1− lim

nrn)=

a

1− r=

1o termo1− razão

(note que se −1 < r < 1 então rn → 0), e é divergente se |r| ≥ 1 (ou seja, ser ≤ −1 ∨ r ≥ 1) (note que se r = 1 temos Sn = (n+ 1)a→ +∞ · a = +∞,se r > 1 temos rn → +∞, e se r ≤ −1 não existe8 o limite de rn). Portanto,se −1 < r < 1 podemos escrever

∑

n≥1

un =∑

n≥1

(a · rn−1

)= a+ a · r + a · r2 + a · r3 + · · · = a

1− r.

8Se r = −1 temos∑

n≥1

[a · (−1)n−1

]= a− a+ a− a+ a− · · ·

18

Proposição 7 Se as séries numéricas∑

n≥1un e

∑

n≥1vn são convergentes e

têm somas S e S′, respectivamente, então a série numérica∑

n≥1(un + vn)

também é convergente e tem soma S + S′.

Proposição 8 Se a série numérica∑

n≥1un é convergente e tem soma S

então a série numérica∑

n≥1(α ·un), com α ∈ R, também é convergente e tem

soma α · S.

Resulta das proposições anteriores que se duas séries numéricas∑

n≥1un e

∑

n≥1vn são convergentes e têm somas S e S′, respectivamente, então a série

numérica∑

n≥1(α · un + β · vn), com α, β ∈ R, também é convergente e tem

soma α · S + β · S′.

Proposição 9 Se a série numérica∑

n≥1un é convergente e tem soma S e a

série numérica∑

n≥1vn é convergente e tem soma S′ então

∑

n≥1

(un ∗ vn) ≤ S ∗ S′.

2.2 Alguns critérios de convergência para séries determos não-negativos

A determinação de uma expressão analítica do termo geral Sn = u1 +u2+ · · ·+un da sucessão de somas parciais é uma situação pouco frequente.Ao contrário do que sucede com as séries geométricas, para a maioria dasséries numéricas

∑

n≥1un não é possível estabelecer uma tal expressão. Tal

impede o cálculo do limite de Sn e a obtenção do valor da soma S da série.No entanto, é usual fazer um estudo da série numérica por meios indirectos,através de critérios que permitem identificar a sua natureza.

mas a sucessão das somas parciais

Sn =

a se n ímpar

0 se n par

não tem limite (note que a �= 0), logo a série é divergente.

19

Proposição 10 (Critério do Termo Geral, Critério Geral de Con-vergência ouCondição Necessária de Convergência) Se a série numérica∑

n≥1un é convergente então

limn

un = 0.

Proof. Temos Sn = u1+ u2 + · · ·+ un e Sn−1 = u1+ u2+ · · ·+ un−1 (paran > 1). Assim, para n > 1, temos

Sn − Sn−1 = u1 + u2 + · · ·+ un − (u1 + u2 + · · ·+ un−1) = un.

Dado que a série é convergente, existe o limite de Sn. Suponhamos quelimn Sn = l. Também limn Sn−1 = l, donde

limn

un = limn

(Sn − Sn−1) = l − l = 0

conforme se pretende demonstrarEm consequência (por contra-recíproco) deste resultado, se limn un = 0

então a série numérica∑

n≥1un é divergente,

limn un = 0 =⇒ ∑

n≥1un série divergente .

De salientar: para uma série numérica∑

n≥1un ser convergente, NÃO

BASTA (não é suficiente) que o seu termo geral un convirja para 0 (comomostra o exemplo da série harmónica

∑

n≥1(1/n)), no entanto, tal é necessário

(como afirma a Proposição anterior).

Proposição 11 (Critério Geral da Comparação ouCritério da Com-paração - formulação 1) Sejam

∑

n≥1un e

∑

n≥1vn duas séries numéricas

tais que, a partir de certa ordem, se tem un, vn ≥ 0 e vn ≤ un. Então, aconvergência da série

∑

n≥1un implica a convergência da série

∑

n≥1vn,

∑

n≥1un série convergente =⇒ ∑

n≥1vn série convergente ,

e a divergência da série∑

n≥1vn implica a divergência da série

∑

n≥1un,

∑

n≥1vn série divergente =⇒ ∑

n≥1un série divergente .

20

Proposição 12 (Critério da Comparação - formulação 2) Sejam∑

n≥1un e

∑

n≥1vn duas séries numéricas tais que un ≥ 0 e vn > 0 para todo o

n. Se existe o limiteL = lim

n

unvn

e tem valor finito não-nulo (portanto L = 0 e L = +∞, ou ainda, 0 < L <+∞) então as duas séries têm a mesma natureza.

É frequente o uso de uma série de Dirichlet

∑

n≥1

1

nα

como série∑

n≥1vn. O valor conveniente para α ∈ Q é escolhido com base no

termo geral un da série∑

n≥1un de que se quer identificar a natureza. Também

as séries geométricas são usadas com frequência para comparação.

Proposição 13 (Critério da Raíz de Cauchy) Dada uma série numérica∑

n≥1un tal que un ≥ 0 para todo o n, suponha que o limite

L = limn

n√un

é finito ou +∞. Então a série é convergente se L < 1 e é divergente se L > 1ou L = 1+ (L = 1+ significa L = 1 e n

√un > 1). Quando L = 1− (que

significa L = 1 e n√un < 1) ou L = 1± (que significa L = 1 mas n

√un > 1

para alguns valores de n e n√un < 1 para outros valores de n intercalados

com os anteriores) nada se pode concluir sobre a natureza da série.

Proposição 14 (Critério da Razão de D’ Alemberg) Dada uma sérienumérica

∑

n≥1un tal que un > 0, para todo o n, suponha que o limite

L = limn

un+1un

é finito ou +∞. Então série é convergente se L < 1 e é divergente se L > 1ou L = 1+ (L = 1+ significa L = 1 e un+1/un > 1). Quando L = 1−

(que significa L = 1 e un+1/un < 1) ou L = 1± (que significa L = 1 masun+1/un > 1 para alguns valores de n e un+1/un < 1 para outros valores den intercalados com os anteriores) nada se pode concluir sobre a natureza dasérie.

21

2.3 Convergência simples e absoluta de uma sérienumérica

Definição 15 Dada uma série numérica∑

n≥1un, a série de termos não-

negativos∑

n≥1|un| diz-se a sua série modular.

Definição 16 Uma série numérica∑

n≥1un diz-se absolutamente conver-

gente quando a série modular∑

n≥1|un| é convergente.

A relação entre estes dois tipos de convergência é (dada pela seguinteproposição) é consequência do critério da comparação - formulação 1.

Proposição 17 Uma série∑

n≥1un é convergente sempre que a sua série

modular∑

n≥1|un| o for,

∑

n≥1|un| série convergente =⇒ ∑

n≥1un série convergente .

Além disso, tem-se∑

n≥1

|un| ≥

∣∣∣∣∣∣

∑

n≥1

un

∣∣∣∣∣∣. (3)

Proof. Dadas as desigualdades

0 ≤ un + |un| ≤ |un|+ |un| = 2|un|

e o facto de ser convergente a série∑

n≥1|un|, concluímos pelo critério da

comparação - formulação 1 que a série numérica∑

n≥1(un + |un|) também é

convergente. Sendo∑

n≥1

un =∑

n≥1

(un + |un|)−∑

n≥1

|un|,

a série∑

n≥1un é convergente. A desigualdade (3) resulta da desigualdade

triangular (|a+ b| ≤ |a|+ |b|, para todo a, b ∈ R)Dada a definição de série absolutamente convergente, podemos concluir

da proposição anterior que toda a série absolutamente convergente é con-vergente.

22

Definição 18 Uma série numérica∑

n≥1un diz-se simplesmente conver-

gente.quando é convergente mas não absolutamente convergente, ou seja,a série numérica

∑

n≥1un é convergente mas a sua série modular

∑

n≥1|un| é

divergente.

Dada a proposição anterior, concluímos que se uma série numérica éabsolutamente convergente então também é simplesmente convergente,

Convergência absoluta =⇒ Convergência simples .

Em consequência deste resultado (por contra-recíproco), se∑

n≥1un não é

simplesmente convergente então também não é absolutamente convergente,

Não-convergência simples =⇒ Não-convergência absoluta .

De salientar: para que uma série numérica∑

n≥1un seja absolutamente

convergente, NÃO BASTA (não é suficiente) que seja simplesmente con-vergente (é necessário que também convirja a sua série modular

∑

n≥1|un|),

Convergência simples � Convergência absoluta ,

no entanto, tal é necessário.

2.4 Critérios de convergência para séries de termosnegativos e séries alternadas

Quando uma série∑

n≥1un é de termos negativos consideramos

∑

n≥1

un = −∑

n≥1

(−un) .

A série∑

n≥1un tem a mesma natureza que a série de termos positivos

∑

n≥1(−un)

e, caso seja convergente, tem soma de valor simétrico.

Definição 19 Uma série diz-se alternada se os seus termos alternam desinal, ou seja, se o seu termo geral un é produto do factor (−1)n por umfactor an não-nulo de sinal constante,

∑

n≥1

un =∑

n≥1

[(−1)n · an] .

23

OCritério do Termo Geral e o critério apresentado na seguinte proposiçãosão os mais utilizados no estuda da natureza de séries alternadas.

Proposição 20 (Critério de Leibnitz) Se (an)n∈N é uma sucessão de-crescente de termos positivos e tem limite 0, então a série numérica alter-nada ∑

n≥1

un =∑

n≥1

[(−1)n · an]

é convergente.

Remark 21 Quando se prova que uma série numérica alternada é con-vergente não podemos concluir que ela é absolutamente convergente. Énecessário identificar a natureza da sua série modular. Se esta for conver-gente então a série alternada é absolutamente convergente. No entanto, se asérie modular for divergente então a série alternada é apenas simplesmenteconvergente. É o caso da série alternada

∑

n≥1[(−1)n/n] cuja série modular

é a série harmónica∑

n≥1(1/n). Este é o exemplo de uma série convergente

(simplesmente convergente) que não é absolutamente convergente, ou seja,

Convergência simples � Convergência absoluta .

Remark 22 Por vezes é vantajoso começar por identificar a natureza dasérie modular. Caso esta seja convergente fica provada a convergência ab-soluta da série alternada. É o caso da série

∑

n≥1

(−1)nn2

ou da série ∑

n≥1

sinn

2n.

No entanto, se a série modular for divergente apenas ficamos a saber quea série alternada não é absolutamente convergente. Ela pode ser divergentecomo é o caso da série ∑

n≥1

[n · (−1)n] ,

ou simplesmente convergente como é o caso da série

∑

n≥1

(−1)n√n

.

24

2.5 Séries de potênciasQuando o termo geral de uma série não depende apenas de n mas tam-

bém de uma variável x, a série diz-se uma série funcional (ou série defunções). Consideremos o seguinte caso de série funcional, que é particular-mente importante por constituir uma generalização da noção de polinómio.

Definição 23 Chama-se série de potências de x a toda a série da forma∑

n≥1

un(x) =∑

n≥1

(vn · xn−1

)= v1 + v2 · x+ v3 · x2 + v4 · x3 + · · · .

Para cada valor fixo de x, a série de potências∑

n≥1

(vn · xn−1

)dá lugar a

uma série numérica. Em geral, existem valores de x que conduzem a sériesnuméricas convergentes (absolutamente ou simplesmente) e valores de x queconduzem a séries numéricas divergentes. Como exemplo, consideremos asérie de potências de x

∑

n≥1

un(x) =∑

n≥1

xn−1 = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + · · ·

em que vn = 1 para todo o n. Para x = 2 temos a série numérica∑

n≥1

un(2) =∑

n≥1

2n−1 = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + · · ·

que é divergente (o termo geral não tende para 0), enquanto para x = 1/2temos a série numérica

∑

n≥1

un

(1

2

)=∑

n≥1

(1

2

)n−1= 1 +

1

2+

1

4+

1

8+

1

16+ · · ·

que é absolutamente convergente (é uma série geométrica de razão 1/2 ∈]−1, 1[, tal como a sua série modular).

Definição 24 O conjunto de valores de x para os quais a série de potências∑

n≥1un(x) =

∞∑

n=1

(vn · xn−1

)é convergente diz-se o domínio de convergên-

cia pontual (ou apenas domínio de convergência) da série. Quando odomínio de convergência é um intervalo, a metade do comprimento desseintervalo diz-se o raio de convergência da série.

25

Em consequência dos critérios da raíz de Cauchy e da razão de D’ Alem-berg, é válido o seguinte resultado para determinação do domínio de con-vergência.

Proposição 25 A cada série de potências de x,∑

n≥1un(x) =

∑

n≥1

(vn · xn−1

),

está associado um número real R ≥ 0 ou R = +∞ tal que se x ∈ ]−R,R[(ou seja, se |x| < R) então a série numérica correspondente é absoluta-mente convergente e se x ∈ ]−∞,−R[ ∪ ]R,+∞[ (ou seja, se |x| > R)a série numérica correspondente é divergente. O valor de R é dado peloquociente

R =1

L

em que L é o valor do limite superior

L = limn

n√|vn|.

Quando existe, o limite limn |vn+1/vn| tem o mesmo valor que limnn√|vn|.

Neste caso, também podemos obter L pelo limite

L = limn

∣∣∣∣vn+1vn

∣∣∣∣ .

Este resultado não permite concluir a natureza da série de potênciaspara x = R e x = −R (ou seja, para |x| = R). Para estes valores de x énecessário um estudo particular, ou seja, substituir na série de potências avariável x por R e por −R e estudar as séries numéricas

∑

n≥1

un(R) =∑

n≥1

(vn ·Rn−1

)e

∑

n≥1

un(−R) =∑

n≥1

[vn · (−R)n−1

].

Após o estudo destas séries numéricas, os valoresR e−R são ou não incluídosno domínio de convergência, mesmo que nestas séries a convergência sejaapenas simples.

Se R = 0 (caso em que L = +∞) então o domínio de convergência dasérie de potências é D = {0}. Se R = +∞ (caso em que L = 0+) então odomínio de convergência da série de potências é D = R.

Quando R é um número real (portanto, quando R é finito) então Rcorresponde ao raio de convergência da série de potências. Dado o exposto,

o raio de convergência da série de potências∞∑

n=1

(vn · xn−1

)corresponde ao

limiteR =

1

limnn√|vn|

26

e, caso exista, ao limite

R =1

limn

∣∣∣∣vn+1vn

∣∣∣∣

=1

limn|vn+1||vn|

= limn

|vn||vn+1|

= limn

∣∣∣∣vn

vn+1

∣∣∣∣ .

Consideremos agora o caso mais geral de séries de potências de x− a.

Definição 26 Chama-se série de potências de x − a a toda a série daforma ∑

n≥1

un(x− a) =∑

n≥1

[vn · (x− a)n−1

].

Proposição 27 A série de potências∑

n≥1

[vn · (x− a)n−1

]é convergente

para os valores de x que verifiquem x ∈ ]a−R, a+R[ (ou seja, |x− a| < R)e divergente para x ∈ ]−∞, a−R[ ∪ ]a+R,+∞[ (ou seja, |x− a| > R) emque R é dado por

R =1

Lcom

L = limn

∣∣∣∣vn+1vn

∣∣∣∣ ou L = limn

n√|vn|.

Se |x− a| > R então a série de potências é divergente.

Para x = a−R e x = a+R (ou seja, |x− a| = R) é necessário um estudoparticular.

O desenvolvimento de Taylor é uma série de potências de x − a e odesenvolvimento de MacLaurin é uma série de potências de x.

2.6 Exercícios propostos

1. Justifique que a série numérica∑

n≥1

1√né divergente.

2. Mostre que a série numérica∑

n≥1

3

2né convergente e tem soma S = 3.

3. Estude a natureza da série numérica∑

n≥13−n. Caso seja convergente,

determine a sua soma.

27

4. Proceda como no exercício anterior relativamente às séries numéricas∑

n≥1

[5 (−3)−n

],∑

n≥1[3 (−1)n] e ∑

n≥13.

5. Mostre que são divergentes as séries numéricas∑

n≥1

2n,∑

n≥1

(−2)n ,∑

n≥1

(−1)n ,

e∑

n≥1

(−1

3

),∑

n≥1

(n+ 2

n+ 5

)2n,∑

n≥1

n+ 1

n.

6. Mostre que a série numérica∑

n≥1

(3

2n+

1

4n2

)é convergente.

7. Por comparação, mostre que as séries numéricas∑

n≥1vn de termo geral

vn =n

n3 + 1, vn =

1

n (n+ 1), vn =

3n− 1

n3e vn =

1

2n + n

são convergentes enquanto que as séries numéricas∑

n≥1vn de termo

geral

vn =1

n− 1(para n ≥ 2) e vn =

1√n cos2 n

são divergentes.

8. Usando um critério da comparação, mostre que as séries numéricas∑

n≥1un de termo geral

un =2

n, un =

n− 3

n2e un = sin

1

n

são divergentes enquanto que são convergentes as séries numéricas∑

n≥1un de termo geral

un =n

(n2 + 1) (n+ 5), un = n sin

1

n3 + 1e un =

n

n2 + 1ln

n+ 2

n+ 5.

9. Mostre que a série∑

n≥1

[(−1)n + (−1)n+1

]é convergente e tem soma

S = 0.

28

10. Mostre que a série alternada∑

n≥1

(−1)nn

é simplesmente convergente.


n≥1

(−1)nn2

é absolutamente convergente.


n≥1[n(−1)n] é divergente.


n≥1

(−1)n+2√n

é simplesmente convergente.


n≥1

[(−1)n+1 3

n!

]é absolutamente con-

vergente.

15. Mostre que são absolutamente convergentes as séries numéricas∑

n≥1un

de termo geral

un =n (−1)n

(n2 + 1) (n+ 5), un = (−1)n+1 n sin

1

n3 + 1

e

un =n (−1)n+1n2 + 1

lnn+ 2

n+ 5.


n≥1

[(−1)n+1 n

n+ 1

]é simplesmente con-

vergente.

17. Considere a série de potências

´∑

n≥1

xn−1 = 1+ x+ x2 + x3 + x4 + · · · .

(a) Mostre que o domínio de convergência da série de potências é ointervalo ]−1, 1[.

(b) Dado que, para cada x ∈ ]−1, 1[, a série de potências de x dálugar a uma série geométrica, mostre que

∑

n≥1

xn−1 =1

1− x

29

18. Mostre que série de potências de x

∑

n≥1

un(x) =∑

n≥1

xn

[3 + (−1)n]2n,

tem o intervalo ]−4, 4[ como domínio de convergência.

19. Determine o domínio de convergência das seguintes séries de potênciasde x :

(a)∑

n≥1un(x) =

∑

n≥1

xn

n!

(b)∑

n≥1un(x) =

∑

n≥1(n!xn)

(c)∑

n≥1un(x) =

∑

n≥1

(−1)nxnn · 2n

(d)∑

n≥1un(x) =

∑

n≥1

x2n−1

2n− 1

(e)∑

n≥1un(x) =

∑

n≥1

xn√nn

20. Determine o domínio de convergência das seguintes séries de potênciasde x− 2 :

(a)∑

n≥1un(x− 2) =

∑

n≥1

[n(x− 2)n−1

]

(b)∑

n≥1un(x− 2) =

∑

n≥1

[(−1)n (x− 2)2n+1

(2n+ 1)!

].

21. Mostre queD = [0, 2] é o domínio de convergência da série de potênciasde x− 1

∑

n≥1

un(x− 1) =∑

n≥1

(x− 1)n

n2.

22. Mostre que, para todo o x ∈ R, são válidos os desenvolvimentos deMacLaurin:

30

(a) expx =∑

n≥1

(1

(n− 1)!xn−1

)

(b) sinx =∑

n≥1

(−1)n−1(2n− 1)!

x2n−1

(c) cosx =∑

n≥1

[(−1)n−1(2n− 2)!

x2n−2

]

.

23. Determine os valores de x ∈ R para os quais os seguintes desenvolvi-mentos em série de potências convergem para as respectivas funções:

(a) 1 + x2 +1

2x4 +

1

6x6 + · · ·+ x2n

n!+ · · · = exp(x2)

(b)1

2− 1

4(x− 2) +

1

8(x− 2)2 − · · ·+ (−1)n−1 (x− 2)n−1

2n+ · · · = 1

x

2.7 Soluções

3. É convergente. Tem soma 1/2.

4. A série numérica∑

n≥1

[5 · (−3)−n

]é convergente e tem soma 5/4. As

séries numéricas∑

n≥1[3 (−1)n] e ∑

n≥13 são divergentes.

19. (a) Dconv = R.

19. (b) Dconv = {0}.

19. (c) Dconv = [−2, 2[ mas a convergência é simples em x = 2.

19. (d) Dconv = ]−1, 1[.

19. (e) Dconv = R.

20. (a) Dconv = ]1, 3[ .

20. (b) Dconv = R.

23. (a) Para todo o x ∈ R.

23. (b) Para x ∈ ]0, 4[ .

31

Cálculo Diferencial em R

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