Universidade Aberta do Brasil - UAB

Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Ceara - IFCE

Licenciatura em Matematica - Quixeramobim (CE)

Calculo II

Dicas de Resolucao da Tarefa 2

Questao 1: Note que temos a curva y = (√

x)3 cuja derivada pode ser facilmente

calculada. E pedido que calculemos o comprimento dessa curva entre os pontos (0, 0) e

(4, 8); a variacao de x e obtida ao observarmos esses dois pontos. De posse da derivada

y′ e dos limites de integracao, aplicamos a formula para o calculo do comprimento

dessa curva entre os pontos dados, que e:

⇒ L =∫ b

a

√1 + [f ′(x)]2 dx

Questao 2: Esse item e similar ao anterior. Veja que temos a parabola y2 = x,

cuja derivada pode ser calculada facilmente. E pedido o comprimento dessa parabola

entre os pontos (4, 2) e (16,−4); a variacao de x pode ser encontrada simplesmente

observando-se os pontos dados. Com todas as informacoes necessarias, empregamos

a formula:

⇒ L =∫ b

a

√1 + [f ′(x)]2 dx

Questao 3: Temos a curva f(x) = 3√

x3 − 1, com 1 ≤ y ≤ 8. A derivada f ′

pode ser calculada facilmente. E pedido mais uma vez o comprimento do arco, entao

empregamos a formula:

⇒ L =∫ b

a

√1 + [f ′(x)]2 dx

Exemplos similares as questoes 1, 2 e 3 foram trabalhadas no nosso 1o encontro

presencial.

Questao 4: Temos a curva y2 = 10x, com 1 ≤ x ≤ 5. Devemos calcular a area

da superfıcie gerada pela revolucao de y em torno do eixo x; a derivada de y′ pode

ser calculada facilmente. Entao, para o calculo da area da superfıcie, utilizamos a

seguinte formula:

⇒ S = 2π∫ b

af(x)

√1 + [f ′(x)]2 dx

Questao 5: Temos a curva x = y3, com 2 ≤ y ≤ 5. Devemos calcular a area

da superfıcie gerada pela revolucao de x em torno do eixo y; x′ pode ser encontrada

facilmente. Entao, para o calculo da area, empregamos a formula:

⇒ S = 2π∫ b

af(y)

√1 + [f ′(y)]2 dy

1

Questao 6: Veja que temos a equacao da elipse x2 + y2

9= 1. Devemos calcular

a area da superfıcie gerada pela revolucao da elipse em torno do eixo y. Pode-

mos escrever essa equacao em funcao de x e aplicarmos a formula da questao 5;

ou ainda parametrizar a equacao da elipse e aplicar a formula correspondente. A

parametrizacao pode ser encontrada em qualquer livro de Calculo.

Questao 7: Temos a parabola y2 = x, com 0 ≤ x ≤ 3. Um esboc o da parabola

nos auxilia na visualizacao de como devemos encontrar A(x) = πy2. Em seguida,

calculamos a integral:

⇒ V =∫ b

aA(x) dx

Questao 8: Aqui, calcularemos o volume do solido gerado pela rotacao de y =

2x+1 em torno do eixo y. Um esboc o dessa reta nos auxilia na visualizacao de como

encontraremos A(y) = πx2. Em seguida, calcularemos a integral:

⇒ V =∫ b

aA(y) dy

Bons Estudos!

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