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tudo sobre calculo prar engenharia

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Ensino Superior 1.3- Integral Indefinida Exerccios Resolvidos Amintas Paiva Afonso Clculo 2 01 de37 Unidade 1.3Integral Indefinida (Reviso) Integrao: BASES PARAESTUDOS DE EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS Tcnicas de Integrao (Primitivao)uma breve reviso de Funes de Uma Varivel Amintas Paiva Afonso 02 de37 Tcnicas de Integrao (Primitivao) OBJETIVO: Apresentar tcnicas para determinar a funo F(x) conhecida como primitiva tal que F(x) = f(x) ou: }= F(x) dx f(x)As principais tcnicas de primitivao, conforme visto no curso FUNES DE UMA VARIVEL (BC 0201) so:Seguem algum exerccios onde estas tcnicas so aplicadas. INTEGRAO POR SUBSTITUIO DE VARIVEL INTEGRAO POR PARTES INTEGRAO POR DECOMPOSIO EM FRAES PARCIAIS INTEGRAO UTILIZANDO SUBSTITUIES (POR MEIO DE IDENTIDADES) TRIGONOMTRICAS EXERCCIO 01 Calcular }+ dx 2x 1) (x50 2Soluo Seja u = x2 + 1 Logo: 2x dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como: }du (u)50C511) (xC51udu (u)51 2 5150++= + =}03 de37 INTEGRAO POR SUBSTITUIO 2xdxdu=EXERCCIO 02 Calcular }+ dx 9) sen(xSoluo Seja u = x + 9 Logo: dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como: }du sen(u)C 9) cos(x C cos(u) du sen(u) + + = + =}04 de37 INTEGRAO POR SUBSTITUIO 1dxdu=EXERCCIO 03 Calcular }dx cos(x) (x) sen2Soluo Seja u = sen(x) Logo: cos(x) dx = du Assim, a integral dada pode ser escrita como: }du u2C3(x) senC3udu u3 32+ = + =}05 de37 cos(x)dxdu=INTEGRAO POR SUBSTITUIO EXERCCIO 04 Calcular }dxxexSoluo Ento x 21x121x21xdxddxdu212121= = =(((

=Seja u =xLogo:= dudxx 21Antes da substituio, a funo dada ser escrita de outraforma. 06 de37 INTEGRAO POR SUBSTITUIO Assim, a integral dada pode ser escrita como: C e 2 C e 2 du e 2 du 2ex u u u+ = + = = } }} } }= = dxx 212e dxx 221edxxexx x} }= du 2e dxx 212eu xOu seja: C e 2 dxxexx+ =}du 2 dxx1du dxx 21= =outra maneira de chegar aqui sem manipular a funo dada fazendo (pgina 08): 07 de37 EXERCCIO 05 Calcular } dx 1 x x2Soluo Seja u = x 1Logo: dx= duSe u = x 1 Ento x = u + 1 x2 = (u+1)2 x2 = u2 + 2u + 1Assim, a integral dada pode ser escrita como: 08 de37 INTEGRAO POR SUBSTITUIO }+ + du u 1) 2u (u2ou: }} }||.|

\|+ + =||.|

\|+ + = + +du u 2u udu 1u u 2u u u du u 1) 2u (u2123252121212212Portanto: C121u123u2125udu u 2u u121123125212325++++++=||.|

\|+ ++ + +}09 de37 C u32u54u72du u 2u u232527212325+ + + =||.|

\|+ +}Finalmente: Escrevendo em termos de x: C ) 1 (x32) 1 (x54) 1 (x72dx 1 x x2325272+ + + = }10 de37 EXERCCIO 06 Calcular }dx e xxSoluo A integral dada deve ser escrita na forma . }dv uSeja, portanto: dx e xx}x u =dx e dvx=Deste modo: C e xe dx e xe du v uv dv u dx xex x x x x+ = = = =} } } }a constante C pode ser includa apenas no final. INTEGRAO POR PARTES dx du =x x xe dx e v dx e dv = = =} } }Ento: EXERCCIO 07 Calcular }dx e xx 2Soluo Seja: 2x u = dx e dvx =Assim: dx 2x du =x x xe dx e v dx e dv = = =} } }Portanto: 2xdx ) e ( e x du v uv dv u dx e xx x 2 x 2} } } } = = =12 de37 INTEGRAO POR PARTES A ltima integral semelhante original, com a exceo de que x2 foi substitudo por x.ou: dx e x 2 e x dx e xx x 2 x 2} } + =(1) Outra integrao por partes aplicada a completar o problema. dx e xx}Seja: x u = dx e dvx =13 de37 Assim: dx du =x x xe dx e v dx e dv = = =} } }Portanto: dx ) e ( e x du v uv dv u dx e xx x x} } } } = = =ou: 1x x x x xC e e x dx e e x dx e x + = + = } }(2) Substituindo (2) em (1) resulta: 14 de37 | |1x x x 21x x x 2x x 2 x 2C 2 e 2 e x 2 e xC e e x 2 e xdx e x 2 e x dx e x+ =+ + =+ = } }Portanto: C e ) 2 x 2 x ( dx e xx 2 x 2+ + + = }15 de37 O integrando uma frao prpria, uma vez que o numerador possui grau 4 e o denominador possui grau 5. Pela regra do fator linear, o fator (x + 2) no denominador introduz o termo: 2 xA+16 de37 Determinar}+ ++ + + +dx3) 2)(x (x9 20x 16x 4x 3x2 22 3 4EXERCCIO 08 Soluo INTEGRAO UTILIZANDO DECOMPOSIO EM FRAES PARCIAIS: Fraes prprias Pela regra do fator (quadrtico) repetido, o fator (x2 + 2)2 presente no denominador introduz os termos: 2 2 23) (xE Dx3 xC Bx+++++Assim, a decomposio em fraes parciais do integrando : 2 2 2 2 22 3 43) (xE Dx3 xC Bx2 xA3) 2)(x (x9 20x 16x 4x 3x+++++++=+ ++ + + +Multiplicar os dois lados da equao por (x + 2)(x2 + 3)2 2 22 222 22 22 22 3 42 23) (xE Dx3) 2)(x (x3 xC Bx3) 2)(x (x2 xA3) 2)(x (x3) 2)(x (x9 20x 16x 4x 3x3) 2)(x (x+++ + ++++ ++++ + =+ ++ + + ++ +17 de37 que resulta: E) 2)(Dx (xC) 3)(Bx 2)(x (x A 3) (x 9 20x 16x 4x 3x2 2 2 2 3 4+ ++ + + + + + = + + + +Expandindo o lado direito e reagrupando termos semelhantes resulta: E) 2 9A (6Cx E) 2D 3C (6Bx D) 2C 3B (6Ax C) (2B x B) (A 9 20x 16x 4x 3x23 4 2 3 4+ ++ + + ++ + + ++ + + + = + + + +Equacionando os coeficientes correspondentes de cada lado, obtm-se um sistema de cinco equaes algbricas lineares em 5 incgnitas:18 de37 = + += + + += + + += + = +9 E 2 6C 9A20 E 2D 3C 6B16 D 2C 3B 6A4 C 2B3 B AA soluo deste sistema resulta: 0 E 4 D 0 C 2 B 1 A = = = = =Portanto: 2 2 2 2 22 3 43) (x4x3 x2x2 x13) 2)(x (x9 20x 16x 4x 3x+++++=+ ++ + + +19 de37 Logo: dx3) (x4xdx3 x2xdx2 x1dx3) 2)(x (x9 20x 16x 4x 3x2 2 2 2 22 3 4} } } }+++++=+ ++ + + +C 2 x ln C u ln duu1dx2 x1dx du 1dxdu2 x u+ + + = += =+ =} }dx3) (xx4 dx3 x2xdx2 x12 2 2} } }+++++=C 3 x ln C u ln duu1dx3 x2xdx 2x du 2xdxdu3 x u222+ + + = += =+ =} }20 de37 C3) 2(x12u11 2u21du u21dx x 3) (xdx x2dudx 2xdu 3 x udx 3) (x x dx3) (xx21 22 2 222 22 2++ =((

+ += = + =+ =++ } }} }dx3) (xx4 dx3 x2xdx2 x12 2 2} } }+++++=E, finalmente: C3 x23 x ln 2 x ln dx3) 2)(x (x9 20x 16x 4x 3x222 22 3 4++ + + + =+ ++ + + +}21 de37 Sejam as identidades trigonomtricas: 2cos2x 1x cos2cos2x 1x sen2 2+==Assim, } } } } == dx cos2x21dx21dx2cos2x 1dx x sen2((

((

+=+2sen2x211 0x211 0C u sen21du u cos21dx cos2xdx2du2dxdu2x udx cos2x+ === ==} }}C42x sen2xx sen2+ =}22 de37 EXERCCIOS 09 INTEGRAO DE POTNCIAS QUADRTICAS DAS FUNES TRIGONOMTRICAS SEN(X) E COS(X) Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonomtrica: C42x sen2xx cos2+ + =}A integral dx x cos x sen2 2}pode ser resolvida fazendo: ( ) ( ) dx cos2x 121cos2x 121}+ =( )dx 2x cos 1412} =dx2cos2x 12cos2x 1dx x cos x sen2 2} }|.|

\| +|.|

\| =23 de37 ( )dx 2x cos 1412} =dx 2x cos41dx 1412} } =84x sen2x82u sen4u42u sen2u21du u cos21dx 2x cosdx2du2x udx 2x cos2 22+ = + =((

+ = = =} }}((

+ =8sen4x2x414xC32sen4x8x+ =24 de37 Soluo EXERCCIO 10 Determinar } + + dx 6) 4x sen(x 2) (x2Sejau = x2 + 4x 6Ento:4 2xdxdu+ =dx 2) (x 2 dx4) (2x du + = + =INTEGRAO POR SUBSTITUIO 25 de37 Logo, seja:dx 2) (x2du+ =Assim,} } }= = + + du sen(u)212dusen(u) dx 6) 4x sen(x 2) (x2Sabe-se que:C cos(u) du sen(u) + =}TABELA Mas:} + + dx 6) 4x sen(x 2) (x226 de37 Ento:C) cos(u) (21dx 6) 4x sen(x 2) (x2+ = + +}C 6) 4x cos(x21dx 6) 4x sen(x 2) (x2 2+ + = + +}Portanto:27 de37 Soluo EXERCCIO 11 Determinar }+ +dx1 x xx2Sejau = x2 + x + 1Ento:1 2xdxdu+ = dx1) (2x du + =Na integral original, fazer: } } }+ + +=+ +=+ +dx1 x x1 1 2x21dx1 x x2x21dx1 x xx2 2 2INTEGRAO POR SUBSTITUIO 28 de37 Mas: } } }+ ++ ++=+ + +dx1 x x121dx1 x x1 2x21dx1 x x1 1 2x212 2 212 u u21u21121u21du u21duu121212112121= =((((

=((((

+ = =+ } }C 1 x x dx1 x x1 2x2122+ + + =+ ++}1INTEGRAO POR SUBSTITUIO } }=+ ++duu121dx1 x x1 2x212ver detalhes na pgina anterior 29 de37 A segunda integral a ser resolvida est (ou pode ser colocada) na forma acima: 2TABELA C u a u ln duu a12 22 2+ + + =+}} } }+=||.|

\|+|.|

\|+=+ +dua u121dx2321x121dx1 x x1212 2 222onde:23a dx du 21x u = = + =30 de37 Portanto: C21x4321x ln21dx1 x x12122+|.|

\|+ + + + =+ +}Ento, finalmente: C21x4321x ln211 x x dx1 x xx222+|.|

\|+ + + + + + =+ +}31 de37 Soluo INTEGRAO UTILIZANDO DECOMPOSIO EM FRAES PARCIAIS: Fraes imprprias EXERCCIO 12 Determinar }+ dxx x1 3x 9x2 33O primeiro passo realizar uma diviso no integrando e fazer aparecer fraes prprias.1 3x 9x 99x 9xx x 1 3x x 0 9x22 32 3 2 3+ + +2 322 33x x1 3x 9x9x x1 3x 9x+ + =+ frao prpria 32 de37 } }+ + =+ dxx x1 3x 9x9 dxx x1 3x 9x2 322 33} }+ + = dxx x1 3x 9xdx 92 32} } + + = dx) 1 (x x1 3x 9xdx 922) 1 (xCxBxA) 1 (x x1 3x 9x2 22+ + = + ) 1 (xC) 1 (x xxB) 1 (x xxA) 1 (x x) 1 (x x1 3x 9x) 1 (x x222 2222 + + = + B x B) A ( x C) (A 1 3x 9x2 2 + + + = + DECOMPOSIO EM FRAES PARCIAIS 33 de37 = = + = +1 B3 B A9 C AA = 2B = 1C = 7 } }||.|

\|+ + = dx) 1 (x7x1x2dx 92} } + + = dx) 1 (x x1 3x 9xdx 922dx) 1 (x7dxx1dxx2dx 92} } } }+ + =C 1 x ln 7x1x ln 2 x 9 + + + + =34 de37 Soluo INTEGRAO UTILIZANDO DECOMPOSIO EM FRAES PARCIAIS: Fatores lineares no repetidos EXERCCIO 13 Determinar } +dx2x x x12 32) 1)(x (x x12) x (x x12x x x12 2 3+ = += +2) (xC1) (xBxA2) 1)(x (x x1+++ =+ 2A x C) 2B (A x C) B (A 12 + + + + =Multiplicando os dois lados da igualdade porx ( x1 )( x+2 ) e rearranjando resulta: 35 de37 = = += + +1 2A0 C 2B A0 C B APortanto: 61C31B21A = = =2) 6(x11) 3(x12x12) 1)(x (x x1+++ =+ E, finalmente: Logo: dx2 x161dx1 x131dxx121dx2x x x12 3} } } }+++ = +C 2 x ln611 x ln31x ln21dx2x x x12 3+ + + + = +}36 de37 crdito da figura de fundo Catedral deSaint-Nazaire Carcassonne, Frana 37 de37