Máximo e MínimoCalculo II

Prof Me Carlos Bifi

Para que serve o cálculo Diferencial?Algumas das aplicações mais importantes do Cálculo Diferencial são os problemas de Otimização, em que devemos encontrar a melhor maneira de fazer alguma coisa, por exemplo:Qual é a forma de uma lata que minimiza o custo de manufatura?Qual é a aceleração máxima de um ônibus espacial?Qual a raio de uma traqueia contraída que expele mais rapidamente

o ar durante uma tosse?Problemas desse tipo podem ser reduzidos a encontrar valores máximo e mínimo de uma função. Mas o que seria valores Máximo e Mínimo de f?

Definição Uma função f tem máximo absoluto em c se f(c) ≥ f(x)

para todo x em D, onde D é o domínio da função. O

número f(c) é chamado de valor máximo de f em D.

Analogamente, f tem mínimo absoluto em c se f(c) ≤ f(x)

para todo x em D, onde D é o domínio da função. O

número f(c) é chamado de valor mínimo de f em D.

O gráfico abaixo mostra a f com máximo absoluto em a e mínimo absoluto em b note que (a,f(a)) é o ponto mais alto e (b,f(b)) é o ponto mais baixo.

y

xa b

f(a)

f(b)

Máximo absoluto

Mínimo absoluto

Existem funções que podem ter máximos locais e mínimos locais isso dependerá do intervalo que você está estudando. Veja o gráfico agora.

ax

b

y

dc

f(a)

f(b)

f(d)

f(c)

Se considerarmos somente os valores de x próximos de c, restringindo um intervalo pequeno entre c, então f(c) será um mínimo local, e se considerarmos os valores próximos de d, também restringindo um intervalo pequeno entre d, o f(d) será o máximo local.

Definição Uma função f tem máximo local (máximo relativo) em c

se f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c. [Isso

significa que f(c) ≥ f(x) para todo x em algum intervalo

aberto contendo c]. Analogamente, f tem mínimo local

em c se f(c) ≤ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.

Exemplo 1

A função “f(x) = cosx” assume seu valor de máximo (local e

absoluto) de 1 um número infinito de vezes, uma vez que :

cos 2nπ = 1 para todo período n e imagem como -1 ≤ cosx ≤

1 para todo x. Da mesma forma, cos (2n+1)π = -1 é seu valor

mínimo, onde n é qualquer inteiro.

Exemplo 2Se f(x) = x², então f(x) ≥ f(0) , pois x² ≥ 0 para todo x. portanto f(0) = 0 é o valor mínimo absoluto (e local) de f. isso corresponde ao fato de que a origem é o ponto mais baixo sobre a parábola y = x² . Porém, não há um ponto mais alto sobre a parábola, e dessa forma a função não tem valor máximo.

Exemplo 3Dado o gráfico y = x³ vemos que essa função não tem nem valor máximo nem valor mínimo absoluto. De fato, ela não tem nenhum valor extremo local.

Exemplo 4O gráfico da função está abaixo. Você pode ver que f(1) = 5 é um máximo local, enquanto o máximo absoluto é f(-1) = 37 (esse máximo absoluto não é o máximo local, pois ocorre num extremo do intervalo). Também, f(0) = 0 é o mínimo local como mínimo absoluto. Note que em x = 4, f não tem um máximo local nem máximo absoluto.

Vamos observar o seguinte:

• O gráfico acima mostra o máximo em (c,f(c)) e um mínimo em (d,f(d)). Parece que nos pontos de máx. e de min. as retas tangentes são horizontais (retas em vermelho) e, portanto cada uma tem inclinação zero. Logo f’(c) = 0 e f’(d) = 0, então podemos ver que:

c d

f(c)

f(d)

Teorema de Fermat• Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, e f’(c) existir, então f’(c) = 0.

O teorema de Fermat sugere que devemos pelo menos começar procurando por valores extremos de f nos números c onde f’(c) = 0 ou onde f’(c) não existe. Tais números tem um nome especial . Número CríticoNúmero Crítico de um f é um número c no domínio de f onde ou f’(c) = 0 ou f’(c) não existe.

Exemplo.• Encontre os números críticos da função

• Depois de resolvido concluímos pelo teorema que: se f tiver um valor máximo ou mínimo local em c, então é um numero critico de f.• Regra: Para encontrar os valores máximo e mínimo absoluto de uma f

continua em um intervalo fechado [a,b]1. Encontre os valores de f nos extremos de f nos números críticos de f em (a,b)2. Encontre os valores de f nos extremos do intervalo3. O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o

menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Exemplo. • Encontre os valores absolutos máximo e mínimo da função

Resolução na lousa

Exemplo • O telescópio espacial Hubble foi colocado em orbita em 24 de abril de

1990 pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão do lançamento em t=0 até a entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126s é dado por:

(em pés/s). Usando esse modelo estime os valores máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a entrada do foguete auxiliar.Dica : pede-se os valores extremos da aceleração

Crescimento e Decrescimento de uma

f

Crescimento e Decrescimento de uma função

• Função crescente derivada positiva f (x) > 0• Função decrescente derivada negativa f (x) < 0• Função constante derivada nula f (x) = 0

C re s c e n te D ec re s c e n te C re s c e n te C o n s ta n te

Exemplo:• Encontre os intervalos onde as funções abaixo é crescente ou

decrescente• (a)

• (b)

Ponto de Inflexão

Ponto de Inflexão• O ponto no qual ocorre a variação de concavidade da função

denomina-se Ponto de Inflexão. Se a derivada Segunda (f’’(x)) é definida no ponto de inflexão, seu valor tem que ser zero. Os pontos de inflexão podem ocorrer onde a derivada Segunda é indefinida.• Os pontos nos quais a derivada Segunda da função é nula ou

indefinida denominam-se pontos críticos de Segunda ordem.• Sem formalidades, o ponto de inflexão é o momento onde a curva

muda de sentido de concavidade que está para baixo para a concavidade que está para cima, ou vice-versa• Como encontrar esse ponto de transição?

Exemplo:• Considere a função 1º. Vamos verificar onde a função é crescente e decrescente, calculando a f’(x) = 0

Veja o Gráfico como ficou!!!

• 2º. Vamos verificar onde o gráfico muda a concavidade de baixo para cima ou vice-versa. Para tal procedimento calcularemos a derivada segunda e igualamos a zero. f’’(x) = 0.

• Veja o gráfico novamente

Exemplo.• Dada a função , determine se os pontos críticos são de máximo ou de

mínimo relativo.

• gráfico

Observação.• Neste último exemplo, não foram dados os extremos do domínio da

função. Então, para verificar se os pontos críticos são de máximo relativo ou de mínimo relativo, faremos a substituição das raízes encontradas no valor de x na f’(x) = 0, na segunda derivada e faremos o seguinte estudo• Se f’’(raiz) > 0, então teremos ponto de MÍNIMO.• Se f’’(raiz) < 0, então teremos ponto de MÁXIMO.

• Logo, os pontos críticos são:• f’’(0) = 12(0)² - 4 = - 4 ( x = 0 é um ponto de máximo relativo)• f’’(-1) = 12(-1)² - 4 = 8 ( x = -1 é um ponto de mínimo relativo)• f’’(1) = 12(1)² - 4 = 8 (x = 1 é um ponto de mínimo relativo)

exercício de aplicação• Uma empresa de confecção de engrenagens em automação industrial

apresenta as funções da receita e do custo (em milhões de reais), respectivamente, para produzir engrenagens de aço. Elas são dadas:

, encontre:a) A produção para que o custo seja mínimo; b) Os intervalos em que a função custo cresce ou decresce; c) A produção para que a receita seja máxima; d) Os intervalos em que a função receita cresce e decresce; e) Se a função lucro é L = R – C, qual o nível de produção para o lucro seja

máximo?f) Chamamos ponto de ruptura o ponto de inflexão. Qual seria esse ponto?

Gráfico RECEITA

Gráfico CUSTO

Gráfico LUCRO

Exercício de aplicação• Suponha que a equação de demanda para uma certa mercadoria seja

p = 4 – 0,0002x, onde x é o numero de unidades produzidas semanalmente e p reais é o preço de cada unidade. O número do custo total da produção de x unidades é C(x) = 800 + 3x. Se o lucro semanal deve ser o maior possível, encontre o número de unidades que serão produzidas semanalmente, o preço de cada unidade e o lucro semanal

• Lembrando que R(x) = preço de venda x quantidade vendida.

Exercício• Verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função:

f(x) = 3x² + 6

• Determine os intervalos em que a função abaixo é crescente, decrescente, determine os extremos relativos o ponto de inflexão e esboce o gráfico.

f(x) = 2x³ + 3x² - 12x - 7

INTEGRAL INDEFINIDACONCEITO DE INTEGRAL INDEFINIDA

Dada uma função f, uma integral indefinida de f é outra função F tal que a derivada F’ é igual à função f.Assim, temos: Se F´(x) = f(x) então F(x) é uma primitiva de f(x).

ASSIM...Seja f(x) = 2x, então a função primitiva é F(x) = x². Dizemos que F(x) = x² é uma integral indefinida de f.Observação as funções h(x) = x² + 3, g(x) = x² - 4, m(x) = x² + , enfim, as funções do tipo β(x) = x² + K, são primitivas da função f(x) = 2x, pois as derivadas de [β(x)]’ resultam 2x.Pelo que foi dito até aqui, podemos concluir que a integração indefinida é a operação inversa da derivação, (ou da diferenciação) a menos de uma constante. Em notação temos:

Exemplos...

Mas como encontrar tais Integrais?

Tabela de Integral

Exemplos....