ME623APlanejamento e Pesquisa

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4. Experimentos em Blocos

1. Blocos Completos e Aleatorizadosa) Definiçãob) Análise Estatísticac) Decomposição da Soma de Quadradosd) Tabela Anovae) Estimação dos Parâmetros

2. Quadrado Latino3. Quadrado Greco-Latino4. Blocos Balanceados Incompletos5. Delineamento Cruzados

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Experimentos em BlocosEm qualquer experimento, a

variabilidade devido a um fator ruído pode afetar os resultados

Fator ruído: fator que provavelmente tem um efeito na resposta, mas não estamos interessados no seu efeito

Típicos fatores ruídos são: fonte de máteria-prima, diferentes operadores, pacientes em um estudo, turno ou dia em que o experimento é realizado

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Experimentos em BlocosBloco: conjunto de UE similares ou

homogêneasNa agricultura: típico bloco é um conjunto

contíguo de terrenos em que todas as condições (fertilidade, umidade, etc) são similares, isto é, os terrenos são homogêneos

Estudos com humanos: sexo e faixa etária são geralmente definidos como blocosFator Ruído Técnica a ser

usadaDesconhecido e Incontrolável

Aleatorização

Conhecido mas Incontrolável

Análise de Covariância

Conhecido e Controlável Blocagem

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Experimentos Completamente Aleatorizados versus Blocos Completos AleatorizadosExperimentos Completamente

Aleatorizados

Blocos Completos Aleatorizados Cada retângulo pontilhado é um bloco

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ExemploConsidere um experimento em que uma

máquina de medir a dureza de um material pressiona uma ponteira em uma placa de metal com força conhecida

Medindo a profundidade do furo causado pela ponteira, podemos determinar a dureza da placa

Temos quatro ponteiras e queremos determinar se existe diferença entre as leituras produzidas pela máquina para essas quatro ponteiras

O experimentador irá obter quatro medições por ponteira

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ExemploUnidades Experimentais (UE): placas de

metalFator: tipo de ponteiraNum experimento completamente

aleatorizado, precisaríamos de 4x4=16 placas de metal

Possível problema: as placas de metal podem apresentar pequenas diferenças na sua dureza

Estas podem ter sido feitas por fundimentos que foram obtidos em diferentes aquecimentos

Nesse caso, a placa de metal (UE) está contribuindo para a variabilidade da resposta

O erro experimental refletiria tanto o erro aleatório quanto a variabilidade entre as placas

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Exemplo da Ponteira

Iremos utilizar o delineamento “Blocos Completos Aleatorizados”

Objetivo: Eliminar o efeito dos blocos, diminuindo o erro experimental

Placas de Metal (Bloco)

1 2 3 4

Ponteira 3

Ponteira 3

Ponteira 2

Ponteira 1

Ponteira 1

Ponteira 4

Ponteira 1

Ponteira 4

Ponteira 4

Ponteira 2

Ponteira 3

Ponteira 2

Ponteira 2

Ponteira 1

Ponteira 4

Ponteira 3

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Blocos Completos AleatorizadosFator A Bloco 1 Bloco 2 Bloco b

1 y11 y12 y1b

2 y21 y22 . . . y2b

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a ya1 ya2 yab

Completo indica que cada bloco contém todos os tratamentos

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Modelo Estatístico – Efeitos FixosAs observações são descritas através do

modelo:

Restrições:

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Hipóteses de InteresseAssim como no experimento com um

único fator, queremos testar se:

Como a média do i-ésimo tratamento é

podemos reescrever as hipóteses como:

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Notação

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Decomposição da Soma de QuadradosSoma de Quadrados Total (SST)

Exercício: Demonstrar!

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Graus de Liberdade das SSSoma de Quadrado

sGraus de

Liberdade (gl) ExplicaçãoSSA a – 1 a níveis do Fator A

SSBlocos b – 1 b blocos

SSE (a – 1) (b – 1) ab – 1 – (a – 1) – (b – 1)

SST N – 1 N=ab observações no total

Pelo Teorema de Cochran, pode-se mostrar que:

são v.a. qui-quadrado independentes

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Quadrados Médios (MS)Quadrado Médio do Erro (MSE)

Quadrado Médio do Fator A (MSA)

Quadrado Médio dos Blocos (MSBlocos)

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Valor Esperados dos MS

MSE é um estimador não viciado de σ2

Sob , MSA também é um estimador não viciado de σ2

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Construção do Teste FUm teste de hipótese para testar

igualdade das médias pode ser elaborado através da comparação de MSE e MSA

Estatística do Teste

Calcula-se o p-valor =

Rejeita-se H0 se p-valor < α ou, de forma equivalente, se

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Tabela ANOVABlocos Completos Aleatorizados

• As SS podem ser simplificadas como:

• SSE é obtida pela subtração:

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Comparação das Médias dos Blocos?

Se comparássemos as médias dos blocos, poderí-amos verificar se a blocagem foi útil ou não

As hipóteses seriam:

Seria então natural usar como estatística do teste a razão entre MSBlocos e MSE

Porém, lembre-se que a aleatorização foi aplicada apenas aos tratamentos dentro de cada bloco, isto é, os blocos representam uma restrição na aleatorização

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Exemplo da PonteiraAs observações para cada ponteira e

placa de metal estão na Tabela abaixo

Vamos calcular as SS e testar se existe diferença entre as ponteiras na medição da dureza em placas de metal

Ponteira

Placa de Metal(Bloco)

1 2 3 4

1 9.3 9.4 9.6 10.0

2 9.4 9.3 9.8 9.9

3 9.2 9.4 9.5 9.7

4 9.7 9.6 10.0 10.2

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Análise EstatísticaExemplo das Ponteiras

Figura: Boxplot da dureza das placas de metais para cada

ponteira

Queremos testar se:

1. Calcular SST, SSA, SSBlocos e SSE

2. Encontrar a tabela ANOVA

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Análise EstatísticaExemplo das Ponteiras

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Tabela ANOVABlocos Completos AleatorizadosExemplo Ponteiras

No R> dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE)> fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira) + factor(Placa), data=dados)> anova(fit)Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 14.438 0.0008713 ***factor(Placa) 3 0.825 0.275000 30.938 4.523e-05 ***Residuals 9 0.080 0.008889 ---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

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Análise EstatísticaExemplo Ponteiras

Gráfico da Distribuição F(3,9), α=0.05

Conclusão: Como F0 = 14.44 > 3.86 (ou p-valor < 0.01), rejeitamos H0 e concluímos que as médias dos tratamentos diferem. Ou seja, o tipo de ponteira influencia na medida da dureza das placas de metal

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Tabela ANOVAExperimento com Um FatorExemplo Ponteiras

No R, desconsiderando o efeito dos blocos> dados <- read.table(“DadosPonteiras.txt”, header=TRUE)> fit <- lm(Dureza ~ factor(Ponteira), data=dados)> anova(fit)

Response: Dureza Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)factor(Ponteira) 3 0.385 0.128333 1.7017 0.2196Residuals 12 0.905 0.075417

Não Rejeita

H0

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Análise Estatística – Ignorando Efeito dos BlocosExemplo Ponteiras

Gráfico da Distribuição F(3,12), p-valor=0.22

Conclusão: Como F0 = 1.70 < 3.49 (ou p-valor > 0.05), não temos evidência para rejeitar H0 e afirmar que as médias dos tratamentos diferem. Nesse caso, se ignorarmos o efeito dos blocos, tiramos conclusões erradas do experimento

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Exercícios

Exercícios do Montgomery, 6ª edição

Capítulo 3:3-1(c), 3-5, 3-6(b, c), 3-12(d, e, f), 3-

16(a-f), 3-20(a, c), 3-25, 3-31, 3-32

Capítulo 4:4-1, 4-5(b), 4-17, 4-18