ME623APlanejamento e Pesquisa

5. Experimentos Fatoriais

1. Experimento Fatorial com Dois Fatores

2. Experimento Fatorial Generalizado (k Fatores)

3. Experimento Fatorial 2k

4. Única Replicação de Um Fatorial 2k

5. Experimento Fatorial Fracionado 2k-p

Experimento Fatorial GeneralizadoOs resultados que vimos para o modelo

com dois fatores podem ser generalizados para k fatores

No caso geral temos a níveis do fator A, b níveis do fator B, c níveis do fator C e assim por diante

Esses fatores são arranjados num experimento fatorial com abc... n observações totais, sendo n o número de replicações

Fator A1, 2, ..., a

Fator B1, 2, ..., b

Fator C1, 2, ..., c

...

abc... nobservaçõ

es

Experimento Fatorial Generalizado

Considerando todos os fatores fixos, iremos testar os fatores principais e interações usando ANOVA

A ANOVA particiona a soma de quadrados total em soma de quadrados dos efeitos principais, das interações e do erro experimental

Se todas as interações estão presentes, é necessário pelo menos duas replicações (n ≥ 2) para que a variância do erro seja estimável

Cada fator adicional acrescenta uma camada de commplexidade para a análise

Modelo com Três Fatores (Fixos)As observações podem ser descritas pelo

modelo:

com

Suposição: constante

As restrições lineares sob os efeitos principais e interações são as mesmas que as vistas anteriormente

Modelo com Três FatoresRepresentação das Observações

Suponha que temos a = 4, b = 3, c = 2 e n = 3C1

B1 B2 B3

A1 y1111, y1112, y1113 y1211, y1212, y1213 y1311, y1312, y1313

A2 y2111, y2112, y2113 y2211, y2212, y2213 y2311, y2312, y2313

A3 y3111, y3112, y3113 y3211, y3212, y3213 y3311, y3312, y3313

A4 y4111, y4112, y4113 y4211, y4212, y4213 y4311, y4312, y4313

C2

B1 B2 B3

A1 y1121, y1122, y1123 y1221, y1222, y1223 y1321, y1322, y1323

A2 y2121, y2122, y2123 y2221, y2222, y2223 y2321, y2322, y2323

A3 y3121, y3122, y3123 y3221, y3222, y3223 y3321, y3322, y3323

A4 y4121, y4122, y4123 y4221, y4222, y4223 y4321, y4322, y4323

Modelo com Três Fatores

No modelo com 3 fatores iremos estimar e testar:

Três efeitos principais (A, B e C)

Três interações de primeira ordem ou dois a dois (AB, AB e BC)

Uma interação de segunda ordem, ou seja, com os três fatores (ABC)

No caso de efeitos fixos, os testes de hipótese (testes F) para efeitos principais e interações são baseados na comparação do MS correspondente com o MSE

Modelo com Três Fatores – Soma de Quadrados

A SST é calculada da forma usual:

Essa soma de quadrados é decomposta em:

Modelo com Três Fatores – Soma de Quadrados

A SS dos efeitos principais A, B e C utiliza os totais dos níveis do respectivo fator:

Modelo com Três Fatores – Soma de Quadrados

A SS das interações dois a dois são dados por:

Modelo com Três Fatores – Soma de Quadrados

A SS da interação ABC é calculada como:

A SSE é obtida pela subtração:

Modelo com Três Fatores – Tabela ANOVA

InterpretaçãoDepende dos resultados dos testes F para

efeitos principais e interações:Se a interação ABC é significante:

Nenhum dos fatores está agindo independentemente

Resumir numa tabela de médias para cada tratamento

Se as interações de 1ª ordem são significantes (e não a interação com 3 fatores)Nenhum dos efeitos principais são

independentesResumir em tabelas 2x2 de médias para as

interações significantesSe os efeitos principais são significantes

(mas não as interações) Resumir com as médias dos efeitos principais

significantes

Tabela das Médias dos Efeitos Principais

Tabela das Médias para Interações de 1ª Ordem

Essa Tabela é para interação ABCalcular também para AC e BC

Tabela das Médias dos Tratamentos

Exemplo: Engarrafamento de RefrigeranteUma fábrica de refrigerante quer controlar

três variáveis durante o processo de engarrafamento: Porcentagem de CO2 (Fator A): 10, 12 e 14%

Pressão (Fator B): 25 e 30 psi

Velocidade da produção (Fator C): 200 e 250 garrafas/min

Esse é um delineamento fatorial com 3 fatores e teremos duas replicações (n = 2)

As 24 rodadas com todos os tratamentos serão realizadas em ordem aleatória

A variável resposta é o desvio da altura nominal

Exemplo: Engarrafamento de RefrigeranteOs dados estão na tabela abaixo:

Vamos analisar esses dados. Quais fatores influenciam no desvio médio da altura do líquido? Existem interações?

Pressão (B)

25 30

CO2

(A)Velocidade(C) Velocidade (C)

200 250 200 250

10−3 −1 −1 1

−1 0 0 1

120 2 2 6

1 1 3 5

145 7 7 10

4 6 9 11

Exemplo: Engarrafamento de RefrigeranteTabela ANOVA com 3 fatores e interações:

No R> dados <- read.table(“ExemploRefrigerante.txt",

header=TRUE)

> fit <- lm(Altura ~ factor(CO2)*factor(Pressao)*factor(Velocidade), data=dados)

> anova(fit)

Exemplo: Engarrafamento de Refrigerante