Post on 17-Apr-2015
Estatística
2 – Estatística Descritiva
Prof. Antonio Fernando Branco Costa
Página da FEG: www.feg.unesp.br/~fbranco
• Parâmetros de Posição:– Média– Mediana (2 partes)– Moda
• Parâmetros de Dispersão:– Variância– Desvio-Padrão– Amplitude
(1, 2, 3)=1 (1, 23, 390)=47749
Média da População :
xi = valores da variável
N = tamanho da População
N
xN
1ii
Dados em frequências:
k
1k
'ii
k
1iii
pxN
fx
fi = frequência da classe (i)
pi’= frequência relativa
k = número de linhas da tabela
6/1 6,N ),6,...,2,1( , ii piiX
MÉDIA AMOSTRAL: Exemplo da Fundição
Variável X: número de defeitos por peça
Número de Defeitos frequência
total25
31
Tabela de Distribuição de frequência de Valores
0 8 0
1 9 9
2 5 10
3 2 6
4 0 0
5 0 0
6 1 6
ii fX ifiX
24,125
31
n
fXk
1iii
X
MÉDIA AMOSTRAL: Altura dos alunos de Estatística
Variável Y: Altura(cm)
Tabela de Distribuição de frequência das Classes
Classes fi<=160 4
160-|165 5165-|170 6170-|175 3175-|180 3
>180 324
5,16824
4045
n
fYk
1iii
Y
Lim. Inf. Lim. Sup. fi Yi Yi*fi155 160 4 157,5 630160 165 5 162,5 812,5165 170 6 167,5 1005170 175 3 172,5 517,5175 180 3 177,5 532,5180 185 3 182,5 547,5
Soma 24 4045
Idéia: dividir o conjunto ordenado de valores em 2 parte
12 14 14 15 16 16 17 20
15,52
1615md
Mediana (md)
n = 8 valor de ordem n/2 = 15 valor de ordem(n/2) + 1 = 16
n (ímpar) md = valor de ordem (n + 1)/2
35 36 37 38 40 40 41 43 46
1 - Considerando conjunto com n valores ordenados
n = 9 md = 40 ( valor de ordem 5 )
n (par ) md = valor médio entre o de ordem n/2 e o de ordem (n/2) + 1
Mediana (md)
Li = 11,965n = 25Fa = 8fmd = 7hmd = 0,13
2 - Considerando distribuição em classes de frequências:
onde:Li: limite inferior da classe que contém a mediana
n: número de elementos do conjunto de dados;
Fa: frequência acumulada das classes anteriores à classe que contém a mediana;
fmd: frequência da classe que contém a mediana;
hmd: amplitude da classe que contém a mediana.
mdmd
i hf
2n
Lmd
aF
1 11,705 11,835 5 5
2 11,835 11,965 3 8
3 11,965 12,095 7 15
4 12,095 12,225 6 21
5 12,225 12,355 4 25
classe if iFabsoluta Acumulada
frequência
Lim. inf. Lim. sup.
Limites Reais
05,1213,07
82
25
965,11md
Valor de máxima freqüência dentro de um conjunto de dados
Moda: mo Dados em Tabela de frequência dos valores
Exemplo da Fundição
Variável X: número de defeitos por peça
mo = 1
moda é apresentar 1 defeito por peça
total 25 100%
1 0 8 32%
2 1 9 36%
3 2 5 20%
4 3 2 8%
5 4 0 0%
6 5 0 0%
7 6 1 4%
frequênciaif
'ipOrdem Xi
(absoluta) (relativa)
Moda: mo Dados em Tabelas de frequência das classes
Li : limite inferior da classe modal
d1 : diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior
d2 : diferença entre a freqüência da classe modal e a da imediatamente seguinte
h : amplitude das classes
hdd
dLmo
21
1i
Classe Modal: aquela(s) de maior frequência
hdd
dLmo
21
1i
1 11,705 11,835 5 5
2 11,835 11,965 3 8
3 11,965 12,095 7 15
4 12,095 12,225 6 21
5 12,225 12,355 4 25
classe Lim. inf. Lim. sup. if iFabsoluta Acumulada
frequênciaLimites Reais
Moda: mo Dados em Tabelas de frequência das classes
Exemplo da Fundição
Variável Y: diâmetro do furo (mm)
437d1
167d2
07,1213,014
4965,11mo
Idéia: Média do quadrado da diferença dos dados em relação ao valor médio.
Variância
N
)x(
σ
2i
N
1i2
1n
)xx(
s
2i
n
1i2
1 - Considerando dados de toda a População:
2 - Considerando dados de uma Amostra da População:
3,5 ),6,...,2,1( , iiX i
Exemplo:
Seja os valores da amostra: 15 12 10 17 16
xi (xi – x ) (xi – x )2
15 1 1 12 -2 4 10 -4 16 17 3 9 16 2 4 70 0 34
Variância
1n
)xx(
s
2i
n
1i2
145
70x
5,815
34
1-n
)xx( 2i
n
1i2
s
Considerando distribuição de frequências de valores
Variância Amostral
1-n
f)x(x
Si
n
1i
2i
2X
1
/)fx(fx
S
n
1i 1
2iii
2i
2X
n
nn
i
Classes fi<=160 4
160-|165 5165-|170 6170-|175 3175-|180 3
>180 324
fi Xi Xi*fi155 160 4 157,5 630160 165 5 162,5 812,5165 170 6 167,5 1005170 175 3 172,5 517,5175 180 3 177,5 532,5180 185 3 182,5 547,5
Soma 24 4045
2
2
2X 67
12424
)4045(683300s cm
Xi*Xi*fi99225
132031,25168337,589268,7594518,7599918,75683300
Desvio-Padrão
População: 2xx
Amostra: 2xx ss
cmSX 867
cmSX X 245,1683
Relação entre o desvio-padrão amostral e a média amostral (%)
Regra empírica:
• CV < 15% baixa dispersão
• 15% < CV < 30% média dispersão
• CV > 30% elevada dispersão
Coeficiente de Variação (CV)
100x
scv x
Amplitude: R(X)
Exemplo da Fundição:
Ymín = 11,77
Ymáx = 12,29 R(Y) = 12,29 - 11,77 = 0,52
R(X) = 6 – 0 = 6
X: número de defeitos por peça
Xmáx = 6
Xmín = 0
min)( XXXR máx
Y: diâmetro do furo (mm)
Assimetria:
Assimetria Positiva
Medidas de Assimetria
Medidas de Achatamento ou Curtose
Mesocúrtica(Normal)
(coef. curtose = 3 )
Platicúrtica(coef. curtose < 3)
Leptocúrtica(coef. curtose > 3)
Forma da distribuição quanto ao seu achatamento comparado com a distribuição Normal
Assimetria negativa
Estatística Descritiva - Excel61 65 43 53 55 51 58 55 59 56 52 53 62 49 68 51 50 67 62 64 53 56 48 50 61 44 64 53 54 55 48 54 57 41 54 71 57 53 46 48 55 46 57 54 48 63 49 55 52 51
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