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EXTENSIVO – APOSTILA 11 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA A
AULA 30
01)
Sendo
PC Preço de Custo
PV Preço de Venda
PP Preço de Venda Promocional
temos:
PV 1,50 PC
PP 0,80 PV
Substituindo: PP = 0,80 · 1,50 · PC PP = 1,20 · PC
No dia da promoção, o lucro sobre o custo foi de 20%.
02)
o o o1 Desconto 2 Desconto 3 Desconto
0
0
P P . 0,80 . 0,80 . 0,80
P P .0,512
O desconto único foi de 49,8%
03)
Em Juro Simples, a taca (i%) incide sempre sobre o capital (C) aplicado.
Assim:
Início: M = C
Após 1 mês: M = C + C · i
Após 2 meses: M = C + C · i + C · i M = C + C · i · 2
Após 3 meses: M = C + C · i + C · i + C · i M = C + C · i · 3
(…)
Após t meses: M = C + C · i · t (c.q.d)
04)
Consideremos que o valor do produto é de R$ 100,00. Então:
– À vista (Desconto de 10%)
R$ 90,00
– A prazo (Duas parcelas iguais com a 1ª no ato da compra)
1ª Parcela = R$ 50,00
2ª Parcela = R$ 50,00
Após o pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é de R$ 40,00 (visto
que a dívida no momento era o preço à vista do produto).
Esse saldo devedor de R$ 40,00 foi pago 1 mês pelo valor de R$ 50,00. Assim:
50 = 40 + 40 · i
10 = 40 · i
i = 0,25
Taxa de juro = 25% ao mês
AULA 31
01)
Início: M = C
Após 1 mês: M = C + C · i M = C · (1 + i)
Após 2 meses: M = C · (1 + i) + C · (1 + i) · i M = C · ( 1 + i) · ( 1 + i)
M = C · (1 + i)2
Após 3 meses: M = C · (1 + i)2 + C · (1 + i)2 · i M = C · ( 1 + i)2 · ( 1 + i)
M = C · (1 + i)3
(…)
Após t meses: M = C · (1 + i)t (c.q.d)
02)
M = C · (1 + i)t
2C = C · (1 + 0,02)t
2 = 1,02t
log 2 = log 1,02t
0,30103 = t · 0,00086
t = 35,003 meses
tmin = 36 meses
03)
M = C · (1 + i)t
5 480 = 1 370 · (1 + 0,25)t
4 = 1,25t
log 4 = log 1,25t
2 · log 2 = t · log 1,25
1250,60 t log
100
0,60 = t · (log 125 – log 100)
0,60 = t · (3 · log 53 – 2)
0,60 = t · ( 3 · log 5 – 2)
100,60 t 3 log 2
2
0,60 = t · [3 · (log10 – log2) –2]
0,60 = t · [3 · (1 – 0,30) – 2]
0,60 = t · 0,10
t = 6 anos
04) Sendo F o fluxo de sangue e R o raio da artéria, temos:
F = k · R4
Considerando a dilatação da artéria, teremos um novo fluxo F’, tal que:
F = k · R4
F’ = k · (1,10R)4
F’ = k · 1,4641 · R4
F’ = 1,4641·F
O fluxo aumentará em 46,41%.
EXTENSIVO – APOSTILA 11 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA B
AULA 30
01)
a)
Mutuamente Exclusivos
p(A B) p(A) p(B)
0,7 = 0,4 + p(B)
p(B) = 0,3
b)
Independentes p(A B) p(A) p(B)
Se p(A B) p(A) p(B) p(A B) , então:
0,7 = 0,4 + p(B) – 0,4 · p(B)
0,3 = 0,6 · p(B)
p(B) = 0,5
02)
p(G C) p(G) p(C) p(G C)
p(G C) 0,6 0,8 0,6.0,8
p(G C) 1,4 0,48
p(G C) 0,92
p(G C) 92%
03)
p = (Masculino) E (Masculino) E (Feminino) E (Feminino)
2,2
4
1 1 1 1 1 4! 3p P p p
2 2 2 2 16 2!2! 8
04)
Temos que:
1p(P)
5
1p(V)
5
1 1 1p(P V) p(P V)
5 4 20
Logo,
1 1 1p(P V)
5 5 20
7p(P V) 35%
20
AULA 31
01)
Espaço Amostral
Total = 10 · 9 ·8 Total = 720
Evento:
3
(1,2,3),(1,2,5),(1,2,6)
(1,3,4),(1,3,5) n 6.P n 36
(2,3,4)
Probabilidade:
36 1p p
720 20
02)
Consideremos que k: Cara / C: Coroa.
Espaço Amostral:
2 · 2 · 2 · 2 = 16 sequências possíveis
Evento (Aparecer Cara duas vezes seguidas)
2
3
Pr obabilidade
3!kkCC P 3
2!
ou8 1
kkkC 4 p p16 2
ou
kkkk 1
Probabilidade (Não aparecer Cara duas vezes seguidas)
p = 1 – (Aparecer Cara duas vezes seguidas)
1p 1
2
1p
2
03)
a)
Se A e B forem mutuamente exclusivos
mínp(A B) 0
Se A e B forem independentes:
máx
máx
máx
p(A B) p(A) p(B)
3 2p(A B)
4 3
1p(A B)
2
b)
p(A B)p(B / A)
p(A)
7
12p(B / A)3
4
7p(B / A)
9
04)
a)
N = 9 · 9 · 8 · 7 · 6
N = 27 216 números
b)
Como precisam estar em ordem crescente e não é permitido começar com 0
(zero), esse algarismo não será utilizado. Assim:
5
9
1A
5!p27 216
1 9!
120 (9 5)!p
27 216
9 8 7 6 5
120p27 216
1p
216
EXTENSIVO – APOSTILA 11 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA D
AULA 30
01)
Tendo uma esfera inscrita em um cilindro, concluímos que:
– Raio da esfera (R) é igual ao raio da base do cilindro
– Altura do cilindro (H) é igual ao diâmetro da esfera (2R).
Assim:
2
C
3E
2
C
3E
3
C
3E
C E
V R H
4VR
3
V R 2R
4VR
3
V 2 R
4VR
3
V 1,5V
Vc é 150% de VE
02)
2 3
cilindro esfera
3esfera
3
cilindro esfera
3esfera
cilindro esfera
esfera
4r 4r 2 r
V 2V 342V
2 r3
4r
V 2V 342V
2 r3
V 2V 1
2V 2
03)
As relações entre os elementos de um cone equilátero e a esfera inscrita são
as mesmas que existem entre um triângulo equilátero e o círculo inscrito.
Assim, sendo R o raio da esfera, temos:
1R 6
3
R = 2 cm
Então, calculando o volume da esfera, temos:
3
3
3
4V R
3
4V 2
3
32V cm
3
04)
Pela secção meridiana, encontramos:
Fazendo a semelhança entre os triângulos, temos:
13 5
12 R R
13R 60 5R
10R cm
3
05)
As relações entre sólidos inscritos dão-se na inscrição/circunscrição das bases,
assim, temos:
h 2
R2
Sendo a altura do cilindro igual a altura do cubo (h), o cálculo da área lateral do
cilindro fica assim:
2
S 2 Rh
h 2S 2 h
2
2S h
2
AULA 31
01)
O sólido é composto por um cilindro vazado por outro cilindro.
Pelas coordenadas dos vértices, concluímos que:
Raio do Cilindro externo = 4
Raio do Cilindro interno (vazado) = 2
Altura (igual para os dois cilindros) = 8
O volume do sólido será a diferença entre os volumes dos dois cilindros.
Vsólido = V – v
Vsólido = π · 42 · 8 – π · 22 · 8
Vsólido = 96π
02)
O sólido formado será uma esfera vazada por dois cones idênticos.
O raio da esfera (3 dm) é igual ao raio do cone e a altura do cone também é
igual ao raio da esfera.
O volume do sólido será a diferença entre o volume da esfera e os volumes dos
dois cones. Assim:
3 24 1V 3 2 3 3
3 3
V = 36π –18π = 18π dm3
03)
O sólido formado será um cilindro vazado de um cone.
Pelas informações do enunciado, temos:
Raio do cilindro = 2
Raio do cone =
Altura do cilindro = Altura do cone =
O volume do sólido será a diferença entre os volumes do cilindro e do cone.
Assim:
Vsólido = Vcilindro – Vcone
2 2
sólido
33
sólido
3
sólido
1V 2
3
V 43
11V
3
04)
Cálculo do valor de R
22 = b2 + b2
b = √2 cm
(√2)2 =12 + R2
R = 1 cm
O volume do sólido será a soma dos volumes dos dois cones idênticos
formados. Assim:
2
3
1V 2 1 1
3
2V cm
3
05)
Sendo
a 2R
2
a 2H
2
e sabendo o volume do octaedro, temos:
octaedro
2
2
V 9 2
12 a H 9 2
3
2 a 2a 9 2
3 2
a3 = 27
a = 3 cm
Consequentemente: 3 2
R2
cm
O volume de rocha retirada é a diferença entre o volume da esfera e o volume
do octaedro. Assim:
3
3
3
4 3 2V 9 2
3 2
4 3 2V 3 9 2
3 2
V 18 2 cm
EXTENSIVO – APOSTILA 11 – EXERCÍCIOS DE SALA – MATEMÁTICA E
AULA 30
01)
Pelo Teorema de Bolzano concluímos o seguinte:
Se P(–1) . P(1) < 0, então, P(–1) e P(1) possuem sinais contrários.
Se P(–1) e P(1) possuem sinais contrários, então, há uma quantidade ímpar de
raízes no intervalo ]–1, 1[
Pelo enunciado, temos:
x1 = 2
x2 = i
x3 = –i
Como nenhuma delas pertence ao intervalo ]–1, 1[ , a única quantidade ímpar
de raízes possível de existir no intervalo ]–1, 1[ é igual a 1.
02)
P(–1) = (–1)3 –3 · (–1)2 + 7 · (–1) + 2 P(–1) = –9
P(1) = 13 –3 · 12 + 7 · 1 + 2 P(1) = 7
Pelo Teorema de Bolzano, como P(-1) e P(1) possuem sinais contrários, há um
número ímpar de raízes no intervalo ]–1, 1[. Assim, o polinômio P(x) possui
pelo menos uma raiz no intervalo ]–1, 1[.
03)
P(x) é do 3º grau, tal que, P(0) = 4.
Pelo gráfico temos as raízes:
x1 = –1
x2 = 1
x3 = 2
Assim:
P(x) = a(x – x1)(x – x2)(x – x3)
P(x) = a(x + 1)(x – 1)(x – 2)
P(0) = 4
a(0 + 1)(0 – 1)(0 – 2) = 4
a = 2
Logo,
P(x) = 2(x + 1)(x – 1)(x – 2)
AULA 31
01)
z = 1 + i
2 21 1 2
1tg tg 1
1 4
Na forma exponencial, tem-se:
z = · ei
i4z 2 e
02)
A = eπi + 1
A = 1(cosπ + i · senπ) + 1
A = 1(–1 + i ·0) + 1
A = –1 + 1 = 0