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Hewlett-Packard
Ano: 2016
FUNÇÃO
QUADRÁTICA Aulas 01 a 07 + EXTRA
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário O CONCEITO DE FUNÇÃO QUADRÁTICA ................................................................................................................. 2
(Função polinomial do 2° grau) ............................................................................................................................... 2
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 2
RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA ..................................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
NÚMERO de RAÍZES de uma FUNÇÃO QUADRÁTICA ............................................................................................. 2
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 2
RELAÇÕES DE GIRARD ............................................................................................................................................. 2
Soma das raízes ........................................................................................................................................... 2
Produto das raízes ....................................................................................................................................... 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
FORMA FATORADA do trinômio 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄 ...................................................................................................... 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA ..................................................................................................................................... 3
ELEMENTOS IMPORTANTES ................................................................................................................................ 3
I. CONCAVIDADE .................................................................................................................................................. 3
II. INTERSECÇÃO com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑶𝒙 ......................................................................................................................... 3
III. INTERSECÇÃO com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑶𝒚 ..................................................................................................................... 4
IV. COORDENADAS do VÉRTICE: 𝑽(𝒙𝑽; 𝒚𝑽)..................................................................................................... 5
FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DAS COORDENADAS DO VÉRTICE ............................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
CONJUNTO-IMAGEM ................................................................................................................................................ 6
ESBOÇO/ CONSTRUÇÃO DO ARCO DE UMA PARÁBOLA ..................................................................................... 6
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 6
ESTUDO DO SINAL ................................................................................................................................................... 6
PARA REFLETIR .................................................................................................................................................... 6
ESTUDO DO SINAL ............................................................................................................................................... 7
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 7
ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA ........................................................................................... 7
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 7
INEQUAÇÃO PRODUTO e QUOCIENTE .................................................................................................................... 7
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 8
CAIU NO SIGMA ..................................................................................................... Erro! Indicador não definido.
CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 9
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2
AULA 01
O CONCEITO DE FUNÇÃO
QUADRÁTICA (Função polinomial do 2° grau) Uma função 𝑓:ℝ → ℝ é denominada função
quadrática se existem constantes reais 𝑎, 𝑏 e 𝑐, com
𝑎 ≠ 0, tais que 𝑓(𝑥) pode ser escrita como 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, para todo 𝑥 ∈ ℝ.
Obs.1: Note que 𝑏 e 𝑐 podem ser nulos, portanto a
função cuja lei é 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² é, também, um exemplo
de função quadrática.
Obs.2: Note que, segundo a definição, a condição
necessária para a existência de uma função
quadrática, é que o coeficiente 𝒂 deve ser diferente de
zero (𝒂 ≠ 𝟎).
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 1.1. Praticando em sala 1(a, d, f), 2(a, c,e), 3(b, c, d).
RAIZ OU ZERO DE UMA
FUNÇÃO QUADRÁTICA
Se um número 𝛼 ∈ ℝ é raiz de uma função
quadrática 𝑓, então 𝑓(𝛼) = 0. Ou seja,
𝑎𝛼² + 𝑏𝛼 + 𝑐 = 0
Para determinarmos os valores de 𝛼, geralmente
fazemos uso da fórmula
𝛼 = 𝑥 = −𝑏 ± √∆
2𝑎 , onde ∆ = 𝑏² − 4𝑎𝑐.
Obs.3: Observe que, em geral, quando um exercício
nos fornece uma equação, suponha na incógnita 𝑥, e o
valor de uma das suas raízes, podemos substituir o “𝑥”
da expressão dada pela raiz fornecida.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.2. Determine os valores do parâmetro real 𝑘, para os
quais a equação 𝑥² + 3(𝑘 − 2)𝑥 − 2𝑘² + 8 = 0
admita uma raiz nula.
1.3. Determine, em ℝ, as raízes da função 𝑓:ℝ → ℝ
com 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 9) ∙ (1 − 𝑥).
NÚMERO de RAÍZES de uma
FUNÇÃO QUADRÁTICA ESTUDO DO DISCRIMINANTE (∆)
I. Para que 𝑓 tenha duas raízes reais e distintas,
precisa-se ter ∆ > 0.
II. Para que 𝑓 tenha duas raízes reais e iguais (ou
uma raíz de multiplicidade 2 ou uma raiz dupla),
precisa-se ter ∆ = 0.
III. Para que 𝑓 não tenha raízes reais, precisa-se ter
∆ < 0.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 1.4. Determine em função de 𝑝 a quantidade de
raízes reais da função 𝑓, de ℝ em ℝ, com 𝑓(𝑥) =
−𝑥2 + 4𝑥 + (−2𝑝 + 2).
RELAÇÕES DE GIRARD As relações de Girard nos mostram as relações
existentes entre os coeficientes reais (𝑎, 𝑏 e 𝑐) e as
raízes (𝑥1 e 𝑥2), de uma equação do 2° grau.
Soma das raízes
𝑆 = 𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏
𝑎
Produto das raízes
𝑃 = 𝑥1 ∙ 𝑥2 =𝑐
𝑎
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.5. Considere a equação 𝑥² − 6𝑥 + 12 = 0. Se 𝑥1 e
𝑥2 são as raízes dessa equação, calcule o valor de
cada expressão a seguir.
a) 1
𝑥1+
1
𝑥2
b) (𝑥1)2 + (𝑥2)
2
1.6. Obtenha uma equação do segundo grau de
raízes: 2 e −5.
TAREFA 1 – LER os exercícios resolvidos 2, 3, 5 e 6 e
FAZER os PSA 4(a,c,d,f), 5(a,c,d,e), 7, 8 e 11.
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AULA 02
FORMA FATORADA do
trinômio 𝒂𝒙² + 𝒃𝒙 + 𝒄
Considere 𝑎 um número real não-nulo e uma função
𝑓:ℝ → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐. É possível
mostrar que se conhecermos as raízes de 𝑓, 𝑥1 e 𝑥2,
poderemos escrever o trinômio 𝑎𝒙2 + 𝑏𝒙 + 𝑐 na
forma fatorada:
𝑎(𝒙 − 𝑥1)(𝒙 − 𝑥2) .
Obs.4: A forma fatorada é uma ferramenta muito útil
na obtenção da lei 𝑦 = 𝑓(𝑥), em especial, nos
exercícios que fornecem as duas raízes da função
quadrática e mais um de seus pares ordenados.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Obtenha uma equação do segundo grau de raízes:
2 e −5.
2.2. Dado que 1 e 5 são as raízes de uma função
quadrática de lei 𝑦 = 𝑓(𝑥) e que 𝑓(2) = 6,
determine 𝑓(0).
REPRESENTAÇÃO
GRÁFICA A representação cartesiana de uma função quadrática
𝑓:ℝ → ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, com 𝑎 ≠ 0,
é uma curva denominada PARÁBOLA.
𝐴 = (𝑥1; 0)
𝐵 = (𝑥2; 0)
𝐶 = (0; 𝑐)
𝑉 = (𝑥𝑉; 𝑦𝑉)
ELEMENTOS IMPORTANTES Para fazermos a representação gráfica de uma função
quadrática, devemos buscar identificar/analisar
quatro de seus elementos importantes. São eles:
I. Concavidade
II. Intersecção com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑶𝒙⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
III. Intersecção com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑶𝒚⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
IV. Coordenadas do Vértice
I. CONCAVIDADE
Considere a expressão 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐.
Se 𝒂 > 0, a concavidade da parábola é voltada
para cima.
Se 𝒂 < 0, a concavidade da parábola é voltada
para baixo.
II. INTERSECÇÃO com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑶𝒙⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
Considere a expressão 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐.
TAREFA 3 – Fazer os PSA 15(a, b, d), 23(a, b, c), 24 e
42.
TAREFA 2 – Fazer os PSA. 9, 10, 13(a, b, c, d) e 20.
EXTRA: PSA. 18.
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as raízes de 𝑓, digamos 𝑥1 e 𝑥2, são os
valores de 𝑥 que fazem 𝑓(𝑥) = 0.
os pontos de intersecção da parábola com o
𝑒𝑖𝑥𝑜 − 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗ , (𝑥1 ; 0) e (𝑥2 ; 0), têm as suas
abscissas iguais aos zeros da função.
Obs.5: Lembre-se que já estudamos as RAÍZES DE
UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA na AULA 01.
III. INTERSECÇÃO com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 𝑶𝒚⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
Considere a expressão 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐.
O ponto (0; 𝑐) pertence ao gráfico de 𝑓. Isto é, a
parábola intersecta o 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑂𝑦⃗⃗⃗⃗ ⃗ no valor de 𝑐.
Observe que se 𝑥 = 0, tem-se
𝑓(0) = 𝑎. 02 + 𝑏. 0 + 𝑐
𝑓(0) = 𝑐
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AULA 03
IV. COORDENADAS do VÉRTICE: 𝑽(𝒙𝑽; 𝒚𝑽)
Primeiramente, o vértice de uma parábola é um
de seus infinitos pontos. Mas, o que ele tem de
especial?
Se 𝒂 > 0,
o vértice será um ponto de mínimo da
parábola (ponto mais “baixo”). E suas
coordenadas nos dizem
o valor MÍNIMO que essa função assume
(𝒚𝑽). Isto é, a menor de todas as imagens
geradas por 𝑓.
o elemento do domínio (𝑥𝑉) que, quando
substituído na lei 𝑓(𝑥), gera o valor
MÍNIMO de 𝑓.
Se 𝒂 < 0,
o vértice será um ponto de máximo da
parábola (ponto mais “alto”). E suas
coordenadas nos dizem
o valor MÁXIMO que essa função assume
(𝒚𝑽). Isto é, a maior de todas as imagens
geradas por 𝑓.
o elemento do domínio (𝑥𝑉) que, quando
substituído na lei 𝑓(𝑥), gera o valor
MÁXIMO de 𝑓.
FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DAS COORDENADAS DO VÉRTICE
Obs.6: O eixo de simetria da parábola passa por 𝑥𝑉.
Assim:
𝑥𝑉 =𝑥1 + 𝑥2
2
É possível demonstrar que:
𝑥𝑉 = −𝑏
2𝑎
Se
𝒂 > 𝟎
Se
𝒂 < 𝟎
𝑦𝑣 = −Δ
4𝑎 ou 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣)
Obs.7: Forma canônica de uma função quadrática:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑉)2 + 𝑦𝑉
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Exercícios PROPOSTOS 26 e 36.
3.2. Exercício COMPLEMENTAR 12.
TAREFA 4 – Fazer os PSA. 25, 29, 30, 31, 32, 33 e 37.
CONHECENDO AVALIAÇÕES: 4 e 19.
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AULA 04
CONJUNTO-IMAGEM Podemos dizer que os elementos do conjunto-imagem
de uma função são todos os valores reais de 𝑦,
obtidos a partir de 𝑓(𝑥).
Se 𝒂 > 0, a função terá um valor mínimo em
𝑦𝑉 e, portanto
𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ | 𝒚 ≥ 𝒚𝑽}
Se 𝒂 < 0, a função terá um valor máximo em
𝑦𝑉 e, portanto
𝐼𝑚(𝑓) = {𝑦 ∈ ℝ | 𝒚 ≤ 𝒚𝑽}
ESBOÇO/ CONSTRUÇÃO DO
ARCO DE UMA PARÁBOLA
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Construa, em um plano cartesiano, o gráfico
de cada função 𝑓:ℝ → ℝ , tal que a) 𝑓(𝑥) = 𝑥² + 2𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 3
AULA 05
ESTUDO DO SINAL
PARA REFLETIR Observe a representação cartesiana de uma função
polinomial 𝑓:ℝ → ℝ, a seguir.
1) Ele toca o 𝑒𝑖𝑥𝑜 − 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗ ? Onde?
O que pode ser considerado como o mínimo
necessário para se esboçar um arco de parábola ?
O mínimo necessário são 3 pontos que, quando
marcados no plano cartesiano, tenham a disposição
de um V – de cabeça pra cima (quando 𝑎 > 0) ou de
cabeça pra baixo (quando 𝑎 < 0) – com o ponto do
meio sendo, necessariamente, o vértice.
No entanto, sempre que possível, buscamos
destacar:
I. As intersecções com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 − 𝑶𝒙⃗⃗⃗⃗ ⃗
II. A intersecção com o 𝒆𝒊𝒙𝒐 − 𝑶𝒚⃗⃗ ⃗⃗ ⃗
III. As coordenadas do Vértice
TAREFA 5 – Fazer os PSA 34, 38, 39. E o CONHECENDO
AVALIAÇÕES 25.
Como construir uma parábola em poucas etapas?
1) Calcular as coordenadas do Vértice.
2) Escolher um valor para x (próximo ao xv) e
substituí-lo na função para achar o seu y
correspondente. Assim, você tem um novo
ponto.
3) Espelhar o ponto encontrado em relação ao
eixo de simetria (que passa pelo xv).
4) Traçar o arco de parábola unindo os pontos
marcados.
Obs.: As etapas 2 e 3 podem ser repetidas até que
você se sinta confiante o bastante para fazer a
etapa 4.
TAREFA 6 – Fazer os PSA 40, 41 e 42.
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2) Todos os seus pontos estão de um mesmo lado
(acima ou abaixo) do 𝑒𝑖𝑥𝑜 − 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗ ?
3) É possível dividir o 𝑒𝑖𝑥𝑜 − 𝑂𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗ em “pedaços” de
tal forma que, em cada um deles, os pontos do
trecho do gráfico associado a esses pedaços
tenham uma característica comum? Que
característica é essa?
ESTUDO DO SINAL Fazer o estudo do sinal de uma função é buscar
determinar para quais intervalos do domínio a função
admite imagem (𝑦) positiva e para quais intervalos do
domínio a função admite imagem (𝑦) negativa
Isto é, responder à pergunta: Quais são todas as
abscissas dos pontos que tem ordenada 𝑦, com 𝑦
positivo e quais são todas as abscissas dos pontos que
tem ordenada 𝑦, com 𝑦 negativo?
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Faça o estudo do sinal da função apresentada no
tópico “PARA REFLETIR”
ESTUDO DO SINAL DE UMA
FUNÇÃO QUADRÁTICA Para estudar o sinal de uma função quadrática, basta
seguir os procedimentos à seguir (os mesmos de uma
função afim).
No entanto, note que, o dispositivo prático acabará se
encaixando em um dos 6 “modelos” a seguir:
INEQUAÇÃO DO 2° GRAU
Para resolver uma inequação do 2° grau, basta reduzí-
la à forma
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
≥≤><
0
e, então, fazer o estudo do sinal da expressão
encontrada.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.2. Propostos 46 (b) e 50.
AULA 06
INEQUAÇÃO PRODUTO e
QUOCIENTE Sejam 𝑓 e 𝑔 funções definidas de Reais em Reais.
Chamaremos de inequação produto uma
inequação que pode ser escrita na forma
𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
≥≤><
0 .
Chamaremos de inequação quociente uma
inequação que, respeitando-se as condições de
existência, pode ser escrita na forma
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
≥≤><
0 .
TAREFA 7 – Fazer os PSA. 45, 46(a,c,e), 47, 48(a,d,e) e 49. .
1. Análise do sinal de 𝒂 2. Raízes de f
3. Dispositivo prático
4. Estudo do sinal
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Como resolver uma inequação produto ou quociente?
1) Nomeie cada uma das funções envolvidas
como 𝑦1 , 𝑦2 , …
2) Faça o estudo do sinal de cada uma das
funções envolvidas, somente até o
“dispositivo prático”.
3) Faça o quadro de sinais.
4) Marque, na última reta do quadro, o intervalo
que representa os valores de 𝑥 que satisfazem
à inequação.
Obs.8: SOBRE AS “BOLINHAS”:
Se a questão está com um dos símbolos “ > ” ou
“ < ”, as bolinhas sempre ficam “vazias”, pois as
raízes das funções não fazem parte do conjunto-
solução.
Se a questão está com um dos símbolos “ ≥ ” ou
“ ≤ ”, as bolinhas, a princípio, ficam “cheias”,
exceto nas raízes das funções que fazem parte do
denominador de uma inequação quociente, pois
esses números geram uma divisão por zero, o que
não é definido.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 6.1. Leia os exercícios resolvidos 28 e 29.
EXTRA
Questões extras 1) Determine a soma de todos os números naturais
que satisfazem a inequação quociente 2𝑥+1
5−𝑥≥ 0.
2) O gráfico da função 𝑓:ℝ → ℝ com 𝑓(𝑥) = 𝑥² +
3𝑥 − 10 intersecta o eixo das abscissas nos
pontos A e B. Determine a distância entre A a B.
3) Um terreno retangular tem dimensões 6 m por
10 m. Aumentando-se cada dimensão em 𝑥
metros, obtém-se um novo terreno retangular de
área 117 m². Determine o valor de 𝑥.
4) O figura a seguir é uma representação cartesiana
da função 𝑓:ℝ → ℝ, em que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 +
𝑐, com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 constantes reais e 𝑎 ≠ 0.
Dado que P(5;-7) é um ponto dessa parábola,
determine f(x).
5) No quadrado ABCD a seguir, P, N e M são pontos
tais que P ∈ DC̅̅̅̅ , N ∈ CB̅̅̅̅ e M ∈ AB̅̅ ̅̅ .
Dado que 𝐴𝐵 = 6 e que 𝑃𝐶 = 𝐶𝑁 = 𝐴𝑀 = 𝑥,
determine o valor de 𝑥, para que a área da região
sombreada seja máxima.
6) Construa, em um sistema de eixos
perpendiculares xOy, em que O = (0; 0), um
esboço do gráfico da função f: ℝ → ℝ, tal que
f(x) = x2 − 4x. Em seguida, determine o
conjunto-imagem dessa função.
7) Resolvendo, em ℝ, a equação (2𝑥2 − 7𝑥 + 6) ⋅
(2𝑥 + 1) = 0, tem-se que a soma de suas raízes é
igual a
TAREFA 8 – Fazer os PSA. 55, 56(c), 57 e 58(a,b).
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 9
a) −7
b) −4
c) 0
d) 1
e) 3
8) As raízes da equação 2𝑥2 − 6𝑥 + 3 = 0 são 𝑥1 e
𝑥2. O valor de 𝑥12 + 𝑥2
2 é igual a
a) 36
b) 30
c) 9
d) 6
e) 12
9) Em um mercado de pescados, o gerente sabe que,
quando o quilograma de peixe de primeira
qualidade é anunciado, no início do dia, por um
preço de 𝑝 reais, o mercado vende uma
quantidade 𝑛 = 400 − 5𝑝 quilogramas nesse dia.
O preço do quilograma, em reias, para que o
gerente tenha uma arrecadação máxima é
a) 30
b) 40
c) 50
d) 60
e) 70
10) Seja a função 𝑔:ℝ → ℝ, tal que 𝑔(𝑥) = 𝑥2 +
(𝑚 − 2)𝑥 + 𝑚 − 2. Dado que 𝑆 é o conjunto de
todos os valores reais de 𝑚 para os quais 𝑔 possui
duas raízes reais iguais, tem-se que a soma de
todos os elementos de 𝑆 é igual a
a) 2.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 10.
11) Uma empresa de turismo cobra, por um passeio,
R$ 30,00 por uma pessoa para um grupo de 50
pessoas. Para cada pessoa acrescida nesse grupo
o preço por pessoa é reduzido em R$ 0,50. Desse
modo, determine o número de pessoas que
devem compor um grupo para que a empresa
obtenha a receita máxima em um passeio.
CAIU NO VEST .1) (UnB – 2014)
A curva na figura acima representa o acúmulo de 𝐶𝑂2
na atmosfera da Biosfera II, durante alguns dias, como
resultado de falha no sistema de purificação de ar.
Níveis de 𝐶𝑂2 inferiores a 2000 ppm são
considerados normais. Acima desse valor, o acúmulo
de 𝐶𝑂2 afeta o ser humano, conforme mostrado na
figura. A referida curva pode ser representada por
parte do gráfico da função 𝐶(𝑡) =1
164(196𝑡 − 𝑡2 +
133), em que 𝐶(𝑡) é dado em 103 ppm, e o valor de 𝑡
em dias.
1. Se os níveis de 𝐶𝑂2, na atmosfera fossem
determinados pela função 𝐶(𝑡) =1
164(3𝑡𝑗 − 𝑡2 +
133), em que 𝑗 é um número natural maior ou igual a
3, toda a população humana presente na Biosfera II
estaria morta no 18º dia.
2. O nível mais alto de 𝐶𝑂2 ocorreu após 97° dia de
observação.
3. Considerando-se que o gráfico de 𝐶(𝑡) - para todo 𝑡
em que 𝐶(𝑡) ≥ 0 - represente a curva de acúmulo de
𝐶𝑂2 na Biosfera II, infere-se que os níveis de 𝐶𝑂2
voltaram à normalidade somente 8 meses após o
início da falha no sistema de purificação de ar.
4. A função 𝐶(𝑡) pode ser reescrita como 𝐶(𝑡) =
𝑘(𝑎 − 𝑡)(𝑏 − 𝑡), em que 𝑘 é um valor positivo e
𝑎, 𝑏 ∈ (0,190).
5. O período, em dias, durante o qual o valor de 𝐶𝑂2
permaneceu nos níveis da faixa I foi
a) inferior a 20. b) superior a 21 e inferior a 28.
c) superior a 28 e inferior a 33.
d) superior a 33.
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2) (UnB – 2013) A umidade relativa do ar em Brasília,
em agosto, normalmente atinge índices muito baixos.
Considerando que, em Brasília, a variação da umidade
relativa do ar durante certo dia de agosto, dia X, está
descrita, em porcentagem, pela função 𝑓(𝑡) =
0,4𝑡2 − 11𝑡 + 92, com 4 ≤ 𝑡 ≤ 24, em que 𝑡 é o
tempo, em horas, julgue os itens a seguir:
1. Entre 9h e 17h do dia X, a umidade do ar em
Brasília ficou abaixo de 22%.
2. Às seis horas do dia X, a umidade relativa do ar em
Brasília foi superior a 40%.
3. No dia X, a umidade relativa do ar em Brasília
atingiu valores inferiores a 15%.
3) (ENEM - 2013) A parte interior de uma taça foi
gerada pela rotação de uma parábola em torno de um
eixo 𝑧, conforme mostra a figura
A função que expressa a parábola, no plano
cartesiano da figura, é dada pela lei 𝑓(𝑥) =3
2𝑥2 −
6𝑥 + 𝐶, onde 𝐶 é a medida da altura do líquido
contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto
𝑉, na figura, representa o vértice da parábola,
localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça,
em centímetros, é
a) 1. b) 2. c) 4. d) 5. e) 6.
4) (UNICAMP – 2014 – 2º fase) Se 𝑎 e 𝑏 são reais.
Considere as funções quadráticas da forma 𝑓(𝑥) =
𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏, definidas para todo 𝑥 real.
a) Sabendo que o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) intercepta o
eixo 𝑦 no ponto (0; 1) e é tangente ao eixo 𝑥,
determine os possíveis valores de 𝑎 e 𝑏.
b) Quando 𝑎 + 𝑏 = 1, os gráficos dessas funções
quadráticas têm um ponto em comum. Determine as
coordenadas desse ponto.
GABARITO:
FUNDAMENTAIS
1.1. Livro
1.2. 2k
1.3. 3 e 1
1.4.
3 duas raízes reais iguais
3 duas raízes reais distintas
3 não tem raízes reais
p
p
p
1.5. a) 1
2 b) 12
1.6. 2 3 10 0x x
2.1. 2 3 10 0x x
2.2. 22 12 10f x x x
3.1. Livro
3.2. Livro
4.1. Gráficos
5.1.
0 2, 1 ou 3
0 2 1 ou 3
0 2 ou 1 3
f x x x x
f x x x
f x x x
5.2. Livro
6.1. Livro
QUESTÕES EXTRAS
1) 1
| 52
x x
2) 7
3) 3
4) 2 4 12f x x x
5) 3
6) Gráfico e Im 4,f
7) E
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 11
8) D
9) B
10) D
11) 55
CAIU NO VEST
1) C C E E C
2) C C E
3) E
4) a) 1 e 2b a
b) 1, 2