Elementos de Análise Numérica Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior Prof. Marllus Gustavo Ferreira...

Elementos de Análise Numérica

Prof. Carlos Ruberto Fragoso JúniorProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Solução de problemas de Engenharia Sem computador Com computador

Formulação

SoluçãoInterpretação

FormulaçãoSolução

Interpretação

Antes Problemas com equações conhecidas, mas sem condições de serem trabalhadas

Tópicos

Aproximação ou Ajuste de curvas Integração numérica Derivadas numéricas Raízes de equações Sistemas de equações lineares Sistemas de equações não lineares

Aplicações em Recursos Hídricos Raizes da equação de manning

Canal prismático Canal com seção dada em tabela

Equação de remanso Solução da equação para encontrar x ideal para

muskingun cunge (propagação de vazões) Solução da propagação de reservatório usando

Newton

Aproximação ou ajustes de curvas Três aplicações

Extrair informações de dados problemas de previsão de população, por exemplo

Estudo de Leis ou funções que relacionem duas variáveis ambientais largura do rio em função da área da bacia de aporte; área impermeável em função da densidade habitacional, volume em função da cota em um reservatório,...

Achar funções mais simples de se trabalhar do que a função proposta

Aproximação ou ajustes de curvas Duas classes de métodos

Interpolação consideramos os dados precisos a curva de ajuste coincidirá com os pontos dados

Método dos quadrados mínimos leva-se em consideração erros introduzidos na obtenção dos dados

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Dados

Interpolação

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Quadrados mínimos0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Interpolação linear

A forma mais simples de interpolação é a interpolação linear, em que dois pontos são unidos por uma linha reta

Aproximação

cota

volu

me

)()()()()( 001

010 xx

xxxfxfxfxf

x

Interpolação quadrática

Encontra uma parábola que aproxima 3 dados consecutivos

Aproximação

cota

volu

me

)()( 102010 xxxxbxxbbxf

x

De forma geral Temos n+1 pontos (x0,y0), ..., (xn, yn), onde x0 ≠ x1 ≠ ... ≠ xn

Conhecemos y0 = f(x0), ..., yn = f(xn) Gostaríamos de encontrar o polinômio p(x) tal que p(x0) =

f(x0), ..., p(xn) = f(xn) polinômio interpolador

AproximaçãoInterpolação

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

9 pontos

A função f é conhecida em todos eles

O que a matemática garante?


0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

O que a matemática garante? Seja f(x) uma função conhecida nos n+1 pontos

distintos x0, x1, x2,..., xn. Existe um único polinômio p(x), de grau menor ou igual a n, tal que

p(xi) = f(xi) para i = 0, 1, 2, ..., n

Parábola (n = 2) mínimo 3 pontosPolinômio de grau 8 mínimo de 9 pontos


Splines Funções polinomiais “por partes” Splines

As “partes” fazem parte de uma partição devido aos pontos interpolados

Ao se escolher, por exemplo, Splines cúbicos (ordem 3), fazemos uma “colagem” de polinômios de grau 3 em cada subintervalo do intervalo que caracteriza a partição

Aproximação

Splines Interpolação numérica

Splines Alguns softwares de planilha usam splines cúbicos

para suavizar linhas de gráficos

Interpolação numérica

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140

Existem rotinas prontas em praticamente qualquer linguagem para interpolação com polinômios e splines Calculadora, Matlab, Excel, etc…

Splines Os splines cúbicos podem causar alguns problemas.

Interpolação numérica

Quadrados mínimos Em alguns casos é necessário gerar funções que aproximam

razoavelmente um conjunto de dados. Ao contrário da interpolação, no ajuste não é necessário

respeitar todos os pontos. A idéia é minimizar os erros com uma função simples.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

Ajuste – exemplo em simulação Relação entre largura de um rio e área de drenagem obtida a partir de seções transversais em locais de postos fluviométricos da ANA

Quadrados mínimos

0.4106baciario A3.2466 B

Utilizada para calcular os parâmetros do modelo Muskingum Cunge em locais sem dados

0

50

100

150

200

250

300

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

Área da bacia (km2)

Larg

ura

do ri

o (m

)

Curva chave de um posto pluviométrico é um ajuste de uma equação pré-determinada aos dados de medição de vazão.

Ajuste – exemplo em simulação

Quadrados mínimos

Integração numérica

Quando utilizar?

quando é necessário obter informações de área molhada e raio hidráulico de uma seção transversal de um rio, definida por pares de pontos x e y

Também surgem quando é necessário discretizar uma função analítica contínua, de forma que sua área seja mantida

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140

Idéia básica da integração numérica aproximação da função por um polinômio


Matlab Interpolação 1D função interp1

Métodos: 'nearest' - vizinho mais próximo, 'linear‘, 'spline' - spline cúbico ....

yi = interp1(x,Y,xi)

Integração numérica Procura-se desenvolver fórmulas de integração do tipo:

bxxxa

xfwdxxf

n

n

iii

b

a

...

)()(

10

0

Pontos de integração

Pesos da fórmula de integração

O uso desta técnica decorre do fato de: por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de

integrar, contrariamente a um polinômio; a única informação sobre f(x) ser um conjunto de

pares ordenados

Fórmulas de Newton-Cotes. Regra do Trapézio simples, x0=a e xn=b; Regra do Trapézio composta, x0=a e xn=b; Regra de Simpson , x0=a e xn=b.


Integração numérica Fórmulas de Newton-Cotes Usam pontos de integração igualmente

espaçados (a,b) intervalo de integração

Usa-se um polinômio de grau n, escrito pela fórmula de Lagrange, que interpola os (n+1) pontos [xi, f(xi)] i = 0, 1, 2, …, n

nxx

nabh n 0

Integração numérica Fórmulas de Newton-Cotes

n

iii

b

a

xfwdxxf0

)()(

b

a niiiii

niib

aii dx

xxxxxxxxxxxxxxxxdxxlw

)(...)()(...)()(...)()(...)()(

1101

110

n = 1 fórmula dos trapézios

b

a

dxxxxxw

)()(

10

00

b

a

dxxxxxw

)()(

01

01

1

0

)()(2

)( 10

x

x

xfxfhdxxf

Regra do trapézio simples

x

f(x)

x0 x1

f(x1)

f(x0)

2ba ff

abI

Aproxima a área sob a curva pela área de um trapézio

1

0

102

x

x

xfxfhdxxf )()()(

Intervalo [a, b] relativamente pequeno aproximação do valor da integral é aceitável

Intervalo [a, b] de grande amplitude aproximação inadequada pode-se subdividí-lo

em n sub-intervalos, e em cada um a função é aproximada por uma função linear

Regra do trapézio simples

Fórmulas compostas ou fórmulas repetidas

Regra do trapézio composta Intervalo [a, b] de grande amplitude Soma da área de n trapézios, cada qual

definido pelo seu sub-intervalo

nxx

nabh n 0

Subintervalos de igual comprimento h

Fórmula:

Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem, assim:

)()(...

)()()()()(

NN

x

x

xfxfh

xfxfhxfxfhdxxfm

1

2110

2

220

Nx

xNN xfxfxfxfxfhdxxf

0

1210 22

)()(...)()()()(

Regra do trapézio composta

Regra do Trapézio Simples: 2 pontos (x0=0,0 e x1=4,0)

I=h/2*(y0+y1)=2x(1,00000+0,24254) = 2,48508 Regra do Trapézio Composta: 3 pontos (x0=0,0,x1

=2,0,x2 =4,0)

I=h/2(y0+2y1+y2)=1x(1,00000+2x0,44722+ 0,24254) = 2,1369

Regra do Trapézio Composta: 9 pontos I=(0,5/2)x(y0+2y1+2y2+2y3+2y4+2y5+2y6+2y7+y8) =2,0936

x y=(1+x²)-1/2

0.0 1,00000

0.5 0,89445

1.0 0,70711

1.5 0,55475

2.0 0,44722

2.5 0,37138

3.0 0,31623

3.5 0,27473

4.0 0,24254A aproximação para 9 pontos é melhor, dado que o valor real é 2,0947

Exemplo: Estimar o valor de

4

0

2121 dxx /)(


Matlab Regra do trapézio função trapz

Z = trapz(Y) calcula uma aproximação para a integral de Y (com espaçamento unitário)

Z = trapz(Y,X) calcula uma aproximação para a integral de Y, definida pelos pares X, Y

X=0:0.5:4Y=sqrt(1+X.^2);Y=Y.^(-1);Z = trapz(X,Y);

4

0

2121 dxx /)(

A regra utilizada é composta?

x

f(x)

x0 x1

f(x1)

f(x0)

ERRO! Erro

E = I – T

T - valor da integral numérica.

I - valor da integral obtida pela integração de f(x)


Erro da Regra do Trapézio Simples

Erro da Regra do Trapézio Composta

O erro final de uma fórmula repetida é obtido pela soma

dos erros parciais

b[ ]a, certo um para ),´´()´´()()(

fhfabfE1212

33

1212

3

1

3 )´´()´´()( ii

N

iN

fNhfhfE


12:02

Exemplo: Seja ,

calcule uma aproximação para I usando a Regra dos Trapézios Simples. Estime o erro cometido.

1

0

dxeI x

101 abh

1

0

102

x

x

xfxfhdxxf )()()(

859141,11

0

dxeI x

eedxeI x 01

0 21


12:03

Estimativa do erro cometido:

2265230121

10121

10

3

,

),( ,)(

][máx

:Portanto

x

,xTR

TR

eE

eE

x

,xee

][máx

10

1



b

a niiiii

niib

aii dx

xxxxxxxxxxxxxxxxdxxlw

)(...)()(...)()(...)()(...)()(

1101

110

n = 2 fórmula de Simpson

b

a

hdxxxxx

xxxxw3)()(

)()(

2010

210

b

a

hdxxxxx

xxxxw3

4)()(

)()(

2101

201

b

a

hdxxxxx

xxxxw3)()(

)()(

1202

102

Regra de Simpson

x

f(x)

x0 x1

f(x1)

f(x0)

Aproxima pela área de um polinômio de grau 2x2

f(x2)

Fórmula

2x

0x210 )x(f)x(f4)x(f

3hdx)x(f

Considerando n sub-intervalos (n deve ser um número par):

nx

xnnn xfxfxfxfxfxfhdxxf

0

)()(4)(2)(2)(4)(3

)( 12210

Regra de Simpson composta

Regra de Simpson composta

Dividindo [0,1] em seis subintervalos, temos: h=1/6

Regra de simpsonS =1/18.[1+4(6/7+2/3+6/11)+2. (3/4+3/5)+1/2] = 0,69317

Valor da integral I = ln(2) = 0,69315

x y=(1+x)-1

0.0 1,00000

1/6 6/7

2/6 3/4

3/6 2/3

4/6 3/5

5/6 6/11

1 1/2

Exemplo: Estimar o valor de

1

0 x1dx

Regra de Simpson

Regra de Simpson- ErroErro da Regra de Simpson

b[ ]a, certo um para ),(90

)(5

IVfhfE

Diferenciação numérica Idéia básica da diferenciação numérica

Aproximar a derivada real em um ponto utilizando diferenciais pequenos.

Utilizando principalmente na discretização de equações diferenciais

Δxf(x)Δx)f(x

ΔxΔf

ΔxΔflimdx

df0Δx

1xxdxdf

x

f

01

01

xxff

xf

x0 x1

Diferenciação numérica

Diferenciação numérica Erros de truncamento As derivadas numéricas são apenas uma

aproximação razoável das derivadas analíticas

ΔtΔf

dtdf

É possível avaliar o erro cometido nesta aproximação utilizando as séries de Taylor

Séries de Taylor A série de Taylor permite estimar o valor de uma

função num ponto a partir do valor da função e das suas derivadas em um ponto próximo.

n3i2i

ii1i R...h3!)(xfh2!

)(xfh)(xf)f(x)f(x

Onde h é a diferença entre xi+1 e xi. A série de Taylor é infinita. A aproximação da derivada numérica é finita

O resto

11

)!1()(

nn

hn

fRn O resto é dado por

onde fn+1 é a derivada de ordem n+1 e é um valor entre xi+1 e xi

Séries de Taylor

n3i2i

ii1i R...h3!)(xfh2!

)(xfh)(xf)f(x)f(x

Séries de Taylor e derivadasRnhxfhxfhxfxfxf ii

iii

...!3

)(!2

)()()()( 321

11 )()()( Rhxfxfxf iii

hR

hxfxfxf ii

i11 )()()(

A derivada numérica tem erro

de truncamento dado por Rn/hO valor do erro R1/h é da ordem de h O(h) pode-se expressar

)()()()( 1 hOh

xfxfxf iii

Erro da ordem de h quanto menor o passo (incremento), menor o erro da aproximação

Erros de arredondamento x truncamento

Erro de arredondamento soma das incertezas associadas à representação do sistema de numeração na máquina o computador utiliza uma representação binária com um número finito de bytes para representar os números reais

Erro de truncamento aquele associado ao truncamento de um processo infinito como o processo infinito não se conclui, somos forçados a adotar uma aproximação obtida após a execução de alguns passos

Tipos de derivadas numéricas

O(h)h)f(x)f(x)(xf 1ii

i

O(h)h)f(x)f(x)(xf i1i

i

)O(hh2)f(x)f(x)(xf 21i1i

i

Progressiva forward

Regressiva backward

Centrada Centered

Considerando que h é pequeno, o erro de truncamento da derivada numérica centrada é menor do que os outros.

12:16


)()()(2)()(' 22

11 hOh

xfxfxfxf iiii

Derivada segunda:

Rnhxfhxfhxfxfxf iiiii

...

!3)(

!2)()()()( 32

1

Rn...h!3

)x(fh!2

)x(fh)x(f)x(f)x(f 3i2iii1i

12:17


x

f

regressiva

analítica

progressiva

x0 x1 x2centrada

Exemplo derivada numérica

A celeridade cinemática de propagação de perturbações no escoamento é calculada por

onde c é a celeridade, Q é a vazão e A é a área da seção transversal

dAdQc

Exemplo derivada numérica Considerando uma seção prismática regular

nSRAQ

21

32

h dhdA

dhdQ

c

hAA

hQQ

chhh

hhh

dAdQc

Exemplo derivada numérica Considerando uma seção qualquer

dAdQc

nSRAQ

21

32

dhdA

dhdQ

c

hAAhQQ

chhh

hhh

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140

h

Tabelas deA; R e Q em função de h

interpolação

Raízes de equações Recursos hídricos surgem muitas

equações de difícil solução analítica, com termos implícitos e não lineares

Os métodos aqui apresentados são iterativos estabelecemos uma expressão (função de iteração) que, aplicada repetidas vezes, a partir de uma aproximação inicial conhecida, produz uma sequencia de aproximações que convergem para a solução do problema.

Raízes de equações Determinação da aproximação inicial para

o caso de uma única função do cálculo diferencial e integral: Se y = f(x) é uma função contínua e muda de

sinal no intervalo [a,b], isto é, se f(a) . f(b) < 0 existe pelo menos um ponto c E [a,b] tal que f(c) = 0. Se, além disso, f’(x) não muda de sinal em [a,b] c é a única de f(x) neste intervalo

O ponto médio do intervalo pode ser uma aproximação inicial método da bisseção

Métodos numéricos para encontrar raízes de equações Bissecção Falsa posição Newton-Raphson Secantes

Raízes de equações

f(x)

x

raiz

No método de bissecção é necessário fornecer duas estimativas iniciais (limites do intervalo) de valor de x que “cercam” a raiz

Dadas as duas estimativas iniciais xu e xl, uma primeira estimativa para a raiz é dada por:


F(x)

x 2lu

rxxx

Método de bissecção

Método de bissecção

2lu

rxxx

F(x)

x

Supõe-se que a raiz esteja exatamente entre xu e xl

Se f(xr).f(xl) negativo, entãoBusca entre xr e xl

Se não, busca entre xr e xu


Busca entre xr e xu

Busca termina de acordoCom critério de parada

Critérios de parada

Incremento de x menor que um dado limite Diferença entre f(x) no ponto testado e zero é

menor do que um dado limite

Raízes de equaçõesMétodo de bissecção

Método de falsa posiçãoRaízes de equações

F(x)

x

Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de uma linha reta unindo os dois pontos

Bissecção e falsa posição sempre encontram a raiz, mas podem ser demorados

Além disso, exigem que sejam dadas duas tentativas iniciais com sinais contrários da função


Problemas dos métodos anteriores


Método de Newton-Raphson


Combina duas ideias básicas muito comuns em aproximações numéricas: Linearização substituir (numa certa

vizinhança) um problema complicado por sua aproximação linear que, por via de regra, é mais facilmente resolvida

Iteração um processo iterativo, ou aproximações sucessivas repetição sistemática de um certo procedimento até que seja atingido um grau de aproximação desejado



Linearização de uma função valor de f em x3

f(x)

xx1 x2

x3

f(x3)

Quanto mais próximo eu tomo um ponto de x3, mais a reta se aproxima da curva

Δx)f(x)L(x 23 Coef. angular da reta L(x)

que passa em x2 :

Este coef. angular também é dado por f’(x2)

L(x3)

f(x2)

7:36

x2 x3

f(x3)

Δx)(xf')f(x)L(x 223



f(x2)

xL(x3)

Δx)(xf')f(x)L(x 223

Δx)f(x)L(x)(xf' 23

2

Δx)(xf')f(x)f(x 223

Para que x3 seja a raiz

Δx)(xf')f(x0 22

)(xf')f(x-xx

2

223

Pela série de Taylor

Rnhxfhxfhxfxfxf iiiii

...

!3)(

!2)()()()( 32

1

iiiii xxxfxfxf 11 )()()(ii xxh 1se

Raízes de equaçõesMétodo de Newton-Raphson

0)( 1 ixfSupondo que (xi+1 é a raiz)

)()(

1i

iii xf

xfxx


F(x)

x

Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo umalinha reta dada pela derivada da função no ponto inicial

Tentativa inicial


F(x)

xTentativa inicialderivada



F(x)

x

derivada



F(x)

x



Raízes de equaçõesMétodo de Newton-Raphson Critérios de parada quando f(xi) for

suficientemente próximo de zero ou quando a diferença de dois iterados torna-se muito pequena

Problemas do método de Newton-Raphson É melhor que a primeira estimativa não esteja longe

demais da raiz

x


x

Raízes de equaçõesProblemas do método de Newton-Raphson É melhor que a primeira estimativa não esteja longe

demais da raiz

Método das Secantes Um possível problema do método de Newton-

Raphson, especialmente em recursos hídricos, é que pode ser difícil estimar a derivada da função

Neste caso é possível utilizar uma aproximação numérica para a derivada, gerando o método das secantes

ii

iii xx

xfxfxf

1

1 )()()(


ii

iii xx

xfxfxf

1

1 )()()(

f(x)

xTentativa inicial

secante

)()(

)(

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

Método das Secantes


Semelhança dos triângulos abaixo

f(x)

xTentativa inicial

secante



ii

iii xx

xfxfxf

1

1 )()()(

)()(

)(

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx

f(x)

xTentativa inicial

secante

)()(

)(

1

11

ii

iiiii xfxf

xxxfxx



Comparação de métodos Newton-Raphson é mais rápido, seguido do

método das secantes, da falsa posição e finalmente bissecção

Newton-Raphson e Secantes podem divergir

Secantes pode ser aplicado para funções em que é difícil obter derivadas (comuns em simulação hidrológica)

Mas podemos usar derivadas numéricas


Comparação de métodosRaízes de equações

Comparação de métodos Mesmo exemplo no excel Newton


Comparação de métodos Mesmo exemplo no excel Newton com

derivadas numéricas


Comparação de métodos Mesmo exemplo no excel Secante


Matlab

Exemplo Calcule o nível da água h se:

nSRAQ

21

32

h

Q=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02B=8 m

B

0)(2

13

2

n

SRAQhG



Exemplo

nSRAQ

21

32

h

BQ=15 m3/sS=0,001 m/mn=0,02B=8 mm=1,5

m

1

0)(2

13

2

n

SRAQhG


Calcule o nível da água h se:


Exemplo Calcule a vazão de um vertedor

23

22

2

2

gLh

QhLCQh

g=9,81 m/s2

h=20 cmL=10 mC=2


Exemplo Calcule o nível h para uma dada vazão Q

nSRAQ

21

32

30

32

34

36

38

40

42

44

46

48

0 20 40 60 80 100 120 140

h

Tabelas de A; R e Q em função de h

Q = 15 m3/sS = 0,001 m/mn = 0,02

0)(2

13

2

n

SRAQhG

Simples busca e interpolação da tabela


Outro exemplo: balanço hídrico de reservatório com vertedor

)()(

)(

hgVhfO

tfI

OIdtdV

2/3

shhLCQ

Equação de vertedor


Supondo um reservatório

23020030200

3020030200

30200

2/32/313856,03856,011

3856,03856,011

3856,0

st

sttttt

tttt

hhLChhLCIt

hhhh

thhhh

dtdV

hhV

Como tornar o termo de h no tempo t+1 explícito?



Como encontrar raízes de equações implícitas

2

30200302002/32/313856,03856,011

st

sttttt hhLChhLCI

thhhh

Método de bissecçãoMétodo de Newton-RaphsonMétodo das secantes

E se houver operação de comportas durante uma cheia?


Exemplo Na aplicação do método de Muskingum-Cunge para a simulação da

propagação de vazão em rios, utilizam-se sub-trechos, cujos comprimentos ideais podem ser encontrados resolvendo a equação abaixo:

2,08,00

00

0 8,0 xtccSB

Qx

Aplique considerando: Q0=100 m3/s c0=1,0 m/s B = 30 m S0=0,001 m/m t = 1 hora (3600 s)

00

05,2cSB

Qx

Use a equação abaixo paraa estimativa inicial


Solver do Excel

O solver pode ser utilizado para encontrar raízes de equações

Não está claro que método que Solver utiliza Chute inicial deve estar relativamente próximo da

raiz



Problema comum em engenharia; A utilização do método está liga a dois

condicionantes: (a) matriz de coeficientes, (b) eficiência da solução;

Classificação: Quanto ao tipo: (a) linear, (b) não linear; Quanto ao tipo de solução: (a) direta (ex. Gauss),

(b) iterativa (ex. Gauss-Seidel); Quanto à solução: (a) compatível e determinada;

(b) compatível e indeterminada; (c) incompatível.

Sistemas de equações - Introdução

Sistemas de equações lineares Pode ser definido como:

nnnn33n22n11n

3nn3333232131

2nn2323222121

1nn1313212111

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa

Sistemas de equações lineares Em forma matricial:

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaaaaaaaaaa

Matriz do coeficientes

n

3

2

1

x

xxx

Vetor das incógnitasou vetor solução

n

3

2

1

b

bbb

Vetor das constantes

BXA

Sistemas de equações lineares Classificação quanto à solução:

Possível e determinado → Possui uma única solução. Solução trivial → Det(A) ≠ 0 e B = 0; Solução não trivial → Det(A) ≠ 0 e B ≠ 0

Possível e indeterminado → Possui infinitas soluções Det(A) = 0 e B = 0 ou B é múltiplo de uma coluna de A

Impossível → Não possui soluções Det(A) = 0 e B ≠ 0 e B não é múltiplo de nenhuma

coluna de A

Soluções de sistemas de equações lineares Método de Gauss (direto)

Método direto fornecem a solução do sistema após a realização de um n° finito de passos. Os erros são basicamente de arredondamento da máquina

Método de Gauss-Seidel (iterativo) Métodos iterativos baseiam-se na construção

de sequências de aproximações; em cada passo valores calculados anteriormente são usados para melhorar a aproximação

Método de Gauss

Consiste em transformar a matriz A em uma matriz triangular equivalente através das seguintes operações: Subtração de uma linha por outra multiplicada por

uma constante; Formação de uma matriz diagonal superior.

nnnn

nn

nn

nn

bxa

bxaxa

bxaxaxa

bxaxaxaxa

~~...........

~~.......~

~~.......~~.......

33333

22323222

11313212111

Método de Gauss

375

Bexxx

X,922294242

A

3x9x2x27x2x9x45x2x4x2

3

2

1

321

321

321

Considere,

onde:

392272945242

Ae,

Método de Gauss

1o passo: Definir um multiplicador para cada linha baseado na primeira m2 = a21/a11; m3 = a31/a11

2o passo: Subtrair o produto do multiplicador da 2a e 3a linha pela 1a linha a’i,j=ai,j- mi . ai-1,j , onde i = 2,3 e j = 1,2,3

Método de GaussO multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1


321

321

321 (x 2)(-

5x2x4x2 321 3x2x 32 8x7x2 32

(x -1)(-)

Método de Gauss

3527bmbb

2222amaa

1429amaa

0aaaaamaa

122'2

13223'23

12222'22

1111

212111221

'21

2a linha:

Os multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1

3a linha:

8513bmbb

7219amaa

2412amaa

0aaaaamaa

133'3

13333'33

12332'32

1111

313111331

'31

Método de GaussApós estes passos, a matriz aumentada fica da seguinte forma:

87203210

5242

'b'a'a0'b'a'a0

baaaA

33332

22322

1131211

Repentindo os passos de 1 a 3, só que agora tomando comobase a linha 2:

Método de GaussCalculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2

8x7x23x2x5x2x4x2

32

32

321

(x 2)(-)

5x2x4x2 321 3x2x 32

14x3 3

Método de Gauss

14328bmbb

3227amaa

0aaaaamaa

'2

'3

'3

''3

'23

'3

'33

''33

'22'

22

'32'

32'22

'3

'32

''32

3a linha:

Calculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2

Após estes passos, a matriz aumentada agora tem a seguinte forma:

143003210

5242

ba00baa0baaa

A''

3''33

'2

'23

'21

1131211

Método de GaussEquivalente a:

14x33x2x5x2x4x2

3

32

321

Resolvendo o novo sistema, obtem-se:

83,31x33,12x

67,4x

1

2

3

Método diretos como o de Gauss tem a vantagem de fornecer a solução após um n° finito de passos e não dependem de condições de convergência

Podem ser inviáveis quando o sistema é muito grande ou mal condicionado

Método de Gauss

Método iterativo de Gauss-Seidel É um dos métodos mais comum e simples de

ser programado; O método converge somente sob certas

condições e normalmente conduz a um número maior de operações quando comparado com métodos diretos

Como qualquer método iterativo convenientes para sistemas grandes e esparsos que aparecem após discretização de EDPs

Método iterativo de Gauss-Seidel

n

1ij

kjj,i

1i

1j

1kjj,ii

i,i

1ki xaxab

a1x

A equação utilizada para iterações é a seguinte:

Pode-se utilizar um coeficiente para acelerar o processode convergência:

n

1ij

kjj,i

1i

1j

1kjj,ii

i,i

1ki xaxab

ax


Seja o sistema de equações:

nnnn33n22n11n

3nn3333232131

2nn2323222121

1nn1313212111

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa

Método iterativo de Gauss-SeidelObtemos o valor de x1 a partir da primeira equação, o valor de x2 a

partir da segunda equação e assim sucessivamente:

1k1n1nn

1k33n

1k22n

1k11nn

nn

1kn

knn3

k434

1k232

1k1313

33

1k3

knn2

k424

k323

1k1212

22

1k2

knn1

k414

k313

k2121

11

1k1

xaxaxaxaba1x

xaxaxaxaba1x

xaxaxaxaba1x

xaxaxaxaba1x

Método iterativo de Gauss-Seidel Ponto de partida

Conjunto de valores iniciais na falta de melhores informações, podemos usar x1 = x2 = ... = xn = 0

Critério de parada Número de iterações excedeu um determinado

valor m; A seguinte condição atenta uma precisão adotada:

n

1j

n

1ijj,ii xab

Método iterativo de Gauss-Seidel Convergência do método:

Existe um critério de convergência, através de um teorema, que envolve autovalores de matrizes, o que nem sempre é trivial

Este teorema, no entanto, permite estabelecer outras condições de convergência de verificação mais simples O método converge se a matriz A é diagonalmente

dominante O método converge se a matriz A é uma matriz positiva

definida

Método iterativo de Gauss-Seidel Convergência do método:

matriz de coeficientes seja positiva definida Inspeção da diagonal principal (necessária):

Domínio da diagonal (suficiente):

Método dos menores principais (necessária e suficiente):

jipara,0a j,i

ij

i,ji,iij

j,ii,i aaeaa

0Ri



321

321

321

Considere

Aplicando o método, tem-se

1k2

1k1

1k3

k3

1k1

1k2

k3

k2

1k1

x2x2391x

x2x4791x

x2x4521x

Método iterativo de Gauss-SeidelConsiderando o ponto de partida com Xk=(x1, x2, x3)=(0, 0, 0),

a primeira iteração fica:

815,0333,025,22391x

333,0025,24791x

5,20204521x

1k3

1k2

1k1

Adotando ɛ = 0.0001, após 244 iterações a solução converge para:

67,4x33,12x

83,31x

3

2

1

Método iterativo de Gauss-SeidelExercício para casa:

- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas lineares pelo método iterativo de Gauss-Seidel.

Sistemas de equações não lineares Pode ser definido como:

0x,...,x,x,xf

0x,...,x,x,xf0x,...,x,x,xf0x,...,x,x,xf

n321n

n3213

n3212

n3211

onde f é uma função não linear em função de x1,x2,…,xn.

Sistemas de equações não lineares Método iterativo de Newton

Se baseia no método Newton-Rapson para solução de equações não lineares

Transforma o sistema não linear em um sistema linear (linearização), este resolvido a cada uma das várias iterações de modo que a solução do linear se aproxime daquela esperada (não linear)

Método iterativo de Newton Um sistema de equações não lineares:

0x,...,x,x,xf

0x,...,x,x,xf0x,...,x,x,xf0x,...,x,x,xf

n321n

n3213

n3212

n3211

pode ser expandido para série de Taylor de primeira ordem:

Método iterativo de Newton Resultando em um sistema de equações lineares:

0xxfx

xfx

xfx,...,x,x,xfx,...,x,x,xf

0xxfx

xfx


0xxfx

xfx


0xxfx

xfx


n

k

n

n2

k

2

n1

k

1

nkn321n

1kn321n

n

k

n

32

k

2

31

k

1

3kn3213

1kn3213

n

k

n

22

k

2

21

k

1

2kn3212

1kn3212

n

k

n

12

k

2

11

k

1

1kn3211

1kn3211

onde Δxi = xik+1- xi

k

Método iterativo de Newton Em forma matricial:

n

n

2

3

2

2

1

n

n

3

3

3

2

3

1

3

n

2

3

2

2

2

1

2

n

1

3

1

2

1

1

1

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

Jacobiano (k)

n

3

2

1

x

xxx

Vetor das incógnitasou vetor solução (k+1)

nn

n2

2

n1

1

nn

nn

32

2

31

1

33

nn

22

2

21

1

22

nn

12

2

11

1

11

xxfx

xfx

xff

xxfx

xfx

xff

xxfx

xfx

xff

xxfx

xfx

xff

Vetor das Constantes (k)

k1kk BXJ

Método iterativo de Newton Ponto de partida

Conjunto de valores iniciais

Critério de parada Número de iterações excedeu um determinado

valor m; Verifique se a seguinte condição atenda uma

precisão adotada:

n

1i

ki

1ki ff

Método iterativo de Newton Convergência do método:

É necessário que a matriz de coeficientes seja positiva definida Inspeção da diagonal principal (necessária):

Domínio da diagonal (suficiente):

Método dos menores principais (necessária e suficiente):

jipara,0a j,i

ij

i,ji,iij

j,ii,i aaeaa

0Ri

Método iterativo de NewtonExercício para casa:

- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas não lineares pelo método iterativo de Newton.

Trabalho Desenvolver uma iteração, manualmente, do

sistema não linear resultante do chamado problema dos três reservatórios a seguir

Verifique as condições de convergência (matriz A diagonalmente dominante e positiva definida)

Utilize o método de Gauss-Sidel após a linearização do sistema não-linear

Prazo: 1 semana após esta aula

7:36

Trabalho o sistema abaixo é composto por 3

reservatórios. Não se sabe quais os valores de vazão nos trechos nem a cota piezométrica (CP) no ponto de convergência dos trechos. Para Determiná-los, desprezando as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas

7:36

trecho

L(m)

D(mm) f

AD 300 4000,03

DB 300 4000,03

DC 900 5000,02

AB

DC

100m

90m

80m

Trabalho Para resolver este problema, faz-se a

hipótese de que a CPD = 90, o que equivale a dizer que QDB = 0

Depois testa-se a hipótese Do resultado do teste, ou o problema

acaba ou se monta um sistema de equações não-lineares com 4 incógnitas.

A seguir o resumo do processo

7:36

Completando a tabela =0,0826f

AB

DC

100m

90m

80m

trecho

L(m)

D(m) f

AD 300 4000,03

0,00248

DB 300 4000,03

0,00248

DC 900 5000,02

0,00165

Trabalho

Hipótese CPD= 90m QDB=0 m3/sCalcular QAD e QDC. Por exemplo,

AB

DC

100m

90m

80m

Trabalho

Hipótese CPD= 90m QDB=0 m3/s

AB

DC

100m

90m

80m

trecho

H

Q (m3/s)

AD 10 0,37DB 0 0,00DC 10 0,46

QAD< QDC

QDB≠ 0

Trabalho

Sistema de equações

Resultado CPD=89,63m, QAD=0,38m3/s, QDB=0,07m3/s e QDC=0,45m3/s

Trabalho

Resultado

AB

DC

100m

90m

80m0,38 m3/s

0,07 m3/s

0,45m3/s

89,63m

Trabalho

Trabalho Para facilitar, chame:

CPD de x1

QAD de x2

QDB de x3

QDC de x4

7:36

Elementos de Análise Numérica Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior Prof. Marllus Gustavo Ferreira...

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