Estatística Aula 14 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo...

EstatísticaEstatísticaAula 14Aula 14

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli RodriguesSantos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

Aula 13Aula 13

Esperança Matemática Esperança Matemática Propriedades da EsperançaPropriedades da Esperança

VariânciaVariância

Desvio PadrãoDesvio Padrão

AplicaçõesAplicações

Já tínhamos visto que podemos representar graficamente Já tínhamos visto que podemos representar graficamente

uma distribuição de probabilidade comuma distribuição de probabilidade com

Um histogramaUm histograma

Um gráfico de barrasUm gráfico de barras

Esperança MatemáticaEsperança Matemática

Para entender o conceito de Para entender o conceito de Esperança matemática Esperança matemática ouou

valor esperadovalor esperado, partiremos de um exemplo discreto com, partiremos de um exemplo discreto com

um histograma de probabilidade um histograma de probabilidade descobriremos onde descobriremos onde

está o está o CentroCentro dele ( dele (CCVDOT) VDOT) estenderemos o conceito estenderemos o conceito

de média para Esperança matemática ou valor esperadode média para Esperança matemática ou valor esperado

generalizaremos para distribuições contínuasgeneralizaremos para distribuições contínuas


ExemploExemploUm estudo consiste na escolha aleatória de 14 recém-nascidos e na contagem do número de meninas. Se considerarmos que meninos e meninas são igualmente prováveis, construa a distribuição de probabilidade e calcule a média

Xf(x) = P(X=x)

0 0,0001 0,0012 0,0063 0,0224 0,0615 0,1226 0,1837 0,2098 0,1839 0,122

10 0,06111 0,02212 0,00613 0,00114 0,000

histograma de probabilidadehistograma de probabilidade

Distribuição Distribuição

de de

probabilidadeprobabilidade


Onde está a média? Como calculá-la?Onde está a média? Como calculá-la?

Lembrando do cálculo de média em dados agrupados ...Lembrando do cálculo de média em dados agrupados ...

= 0= 0..0,000 + 0,0010,000 + 0,001..1 + 0,0061 + 0,006..2 + 0,0222 + 0,022..3 + 0,0613 + 0,061..4 + 0,1224 + 0,122..5 + 0,1835 + 0,183..6 +6 +

+ 0,209+ 0,209..7 + 0,1837 + 0,183..8 + 0,1228 + 0,122..9 + 0,0619 + 0,061..10 + 0,02210 + 0,022..11 + 0,00611 + 0,006..12 +12 +

+ 0,001+ 0,001..13 + 0,00013 + 0,000..14 = 6,993 14 = 6,993 ≈ 7≈ 7


CCVDOTVDOT


O que fizemos no exemplo anterior?O que fizemos no exemplo anterior?

Vimos que uma distribuição de probabilidade pode ser Vimos que uma distribuição de probabilidade pode ser

interpretada como uma distribuição de frequência dos interpretada como uma distribuição de frequência dos

valores do espaço amostralvalores do espaço amostral

Imaginemos uma população, onde são possíveis vários Imaginemos uma população, onde são possíveis vários

resultados resultados N resultados possíveis N resultados possíveis

Podemos fazer:Podemos fazer:

distribuição de frequência de cada distribuição de frequência de cada

resultadoresultado

Calcular parâmetros Calcular parâmetros , , 22, , , ..., ...


)(μ iii

iii xPx

Nf

x N

fx

Se quisermos calcular a média Se quisermos calcular a média a a

partir dos dados agrupadospartir dos dados agrupados

Onde a frequência relativa do resultado Onde a frequência relativa do resultado xxii da população da população

é a probabilidade de ocorrência deé a probabilidade de ocorrência de x xii

O que fizemos no exemplo anterior?O que fizemos no exemplo anterior?


As distribuições de probabilidade são As distribuições de probabilidade são modelos teóricos modelos teóricos em que asem que as probabilidades dos valores assumidos pela v.a. podem serprobabilidades dos valores assumidos pela v.a. podem ser interpretadas como interpretadas como limites de freqüências relativaslimites de freqüências relativas

Podemos, assim, definir, Podemos, assim, definir, para as distribuições de probabilidadepara as distribuições de probabilidade as as mesmas mesmas medidas de tendência centralmedidas de tendência central e de e de dispersãodispersão utilizadas utilizadas nasnas distribuições de freqüênciadistribuições de freqüência

Assim como definimos a Assim como definimos a médiamédia de uma distribuição de freqüências de uma distribuição de freqüências como a soma dos produtos dos diversos valores observados pelas como a soma dos produtos dos diversos valores observados pelas respectivas frequências relativas, define-se a média de uma v.a., ourespectivas frequências relativas, define-se a média de uma v.a., ou de sua distribuição de probabilidade, como a soma dos produtos de sua distribuição de probabilidade, como a soma dos produtos dos diversos valores dos diversos valores xxii da v.a. pelas respectivas probabilidades da v.a. pelas respectivas probabilidades f(xf(xii))

Então …Então …


Da média à esperança matemática (ou valor esperado)Da média à esperança matemática (ou valor esperado)

A média de uma v.a. discreta é o resultado médio teórico A média de uma v.a. discreta é o resultado médio teórico para um npara um noo infinito de tentativas. infinito de tentativas.

Podemos considerar a média como o valor esperado no Podemos considerar a média como o valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se as sentido de que é o valor médio que esperaríamos se as tentativas pudessem continuar indefinidamentetentativas pudessem continuar indefinidamente

Repita o processo de jogar uma moeda cinco vezes, e o nRepita o processo de jogar uma moeda cinco vezes, e o noo médio de caras é 2,5médio de caras é 2,5. . Ao jogar uma moeda 5 vezes, o valor Ao jogar uma moeda 5 vezes, o valor esperado do nesperado do noo de caras é também 2,5. de caras é também 2,5.


A média de uma v.a. A média de uma v.a. XX é também chamada de é também chamada de valor esperadovalor esperado, ou, ou esperança matemáticaesperança matemática, ou simplesmente , ou simplesmente esperança deesperança de XX

É representada por É representada por E(X)E(X) e se define como: e se define como:

Estendendo-se o somatório a todos os possíveis valores de Estendendo-se o somatório a todos os possíveis valores de XX

E(X) E(X) é também chamada é também chamada média populacionalmédia populacional, denotada usualmente, denotada usualmente porpor

DefiniçãoDefinição

)()( ii xfxXE

Se a e b são constantes e X é uma v.a., então:Se a e b são constantes e X é uma v.a., então:

Propriedades da Esperança de uma v.a.Propriedades da Esperança de uma v.a.

) ( )

) ( ) ( )

) ( ) ( )

) ( ) ( )

i E a a

ii E bX bE X

iii E X a E X a

iv E a bX a bE X

DemonstraçãoDemonstração

a1axfaxfaaE i) ii )()()(

)()()()( XEbxfxbxfbxbXE ii) iiii

Propriedades da Esperança de uma v.a.Propriedades da Esperança de uma v.a.


) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )]

( ) ( ) ( ) ( )

(1) ( )

( )

i i i i i

i i i i i i

iv E a bX a bE X

E a bX a bx f x af x bx f x

af x bx f x a f x b x f x

a bE X

a bE X

)]()([)()()( iiiii xfaxfxxfaxaXE iii)

1aE(X)xfaE(X)xfaxfx iiii )()()(

aE(X)

A média é uma medida de posição de uma v.a.A média é uma medida de posição de uma v.a.

É natural que procuremos uma medida de dispersão da v.a. em relação à médiaÉ natural que procuremos uma medida de dispersão da v.a. em relação à média

Essa medida é a Essa medida é a variânciavariância

Variância da Variável AleatóriaVariância da Variável Aleatória

IntroduçãoIntrodução

Seja a v.a. X com valores numéricos Seja a v.a. X com valores numéricos xx11, x, x22, ..., x, ..., xnn e probabilidades e probabilidades

associadasassociadas P(P(xx11),P(x),P(x22), ..., P(x), ..., P(xnn)) . Definimos como variância de X: . Definimos como variância de X:

VariânciaVariância

DefiniçãoDefinição

2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( )

[ ( )]i i

V X E X E X

x f x


2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

( ) 2

( ) 2 ( ) ( )

( ) 2

( )

E X E X X

E X E X E

E X

E X

O desvio padrão (O desvio padrão () é a raiz quadrada positiva ) é a raiz quadrada positiva

da variância da variância

O desvio padrão expressa a dispersão na O desvio padrão expressa a dispersão na

mesma unidade de medida da v.a.mesma unidade de medida da v.a.

Desvio padrãoDesvio padrão

2

No problema da contagem do número de meninas, ache agora a variância e o desvio padrão. Use a regra empírica da amplitude (abaixo) para achar os valores máximos e mínimos usuaisRegra empírica da amplitude baseia-se no princípio de que, para muitos conjuntos de dados, a grande maioria (tal como 95%) dos valores amostrais se localizaa 2 desvios padrões da média

média-2média-2..s s média média média+2média+2..ss

95% dos valores95% dos valores

Xf(x) = P(X=x) x . f(x) x2 x2 . f(x)

0 0,000 0,000 0 0,0001 0,001 0,001 1 0,0012 0,006 0,012 4 0,0243 0,022 0,066 9 0,1984 0,061 0,244 16 0,9765 0,122 0,610 25 3,0506 0,183 1,098 36 6,5887 0,209 1,463 49 10,2418 0,183 1,464 64 11,7129 0,122 1,098 81 9,882

10 0,061 0,610 100 6,10011 0,022 0,242 121 2,66212 0,006 0,072 144 0,86413 0,001 0,013 169 0,16914 0,000 0,000 196 0,000

Total 6,993 52,467

3,56491(6,993)52,467XE 222 2

1,93,564912

Valor usual mínimo = Valor usual mínimo = – 2 – 2 . . = 7 – 2 = 7 – 2 ..1,9 = 3,21,9 = 3,2Valor usual máximo = Valor usual máximo = + 2 + 2 . . = 7 + 2 = 7 + 2 ..1,9 = 10,81,9 = 10,8


Continuando o problema anterior, se uma empresa diz ter desenvolvido uma técnica que, supostamente aumenta as chances de um casal ter uma filha. Em um teste preliminar, foram encontrados 14 casais que desejavam ter filhas. Após o uso da técnica, 13 deles tiveram uma filha e um teve 1 filho. A técnica é eficaz ou devemos explicar o fato como resultado aleatório. Em outras palavras, a técnica é eficaz ou poderíamos obter 13 meninas entre 14 bebês apenas por acaso?

Forma de solução 1:

pela regra empírica, a grande maioria dos valores devem estar entre 3,2 e 10,8.

Então 13 é um valor não usual. A técnica parece eficaz, pois é altamente improvável que, ao acaso, haja 13 meninas em 14 bebês

Forma de solução 2:

Se a probabilidade de nascer 13 ou mais meninas for muito pequena, este valor é não usual. Assim P(13 ou mais meninas) = P(13) + P(14) = 0,001 + 0,000 = 0,001.

Então, como a probabilidade é muito baixa, 13 é um valor não usual. A técnica parece eficaz, pois é altamente improvável que, ao acaso, haja 13 meninas em 14 bebês


Em um jogo, uma aposta direta funciona da forma seguinte: aposte 50 centavos e escolha um número de 3 dígitos entre 000 e 999. Se os seus 3 dígitos coincidem com os 3 sorteados, você recebe R$ 275,00, com um ganho líquido de R$ 274,50 (porque seus 50 centavos não serão devolvidos).

Suponha que você aposte R$ 0,50 no número 007. Qual o valor esperado de ganho ou perda?

Solução:há 2 resultados simples: você ganha ou você perde.Há 1.000 possibilidades e você escolheu um número (007)

Sua probabilidade de ganhar é 1/1000 = 0,001

Sua probabilidade de perder é 999/1000 = 0,999


Evento

X f(x) x.f(x)

Ganha R$ 274,50 0,001 R$ 0,2745

Perde - R$ 0,50 0,999 - R$ 0,4995

Total - R$ 0,225

A longo prazo, para cada 50 centavos apostados, podemos esperar perder uma média de 22,5 centavos. Embora você não possa perder 22,5 centavos em um jogo individual, o valor esperado de – 22,5 centavos mostra que, numa longa sequência de jogos, a perda média é de 22,5 centavos

Uma loja de materiais de construção mantém registros de vendas diárias Uma loja de materiais de construção mantém registros de vendas diárias de furadeiras. O quadro abaixo fornece a de furadeiras. O quadro abaixo fornece a quantidade de furadeiras vendidas quantidade de furadeiras vendidas em uma semanaem uma semana e a e a respectiva probabilidaderespectiva probabilidade..

Quantidade

f(x)

0 1 2

0,1 0,1 0,2

3 4

0,4

5

0,2 0,1

Se é de R$ 37,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado nas vendas Se é de R$ 37,00 o lucro por unidade vendida, qual o lucro esperado nas vendas de uma semana? de uma semana?

Calculemos inicialmente E(X), que é o número esperado de aparelhos vendidos Calculemos inicialmente E(X), que é o número esperado de aparelhos vendidos em uma semana: em uma semana:

E(X) = 0(0,1) + 1(0,1) + 2(0,2) + 3(0,4) + 4(0,2) + 5(0,1) E(X) = 0(0,1) + 1(0,1) + 2(0,2) + 3(0,4) + 4(0,2) + 5(0,1)

E(X) = 3,0E(X) = 3,0

Solução:

Para x unidades vendidas, o lucro é 37Para x unidades vendidas, o lucro é 37..xxLogo: O lucro é dado por : R$ 111,00 (= 37Logo: O lucro é dado por : R$ 111,00 (= 37 ..3)3)


O número de mensagens enviada por hora por meio de uma rede de O número de mensagens enviada por hora por meio de uma rede de computadores tem a seguinte distribuição:computadores tem a seguinte distribuição:

x = nº de mensagens

f(x)

10 11 12

0,08 0,15 0,30

13 14

0,20

15

0,20 0,07

Determine a média, a variância e o desvio padrão do número de mensagens Determine a média, a variância e o desvio padrão do número de mensagens enviadas por hora.enviadas por hora.

22 = = 101022(0,08) + 11(0,08) + 112 2 (0,15) + 12(0,15) + 1222(0,30) + 13(0,30) + 1322(0,20) + 14(0,20) + 1422(0,20) + 15(0,20) + 1522(0,07) – 12,5(0,07) – 12,522

2 2 2[ ( )]i ix f x ( )E X

22 = = 1,851,85

2

= (= (1,85)1,85)1/21/2 = 1,36 = 1,36

= E(X) = 10(0,08) + 11(0,15) + 12(0,30) + 13(0,20) + 14(0,20) + 15(0,07) = 12,5= E(X) = 10(0,08) + 11(0,15) + 12(0,30) + 13(0,20) + 14(0,20) + 15(0,07) = 12,5


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