Estatística Aula 09 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo...

EstatísticaEstatísticaAula 09Aula 09

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de AssisSantos de Assis

Aula 09Aula 09

Probabilidade Probabilidade IntroduçãoIntrodução

Propriedades básicasPropriedades básicas

Regra da adiçãoRegra da adição

O que vimos até o momento ?O que vimos até o momento ?análise preliminar de uma amostra de dados por meio de análise preliminar de uma amostra de dados por meio de um conjunto de técnicas numéricas e gráficasum conjunto de técnicas numéricas e gráficas

O que são aquilo que vimos?O que são aquilo que vimos?meras estimativas de quantidades populacionais meras estimativas de quantidades populacionais desconhecidasdesconhecidas

Como então podemos tirar conclusões sobreComo então podemos tirar conclusões sobrepopulações?populações?é necessário estabelecer um modelo matemático que é necessário estabelecer um modelo matemático que contenha os principais elementos do processo que contenha os principais elementos do processo que determinou a ocorrência das observaçõesdeterminou a ocorrência das observações

IntroduçãoIntrodução

Que tipo de modelo utilizamos e por que?Que tipo de modelo utilizamos e por que?probabilístico pela impossibilidade de se sintetizar em um probabilístico pela impossibilidade de se sintetizar em um conjunto de equações a lei que descreve rigorosamente a conjunto de equações a lei que descreve rigorosamente a variação de um certo fenômeno.variação de um certo fenômeno.

Explique melhor ...Explique melhor ...A teoria de probabilidades lida com a realização de A teoria de probabilidades lida com a realização de experimentos, naturais ou planejados pelo homem, cujos experimentos, naturais ou planejados pelo homem, cujos resultados não podem ser previstos com exatidão.resultados não podem ser previstos com exatidão.


Há um componente aleatório nos experimentosHá um componente aleatório nos experimentos

Provoca variações nos resultados Provoca variações nos resultados às vezes não às vezes não podem ser ignoradaspodem ser ignoradas modeladas modeladas

Experimento aleatórioExperimento aleatório

É aquele cujo resultado não pode ser conhecido antes da É aquele cujo resultado não pode ser conhecido antes da realização do experimentorealização do experimento ele pode ser repetido várias ele pode ser repetido várias vezes da mesma forma e apresentar resultados diferentesvezes da mesma forma e apresentar resultados diferentes

Exemplos:Exemplos:

O resultado da jogada de um dadoO resultado da jogada de um dado O número de carros que passam em um posto deO número de carros que passam em um posto de pedágio movimentado no intervalo de meia horapedágio movimentado no intervalo de meia hora Os números que vão “sair” no concurso da Mega-SenaOs números que vão “sair” no concurso da Mega-Sena da próxima semanada próxima semana O risco de uma construção ser alagada nas O risco de uma construção ser alagada nas proximidadesproximidades de um riode um rio



Note que, embora não saibamos exatamente qual o Note que, embora não saibamos exatamente qual o resultado da experiência aleatória, também não existe resultado da experiência aleatória, também não existe ignorância completa sobre o assuntoignorância completa sobre o assunto

No exemplo da jogada do dado, é claro que os resultados possíveis são {1, 2, 3, 4, 5, 6}, as faces do dado

No caso da Mega-Sena, o conjunto de valores possíveis são os 6 números sorteados no conjunto {0, ..., 50}

No caso do pedágio, podemos estabelecer um intervalo de valores máximos e mínimos de carros

Experimento aleatórioExperimento aleatório

Qualquer conjunto de resultados ou saídas de um

experimento

Simples é um resultado ou evento que não pode mais ser decomposto em

componentes mais simples

IntroduçãoIntroduçãoEventoEvento

Ao lançar um dado 5 é um evento simples

Ao lançarmos e tomarmos a soma dos resultados dos dois 7 é um evento simples?

1

2

3

4

5

6

IntroduçãoIntroduçãoEventoEventoExperimento: lançamento de 2 dados somam-se os resultados: o evento 7

1

2

3

4

5

6

Dado 1 Dado 2 Resultado

7

7

7

7

.

.

.

Eventos mais simples:

6-1, 5-2, 4-3, ...

Há 36 maneiras de obtermos o número 7 36 eventos simples


Espaço amostralEspaço amostral

É o conjunto de todos os eventos simples possíveis de uma experiência aleatória, isto é, consiste em todos os resultados que não podem ser mais decompostos


SExperimento: lançamento de 1 dado

Espaço amostral S = {11, 22 , 33 , 44 , 55 , 66}11 22 33

44 5566

Espaço amostralEspaço amostral

Propriedades de EventosPropriedades de Eventos

InterseçãoInterseção

ExclusãoExclusão

UniãoUnião

NegaçãoNegação


InterseçãoInterseçãoO evento O evento interseção de dois eventos A e Binterseção de dois eventos A e B equivale à equivale à ocorrência de ambosocorrência de ambos

Contém todos os pontos do espaço amostral comuns a Contém todos os pontos do espaço amostral comuns a A e B e é denotado por A A e B e é denotado por A ∩ B∩ B


ExclusãoExclusãoDois eventos A e B dizem-se Dois eventos A e B dizem-se mutuamente exclusivosmutuamente exclusivos, ou , ou mutuamente excludentesmutuamente excludentes ou ainda ou ainda disjuntos disjuntos quando a quando a ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro ocorrência de um deles impossibilita a ocorrência do outro não ocorrem simultaneamente não ocorrem simultaneamente

Os dois eventos não têm nenhum ponto em comum, Os dois eventos não têm nenhum ponto em comum, exprimindo-se esse fato escrevendo-se A exprimindo-se esse fato escrevendo-se A ∩ B = Ø∩ B = Ø


UniãoUniãoO evento O evento união de dois eventos A e Bunião de dois eventos A e B equivale à ocorrência equivale à ocorrência de A, ou de B, ou de ambosde A, ou de B, ou de ambos

Contém os elementos do espaço amostral que estão em Contém os elementos do espaço amostral que estão em pelo menos pelo menos um dos dois conjuntos e é denotado por A Uum dos dois conjuntos e é denotado por A U B B


NegaçãoNegaçãoA A negação do evento Anegação do evento A, denotada por A, é chamada de , denotada por A, é chamada de evento complementar de Aevento complementar de A

Há diferentes maneiras de definir probabilidadeHá diferentes maneiras de definir probabilidade

Definição de ProbabilidadeDefinição de Probabilidade

Aproximação pela frequência relativa(frequencial)

Probabilidades subjetivasAbordagem clássica(requer resultados

igualmente prováveis)

Suponha que um determinado experimento tenha Suponha que um determinado experimento tenha n n diferentes eventos simples, e que diferentes eventos simples, e que cada um desses eventos cada um desses eventos simples tenha igual chance de ocorrersimples tenha igual chance de ocorrer. Se o evento . Se o evento AA pode pode ocorrer em ocorrer em mm dessas maneiras, então a probabilidade do dessas maneiras, então a probabilidade do evento evento AA é dada por: é dada por:

Definição ClássicaDefinição Clássica

mP(A)n

Em outros termos :Em outros termos :

P(A) =P(A) =NNoo de maneiras como o evento A pode ocorrer de maneiras como o evento A pode ocorrer

Número de eventos simplesNúmero de eventos simples

P(A) =P(A) = Número de casos favoráveis ao evento ANúmero de casos favoráveis ao evento A

Número de casos possíveisNúmero de casos possíveis

Definição ClássicaDefinição Clássica

Exemplos: Um dado homogêneo tem probabilidade 1/6 de cair com a face 5 para cima.

Em um conjunto de cartas (sem os coringas) bem embaralhadas a probabilidade de sortearmos uma carta de copas é de 13/52.

A probabilidade de um evento qualquer é um A probabilidade de um evento qualquer é um número real não negativonúmero real não negativo

Formas de obtenção de probabilidadesFormas de obtenção de probabilidades

a posteriori, que é a estimativa por meio de dados experimentais, da a posteriori, que é a estimativa por meio de dados experimentais, da verdadeira probabilidade ou valor mais provável.verdadeira probabilidade ou valor mais provável.

a a prioripriori ou matemática, calculada a partir de hipóteses segundo um ou matemática, calculada a partir de hipóteses segundo um modelo matemático e sem experimentação, determinando as modelo matemático e sem experimentação, determinando as probabilidades de acontecimentos futuros;probabilidades de acontecimentos futuros;

ObservaçõesObservações

Depende da reprodutibilidade do mesmo processo e da habilidade de contarmos o número de

repetições

Se algum processo é repetido um grande númeroSe algum processo é repetido um grande númerode vezes, de vezes, nn, e se o evento A ocorre , e se o evento A ocorre mm vezes, a freqüência vezes, a freqüência relativa relativa m/nm/n é a é aproximadamenteproximadamente igual à probabilidade de A: igual à probabilidade de A:

Obs.: m/n é apenas uma estimativa de P(A).

Definição FrequencialDefinição Frequencial

mP(A)n

Estimada com base no conhecimento de circunstâncias relevantes

Definição SubjetivaDefinição Subjetiva

Exemplosclássica

P (tachinha cair com a ponta para cima) = ?Deve-se repetir o experimento de jogar a tachinha váriasvezes e então, achar a razão

No de vezes com a ponta para cima/ No total de lançamentos

Frequência relativa

P (chover amanhã) = ?Meteorologistas possuem conhecimento especializado para esta estimativa

Subjetiva

ProbabilidadeProbabilidade

P (sair o no 2 em um dado balanceado e imparcial) = ?Achar a razão:No de maneiras como 2 pode ocorrer/ No total de eventos simples = 1/6

0 1 P

0 0,5 1Evento certamente não ocorrerá

Evento certamente ocorrerá

Máxima incerteza

Propriedades BásicasPropriedades Básicas

Evento impossível Evento certo

1. Dado algum processo (ou experimento) com n resultados mutuamente excludentes (eventos), E1, E2,. . ., En , à probabilidade de cada evento Ei é atribuído um valor numérico não-negativo.

( ) 0iP E


2. A soma das probabilidades de resultados mutuamente excludentes é igual a 1.

1 21

( ) ( ) ( ) ( ) 1n

i ni

P E P E P E P E


ExemploExemploAche a probabilidade de que, quando um casal tem 3 filhos, exatamente 2 deles sejam meninos. Suponha que meninos (M) e meninas (F) sejam igualmente prováveis e que o sexo de uma criança não seja influenciado pelo sexo de qualquer outra criança

1º 2º Resultados possíveis3º

MM

M

M

M

M

M

menino-menino-meninomenino-menino-meninamenino-menina-meninomenino-menina-meninamenina-menino-meninomenina-menino-meninamenina-menina-meninomenina-menina-menina

Espaçoamostral

0,37583 s)nascimento 3 e meninos P(2


ExemploExemploAinda no exemplo anterior, qual a probabilidade de não nascer exatamente 2 meninos?

1º 2º Resultados possíveis3º

MM

M

M

M

M

M

menino-menino-meninomenino-menino-meninamenino-menina-meninomenino-menina-meninamenina-menino-meninomenina-menino-meninamenina-menina-meninomenina-menina-menina

Espaçoamostral

0,625 s)nascimento 3 e meninos P(2 -1meninos) 2 exatamente nascer P(não


Regra da AdiçãoRegra da AdiçãoEstamos interessados na probabilidade de que ou o evento Estamos interessados na probabilidade de que ou o evento A ocorre ou o evento B ocorre (ou ambos ocorrem) com um A ocorre ou o evento B ocorre (ou ambos ocorrem) com um único resultado de um experimentoúnico resultado de um experimentoPalavra – chave Palavra – chave ouou

É qualquer evento combinando 2 ou mais eventos simples

Evento compostoEvento composto

NotaçãoNotaçãoP(A P(A ouou B ) = P(evento A ocorrer B ) = P(evento A ocorrer ouou o evento B ocorrer o evento B ocorrer ouou ambos ocorrem)ambos ocorrem)


Regra da AdiçãoRegra da AdiçãoAmostra de ervilhas, semelhante ao experimento de MendelAmostra de ervilhas, semelhante ao experimento de Mendel

Quantas delas têm vagem verde ou flor roxa?


Regra da AdiçãoRegra da Adição

Ao calcular a probabilidade da ocorrência do evento A ou da ocorrência do evento B, ache o no total de maneiras em que A pode ocorrer e o no total de maneiras em que B pode ocorrer, mas ache o total de modo que nenhum resultado seja contado mais de uma vez

Regra da Adição formalRegra da Adição formal

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

Se Ei e Ej são eventos num espaço amostral finito S, a probabilidade de reunião dos subconjuntos Ei e Ej é igual a adição das probabilidades de Ei e Ej, menos a probabilidade da intersecção do subconjunto Ei e Ej.

P(Ei Ej) = P(Ei) + P(Ej) - P(Ei Ej)


Teorema da adiçãoTeorema da adição


Regra da AdiçãoRegra da Adição

Ache a soma do no de maneiras como o evento A pode ocorrer e o no de maneiras como o evento B pode ocorrer, somando de tal forma que cada resultado seja contado apenas uma vez. P(A ou B) é igual a esta soma dividida pelo no total de resultados do espaço amostral

Ao invés de decorar uma fórmula, pense ... e calcule da Ao invés de decorar uma fórmula, pense ... e calcule da forma seguinteforma seguinte


Regra da AdiçãoRegra da AdiçãoEsta regra é simplificada sempre que os eventos A e B não Esta regra é simplificada sempre que os eventos A e B não podem ocorrer simultaneamente, de modo que P(A podem ocorrer simultaneamente, de modo que P(A ∩∩ B) se B) se torna zerotorna zero

P(A B) = P(A) + P(B)

3. Considere dois eventos mutuamente excludentes, Ei e Ej. A probabilidade de ocorrência de Ei ou Ej é igual à soma das probabilidades individuais:

( ) ( ) ( )i j i jP E E P E P E


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