Estatística Aula 08 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo...

EstatísticaEstatísticaAula 08Aula 08

Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia

Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das NevesProf. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Adaptado do material elaborado pelo Prof. Wayne Santos de AssisSantos de Assis

Aula 08Aula 08

Medidas de Dispersão Medidas de Dispersão

Amplitude e Desvio médioAmplitude e Desvio médio

Variância e Desvio padrãoVariância e Desvio padrão

Coeficiente de variaçãoCoeficiente de variação

Medidas de DispersãoMedidas de Dispersão

Se os gráficos abaixo representam duas séries temporais, qual dasSe os gráficos abaixo representam duas séries temporais, qual das duas séries possuem os dados mais dispersos? duas séries possuem os dados mais dispersos?

Tendência Central (média,...)

Dados

IntroduçãoIntrodução


Os dados estão mais ou menos dispersos em torno da tendência.

Se os gráficos abaixo representam duas séries temporais, qual dasSe os gráficos abaixo representam duas séries temporais, qual das duas séries possuem os dados mais dispersos? duas séries possuem os dados mais dispersos?


E agora, nos histogramas E agora, nos histogramas ao lado? ao lado?



Quase nunca uma únicaQuase nunca uma única

medida é suficiente paramedida é suficiente para

descrever de mododescrever de modo

satisfatório um conjunto desatisfatório um conjunto de dadosdados

CVDOT


Sejam as observações de temperaturas TSejam as observações de temperaturas TAA e T e TBB indicadas: indicadas:

TA TB

21 10

22 20

24 26

26 31

32 38(medidas em ºC)(medidas em ºC)

Percebe-se, entretanto, que TPercebe-se, entretanto, que TBB apresenta dispersão apresenta dispersão muito maior que Tmuito maior que TAA

Ambas têm a mesma média: 25ºCAmbas têm a mesma média: 25ºC

São necessárias medidas que indiquem o grau São necessárias medidas que indiquem o grau de dispersão, ou variabilidade, em relação ao valor centralde dispersão, ou variabilidade, em relação ao valor central


Acredite se quiser, mas estes 2 grupos de parafusos possuem a Acredite se quiser, mas estes 2 grupos de parafusos possuem a mesma média!mesma média!

in 2x

Os parafusos Os parafusos da segunda da segunda marca marca parecem ter parecem ter uma variação uma variação maiormaior


AmplitudeAmplitude Chama-se amplitude (AChama-se amplitude (Att ou R) de um conjunto de dados, ou R) de um conjunto de dados, xx11 , , xx´2´2, … ,, … ,

xxii, … , , … , xxnn , à diferença entre o máximo e o mínimo do conjunto de, à diferença entre o máximo e o mínimo do conjunto de

dadosdados

Ache a amplitude para o caso da amostra de medidas de níveis de chumbo no ar (abaixo)

1,20 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10

At = 1,20 – 0,42 = 0,78 g/m3

Para o caso dos 2 grupos de parafusos

At (grupo 1) = 2,03 – 1,95 = 0,08 in

At (grupo 2) = 2,50 – 1,70 = 0,80 in


Dados Dados agrupados em classesagrupados em classes estimativa com a diferença entre o estimativa com a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeiralimite superior da última classe e o limite inferior da primeira

AmplitudeAmplitude

HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIAS25,51

10,29

19,75

23,46

13,17

4,942,06

0,00 0,820

5

10

15

20

25

30

1775 3550 5325 7100 8875 10650124251420015975

Classes (limites superiores em kg)

Freq

uênc

ia r

elat

iva

(%)

At = 15.975 – 0 = 15.975 kg

AmplitudeAmplitude

Para o conjunto abaixo, a amplitude é 71 – 49 = 22Para o conjunto abaixo, a amplitude é 71 – 49 = 22

Considerando os dados agrupados, a amplitude é 72 – 48 = 24Considerando os dados agrupados, a amplitude é 72 – 48 = 24

AmplitudeAmplitude

A presença de uma única observação muito alta ou muito baixa tem uma grande influência sobre o valor da amplitude

A amplitude é insensível a qualquer variação dos valores intermediários

Mesmo que não existam valores isolados muito altos ou muito baixos, a amplitude não deve ser utilizada para comparar a variabilidade de várias amostras, a não ser que tenham a mesma dimensão

É natural que à medida que a dimensão da amostra aumenta a amplitude tende aumentar

É muito simples indicar os valores extremos e, portanto, calcular a amplitudeÉ muito simples indicar os valores extremos e, portanto, calcular a amplitude

de um conjunto de dados. No entanto, esta medida é muito pouco resistente de um conjunto de dados. No entanto, esta medida é muito pouco resistente

para avaliar bem a dispersão dos dados pelas seguintes razões:para avaliar bem a dispersão dos dados pelas seguintes razões:

Outliers

Outliers influenciando na amplitudeOutliers influenciando na amplitude

AmplitudeAmplitude

CVDOT

Observe os seguintes conjuntos de dados representados por diagramas Observe os seguintes conjuntos de dados representados por diagramas de pontos correspondentes a três conjuntos de observações:de pontos correspondentes a três conjuntos de observações:

Para qualquer uma das três distribuições a amplitude é 15 - 7 = 8Para qualquer uma das três distribuições a amplitude é 15 - 7 = 8

A amplitude é igual, mas as distribuições são muito diferentesA amplitude é igual, mas as distribuições são muito diferentes

AmplitudeAmplitude

CVDOT

Amplitude InterquartilAmplitude Interquartil

Ao contrário da amplitude, a Ao contrário da amplitude, a amplitude interquartilamplitude interquartil ((AIAI ou ou IQRIQR) ) é uma medida resistenteé uma medida resistente

A A amplitude interquartilamplitude interquartil é definida a partir dos quartis, é definida a partir dos quartis, e é e é representada pela diferença entre o 3° e o 1° quartilrepresentada pela diferença entre o 3° e o 1° quartil

AI = QAI = Q33 – Q – Q11

ou aindaou ainda AI = PAI = P7575 – P – P2525

ExemploExemploDeterminar a amplitude interquartil para os resultados de resistência à compressão (em MPa) apresentados abaixo:


Q3 deixa pelo menos 75% dos dados abaixo e pelo menos 25% dos dados acima dele

75% de 40 são 30 25% de 40 são 10

Contando 30 do menor para o maior: 63 Contando 10 do maior para o menor: 64

Q3 =63 + 64

2 = 63,5

AI = QAI = Q33 – Q – Q11

ExemploExemplo


Q1 deixa pelo menos 25% dos dados abaixo e pelo menos 75% dos dados acima dele

25% de 40 são 10 75% de 40 são 30

Contando 10 do menor para o maior: 53 Contando 30 do maior para o menor: 53 Q1 = 53

AI = QAI = Q33 – Q – Q11 = 63,5 – 53= 63,5 – 53 AI = 10,5AI = 10,5

Diagrama de Caixa (Box-Plot) Diagrama de Caixa (Box-Plot)

Este tipo de diagrama é útil para revelar:Este tipo de diagrama é útil para revelar:

o o centrocentro

aa dispersão (variação) dispersão (variação)

a a distribuição dos dadosdistribuição dos dados

além da presença dos além da presença dos outliersoutliers

São necessários 5 números (Resumo dos 5 números):São necessários 5 números (Resumo dos 5 números):

Limite inferiorLimite inferior, , 1º quartil1º quartil, , Mediana (2º quartil)Mediana (2º quartil), , 3º quartil 3º quartil e e Limite Limite superiorsuperior


Outlier

Linha de whisker

1o quartil 2o quartil

3o quartil

Linha de whisker

OutlierOutlier extremo

AI = QAI = Q33 – Q – Q11


Outlier

Linha de whisker

1o quartil 2o quartil

3o quartil

Linha de whisker

OutlierOutlier extremo

Os diagramas de caixa não dão informação tão detalhada como os Os diagramas de caixa não dão informação tão detalhada como os histogramas, de modo que podem não ser a melhor escolha ao lidar histogramas, de modo que podem não ser a melhor escolha ao lidar com um único conjunto de dados.com um único conjunto de dados.

Eles são, em geral, ótimos para comparar 2 ou mais conjuntos de Eles são, em geral, ótimos para comparar 2 ou mais conjuntos de dados. Nestes casos, é importante utilizar a mesma escala para dados. Nestes casos, é importante utilizar a mesma escala para comparações corretascomparações corretas

Linha de WhiskerLinha de Whisker

Linha que inicia-se nas extremidades da caixa e prolonga-se até o último valor respeitado um

comprimento para a linha de no máximo 1,5 vezes a amplitude interquartil

OutlierOutlier

Ponto além da linha, porém a menos de 3 amplitudes interquartis a partir da extremidade da caixa.

Outlier ExtremoOutlier Extremo

Ponto além da linha, porém a mais de 3 amplitudes interquartis a partir da extremidade da caixa.

Linha de Whisker

Outlier

Linha de Whisker

Outlier

Outlier extremo


Limite inferior: QLimite inferior: Q11 – 1,5 (Q – 1,5 (Q33 – Q – Q11) )

Limite superior: QLimite superior: Q33 + 1,5 (Q + 1,5 (Q33 – Q – Q11) )

Q3

Q1

Q2

ExemploExemploVariação espacial e temporal da concentração de cloretos no Riacho do Silva em Maceió


Exutório Exutório lagoa Mundaú lagoa Mundaú


Montante Montante jusante (em direção à lagoa Mundaú) jusante (em direção à lagoa Mundaú)

ExemploExemploVariação espacial e temporal da concentração de cloretos no Riacho do Silva em Maceió (mg/L)

O aumento considerável O aumento considerável pode estar relacionado pode estar relacionado com a poluição? Ou com a poluição? Ou com a influência do mar com a influência do mar na lagoa?na lagoa?


ExemploExemploVariação espacial e temporal da concentração de cloretos no Riacho do Silva em Maceió (mg/L)

Médias mensais de todos os pontosMédias mensais de todos os pontos

Há efeito sazonal?Há efeito sazonal?


ExemploExemplo

Do livro Hidrologia estatísticaDo livro Hidrologia estatística

ExemploExemploDesenhar o diagrama de caixa para os resultados de resistência à compressão apresentados a seguir:

Q1 = 53 Q2 = 57,5 Q3 = 63,5 AI = 10,5


Limite inferior: Q1 – 1,5 (Q3 – Q1) = 53 – 1,5 (10,5) = 37,25

Limite superior: Q3 + 1,5 (Q3 – Q1) = 63,5 + 1,5 (10,5) = 79,25

Outliers extremos: xi < Q1 – 3 (Q3 – Q1) ou xi > Q3 + 3 (Q3 – Q1)

Outliers extremos: xi < 21,5 ou xi > 95

Outliers


20

30

40

50

60

70

80

90

100

Q 1

Q 2

Q 3

Q1 = 53 Q2 = 57,5 Q3 = 63,5 AI = 10,5


Desvio médio amostralDesvio médio amostral

Uma maneira natural de calcular a dispersão é o desvioUma maneira natural de calcular a dispersão é o desvio x-x

A dispersão total seria a média da soma destes desviosA dispersão total seria a média da soma destes desvios

n

)x-(xd

n

1ii

Mas ...Mas ...

0x-xnxn

-xn

x

n

x

n

)x-(xd

n

1i

n

1ii

n

1ii


Desvio médio amostral absolutoDesvio médio amostral absoluto

É uma maneira de contornar a incômoda propriedade do desvio médio É uma maneira de contornar a incômoda propriedade do desvio médio amostralamostral

n

x-xd

n

1ii

Esta maneira foi abandonada por que criou dificuldades nos métodos Esta maneira foi abandonada por que criou dificuldades nos métodos de inferência estatística e não representa um estimativa de dispersão de inferência estatística e não representa um estimativa de dispersão populacionalpopulacional

Se n observações de uma amostra forem representadas por x1, x2,..., xn, a

variância da amostra será:

1n

xxS

n

1i

2i

2


VariânciaVariância

22 2

1

1-

-1

n

ii

S x n xn

ou

VariânciaVariância

A variância não é geralmente utilizada como medida de A variância não é geralmente utilizada como medida de dispersão, mas é o suporte para o cálculo do desvio-padrãodispersão, mas é o suporte para o cálculo do desvio-padrão

A interpretação do significado da variância, em situações concretas, A interpretação do significado da variância, em situações concretas, levanta problemaslevanta problemas

Por exemplo, se estivermos estudando a concentração de um Por exemplo, se estivermos estudando a concentração de um poluente num lago, em g/L, a poluente num lago, em g/L, a médiamédia das concentrações é expressa em das concentrações é expressa em g/Lg/L, mas a , mas a variânciavariância será expressa em será expressa em (g/L)(g/L)22

Varância para dados agrupadosVarância para dados agrupados

Se as observações de uma amostra

estiverem agrupadas em classes, a

variância será: 22 2

1

1

1

k

i ii

S x n n xn

Onde:Onde:

kk é o número de classes é o número de classes

nnii é a freqüência da i-ésima classe é a freqüência da i-ésima classe

xxii é o ponto médio da i-ésima classe é o ponto médio da i-ésima classe

xx é a média dos dados agrupados é a média dos dados agrupados

nn é a quantidade total de observações é a quantidade total de observações

2S S


Desvio-padrãoDesvio-padrão

Note que:

Se n observações de uma amostra forem representadas por x1, x2,..., xn, o desvio padrão amostral será:

1n

xxS

n

1i

2i

O desvio-padrão corresponde à raiz quadrada positiva O desvio-padrão corresponde à raiz quadrada positiva da variânciada variância

Propriedades do desvio-padrãoPropriedades do desvio-padrão

1. O desvio-padrão é sempre não negativo1. O desvio-padrão é sempre não negativo

3. Se o desvio-padrão é igual a zero é porque não 3. Se o desvio-padrão é igual a zero é porque não existe variabilidade, isto é, os dados são todosexiste variabilidade, isto é, os dados são todos iguaisiguais

2. Quanto maior for o desvio-padrão maior será a2. Quanto maior for o desvio-padrão maior será a dispersão dos dados em relação à médiadispersão dos dados em relação à média

Desvio-PadrãoDesvio-Padrão

4. O valor do desvio padrão pode crescer4. O valor do desvio padrão pode crescer dramaticamente com a inclusão de um ou maisdramaticamente com a inclusão de um ou mais outliersoutliers

5. As unidades do desvio padrão são as mesmas5. As unidades do desvio padrão são as mesmas unidades dos dados originaisunidades dos dados originais

Como achar o desvio-padrão?Como achar o desvio-padrão?

1. Calcule a média1. Calcule a média

3. Eleve ao quadrado cada uma das diferenças obtidas3. Eleve ao quadrado cada uma das diferenças obtidas no passo 2. isto resulta em números da formano passo 2. isto resulta em números da forma

2. Subtraia a média de cada valor individual para obter2. Subtraia a média de cada valor individual para obter a lista dos desvios da forma a lista dos desvios da forma

Desvio-PadrãoDesvio-Padrão

4. Adicione todos os quadrados obtidos no passo 3.4. Adicione todos os quadrados obtidos no passo 3. Esse é o valor Esse é o valor

5. Divida o total do passo 4 por n-15. Divida o total do passo 4 por n-1

x

x-x

2)x-(x

2)x-(x

6. Ache a raiz quadrada do resultado do passo 56. Ache a raiz quadrada do resultado do passo 5


Coeficiente de variaçãoCoeficiente de variação É uma medida relativa de variabilidade, que compara oÉ uma medida relativa de variabilidade, que compara o desvio padrão com a médiadesvio padrão com a média

cv = S

x

Como o desvio-padrão e a média apresentam a mesmaComo o desvio-padrão e a média apresentam a mesma unidade dos dados, o coeficiente de variação é adimensionalunidade dos dados, o coeficiente de variação é adimensional

A grande utilidade do coeficiente de variação é permitir a comparação A grande utilidade do coeficiente de variação é permitir a comparação das variabilidades de diferentes conjuntos de dadosdas variabilidades de diferentes conjuntos de dados

Coeficiente de VariaçãoCoeficiente de Variação

ExemploExemplo

Os resultados de ensaios de tração de dois tipos de aço Os resultados de ensaios de tração de dois tipos de aço forneceram os seguintes resultados:forneceram os seguintes resultados:

Aço A Aço A Aço B Aço B

x =

s =

512 MPa

13 MPa

x =

s =

590 MPa

18 MPa

Qual deles apresenta menor variabilidade relativa?Qual deles apresenta menor variabilidade relativa?


A determinação da variabilidade relativa é feita a partir do A determinação da variabilidade relativa é feita a partir do coeficiente de variação:coeficiente de variação:

Desse modo, o aço A é o que apresenta Desse modo, o aço A é o que apresenta resultados com menor variabilidade relativaresultados com menor variabilidade relativa

Para o aço A: Para o aço A: cv = 13 / 512 = 0,025 = 2,5%cv = 13 / 512 = 0,025 = 2,5%

Para o aço B: Para o aço B: cv = 18 / 592 = 0,031 = 3,1%cv = 18 / 592 = 0,031 = 3,1%

Determinar o coeficiente de variação para as observações de Determinar o coeficiente de variação para as observações de temperaturas Ttemperaturas TAA e T e TBB indicadas abaixo: indicadas abaixo:

TA TB

21 10

22 20

24 26

26 31

32 38

ExemploExemplo

(medidas em ºC)(medidas em ºC)


Passo 1: determinação das médiasPasso 1: determinação das médiasTA TB

21 10

22 20

24 26

26 31



Para TPara TAA: x = (21+23+...+32)/5 = 125/5 = 25: x = (21+23+...+32)/5 = 125/5 = 25

Para TPara TBB: x = (10+20+...+38)/5 = 125/5 = 25: x = (10+20+...+38)/5 = 125/5 = 25

Passo 2: determinação do desvio-padrãoPasso 2: determinação do desvio-padrão

1n

xxS

n

1i

2i

Para TA: s = { [ (21-25)2 + (22-25)2 + (24-25)2 + (26-25)2 + (32-25)2 ] / (5-1) } 1/2

Para TB: s = { [ (10-25)2 + (20-25)2 + (26-25)2 + (31-25)2 + (38-25)2 ] / (5-1) } 1/2

s = { 76 / 4 }1/2 s = 4,36 oC

s = { 456 / 4 }1/2 s = 10,68 oC

Passo 3: determinação do coeficiente de variaçãoPasso 3: determinação do coeficiente de variação


TA TB

21 10

22 20

24 26

26 31


Para TPara TAA: cv = 4,36 / 25 = 0,174 = 17,4 %: cv = 4,36 / 25 = 0,174 = 17,4 %

Para TPara TBB: cv = 10,68 / 25 = 0,427 = 42,7 %: cv = 10,68 / 25 = 0,427 = 42,7 %

Logo: Logo:

Para TPara TAA , cv = 17,4 % e para T , cv = 17,4 % e para TBB , cv = 42,7 % , cv = 42,7 %

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