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Notas de Aula

Vetores

FÍSICA

2018

Professor Gomes

CAPÍTULO

1

Neste Capítulo

1 Introdução 2 Vetor 3 Soma e Diferença de Vetores 4 Componentes de um Vetor e Vetores Unitários 5 Produtos de Vetores

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NOTA DE AULA PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO

VETORES 1 INTRODUÇÃO

Em Física, há duas categorias de grandezas: as escalares e as vetoriais. As primeiras caracterizam‐se apenas pelo valor numérico, acompanhado da unidade de medida. Já as segundas requerem um valor numérico (sem sinal), denominado módulo ou intensidade, acompanhado da respectiva unidade de medida e de uma orientação, isto é, uma direção e um sentido.

Na figura abaixo, o comprimento = 4,75cm medido por uma régua milimetrada é uma grandeza escalar, já que fica totalmente determinado pelo valor numérico (4,75) acompanhado da unidade de medida (cm).

FIGURA 1 Régua milimetrada.

São também escalares as grandezas: área, massa, tempo, energia, potência, densidade, pressão, temperatura, carga elétrica e tensão elétrica, dentre outras.

Agora, observe, na figura abaixo, que o deslocamento sofrido pelo carro ao movimentar‐se de P até Q é uma grandeza vetorial, caracterizada por um módulo (10 m), uma direção (leste‐oeste) e um sentido (de oeste para leste).

FIGURA 2 Deslocamento sofrido por um carro.

São também vetoriais as grandezas: velocidade, aceleração, força, impulso, quantidade de movimento (ou momento linear), vetor campo elétrico e vetor indução magnética, dentre outras. Atenção: não confunda direção com sentido, pois são conceitos diferentes. Uma reta define uma direção. A essa direção podemos associar dois sentidos.

Na figura seguinte, os carros A e B percorrem uma mesma avenida retilínea e vão se cruzar. Suas velocidades têm a mesma direção, mas sentidos opostos.

FIGURA 3 Carros A e B na mesma direção, mas sentidos opostos.

2 VETOR

Um vetor pode ser esboçado graficamente por um segmento de reta orientado (seta), como mostrado na figura a seguir:

FIGURA 4 Representação de um Vetor.

O comprimento do segmento orientado está associado ao módulo do vetor, a reta suporte r fornece a direção e a orientação (ponta aguçada do segmento) evidencia o sentido.

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FIGURA 5 Placas indicativas informando sobre direção e sentido.

Nas placas indicativas existentes nas cidades, o motorista obtém informações sobre direção e sentido a serem

seguidos para chegar a um determinado destino. Essas informações se referem às grandezas vetoriais deslocamento e velocidade do veículo.

Até este capítulo, velocidade e aceleração foram tratadas com caráter escalar, isto é, não nos preocupamos com a natureza vetorial dessas grandezas, mas apenas com seus valores algébricos. Note que essa é uma simplificação conveniente e permitida quando as trajetórias são previamente conhecidas. Insistimos, entretanto, que ambas são grandezas vetoriais, cabendo‐lhes, além do módulo ou intensidade, uma direção e um sentido.

Podemos definir vetor como um ente matemático constituído de um módulo, uma direção e um sentido, utilizado em Física para representar as grandezas vetoriais.

FIGURA 6 Características de um vetor.

No exemplo da figura a seguir, um homem está empurrando um bloco horizontalmente para a direita, aplicando sobre ele uma força de intensidade 200 N (N = newton, a unidade de força no SI).

FIGURA 7 Homem empurrando um bloco.

A força de 200 N que o homem aplica no bloco (grandeza física vetorial) está representada pelo segmento de

reta orientado, de comprimento 5,0 unidades, em que cada unidade de comprimento equivale a 40 N. A notação de um vetor é feita geralmente se utilizando uma letra sobreposta por uma pequena seta, como, por

exemplo, a, b, V, F

ou em NEGRITO.

Outra notação também comum é obtida nomeando‐se com letras maiúsculas as extremidades do segmento orientado que representa o vetor.

FIGURA 8 Notação de um vetor.

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Nessa notação, faz‐se sempre a letra que nomeia a ponta aguçada da seta menos a letra que nomeia a

extremidade oposta (ou "origem"): a= B ‐A.

3 SOMA E DIFERENÇA DE VETORES

Os cálculos envolvendo uma grandeza escalar são feitos pelas operações aritméticas usuais. Por exemplo, 6 kg + 3 kg = 9 kg ou 4 x 2 s = 8 s. Contudo, os cálculos que envolvem vetores necessitam de operações específicas.

Para entender mais de vetores e as operações com eles envolvidas, começaremos com uma grandeza vetorial muito simples, o deslocamento. O deslocamento é simplesmente a variação da posição de um ponto. (O ponto pode representar uma partícula ou um objeto pequeno.) Na figura 9a, representamos a variação da posição de um ponto P1 ao ponto P2 por uma linha reta unindo estes pontos, com a ponta da flecha apontando para P2 para representar o sentido do deslocamento. O deslocamento é uma grandeza vetorial, porque devemos especificar não só a distância percorrida como também a direção e o sentido do deslocamento. Caminhar 3 km do sul para o norte leva a um local completamente diferente de uma caminhada de 3 km para o sudeste. Estes dois deslocamentos possuem o mesmo módulo, mas direções e sentidos diferentes.

Vamos representar a grandeza vetorial por uma única letra, tal como a letra A , que indica o deslocamento na

figura 9a. Neste curso sempre designaremos uma grandeza vetorial por um tipo normal e com uma flecha sobre a letra. Fazemos isto para você lembrar que uma grandeza vetorial possui propriedades diferentes das grandezas escalares; a flecha serve para lembrar que uma grandeza vetorial possui direção e sentido. Se você não fizer esta distinção na notação entre uma grandeza vetorial e uma grandeza escalar, poderá ocorrer também uma confusão na sua maneira de pensar.

O comprimento do segmento fornece o módulo do vetor, a direção é indicada pelo segmento da reta e o sentido é indicado pela seta. O deslocamento é sempre dado por um segmento de reta que fornece o módulo que liga o ponto inicial ao ponto final da trajetória, mesmo no caso de uma trajetória curva. Na figura 9b, a partícula se deslocou

ao longo de uma trajetória curva do ponto P1 ao ponto P2, porém o deslocamento é dado pelo mesmo vetor A . Note

que o vetor deslocamento não é associado com a distância total da trajetória descrita. Caso a partícula continuasse a se deslocar até o ponto P3 e depois retornasse ao ponto P1, seu deslocamento na trajetória fechada seria igual a zero.

FIGURA 9 (a) O vetor A é o deslocamento do ponto P1 ao ponto P2. (b)

O deslocamento é um vetor cuja direção é sempre traçada do ponto inicial até o ponto final, mesmo no caso de uma trajetória curva. Quando o ponto final da trajetória coincide com o ponto inicial, o deslocamento é igual a zero.

Vetores paralelos são aqueles que possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Se dois vetores possuem o mesmo módulo e a mesma direção e sentido eles são iguais, independentemente do local onde se encontram no

espaço. Na figura 10 o vetor A que liga o ponto P1 ao ponto P2 possui o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo

sentido do vetor A ' que liga o ponto P3 com o ponto P4. Estes dois deslocamentos são iguais, embora eles comecem em

pontos diferentes. Na figura 10, vemos que A =

A '. Duas grandezas vetoriais são iguais somente quando elas possuem

o mesmo módulo e a mesma direção e sentido.

Contudo, o vetor B na figura 10 não é igual a

A , porque possui sentido contrário ao do deslocamento

A .

Definimos um vetor negativo como um vetor que possui mesmo módulo e direção do vetor dado, mas possui sentido

contrário ao sentido deste vetor. O vetor negativo de um vetor A é designado por ‐

A , onde usamos um sinal negativo

em negrito para enfatizar sua natureza vetorial. Caso A seja um vetor de 87 m apontando do norte para o sul, então

‐A será um vetor de 87 m apontando do sul para o norte. Logo, a relação entre o vetor

A e o vetor B

na figura 10

pode ser escrita como A = ‐B

ou B

= ‐

A . Quando dois vetores

A e B

possuem a mesma direção, mas sentidos

contrários, possuindo ou não o mesmo módulo, dizemos que eles são antiparalelos.

FIGURA 10 O deslocamento de P3 até P4 é igual ao

deslocamento de P1 até P2. O deslocamento B de P5

até P6 possui o mesmo módulo de A e de

A ',

porém seu sentido é oposto; o deslocamento B é

um vetor igual e contrário ao vetor A .

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Normalmente representamos o módulo de uma grandeza vetorial (o comprimento, no caso do vetor deslocamento) usando a mesma letra do vetor, porém sem a pequena seta. O uso de barras verticais laterais é uma notação alternativa para o módulo de um vetor:

(Módulo de A ) = A = l

A l. [1 .2]

Por definição, o módulo de um vetor é uma grandeza escalar (um número), sendo sempre positivo. Note que

um vetor nunca pode ser igual a um escalar porque eles representam grandezas diferentes. A expressão "A = 6 m" é

tão errada quanto dizer "2 laranjas = 3 maçãs"! 3.1 SOMA DE VETORES

Muitas vezes, encontra‐se em vários problemas não somente um vetor, mas dois ou mais vetores. Para se saber o efeito total combinado destes dois vetores, é necessário obter o vetor resultante, ou seja, somá‐los para obter um vetor cujo efeito seja igual ao efeito combinado de todos os vetores do problema.

Pode‐se obter o vetor resultante através de métodos gráficos (desenhos) e de métodos analíticos (cálculo). Graficamente, têm‐se dois processos: o método do paralelogramo, indicado para soma de dois vetores e o método geométrico, indicado para soma de vários vetores. A seguir, são apresentados os dois métodos: 3.1.1) Regra do polígono

Considere os vetores a, b, c, d e e

representados abaixo.

FIGURA 11 Vetores a, b, c, d e e

Como podemos obter o vetor soma (ou resultante) s, dado por s =a b + c d + e

?

Para responder a essa questão, faremos outra figura associando sequencialmente os segmentos orientados ‐ representativos dos vetores parcelas ‐, de modo que a "origem" de um coincida com a ponta aguçada do que lhe antecede. Na construção dessa figura, devemos preservar as características de cada vetor: módulo, direção e sentido. De acordo com a figura a seguir, o que se obtém é uma linha segmentada, denominada linha poligonal.

FIGURA 12 Soma dos Vetores a, b, c, d e e

pela regra do

polígono.

Então, temos que:

a = B ‐ A; b

= C ‐ B; c

= D ‐ C; d

= E ‐ D e e

= F ‐ E.

Logo:

s =(B‐A) + (C‐B) + (D‐C) + (E‐D) + (F‐E)

Assim: s = F ‐ A

Na figura abaixo, está ilustrado o vetor resultante s. O segmento orientado que representa s

sempre fecha o

polígono e sua ponta aguçada coincide com a ponta aguçada do segmento orientado que representa o último vetor parcela.

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FIGURA 13 Resultado da Soma dos vetores

a, b, c, d e e

pela regra do polígono.

A esse método de adição de vetores damos o nome de regra do polígono. Notas: •Vale a propriedade comutativa, isto é, a ordem dos vetores parcelas não altera o vetor soma.

a b c d e b e d a c

•Se a linha poligonal dos vetores parcelas for fechada, então o vetor soma será nulo, como ocorre no caso da soma dos

vetores a, b e c

da figura abaixo:

FIGURA 14 Resultado da Soma dos

Vetores a, b e c

pela regra do polígono.

s =a b c 0

3.1.2) Regra do paralelogramo

Considere os vetores a e brepresentados na figura 15.1. Admitamos que seus segmentos orientados

representativos tenham "origens" coincidentes no ponto O e que o ângulo formado entre eles seja θ.

Na figura 2, está feita a adição a bpela regra do polígono.

FIGURA 15 Soma dos Vetores a e be seu

resultado pela regra do paralelogramo.

Observe que o segmento orientado representativo do vetor resultante s nada mais é que a diagonal do

paralelogramo formado. Assim, dados dois vetores, é sempre possível obter‐se graficamente o vetor soma (resultante) pela regra do

paralelogramo: fazemos com que os segmentos orientados representativos dos vetores tenham "origens" coincidentes; da ponta aguçada do segmento orientado que representa um dos vetores, traçamos uma paralela ao segmento

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orientado que representa o outro vetor e vice‐versa; o segmento orientado representativo do vetor resultante é a diagonal do paralelogramo obtido.

Retomando a figura anterior, em que aparece a soma a bdada pela regra do paralelogramo, temos que o

módulo do vetor soma (resultante) s pode ser obtido aplicando‐se uma importante relação matemática denominada

Lei dos cossenos ao triângulo formado pelos segmentos orientados representativos de a, b e s

.

Sendo a o módulo de a, b o módulo de b

e s o módulo de s

, temos:

s2 = a2 + b2 ‐ 2ab cos(180°‐ θ) Mas: cos(180°‐ θ) =‐cosθ Assim: s2 = a2 + b2 + 2ab cosθ [1] Casos particulares

I. a e b têm a mesma direção e o mesmo sentido:

Neste caso, θ = 0°; então, cos0° = 1. s2 = a2 + b2 + 2ab => s2 = (a + b)2

s = a + b [2]

II. a e btêm a mesma direção e sentidos opostos:

Neste caso, θ = 180°; então, cos180° = ‐1. s2 = a2 + b2 – 2ab => s2 = (a ‐ b)2

s = a – b [3]

III. a e bsão perpendiculares entre si:

Neste caso, θ = 90°; então, cos90° = 0. s2 = a2 + b2 [4] 3.2 DIFERENÇA DE VETORES

A diferença vetorial nada mais é do que um caso especial da soma vetorial. Efetuar a diferença vetorial entre

dois vetores A e

B significa realizar a soma do vetor

A com o oposto do outro vetor

B . Sendo que o oposto do vetor

B é um vetor idêntico ao vetor original, porém com sentido contrário.

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FIGURA 16 Vetores opostos.

Por se tratar de um caso especial da soma vetorial, todas as considerações feitas para soma também valem para

diferença vetorial, e os métodos de obtenção do vetor diferença Dsão os mesmos processos de obtenção do vetor

resultante ou vetor soma. Veja o exemplo com o método geométrico:

FIGURA 17 Diferença dos vetores A e B

.

4 COMPONENTES DE UM VETOR E VETORES UNITÁRIOS

O método geométrico de adicionar vetores não é o procedimento recomendado em situações que requerem grande precisão, ou em problemas tridimensionais, pois somos forçados a desenhá‐los em um papel bidimensional. Nesta seção descrevemos um método de adicionar vetores que utiliza as projeções de um vetor ao longo dos eixos de um sistema de coordenadas retangular.

Considere um vetor A no plano xy fazendo um ângulo arbitrário θ com o eixo x positivo, como na figura 18a. O

vetor A pode ser representado por suas componentes retangulares, Ax e Ay. A componente Ax representa a projeção de

A ao longo do eixo x, e Ay representa a projeção de A ao longo do eixo y. As componentes de um vetor, que são

grandezas escalares, podem ser positivas ou negativas. Por exemplo, na figura 18a, Ax e Ay são ambas positivas. O valor absoluto das componentes são os módulos dos vetores componentes associados Ax e Ay.

FIGURA 18 (a) Um vetor

A no plano xy pode ser representado por seus vetores componentes Ax e Ay. (b) O vetor

componente y, Ay j , pode ser movido para a direita de tal forma que ele seja adicionado a Ax. O vetor soma dos vetores

componentes é A . Esses três vetores formam um triângulo retângulo.

A figura 18b mostra novamente os vetores componentes, mas com o vetor componente y deslocado de tal

forma que ele seja adicionado vetorialmente ao vetor componente x. Esse diagrama nos mostra dois aspectos importantes. Em primeiro lugar, um vetor é igual à soma de seus vetores componentes. Assim, a combinação dos vetores componentes é um substituto válido para o vetor real. O segundo aspecto é que o vetor e seus vetores componentes formam um triângulo retângulo. Assim, podemos deixar o triângulo ser um modelo para o vetor e

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podemos usar a trigonometria de triângulos retângulos para analisar o vetor. Os catetos do triângulo têm comprimentos proporcionais às componentes (dependendo de qual fator de escala foi escolhido), e a hipotenusa tem um comprimento proporcional ao módulo do vetor.

Da figura 18b e da definição do seno e do co‐seno de um ângulo, vemos que cos θ = Ax/A e sen θ = Ay/A.

Portanto, as componentes de A são dadas por

Ax = A cos θ e Ay = A sen θ [5] É importante notar que ao utilizar essas equações componentes, θ tem de ser medido em sentido anti‐horário a

partir do eixo x positivo. De nosso triângulo, segue‐se que o módulo de A e sua direção estão relacionados com suas

componentes por meio do teorema de Pitágoras e da definição da função tangente: A2 = Ax

2 + Ay2 [6]

tg θ = Ay/Ax [7] Para obter θ, podemos escrever θ = tg‐1 (Ay/Ax), que é lida "θ" é igual ao ângulo cuja tangente é a razão Ay/Ax.

Observe que os sinais das componentes Ax e Ay dependem do ângulo θ. Por exemplo, sen θ = 120°, Ax é negativa e Ay é positiva. Por outro lado, se θ = 225°, tanto Ax quanto Ay são negativas.

Se você escolher eixos de referência ou um ângulo diferentes daqueles mostrados na figura 18, as componentes do vetor têm de ser modificadas de acordo com isso. Em muitas aplicações é mais conveniente expressar as componentes de um vetor em um sistema de coordenadas tendo eixos que não são horizontais e verticais, mas que

ainda são perpendiculares entre si. Suponha que um vetor B faça um ângulo θ, com o eixo x' definido na figura 19.

FIGURA 19 As componentes do vetor B em um sistema de

coordenadas que está inclinado.

As componentes de B ao longo desses eixos são dadas por Bx’ = B cos θ’ e por By = B sen θ’, como na Equação

(5). O módulo e a direção de B são obtidos das expressões equivalentes às Equações (6) e (7). Assim, podemos

expressar as componentes de um vetor em qualquer sistema de coordenadas que seja conveniente para uma situação particular.

Grandezas vetoriais são expressas frequentemente em termos dos vetores unitários. Um vetor unitário é um vetor sem dimensões com módulo unitário e é usado para especificar uma direção. Os vetores unitários não têm outro significado físico. São usados simplesmente como conveniência prática ao descrever‐se uma direção no espaço. Os vetores unitários fornecem uma notação conveniente para cálculos que envolvem os componentes de vetores. Sempre usaremos acento circunflexo ou "chapéu" (^) para simbolizar um vetor unitário e distingui‐lo de um vetor comum cujo módulo pode ser igual a 1 ou diferente de 1.

Usaremos os símbolos ˆˆ î, j e k para representar vetores unitários apontando nas direções x, y e z,

respectivamente. Assim, os vetores unitários ˆˆ î, j e k formam um conjunto de vetores mutuamente perpendiculares,

como mostrado na figura 20a, onde o módulo de cada vetor unitário é igual a um; isto é, l i l = l j l = l k l = 1.

FIGURA 20 (a) Os vetores unitários ˆˆ î, j e k estão

direcionados ao longo dos eixos x, y e z,

respectivamente, (b) Um vetor A no plano xy tem

vetores componentes Ax e Ay onde Ax e Ay são as

componentes de A .

Considere um vetor A no plano xy, como na figura 20b. O produto da componente Ax com o vetor unitário i é

o vetor componente Ax i paralelo ao eixo x com magnitude Ax. Da mesma forma, Ay j é um vetor componente de

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magnitude Ay paralelo ao eixo y. Ao utilizar a forma unitária de um vetor, estamos simplesmente multiplicando um vetor

(o vetor unidade) por um escalar (a componente). Assim, a notação de vetor unitário para o vetor A é escrita

x yˆ ˆA A i A j [8]

Suponha agora que você deseje adicionar o vetor B ao vetor

A , onde

B tem componentes Bx e By. O

procedimento para realizar essa soma é simplesmente adicionar as componentes x e y separadamente. O vetor

resultante R A B é, portanto,

x x y yˆ ˆR A B i + A B j [9]

Assim, as componentes do vetor resultante são dadas por Rx = Ax+ Bx Ry = Ay+ By [10]

O módulo de R e o ângulo que ele faz com o eixo x podem então ser obtidos de suas componentes utilizando as

relações 2 2 2 2 2

x y x x y yR R R (A B ) (A B ) [11]

y y y

x x x

R A Btg

R A B [12]

O procedimento que acabamos de descrever para adicionar dois vetores A e B

utilizando o método de

componente pode ser checado usando‐se um diagrama como a figura 21.

A extensão desses métodos para vetores tridimensionais é direta. Se A e B

têm componentes x, y e z,

expressamos os vetores na forma

x y z

x y z

ˆˆ ˆA A i A j A k

ˆˆ ˆB B i B j B k

A soma de A e

B é

x x y y z zˆˆ ˆR A B A B i A B j (A B )k [13]

O mesmo procedimento pode ser usado para adicionar três ou mais vetores. Se um vetor R tem componentes

x, y e z, o módulo do vetor é 2 2 2 2

x y zR R R R

O ângulo θ que R faz com o eixo x é dado por

xx

Rcos

R

com expressões similares para os ângulos em relação aos eixos y e z.

FIGURA 21 Uma construção geométrica mostrando a relação entre as

componentes da resultante R de dois vetores e as componentes

individuais.

5 PRODUTOS DE VETORES

Podemos escrever concisamente muitas outras relações entre grandezas físicas usando produtos de vetores. Os vetores não são números comuns, de modo que o produto comum não é diretamente aplicado para vetores. Vamos definir três tipos de produtos usando vetores. O primeiro será denominado produto de um escalar por um vetor dando como resultado um novo vetor. O segundo será o produto de dois vetores denominado produto escalar, fornece um resultado que é uma grandeza escalar. O terceiro, também será o produto de dois vetores, denominado produto vetorial, fornece outra grandeza vetorial. 5.1 PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR

10

O produto de um escalar e por um vetor A é um novo vetor com as seguintes características:

Módulo: eA

Direção: a mesma de A

Sentido: depende do sinal de e: e > 0: mesmo sentido de A

e < 0: sentido oposto de A.

Para dividir A por e , basta multiplicar A

por (1/e) .

Na figura abaixo mostramos o resultado do produto de um escalar e por um vetor Acom e = 3 e e = ‐3.

FIGURA 22 Produto de um escalar e por um vetor A

5.2 PRODUTO ESCALAR

O produto escalar de dois vetores A e B

é designado por A B

Para definir o produto escalar A B de dois vetores A e B

, desenhamos o início destes vetores no mesmo ponto

(figura 23a). O ângulo entre os vetores é designado por como indicado: o ângulo está sempre compreendido entre

0o e 180°. A figura 23b mostra a projeção do vetor B na direção de A

; esta projeção é dada por B

cos e corresponde

ao componente de B paralelo ao vetor A

. (Podemos obter componentes ao longo de qualquer direção conveniente e

não somente nas direções dos eixos Ox e Oy.)

FIGURA 23 (a) Dois vetores desenhados a partir de um mesmo

ponto para definir o produto escalar A B = AB cos. (b) B cos é o

componente de B paralelo ao vetor A

e A B é o produto deste

componente pelo módulo de A. (c) A B

é também o produto do

módulo de B pelo componente de A paralelo ao vetor B

.

Definimos A B como sendo o módulo de A

multiplicado pelo componente de B

paralelo ao vetor A

. Ou seja,

A B = AB cos = l

A l.lB

l cos (definição do produto escalar), [14]

onde está compreendido entre 0° e 180°.

Como alternativa, podemos definir A B como o produto do módulo de B

multiplicado pelo componente de A

na direção do vetor B, como indicado na figura 23c. Logo, A B

= BA cos = lB

l. lA l cos, confirmando a equação (14).

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O produto escalar é uma grandeza escalar, não é um vetor, possuindo um valor positivo, negativo ou nulo.

Quando está compreendido entre 0° e 90°, o produto escalar é positivo. Quando está compreendido entre 90° e

180°, o produto escalar é negativo. Desenhe um diagrama análogo ao da figura 23 porém com compreendido entre

90° e 180°, para você se convencer de que nesse caso o componente de B na direção do vetor A

é negativo, do mesmo

modo que o componente de A na direção do vetor B

. Finalmente, quando = 90°, A B 0

. O produto escalar de dois

vetores ortogonais é sempre igual a zero.

Para dois vetores arbitrários, A e B

, ABcos = BAcos. Isto significa que A B B A . O produto escalar obedece

à lei comutativa da multiplicação; a ordem dos dois vetores não importa. Usaremos o produto escalar no capítulo de Trabalho e Energia para definir o trabalho realizado por uma força.

Quando uma força constante F é aplicada a um corpo, que sofre um deslocamento s

, o trabalho W (uma grandeza

escalar) realizado por esta força é dado por

W F s .

O trabalho realizado por uma força é positivo quando o ângulo entre F e s

estiver compreendido entre 0° e 90°,

negativo se este ângulo estiver compreendido entre 90° e 180° e igual a zero quando F e s

forem dois vetores ortogonais. Em capítulos posteriores usaremos o produto escalar para diversas finalidades, desde o cálculo de um potencial elétrico até a determinação dos efeitos produzidos pela variação de campos magnéticos em circuitos elétricos.

Podemos calcular o produto escalar A B diretamente quando os componentes x, y e z dos vetores A e B

forem

conhecidos. Para ver como isto é feito, vamos calcular o produto escalar dos vetores unitários. Isto é fácil, visto que ˆˆ î, j e k são vetores mutuamente ortogonais. Usando as Equações (14), achamos

ˆ î i = ˆ ˆj j = ˆ ˆk k = 1 . 1 . cos0° =1

ˆ î j = î k = ˆj k = 1 . 1 . cos90° =0

5.3 PRODUTO VETORIAL

O produto vetorial de dois vetores A e B

é designado pelo símbolo A B

. Usaremos este produto em um

capítulo posterior para descrever o torque e o momento angular. Mais tarde também usaremos frequentemente este produto para campos magnéticos, quando então ele nos será útil para determinar relações entre direções espaciais para diversas grandezas vetoriais.

Para definir o produto vetorial A B

de dois vetores A e B

desenhamos os dois vetores com início em um

mesmo ponto (figura 24a).

FIGURA 24 (a) Dois vetores A e B

situados em um

mesmo plano; o produto vetorial A B

é perpendicular a

este plano e seu sentido é dado pela regra da mão

direita. (b) A B

= ‐B A

, o produto vetorial de dois

vetores é anticomutativo.

Assim, os dois vetores ficam situados em um mesmo plano. Definimos o produto vetorial como uma grandeza

vetorial perpendicular a este plano (isto é, perpendicular tanto ao vetor A quanto ao vetor B

) e possuindo módulo

dado por AB sen. Isto é, seC A B

, então

l Cl = AB sen = l

A l.lB

l sen (módulo do produto vetorial de A e B

). [15]

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Medimos o ângulo entre A e B

como sendo o menor ângulo entre estes dois vetores, ou seja, o ângulo está

compreendido entre 0o e 180°. Logo, l Cl na Equação (15) possui sempre valor positivo, como era de esperar para o

módulo de um vetor. Note que quando A e B

forem dois vetores paralelos ou antiparalelos, = 0° ou 180° e l Cl = 0. Ou

seja, o produto vetorial de dois vetores paralelos ou antiparalelos é sempre igual a zero. Em particular, o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é igual a zero. Para avaliar o contraste entre o produto escalar e o módulo do

produto vetorial de dois vetores, imagine que o ângulo entre os vetores A e B

possa variar enquanto seus módulos

permanecem constantes. Quando A e B

são paralelos, o produto escalar possui seu valor máximo enquanto o módulo

do produto vetorial é igual a zero. Quando A e B

são perpendiculares, o produto escalar é igual a zero enquanto o

módulo do produto vetorial possui seu valor máximo. Existem sempre dois sentidos para uma direção ortogonal a um plano, um para cima e outro para baixo do

plano. Escolhemos o sentido de A B

do seguinte modo: imagine que o vetor A sofra uma rotação em torno de um

eixo ortogonal ao plano até que ele se superponha com o vetor B, escolhendo nesta rotação o menor ângulo entre os

vetores A e B

. Faça uma rotação dos quatro dedos neste sentido; o dedo polegar apontará no sentido de A B

. A regra

da mão direita é indicada na figura 24a. O sentido do produto vetorial é também dado pela rotação de um parafuso de

rosca direita quando ele avança ao ser girado de A para B

, conforme indicado.

Analogamente, determinamos o sentido de B A

fazendo uma rotação de B para A

como indicado na figura

24b. O resultado é um vetor oposto ao vetor A B

. O produto vetorial não é comutativo! De fato, para dois vetores

A e B

A B

= ‐B A

. [16]

Assim como fizemos para o caso do produto escalar, podemos fazer uma interpretação geométrica para o

módulo do produto vetorial. Na figura 25a, B sen é o componente de B em uma direção perpendicular à direção de A

.

Pela Equação (15) vemos que o módulo de A B

é igual ao módulo de A multiplicado pelo componente de B

em uma

direção perpendicular à direção de A. A figura 25b mostra que o módulo de A B

é também igual ao módulo de B

multiplicado pelo componente de A em uma direção perpendicular à direção de B

. Note que a figura 25 mostra um

caso no qual está compreendido entre 0o e 90°; você deve desenhar um diagrama semelhante para compreendido

entre 90° e 180° para verificar que a mesma interpretação geométrica vale para o módulo de A B

.

FIGURA 25 (a) Bsen é o componente de B em uma direção

perpendicular à direção de A, e o módulo de A B

é igual ao

produto do módulo de A por este componente, (b) O módulo

de A B

é também igual ao módulo de B multiplicado pelo

componente de A em uma direção perpendicular à direção

de B.

Quando conhecemos os componentes de A e de B

, podemos calcular os componentes do produto vetorial

mediante procedimento análogo ao adotado para o produto escalar. Inicialmente convém fazer uma tabela de

multiplicação vetorial para os vetores unitários ˆˆ î , j e k . O produto vetorial de um vetor com ele mesmo é igual a zero,

logo ˆ î i = ˆ ˆj j = ˆ ˆk k = 0

O zero com a flechinha é para lembrar que este produto fornece um vetor nulo, isto é, aquele cujos componentes são nulos e não possui direção definida. Usando as Equações (15) e (16) e a regra da mão direita, achamos

ˆˆ ˆ ˆ î j j i k

ˆ ˆˆ ˆ ˆj k k j i [17]

13

ˆ ˆˆ ˆ ˆk i i k j

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01 No plano quadriculado abaixo, estão representados três vetores: x , y e z

.

Determine o módulo do vetor soma s x y z

.

SOLUÇÃO

Aplicando‐se o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado, teremos: s2 = 32 + 42 s = 5u

02 Duas forças 1 2F e F

estão aplicadas sobre uma partícula, de modo que a força resultante é perpendicular a 1F. Se | 1F

|

= x e | 2F| = 2x, qual o ângulo entre 1 2F e F

?

SOLUÇÃO

1

2

F x 1sen

F 2x 2

30

90

120

03 Dado o seguinte conjunto de vetores, determine o módulo de sua resultante, sabendo que: AM = MC = 4 e MB = 5.

14

SOLUÇÃO Decompondo os vetores poligonalmente, temos:

Da figura é fácil ver que os vetores horizontais se anulam e como consequência a resultante do conjunto de vetores será: R = 5 + 5 = 10 04 Dois vetores formam um ângulo de 110°. Um dos vetores é de 20 unidades de comprimento e faz um ângulo de 40° com o vetor resultante da soma dos dois. Determine o módulo do segundo vetor e do vetor soma. SOLUÇÃO

Vamos supor que c a b e que | a

| = 20, fazendo um ângulo α = 40° com o vetor resultante c

.

Escolhendo o eixo Ox na direção e sentido do vetor a então o ângulo entre o vetor b

e este eixo vale θ = 110° (o

mesmo que entre a e b).

Cálculo do módulo do vetor b

Da mesma forma, α é o ângulo entre o vetor c

e o eixo Ox (figura). Em termos das

componentes: ax = acos0° = 20 bx = bcos110° = −0,34b cx = ax + bx = 20 − 0,34b ay = sen0° = 0 by = bsen110° = 0,94b cy = ay + by = 0,94b

ˆ ˆc (20 0,34b)i 0,94bj

Para α = 40°, e como sabemos que

x

y

c 0,94btg , temos tg40

c 20 0,34b

0,94b (20 0,34b).tg40

com tg 40° = 0,84, temos: 0,94b = (20 − 0,34b) . 0,84 0,94b + 0,29b = 16,8

b = 13,7 que é o módulo do vetor b.

Para calcular o módulo do vetor c, basta usar sua representação

ˆ ˆc (20 0,34b)i 0,94bj

para b = 13,7. Assim,

ˆ ˆ ˆ ˆc (20 0,34.13, 7)i 0,94.13,7 j 15,3i 12,9 j

2 2c 15,3 12,9 20

05 Se os vetores que estão contidos no retângulo obedecem a relação: X nA mB

. Determine m + n.

15

SOLUÇÃO

Usaremos o vetor C como auxiliar, observe a figura:

Da figura podemos escrever:

X A C e B A 4C

, então

B A 4(X A)

B A 4X 4A

3 1X A B nA mB

4 4onde

3 1m e n

4 4então

m n 1

06 A figura abaixo mostra um quadrado e três vetores A, B e X

. Determine o vetor Xexpresso em função dos vetores

A e B

.

SOLUÇÃO Comparando os gráficos dos vetores:

Vemos que o vetor X

é colinear com o vetor soma A B

. Então podemos escrever:

A B X A B XX ( 2 1)(A B)

IA BI IXI L 2 L(2 2)

07 Ao realizar algumas operações com os vetores A e B

o Professor Gomes obteve os seguintes vetores:

16

onde os módulos dos vetores são:

I 4A B

I = 10u e I A 2B

I = 10 3 u

Determine o módulo de I 7A 4B

I. SOLUÇÃO A incógnita é I 7A 4B

I. Da condição dada, teremos:

I 4A B

I = 10u ⇒ I 8A 2B

I = 20u

`m n

(8A 2B) (A 2B) 7A 4B

Com ImI 20u e InI 10 3u

Da figura teremos:

I 7A 4B

I = 2 2(5 3) (35)

I 7A 4B

I = 10 3 u

08 Considere três vetores X, Y e Z

de módulos respectivamente iguais a x, y e z. Determine os módulos máximo e

mínimo do soma X Y Z

nos seguintes casos:

a) x = 5; y = 8 e z = 10. b) x = 3; y = 7e z = 15. SOLUÇÃO

a) Módulo máximo: X, Y e Z

têm mesma direção e mesmo sentido.

Smáx = x + y + z ⇒ Smáx = 5 + 8 + 10 Smáx = 23

Módulo mínimo: X, Y e Z

constituem um triângulo fechado.

Smín = 0

Nota: • O triângulo de lados 5, 8 e 10 existe, pois cada um de seus lados é menor que a soma dos outros dois.

b) Módulo máximo: X, Y e Z

têm mesma direção e mesmo sentido.

Smáx = x + y + z ⇒ Smáx = 3 + 7 + 15 Smáx = 25

Módulo mínimo: X, Y e Z

têm mesma direção, com X e Y no mesmo sentido e Z em sentido oposto.

Smín = z – (x + y) Smín = 15 – (3 +7) ⇒ Smín = 5

17

Nota: Não existe o triângulo de lados 3, 7 e 15.

09 Dois vetores A e B

tem uma resultante mínima de valor 3. Determine o módulo máximo, se quando formam um

ângulo de 60 °, a resultante é 39. SOLUÇÃO Para dois vetores quaisquer formando um ângulo α entre si a resultante é:

2 2R A B 2ABcos

Para a resultante mínima (α = 180°) teremos a seguinte relação: A – B = 3 Para a resultante de 39 (α = 60°) teremos a seguinte relação:

2 2 2 2R A B 2ABcos60 39 ⇒ 2 2A B AB 1521 Usando A = B + 3 na equação acima teremos:

2 2(B 3) B (B 3)B 1521 ⇒ 2B 3B 504 0

Resolvendo teremos: B = ‐24(impossível) e B = 21 Logo B = 21 e A = 24 10 A resultante de dois vetores tem como módulo o valor 21, e essa resultante é perpendicular a um dos vetores. Se o outro vetor tem módulo 35, qual é ângulo formado pelos vetores componentes? SOLUÇÃO Seja R = 21, R

B e A = 35, podemos construir o seguinte esquema:

Onde se verifica que o ΔOHP é pitagórico pois seus lados corresponde ao seguintes números: 3k, 4k e 5k. A = 35 = 5k e R = 21 = 3k ⇒k = 7⇒ B = 4k = 28. Do triângulo destacado tiramos que θ = 53°, logo o ângulo entre os vetores será: α = 90° + θ ⇒ α = 143°.

11 Considere dois vetores compostos (2P Q) e ( 3P Q

) que formam entre si um ângulo de 53 °, sendo seus módulos

respectivamente iguais a 15 e 7 unidades. Qual é o módulo do vetor P?

SOLUÇÃO

Seja A 2P Q e B 3P Q

onde A = 15 e B = 7. Se somarmos esses vetores eliminaremos o vetor Q

e obtemos

A B 5P

. Com isso teremos:

2 25P A B 2ABcos53 2 25P (15) (7) 2.15.7cos53

P = 4 12 Um quarto tem como dimensões 3,0m x 3,7m x 4,3m. Uma mosca parte de um dos vértices e termina no vértice diametralmente oposto. a) Ache o vetor deslocamento num referencial cujos eixos coordenados sejam paralelos às arestas do quarto. b) Qual é o módulo do deslocamento? c) Poderia o comprimento da trajetória percorrida pela mosca ser menor do que essa distância? d) Maior do que essa distância? e) Igual a essa distância? f) Escolha um sistema de coordenadas apropriado e expresse as componentes do vetor deslocamento em termos de vetores unitários. g) Se a mosca anda em vez de voar, qual é o comprimento da trajetória mais curta que ela pode tomar? SOLUÇÃO

18

a)

b) Temos um sistema R3 (x, y, z).

2 2 2 2 2 2d x y z 3,70 4,30 3,00 13,42 m

c) Não, pois a menor distância entre dois pontos é a reta. d) Pode. A mosca poderia contornar as bordas da sala, então percorreria uma distância de 3,00 m + 3,70 m + 4,30 m = 11,0 m, mas teria o mesmo deslocamento de 13,42 m e) O comprimento do percurso é o mesmo que a magnitude do deslocamento se a mosca voa ao longo do vetor deslocamento.

f) ˆˆ ˆd 3,70i 4,30 j 3,00k

g) Considere a figura:

Dela obtemos:

2 2 2 2minL (w h) (l) (3,70 3,00) (4,30) 7,96 m

13 Na figura abaixo, dois vetores A e B

são organizados em um cubo. Determine a relação entre os módulos dos

vetores I A B

I e I A B

I.

SOLUÇÃO A questão pede:

K = IA BI

IA BI

Primeiro acharemos IA BI

19

Decompomos os vetores nos lados do cubo:

Da figura acima temos: Rx = 2a, Ry = a e Rz = 2a Com isso a resultante será:

2 2 2R (2a) (a) (2a) 3a

IA BI 3a

Agora acharemos IA BI

Decompomos novamente os vetores nos lados do cubo:

Da figura acima temos: Rx = 0, Ry = a e Rz = 0 Com isso a resultante será:

2 2 2R (0) (a) (0) a

IA BI a

então

K =3a

3a

14 Um carro viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção 30° a leste do norte. Desenhe o diagrama vetorial e determine: a) o módulo do deslocamento total do carro em relação ao ponto de partida? b) o ângulo do deslocamento total do carro em relação ao ponto de partida? SOLUÇÃO a)

O norte está a 90°. Então, 30° a leste do norte significa 90° ‐ 30° = 60°.

20

ˆ ˆ ˆ ˆA 50i B 30j C 25cos60 i 25sen60 j

r (50 25cos60 )i (30 25sen60 )j 62,5i 51,7j

logo 2 2r 62,5 51,7 81,1km

b) 1 sen y 51,7tan 39,6

cos x 62,5

em relação ao sentido positivo do eixo x.

15 O Professor Gomes deve executar quatro deslocamentos sucessivos na superfície plana de um deserto, começando na origem de um sistema de coordenadas xy e terminando nas coordenadas (‐140 m, 30 m). As componentes de seus deslocamentos são, respectivamente, as seguintes, em metros: (20, 60); (bx, 70); (−20, cx); e (‐70, ‐60). Determine: a) bx b) cx c) o módulo do deslocamento total d) o ângulo (em relação ao semi‐eixo x positivo) do deslocamento total SOLUÇÃO a) bx + 20 − 20 − 60 = −140 bx = −140 + 60 = − 80 m b) cx + 60 − 70 − 70 = 30 cx = 30 − 60 + 70 + 70 = 110 m

c) 2 2r ( 140) (30) 143 m

d) 1 sen y 30tan 12,1

cos x 140

Como x é negativo e y positivo, percebemos que rencontra‐se no 2° quadrante. Então o ângulo formado entre ele e o

eixo x positivo é 180° – 12,1° = 167,9°.

16 Quais são as propriedades dos vetores a e b tais que:

a) a b c

e a + b = c

b) a b a b

c) a b c

e a2 + b2 = c2 SOLUÇÃO a) Temos que:

c c a b a b a a b b 2a b

ou seja: c2 = a2 + b2 + 2abcos θ Para que c = a + b é necessário que θ = 0 pois c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 Portanto a| b b) Da equação acima, temos que:

a a b b

2b 0

b 0

c) Como c2 = a2 + b2 + 2abcos θ para que c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2

devemos ter θ = π/2 e, portanto, a b.

17 Considere as seguintes forças (em newtons):

1ˆ ˆF 2i 3j

2ˆ ˆF 3i 5j

3ˆ ˆF 5i 2j

4ˆ ˆF i 6j

21

Calcule: a) o módulo do vetor resultante, b) a tangente do ângulo formado entre o vetor resultante e o eixo Ox. SOLUÇÃO Podemos escrever diretamente: Fx = 2‐3 + 5‐1 = 3 Fy = 3 + 5 + 2‐6 = 4 a) O módulo do vetor resultante é dado por: F=(32 + 42)1/2 = 251/2 = 5N b) A tangente do ângulo entre a força resultante e o eixo Ox é dada por: tanα= Fy/Fx = 4/3 = 1,333 18 São dados dois vetores:

ˆ â 4i ‐ 3j

e ˆ ˆb 6i ‐ 8j

Determine:

a) O módulo de a.

b) O ângulo que a faz com o eixo x+.

c) O módulo de b.

d) O ângulo que b faz com o eixo x+.

e) O módulo de a + b.

f) O ângulo que a + b faz com o eixo x+.

g) O módulo de b ‐ a

.

h) O ângulo que b ‐ a

faz com o eixo x+.

i) O módulo de a ‐ b.

j) O ângulo que a ‐ b faz com o eixo x+.

k) Determine o ângulo entre as direções de b ‐ a

e a ‐ b.

SOLUÇÃO

a) 2 2a (4) ( 3) 5 m

b) 1 sen y 3tan 36,87

cos x 4

c) 2 2b (6) ( 8) 10 m

d) 1 sen y 8tan 53,13

cos x 6

e) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ â + b (4i ‐ 3j) + (6i ‐ 8j) = 10i ‐ 11j

2 2Ia + bI (10) ( 11) 14,87 m

f) 1 sen y 11tan 47,73

cos x 10

g) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆb ‐ a (6i ‐ 8j) ‐ (4i ‐ 3j) = 2i ‐ 5j

2 2Ib ‐ aI (2) ( 5) 5,39 m

h) 1 sen y 5tan 68,2

cos x 2

i) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ â b (4i ‐ 3j) (6i ‐ 8j) = 2i + 5j

2 2Ia bI ( 2) (5) 5,39 m

j) 1 sen y 5tan 68,2 180 111,8

cos x 2

k) As direções são opostas, logo o ângulo entre elas é 180°.

19 Se B é somado a ˆ ˆC 3i + 4j

, o resultado é um vetor no sentido do semi‐eixo y positivo, com um módulo igual ao de

C. Qual é o módulo de B

?

22

SOLUÇÃO Considere o esquema de vetores:

Se a resultante da soma de B C

é um vetor com módulo igual ao de C

, no sentido do semi‐eixo y positivo, então essa

resultante é um vetor ˆR 5j

de módulo 5,0.

Fazendo a soma graficamente pode‐se verificar que R e Cformam um triângulo isósceles com B

formando a base.

Se o ângulo deC com o semi‐eixo x positivo é 1 sen y 4

tan 53,3cos x 3

, o seu complemento é 36,87°.

Assim 36,87

B 2Csen 2.5sen 3,22 2

20 Considere as forças:

1

2

3

ˆ ˆF 2i jˆˆ ˆF i j + kˆˆ ˆF i j + k

onde as forças são dadas em newtons e todas as unidades são do sistema MKS. Calcule a força que deve ser adicionada a este conjunto de forças para que a soma vetorial de todas as quatro forças seja igual a zero. SOLUÇÃO

Procuramos uma força 4F que deverá equilibrar o conjunto das três forças dadas. Esta força procurada será dada por:

4ˆˆ ˆF xi yj zk

(1)

onde x, y e z são os componentes da força procurada. O newton (N) é a unidade de cada componente das forças é, de modo que não é necessário fazer nenhuma conversão de unidade, ficando implícito que todas as unidades são homogêneas; portanto, não mencionaremos mais as unidades deste problema. Como sabemos, para fazer uma soma vetorial basta somar algebricamente os componentes dos vetores, ou seja:

1 2 3 4ˆˆ ˆF F F F 4 x i 1 y i 3 z k

Para que a soma vetorial indicada acima seja nula, cada componente deve ser igual a zero, isto é, 4 + x = 0; 1 + y = 0; 3 + z = 0 Das relações anteriores obtemos: x = ‐4; y = ‐1; z = ‐ 3 Substituindo estes valores na relação (1), determinamos a força necessária para equilibrar o conjunto das três forças dadas:

4ˆˆ ˆF 4i j 3k

21 Prove que dois vetores devem ter o mesmo módulo para que sua soma seja perpendicular à sua diferença. SOLUÇÃO

2 2a b a b a b 0

a b

22 Dois vetores são dados por ˆ ˆa 3i 5j

e ˆ ˆb 2i 4j

. Calcule:

a) a b

b) a b

c) a b b

23

SOLUÇÃO a)

ˆˆ î j k

ˆ â b = 3 5 0 k 3.4 5.2 2k

2 4 0

b)

a b = 3.2 + 5.4 = 26

c)

ˆ ˆ ˆ â b b = 5i 9j 2i 4j 5.2 9.4 46

23 Determine o valor de a para que o vetor ˆ û ai 10 j

seja ortogonal ao vetor ˆ ˆv 4i 2j

.

SOLUÇÃO Para que sejam ortogonais devemos ter: u v 0 ‐4a + 20 = 0 a = 5 24 Dados dois vetores,

x y z

x y z

ˆˆ â a i a j a k

ˆˆ ˆb b i b j b k

determine o produto escalar a b .

SOLUÇÃO

Multiplicando escalarmente membro a membro as duas relações anteriores e lembrando que ˆˆ î, j e k são vetores

unitários ortogonais entre si, obtemos facilmente a expressão solicitada:

X X y y Z Za b a b a b a b

EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 01 Quais das grandezas seguintes são vetores e quais não são: força, temperatura, o volume da água em um pote, as avaliações de um show de TV, a altura de um prédio, a velocidade de um carro esportivo, a idade do Universo? 02 É possível adicionar uma grandeza vetorial a uma grandeza escalar? Explique. 03 Dois vetores que tenham módulos diferentes podem ser combinados de modo que sua resultante seja nula? E três vetores? 04 Um vetor pode ter módulo nulo se uma de suas componentes é diferente de zero?

05 Suponha que 1 2d d d

. Isto significa que temos de ter 1d d

ou 2d d

? Se não, explique por quê.

06 Explique em que sentido uma equação vetorial contém mais informação que uma equação escalar.

07 No gráfico, os vetores dados são relacionados por C mA nB

, onde m e n são números reais. Determine m e n.

24

08 Determine o módulo do vetor resultante em cada um dos sistemas abaixo. Todas as figuras são polígonos regulares de lado 1.

09 Determinar o módulo do vetor resultante mostrado abaixo, sabendo que o PM = 7, e MQ = 2 e MS = 5/3.

10 A figura mostra um hexágono regular de lado a sobre o qual se apoiam 5 vetores. Determine a resultante desses vetores.

11 A figura mostra um círculo com centro O onde está contido três vetores, A , B e X

. Escreva o vetor X em função dos

vetores A e B

.

12 A partir dos vetores mostrados abaixo, expresse o vetor x em função dos vetores A e B

.

13 Sabendo que ABCD é um quadrado, determine uma expressão vetorial para X em função dos vetores M e N

.

25

14 Determinar o módulo da resultante no sistema de vetores apresentado na figura abaixo, sabendo que A = 30 u e B = 18 u.

15 A figura mostra três vetores a , b e c

. Encontre a medida do ângulo θ para que a resultante seja mínima.

16 Considere dois deslocamentos, um de módulo 3m e outro de módulo 4m. Mostre como os vetores deslocamentos podem ser combinados de modo que o deslocamento resultante tenha módulo a) 7m b) 1m c) 5m

17 Dois vetores a e bsão somados. Mostre graficamente, com diagramas vetoriais, que o módulo da resultante não

pode ser maior do que a + b nem menor do que |a – b|; as barras verticais significam valor absoluto.


têm módulos iguais de 10 unidades. Eles estão orientados como mostra a figura e sua soma

vetorial é r.

26

Encontre: a) as componentes x e y de r

b) o módulo de r

c) o ângulo que r faz como o eixo + x.

19 Uma pessoa indo para uma caminhada segue a trajetória mostrada na figura. O passeio total consiste em quatro trajetórias em linha reta. No final da caminhada, qual é o deslocamento resultante da pessoa medido a partir do ponto de partida?


têm módulos perfeitamente iguais. Para o módulo de A B

ser n vezes maior que o módulo de

A B

, qual deve ser o ângulo entre eles?

21 a) Usando vetores unitários ao longo de três lados de um cubo, expresse as diagonais de um cubo em termos de seus lados, que têm comprimento a. b) Determine os ângulos formados pelas diagonais com os lados adjacentes. c) Determine o comprimento das diagonais.

22 a) Qual é a soma, na notação de vetores unitários, dos dois vetores ˆ â 5i 3j

e ˆ ˆb – 3i 2j

?

b) Qual é o módulo e a direção de a b?

23 Dois vetores são dados por ˆˆ â 4i 3j + k

e ˆˆ ˆb – i j + 4k

. Encontre

a) a b

b) a b

c) um vetor ctal que a b c 0

24 Considere as forças:

1

2

3

4

ˆˆ ˆF 2i 3j kˆˆF i k

ˆ ˆF i jˆˆ ˆF i j k

Determine a força 5F necessária para equilibrar a ação destas quatro forças.

25 a) Determine os componentes e o módulo de r a b c

se ˆˆ â 5i 4 j 6k

, ˆˆ ˆb 2i 2j 3k

e ˆˆ ˆc 4i 3j 2k

.

b) Calcule o ângulo entre r e o eixo z positivo.

26 Considere os vetores:

27

1

2

3

4

5

6

ˆ ˆF 2i 3jˆ ˆF ‐5i 5jˆ ˆF ‐7i 4 jˆ ˆF ‐2i 3jˆ ˆF 8i 2jˆ ˆF 2i j

Calcule: a) o módulo da resultante: b) o ângulo formado entre a resultante e o eixo Ox.

27 Considere os pontos (1,1,3) e (2,3,6). Escreva o vetor d com origem no primeiro ponto e extremidade no segundo.

28 Os vetores A e B

têm módulos iguais de 5,00. Se a soma de A e B

é o vetor 6,00 j , determine o ângulo entre A e B

.

29 Dados os vetores ˆ ˆ ˆ Â 2,00i 6,00 j e B 3,0i 2,0 j

a) trace o vetor soma S A B

e o vetor diferença D A B

.

b) calcule S e D

em termos dos vetores unitários.

30 Cada um dos vetores deslocamento A e B

mostrados na figura tem um módulo de 3,00 m.

Encontre graficamente

a) A B

. b) A B

.

c) B A

. d) A 2B

.

Informe todos os ângulos no sentido anti‐horário a partir do eixo x positivo.

31 O vetor A tem componentes x, y, e z de 8,00, 12,0 e ‐ 4,00 unidades, respectivamente.

a) Escreva uma expressão vetorial para A em notação de vetor unitário,

b) Obtenha uma expressão de vetor unitário para o vetor B com um quarto do comprimento de A

apontando na

mesma direção que A.

c) Obtenha uma expressão de vetor unitário para um vetor C com três vezes o comprimento de A

apontando na

direção oposta à de A.

32 O vetor A tem componentes x e y de ‐8,70 cm e 15,0 cm, respectivamente; o vetor B

tem componentes x e y de 13,2

cm e ‐6,60 cm, respectivamente. Se A B 3C 0

, quais são as componentes de C?

33 Dados dois vetores ˆ â 2i j

e ˆ ˆb i j

, determine o módulo e a direção de a, de b

, de (a b)

, de (a b)

e de

(b a)

.

34 Considere dois vetores ˆ ˆ ˆ Â 3i 2j e B i 4j

. Calcule

a) A B

b) A B

c) I A B

I d) I A B

I

e) as direções de A B

e A B

.

28

35 Um vetor B tem componentes x, y, e z de 4,00, 6,00, e 3,00 unidades, respectivamente. Calcule o módulo de B

e os

ângulos que B faz com os eixos coordenados.

36 Se ˆ ˆA 6,00i 8,00 j

unidades, ˆ ˆB 8,00i 3,00 j

unidades, e ˆ ˆC 26,0i 19,0 j

unidades, determine a e

b tal que aA bB C 0

.

37 Dois vetores são dados por ˆˆ ˆa 3i 2j k

e ˆˆ ˆb 3i j 2k

. Determine o vetor 3a 2b.

38 No plano quadriculado abaixo, estão representados quatro vetores: 1 2 3 4v , v , v e v

.

Determine o módulo do vetor 1 2 3 43v v + 2v v

.

39 Um vetor v

possui módulo igual a 4 m e está situado a 45° com a direção Oeste‐Leste no sentido anti‐horário.

Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: a) v /2

b) 2v.

40 Mostre para qualquer vetor a, que

a) a a = a2 b) a a

= 0

41 Um vetor a de módulo igual a 10 unidades e outro vetor b

de módulo igual a 6 unidades apontam para direções que

fazem um ângulo de 60° entre si. a) Determine o produto escalar entre os dois vetores e b) o produto vetorial entre eles. 42 a) Mostre que, se invertermos os sentidos de todas as componentes de um vetor, então o próprio vetor também terá invertido o seu sentido. b) Mostre que se invertermos as componentes de dois vetores que formam um produto vetorial, então o vetor produto não é alterado. c) O vetor produto, nesse caso, é um vetor?

43 Se a b = 0, isto quer dizer que a e b

são perpendiculares entre si? Se a b

= a c , isso quer dizer queb c

?

44 Mostrar que a e bsão vetores, tal que a b

é ortogonal a a b

, então a = b.

45 Se a b = 0, é necessário que a

seja paralelo a b

?

46 Três vetores somam zero, como no triângulo retângulo da figura.

29

Calcule

a) a b b) a c

c) b c d) a b

e) a c

f) b c

47 Dados os vetores

ˆ ˆt i j

ˆ û 2i 3j

ˆ ˆv i j

calcule os seguintes produtos:

a) t (u v)

b) t (u v)

c) ( t u) v

48 Considere os vetores:

ˆ ˆt i 2jˆ û 2i jˆ ˆv i j

Faça as operações:

a) t u u v

b) u v

c) t (u v)

d) t (u v)

49 Dados os vetores ˆˆ û 2i j 3k

; ˆˆ ˆv 4i 5j k

; ˆˆ ˆw 3i j mk

, calcular:

a) o módulo de u e de v

b) o produto escalar entre u e v;

c) o produto vetorial entre u e v;

d) o valor de m de modo que u seja ortogonal a w

.

e) o cosseno do ângulo entre u e v.

f) os cossenos diretores de u e v.

50 Dados dois vetores,

x y z

x y z

ˆˆ â a i a j a k

ˆˆ ˆb b i b j b k

determine o produto vetorial a b.

51 Mostre que a b pode ser expresso por um determinante 3 x 3 como

a b= x y z

x y z

ˆˆ î j k

a a a

b b b

52 Seja: t (u v)

. Determine o sinal dos seguintes produtos:

30

a) u ( v)

b) ( u) ( v)

c) v u

d) v ( u)

53 Mais tarde, em nossos estudos de física, encontraremos grandezas representadas por (A B) C . Quaisquer que

sejam os vetores A, B e C ,

a) prove que (A B) C A (B C)

.

a) calcule (A B) C para os três vetores: ˆ Â 2i j k

, ˆ ˆB i j

e ˆˆ ˆC i 2j 2k

.

b) calcule (A B) C .

54 Mostre que: a) u v v u

b) u v v u

c) u (v w) u (w v)

d) u (v w) w (u v) v (w u)

55 Determine o valor de m para que os vetores ˆˆ â 3i 5j 9k

e ˆˆ ˆb 7i mj 4k

sejam perpendiculares entre si.

56 Qual o valor de α para que os vetores ˆˆ â i 5j 4k

e ˆˆ ˆb ( 1)i 2j 4k

sejam ortogonais?

57 Determinar um vetor de modulo 5 paralelo ao vetor ˆˆ ˆv i j 2k

.

58 Sejam b e c

dois lados quaisquer de um triângulo. Deduza uma relação para obter a área deste triângulo em função

dos vetores b e c

.

59 Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores ˆˆ â 3i j 2k

e ˆ ˆb 4i j

.

60 Sabendo que: 1 2 3v v v 0 . Calcule o dobro da área A formada por estes três vetores.

61 Considere um paralelepípedo de lados a, b e c

. Deduza uma relação para o cálculo do volume V deste

paralelepípedo em função dos vetores a, b e c

.

Respostas

01 Vetores: força e velocidade de um carro esportivo 02 Não, pois tem características diferentes. 03 Não. Sim. 04 Não.

05 Não, pois depende da direção e sentido de 1de 2d.

06 A equação vetorial tem módulo, direção e sentido enquanto a equação escalar não. 07 m = ‐8/11 e n = ‐2/11

08 a) 2 b) 4 c) 2 d) 2 09 5 10 6.a

11 B A

X2

12 2

x (A B)4

31

13 2 1

x (M N)2

14 IRI 21(k 1)

15 22,5° 16 Demonstração. 17 Demonstração. 18 a) rx = 1,59 unidades e ry = 12,1 unidades b) r = 12,2 unidades c) 82,5° 19 240 m

20 1 12tan

n

21 a) ˆˆ âi aj ak b) 54,7° c) a 3

22 a) ˆ â + b 2i 5j

b) Ia + bI 5,38

, Direção 68,19° com o eixo x.

23 a) ˆˆ â + b 3i 2j + 5k

b) ˆˆ â b 5i 4j 3k

c) ˆˆ ˆc 5i + 4j + 3k

24 5ˆˆ ˆF i ‐ 3j k

25 a) ˆˆ ˆr 11i 4j 7k

e IrI 13,63

b) 120,9°

26 a) 4,47 b) 116,56

27 ˆˆ ˆd i 2j 3k

28 θ = 106° 29 a)

b) ˆ ˆS 5i 4 j

e ˆ ˆD i 8 j

30 a)

b)

c)

d)

31 a) ˆˆ Â 8i 12j 4k

b) A ˆˆ ˆB 2i 3j k4

c) ˆˆ ˆC 3A 24i 36 j 12k

32 Cx = 7,3 cm e Cy = ‐7,2 cm

33 a⇒2,24; 26,6° com eixo OX positivo, medido no sentido horário.

b⇒1,41; 45° com o eixo OX positivo, medido no sentido horário.

32

(a b)⇒1; paralelo ao eixo OX positivo.

(a b)⇒3,61; 33,7° com o eixo OX positivo, medido no sentido horário.

(b a)

⇒= 1; 180° com o eixo OX positivo, medido no sentido anti‐horário.

34 a) ˆ Â B 2i 6 j

b) ˆ Â B 4i 2j

c) IA BI 6,32

d) IA BI 4,47

e) θA+B = 288° e θA‐B = 26,6°

35 B = 7,81 e α = 59,2°, β = 39,8° e γ = 67,4° 36 a = 5 e b = 7

37 ˆˆ ˆ3i 4 j k

38 28,42 39 a) 2m, 45° com a direção Oeste‐Leste medido no sentido anti‐horário. b) 8 m, 225° com a direção Oeste‐Leste medido no sentido anti‐horário. 40 Demonstração. 41 a) 30 unidades. b) 52 unidades; direção: perpendicular ao plano formado pelos dois vetores. Sentido: regra de mão direita. 42 Demonstração. 43 Sim, Não. 44 Demonstração. 45 Sim.

46 a) 0 b) ‐16 c) ‐9 d) 12k k e) −12 k f) 12 k

47 a) 0 b) ˆ î j c) ˆ ˆ‐ 5i + 5 j

48 a) 5 b) ˆ3k c) 0 d) ˆ ˆ6i 3j

49 a) IuI 14e IvI 42

b) 6 c) ˆˆ ˆ16i 10 j 14k d) ‐7/3 e) 6

cos588

f) de u cosα = 2/ 14 cosβ = ‐1/ 14 cosγ = 3/ 14

de v cosα = 4/ 42 cosβ = 5/ 42 cosγ = 1/ 42

50 a b =(aybz ‐ azby) i – (axbz ‐ azbx) j + (axby ‐ aybx) k

51 Demonstração. 52 a) –t b) t c) –t d) t

53 a) Demonstração. b) ‐1 c) ˆ ˆ4i j 3k

54 Demonstração. 55 m = 3 56 α = 2 ou α = ‐3.

57 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆw i j k ou w i j k6 6 3 6 6 3

58 Ib cI

A2

59 10,816 60 2A = Iv1xv2I = Iv2xv3I = Iv3xv1I

61 a (b c)

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