Sequncias Numricas

Denio 1. Uma sequncia ou sucesso de nmeros reais uma funo n 7 an, avalores reais, cujo domnio um subconjunto de N. As sequncias que vamos considerar

o domnio do tipo {n N|n 9}A notao an usada para indicar o valor que a sequncia assume no nmero natural

nDiremos que an o termo geral da sequncia e por abuso de notao, usamos an paraindicar a sequncia do termo geral an

Denio 2. limn

an = L se > 0,N0|n > N0 |an L| < .Neste caso a sequncia denominada sequncia convergente e L dito o limite da

sequncia.

Denio 3. limn

an = se M RN0 N|n > N0 an > M .Neste caso, dizemos que a sequncia diverge para o innito. Analogamente, a sequncia

diverge para se M RN0 N|n > N0 an < MAssim, a sequncia an diverge para an diverge para

Propriedades

Se an e bn so sequncias convergentes, comeando no mesmo ndice, ento:

limn

(an + bn) = limn

an + limn

bn

limn

(an) = limn

an

limn

(an bn) = limn

an limn

bn

limn

anbn

=limn

an

limn

bn, lim

nbn 6= 0

Caso f for contnua, limn

f(an) = f( limn

an)

Teste da Subsequncia

Denio 4. Subsequncia uma sequncia formada pelas partes da sequncia dada, isto

, Yk = Xnk , onde k 7 nk injetora (ni = nj i = j)Teorema 1. Seja Xn uma sequncia convergente. Ento qualquer sequncia Yk de Xnconverge e tem o mesmo limite.

Corolrio 1. Qualquer sequncia que possui duas subsequncias com limites diferentes

ser divergente.

Teorema 2 (Teorema do Sanduche). Se an bn cn e limn

an = limn

cn = L, ento

limn

bn = L

Corolrio 2. limn

Xn = 0 limn

|Xn| = 0

1

Sequncias montonas

Denio 5. Uma sequncia an dita monnota crescente quando an+1 an para todon. De forma anloga, uma sequncia an dita montona decrescente se an+1 an paratodo nAs sequncias crescente ou decrescente so denominadas sequncias monnotas.

Se an+1 > an, para todo n, dizemos que a sequncia estritamente crescente, e casoan+1 < an, para todo n, dizemos que a sequncia estritamente decrescente.Uma sequncia estritamente monnota se for estritamente crescente ou estritamente

decrescente.

Teorema 3. Toda sequncia montona limitada convergente

Sries Numricas

Denio 6. A soma dos termos de uma sequncia an denominado srie do termogeral, e denotado por:

n0

an

Neste caso, an denominado de termo geral da srie.Quando no importa onde inicia a soma, podemos abreviar

an

Considere uma srie S =N

n=n0

an

Denimos a soma parcial

S =N

n=n0

an = an0 + an1 + + aN

que uma sequncia recursiva dada por Sn0 = an0 e SN = SN1 + aN , para todo N > n0

Escrevemos

n=n0

an = S quando limn

SN = S

Quando SN converge dizemos que a srie convergente.Quando SN diverge, dizemos que a srie divergente.

Propriedades

Se

an e

bn so sries convergentes, ento:

(an + bn) = an + bn (an) = an | an| |an|, caso |an| for convergenteCaso o limite envolva , vale somente se a operao correspondente for vlida naaritmtica inntesimal.

Teorema 4 (Limite do termo geral). Se a srie

an converge, ento lim

n|an| = 0Corolrio 3 (Teste do termo geral). Se lim

n|an| 6= 0, ento a srie

an diverge

2

Srie Geomtrica

Denio 7. Seja:

a+ ar + ar2 + ar3 + + ar1 + =n=1

arn1, a 6= 0

Cada termo obtido a partir do anterior pela multiplicao dele por uma razo r emcomum.

Quando |r| < 1, a srie geomtrica convergente e sua soma a1rQuando |r| 1, a srie geomtrica divergente.

Nota

Com qualquer srie an associamos duas sequncias de suas somas parciais Sn e asequncia de seus termos an. Se

an for convergente, o limite da sequncia Sn asoma da srie e o limite da sequncia an 0.

Observe que limn

an = 0 no garante que a srie seja convergente. (Srie harmnica)

Testa da Integral

Suponha que f serja uma funo contnua, postiva e decrescente em [1,) e seja an =f(n). Ento a srie

n=1

an convergente se e somente se a integral imprpria

1

f(x)dx

for convergente. Assim:

Se 1

f(x)dx for convergente, enton=1

an convergente.

Se 1

f(x)dx for divergente, enton=1

an divergente.

Nota: No teste da integral, no necessrio comear a srie ou a integral em n = 1.Tambm no pe necessrio que f seja sempre decrescente. O que importa e que f sejanalmente decrescente, isto , decrescente para x maior que algum nmero N .

P srie

A p srie

n=1

1

np convergente se p > 1 e divergente se p 1

Teste da comparao

Suponha que

an e

bn sejam sries com termos positivos.

Se bn for convergente, e an bn para todo n, ento an tambm ser convergente Se bn for divergente, e an bn para todo n, ento an tambm ser divergente.3

Sries Alternadas

Uma srie alternada aquela cujos termos so alternadamente positivos e negativos

Teste da srie alternada

Se a srie

n=1

(1)n1bn = b1 b2 + b3 b4 + b5 b6 + (bn > 0) satisfazer:

bn+1 bn para todo n lim

nbn = 0

ento a srie convergente.

Convergncia Absoluta

Uma srie

an chamada absolutamente convergente se a srie de valores reais absolutos |an| for convergente.Uma srie

an chamada condicionalmente convergente se ela for convergente, masno for absolutamente convergente.

Teorema 5. Sde uma srie

an for absolutamente convergente, ento ela convergente

Teste da Razo

Se limn

an+aan = L < 1, ento a srie

n=1

absolutamente convergente, e portanto,

convergente.

Se limn

an+aan = L > 1 ou limn

an+aan = ento a srie

n=1

divergente.

Se limn

an+aan = 1, o testa da razo no conclusivo.Teste da Raiz

Se limn

n|an| = L < 1, ento a srie

an absolutamente convergente, e portanto,

convergente.

Se limn

n|an| = L > 1 ou lim

nn|an| = ento a srie

an divergente.

se limn

n|an| = 1, ento o testa da raiz no conclusivo.

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