Disciplina: Calculo para Tecnologia · função do Primeiro Grau wsantoscj@gmail.com 18. Termos de...

Disciplina: Calculo para Tecnologia

(Equação de 1o e2o graus, Porcentagem,

razão e proporção. Regra de três, Logaritmo, Funções Trigométricas )

Prof. Wagner Santos C. de Jesuswsantoscj@gmail.comwww.wagnerscj.com.br/etep

Curso: Análise e Desenvolvimento de Sistemas

Conceito de Equação

wsantoscj@gmail.com 2

Equações

São expressões algébricas que possuem uma igualdade.Essas expressões são chamadas de algébricas porquepossuem pelo menos uma incógnita, que é um númerodesconhecido representado por uma letra.

Termos de uma Equação

Conceito de Termos

Termo é o nome que se dá ao produto dealgum número por alguma letra. Paraidentificá-los, basta procurar pelasmultiplicações separadas por sinais deadição ou subtração.

8x + 9x – 10x = 15x – 4x

Exemplo

Membros da equação

Primeiro e segundo membros são definidos pelaigualdade, nas equações.

ax + bx – cx = kx – cx

Primeiro membro Segundo membro

Grau de uma equaçãoO grau de uma equação é determinado, pelo valor depotência mais alto que equação tiver.

Exemplo:

4x3+ 2x2 = 7 é 3

Se a equação possui mais de uma incógnita, então, o graudela é dado pela maior soma entre os expoentes de ummesmo termo. Por exemplo, o grau da equação:

4xyz + 7yz2 – 5x2y2z2 = 0 é 6.

Conceito de equação do primeiro

Conceito de Equação do Primeiro Grau.

Basta reduzir os seus termossemelhantes e observar os expoentesdas partes literais dos monômios, se omaior expoente for 1, significa que aequação é do 1º grau.

2x – 1 = 5

Exemplos de Equação doprimeiro grau

2x – 1 = 520 – y = 1530n + 12 = 2020x + 2y = 5z

Como escrever umaequação

1. Identificar as variáveis2. Identificar possíveis valores do

problema (coeficientes).3. Escrever a expressão, achando

a igualdade.4. Resolver.

Exemplo

Um número somado a seu sucessor,resulta em 11 qual é esse número?

x + x+1 = 11

2x +1 = 11

2x = 11 - 1

5 + (5+1) = 11

Exemplo Prático

4x + 2x -7x = 16 – 5x

6x - 7x = 16 – 5x-x = 16 – 5x

-x +5x = 16 6x = 16

Problema

Em uma empresa de informática, um analista chegou aconclusão de que seus custos, eram um triplo do valor degasto desconhecido, adicionado a seu dobro, resultandoem total de R$ 600 reais. Qual o valor do gastodesconhecido?

Resolução

GD – Gasto desconhecido = ?

3GD + 2GD = 600

5GD = 600

Gasto desconhecido = 120 Reais

3(120) + 2(120) = 600

Problema Proposto

José viaja 350 quilômetros para ir de carro de sua casa àcidade onde moram seus pais. Numa dessas viagens,após alguns quilômetros, ele parou para um cafezinho. Aseguir, percorreu o triplo da quantidade de quilômetrosque havia percorrido antes de parar. Quantos quilômetrosele percorreu após o café?

ResoluçãoDistância de d antes de parar e depois percorre otriplo.

d + 3d = 3504d = 350

Gráfico de uma função do Primeiro

Termos de uma função doPrimeiro Grau

f(x) = mx+b

Coeficiente Angular

Coeficiente Linear

DomínioImagem

Conceito

Em uma função do 1º grau para se criar um gráfico bastaindicar apenas dois pontos. Apenas um ponto, corta o eixox esse ponto é a raiz da função e apenas um ponto, corta oeixo y esse ponto é o valor de b coeficiente linear.

Conceito de Domínio

O domínio é o subconjunto deIR (Reais) no qual todas asoperações indicadas em y=f(x)são possíveis.

Exemplo de Domínio

DomínioD = {1,2,3,4,5}

ImagemIm = {2,3,4,5,6}

As formulas (1) e (2) serão base para construir os algoritmos de retas

Conceito Matemático de retabmxy += Onde (m) Coeficiente ângular em

relação ao eixo x.

Ângulo entre 0º e 45º com eixo x, o Coeficiente linear b dá o valor do eixo y.

−−= 11 mxyb −=

Ângulo entre 45º e 90º com eixo x.

Dados dois pontos no planoP1 e P2, pode-se obter m e bda seguinte maneira.

(1) (2)

1≤mse

Exemplo - Encontrando Coeficiente angular

f(x) x

f(x) = 2.x + 101

−−=

Exemplo - Encontrando Coeficiente Linear

f(x) x

f(x) = 2.x + 5

11 mxyb −=

ExercícioEncontre o coeficiente angular e Linear da reta abaixo e determine a equação da reta:

−−=

11 mxyb −=

Solução

−−=

11 mxyb −=

b = 8 – (-2).(0) = 8Descrevendo a reta f(x) = -2x + 8

Resposta

Coeficiente angular m = -2Coeficiente Linear b = 8Equação da reta f(x) = -2x + 8

Balanceamento da equação caso negativo

Se a parte da variável ou a incógnita da equação fornegativa, devemos multiplicar todos os membros daequação por –1.

Exemplo:

-8x = -80-8x.(-1) = -80.(-1)8x = 80 x = 80 / 8x = 10

Equação do Segundo Grau

Conceito

Uma equação é uma expressão matemática que possuiem sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes eum sinal de igualdade. As equações são caracterizadas deacordo com o maior expoente de uma das incógnitas.

2x + 1 = 0. O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessaforma, essa equação é classificada como do 1º grau.

2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, euma delas possui expoente 2. Essa equação é classificadacomo do 2º grau .

Conceito

Encontrar as raízes de uma equaçãosignifica, determinar o ponto em quea curva passa (Intercepta) pelo eixo x(Abscissa).

Abscissa

Solução de Equação deGrau - 2

Gráfico da funçãox2 = 25

(-5,0)

(5,0)(-5,0)

Método de Solução

Cada modelo de equação possuiuma forma de resolução.Trabalharemos a forma deresolução de uma equação do2º grau por meio do método de"Bhaskara".

Termos de uma função dosegundo Grau

Coeficiente literalPotencia de grau 2

Coeficiente literal Termoindependente

Sabendo que as raízes

x´= 4; x´´=6

x² – 10x + 24 = 04² – 10 * 4 + 24 = 0

16 – 40 + 24 = 0–24 + 24 = 0 (Raiz válida)

x´= 4; x´´=6

x² – 10x + 24 = 06² – 10 * 6 + 24 = 0

36 – 60 + 24 = 0– 24 + 24 = 0(Raiz válida)

Método de solução da equação

Levando em consideração, que em algummomento, não teremos os valores de x então,precisamos de um método para descobrir asraízes da equação do segundo grau.

Método de Bhaskara

Solução: f(x) = x² – 10x + 24 = 0

Indicação das raízes

(4,0) (6,0)

Problema

Um experimento realizado com um processador 8031,observou-se que seu comportamento seria conforme aequação, f(x) = x² – 2x – 3 , em que ponto ocorreu asaturação e em que ponto, ocorreu a retomada.

Esboce o gráfico da função.

Solução

3² – 2(3) – 3 = 0

Prova:

– 1² – 2(–1) – 3 = 0

f(x) = x² – 2x – 3 = 0

– 2(–1)

3 – 3 = 0

(3,0)(-1,0)

Equação Terceiro Grau

Conceito

Uma equação cúbica ou equação do terceiro grau éuma equação polinomial de grau três.Qualquer equação de 3° grau pode ser escrita como:

Termos de uma função doTerceiro Grau

Coeficiente literalPotencia de grau 3

Coeficiente literalGrau 2

Coeficienteliteral

Variável independente

Solução de Equação deGrau - 2

Gráfico da f(x) = x3

Solução de uma equação do

Terceiro Grau

Metodologia para solução

Albert Girard, matemático belga nascido no ano de 1595,em seus estudos estabeleceu fórmulas matemáticas querelacionam os coeficientes e as raízes de uma equaçãoalgébrica.

P = a2 .(-d)S = -b

Solução Equação de grau-3

Resolução de umaEquação de grau-3

P = a2 .(-d)= 12 -30

S = -b = -10

-2 -3 -5

Exemplo – 2 (Teste)

P = a2-d = 36.(-2) = -72

S = -b = -(-5) = 572 2

72 = 2.4.9 | 4.6.3 | ........

(6+3-4)

Conceito deRegra de Três

Simpleswsantoscj@gmail.com 57

Conceito Prático

Regra de três simples é um processo prático para resolverproblemas que envolvam quatro valores dos quaisconhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar umvalor a partir dos três já conhecidos.

Processo Prático

1. Construir uma tabela, agrupando as grandezasda mesma espécie em colunas e mantendo namesma linha as grandezas de espéciesdiferentes em correspondência.

2. Identificar se as grandezas são diretamente ouinversamente proporcionais.

3. Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplo Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, umalancha com motor movido a energia solar consegue produzir400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa áreapara 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m 2) Energia (Wh)

1,2 400

1,5 x>

Elementos de grandezas conhecidas, encontram -se dispostosde forma crescente.

Solução

Área (m 2) Energia (Wh)

1,2 400

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora .

ImportanteObserva-se que, aumentando a grandeza da coluna x, acoluna y também será aumentada. Como as palavrascorrespondem (aumentando - aumenta), podemos afirmarque as grandezas são diretamente proporcionais .

10 300

Importante (Caso Contrário)

Observa-se que, aumentando a grandeza da coluna x, acoluna y também diminui . Como as palavrascorrespondem (aumentando - diminuindo), podemosafirmar que as grandezas são inversamenteproporcionais .

10 300

Exemplo PráticoUm trem, deslocando-se a uma velocidade média de400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Emquanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidadeutilizada fosse de 480km/h?

Velocidade (Km/h)

Tempo(h)

Solução: montando a tabela:

Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como a spalavras são contrárias (aumentando - diminuindo), podemo safirmar que as grandezas são inversamente proporcionais.

Solução

Velocidade (Km/h)

Tempo(h)

480 xAumentando a velocidade, otempo do percurso diminui. Comoas palavras são contrárias(aumentando - diminuindo),podemos afirmar que asgrandezas são inversamenteproporcionais.

Faria esse mesmo percurso em duas horas e meia.

Regra de Três Composta

Conceito

A regra de três composta é utilizada emproblemas com mais de duasgrandezas, direta ou inversamenteproporcionais.

Exemplos

Em uma fábrica de brinquedos, 8homens montam 20 carrinhos em5 dias. Quantos carrinhos serãomontados por 4 homens em 16dias?

Solução

Logo, serão montados 32 carrinhos .

Discussão

Observe que, aumentando o número de homens, aprodução de carrinhos aumenta . Portanto a relaçãoé diretamente proporcional.

Aumentando o número de dias, a produção decarrinhos aumenta . Portanto a relação tambémé diretamente proporcional (não precisamos inverter arazão). Devemos igualar a razão que contém o termo xcom o produto das outras razões.

Calculo de Porcentagem

Conceito

A porcentagem é uma formamatemática de demonstrar umaproporção entre o todo e uma desuas partes.

Exemplo - 1

Imagine uma feira onde 200 trabalhos,foram apresentados e nesta feira tinham200 trabalhos escritos. O todo, neste caso,é representado por todos os participantesda iniciativa, ou seja, corresponde a 100%das inscrições.

Exemplo - 2

Exemplo - 3

Agora, imagine que 25% das fichas deinscrição foi preenchida incorretamente.Como é possível descobrir o total exato deinscrições com problemas?

Exemplo de resolução

Porcentagem e suas representações

Entender valores de porcentagens envolvetambém compreender e reconhecer seusdiversos formatos. Elas podem serrepresentadas pelo símbolo %, por uma fraçãoou mesmo por um número decimal.

Representações

25% = 25/100 = 0,2555% = 55/100 = 0,557% = 7/100 = 0,078,5% = 8,5/100 = 0,0852% = 2/100 = 0,02

Calculando descontos

Calculando acréscimos

Você recebeu uma promoção, e agora seusalário terá um aumento de 15%.Considerando que seu salário, atualmente, éR$ 1.400,00 qual será o valor que você vaicomeçar a receber?

1400 + 210 = 1610

Portanto o salário será de R$ 1.610,00

Dica prática: calculando

1%wsantoscj@gmail.com 81

Outra opção prática para calcular porcentagensé encontrar o correspondente a 1% do valor total,dividindo o todo por 100 . Confira mais um exemplo.

Como calcular 27% de 1300?

Primeiro, vamos encontrar o valor correspondente a1%.1300/100 = 13Agora, basta multiplicar o valor de 1% pela porcentagem que deseja descobrir, porque 27% é 27 vezes 1%.27 x 13 = 351Portanto, 27% de 1300 corresponde a 351.

Conceito de Logaritmo

Logaritmo é uma função matemática queestá baseada nas propriedades dapotenciação e exponenciação. O valor dologaritmo corresponde ao expoente que sedeve elevar uma determinada base, positivae diferente de 1, para que o resultado sejaigual a um número positivo b.

Etimologia dos Logaritmos

A palavra “logaritmo” é formada pelajunção de dois termosgregos: lógos e arithmós, quesignificam, respectivamente, “razão” e“número”.

Notação de Logaritmo

Função logarítmica

Base do logaritmologaritmando

Conceito Matemático

a = base, que deve ser maior que zero (a > 0) e diferente de um (a ≠ 1).b = logaritmando, sendo que b deve ser maior que zero (b > 0).x = logaritmo.

Curva de Logaritmo

Exemplo

10x = 2 Logaritmo de 100 na base (10) = 2; porque 102 = 100

Exemplo Logaritmo

Propriedades dos logaritmos

Regra - 1

Quando o logaritmando é igual abase, o logaritmo será sempre igual a1;

Regra - 2

Logaritmo de qualquer base, cujologaritmando seja igual a 1, terá sempre oresultado igual a 0;

Regra - 3

Dois logaritmos com a mesma basesão iguais quando os logaritmandostambém são iguais;

Regra - 4

Uma potência de base (a) eexpoente igual a logaritmode (b) na base (a), é igual a (b).

Exemplo da regra - 4

Logaritmo de 100 na base 10 = 2; e dezelevado a 2 é igual a 100 portando oresultados 100.

Regra - 5

Quando o logaritmando é composto por uma multiplicaçãode números, podemos separá-los numa soma delogaritmos com a mesma base para ambos;

Regra - 6

Quando o logaritmando é composto por umadivisão de números, podemos separá-los numasubtração de logaritmos, com a mesma basepara ambos;

Regra - 7

A regra da potência: o logaritmo de umapotência simplifica-se multiplicando oexpoente pelo logaritmo, mantendo amesma base e o logaritmando.

Calculo de Logaritmo de Qualquer base

Onde x logaritmando e b a base na qualse que calcular o logaritmo.

Funções Trigonométricas

Conceito

Funções trigonométricas são funções angulares,importantes no estudo dos triângulos e na modelação defenômenos periódicos. Podem ser definidascomo razões entre dois lados de um triângulo retângulo emfunção de um ângulo, ou, de forma mais geral, comorazões de coordenadas de pontos no círculo unitário.

Relação Seno e Cosseno

θ Medido em radiano.

Prof. Wagner Santos C. de Jesus wagner@univap.br

Ângulos Principais

Prof. Wagner Santos C. de Jesus wagner@univap.br

Relação da tangente

)sin(tan

Tabela de valores Reais de Ângulos Principais

Gráfico da função sen(x)x[0 e 360]

Gráfico da função cos(x)x[0 e 360]

Problema - 1

Um prédio projeta uma sombra de50 m, quando os raios solaresformam um ângulo de 45º com osolo. Qual a altura desse prédio.

Solução

Prédio

Resposta: A altura do prédio é igual a 50 m

Problema - 2

Uma escada de 8 metros éencontrada em uma parede,formando com ela um ângulo de60º. A que altura da parede aescada estaria apoiada.

Solução

Resposta: Escada estaria apoiada em uma altura de 4 metros.

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